Calcul de la Variation d’Énergie

1. Conversion de la température initiale en Kelvin

Les degrés Celsius (°C) mesurent la température par rapport au point de congélation de l’eau, mais en thermodynamique, on utilise la température absolue en Kelvin (K), basée sur le zéro absolu (–273,15 °C). Pour convertir une température donnée en °C en Kelvin, on ajoute 273,15, car 0 K correspond à –273,15 °C.

Formule :

\[T\,[\mathrm{K}] = T\,[^\circ\mathrm{C}] + 273{,}15\]

Données :

• \(T_1 = 25\;°C\)

Calcul :

\[T_1 = 25 + 273{,}15 \] \[T_1 = 298{,}15\;\mathrm{K}\]

On arrondit ensuite à \(298\;K\) pour faciliter les calculs.

2. Détermination de la température finale T₂ (détente adiabatique)

Une détente adiabatique signifie que le gaz se détend sans échange de chaleur avec l’environnement (Q = 0). Pour un gaz parfait, on utilise la relation de Poisson :

Formule :

\[T_2 = T_1 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\]

Données :

• \(T_1 = 298\;K\)
• \(P_1 = 10\;\text{bar}\)
• \(P_2 = 1\;\text{bar}\)
• \(\gamma = 1,4\)

Calcul :

1. Rapport de pression : \[\frac{P_2}{P_1} = \frac{1}{10} = 0{,}1\]
2. Exposant : \[\frac{\gamma - 1}{\gamma} = \frac{1,4 - 1}{1,4} = 0{,}2857\]
3. Puissance : \[(0{,}1)^{0{,}2857} \approx 0{,}5179\]
4. Température finale : \[T_2 = 298 \times 0{,}5179 \] \[T_2 \approx 154{,}4\;K\]

Interprétation : La température chute car l’énergie interne est convertie en travail.

3. Calcul de la variation d’énergie interne ΔU

Pour un gaz parfait, l’énergie interne dépend uniquement de la température et de la masse. La capacité thermique à volume constant (C_v) exprime l’énergie nécessaire pour élever 1 kg de gaz de 1 K. La variation d’énergie interne :

Formule :

\[\Delta U = m \times C_v \times (T_2 - T_1)\]

Variation spécifique :

\[\Delta u = C_v \times (T_2 - T_1)\]

Données :

• \(C_v = 718\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}\)
• \(T_1 = 298\;K\)
• \(T_2 = 154{,}4\;K\)

Calcul :

1. Différence de température : \[T_2 - T_1 = 154{,}4 - 298 = -143{,}6\;K\]
2. Multiplication par C_v : \[\Delta u = 718 \times (-143{,}6) \] \[\Delta u = -103\,165\;\mathrm{J/kg}\]

Résultat spécifique :

\[\Delta u \approx -1{,}03 \times 10^5\;\mathrm{J/kg}\]

4. Détermination de la masse de l’air dans le réservoir

L’équation des gaz parfaits : \(P\,V = m\,R_{\mathrm{sp}}\,T\). On calcule :

Formule :

\[R_{\mathrm{sp}} = \frac{R}{M},\quad m = \frac{P_1 \times V}{R_{\mathrm{sp}} \times T_1}\]

Données :

• \(R = 8{,}314\;\mathrm{J/(mol\cdot K)}\)
• \(M = 28{,}97\;\mathrm{g/mol} = 0{,}02897\;\mathrm{kg/mol}\)
• \(P_1 = 10\;\text{bar} = 1{,}0\times10^6\;\mathrm{Pa}\)
• \(T_1 = 298\;K\)

Calcul :

1. Constante spécifique : \[R_{\mathrm{sp}} = \frac{8{,}314}{0{,}02897} \approx 287\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}\]
2. Masse volumique : \[\rho_1 = \frac{P_1}{R_{\mathrm{sp}} \times T_1} = \frac{1{,}0\times10^6}{287 \times 298} \approx 11{,}7\;\mathrm{kg/m^3}\]
3. Masse totale : \[m = \rho_1 \times V = 11{,}7 \times V\;[\mathrm{kg}]\]

Bilan des résultats :

• \(T_1 = 298\;K\)
• \(T_2 \approx 154{,}4\;K\)
• \(\Delta u \approx -1{,}03 \times 10^5\;\mathrm{J/kg}\)
• \(m = 11{,}7 \times V\;(\mathrm{kg})\)

Conclusion : Ce processus adiabatique montre comment l’air, en se détendant sans échange de chaleur, voit sa température et son énergie interne chuter. La masse d’air dépend du volume du réservoir.