Études de cas pratique

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Calcul de la Poussée des Terres

Calcul de la Poussée des Terres

Calcul de la Poussée des Terres sur un Mur de Soutènement

Comprendre la Poussée des Terres

La poussée des terres est la force exercée par un massif de sol sur un ouvrage de soutènement (mur, écran, etc.). Cette force doit être correctement évaluée pour assurer la stabilité de l'ouvrage. On distingue principalement la poussée active (le mur se déplace légèrement en s'éloignant du sol, mobilisant la résistance minimale du sol) et la butée (le mur se déplace vers le sol, mobilisant la résistance maximale du sol). Cet exercice se concentrera sur le calcul de la poussée active selon la théorie de Rankine pour un sol pulvérulent (sans cohésion) et un remblai horizontal.

Données de l'étude

On considère un mur de soutènement vertical de hauteur \(H\), retenant un massif de sol horizontal et pulvérulent.

Caractéristiques du mur et du sol :

  • Hauteur du mur (\(H\)) : \(4.0 \, \text{m}\).
  • Poids volumique du sol (\(\gamma\)) : \(18 \, \text{kN/m}^3\).
  • Angle de frottement interne du sol (\(\phi'\)) : \(30 \, \text{°}\).
  • Cohésion du sol (\(c'\)) : \(0 \, \text{kPa}\) (sol pulvérulent).
  • Le remblai est horizontal et il n'y a pas de surcharge en surface.

Hypothèses : On utilise la théorie de Rankine pour l'état actif. Le mur est supposé parfaitement lisse et vertical. Il n'y a pas de nappe phréatique influençant la poussée.

Schéma : Poussée Active sur un Mur de Soutènement
Remblai (\(\gamma, \phi'\)) \(\sigma'_{a}(0)=0\) \(\sigma'_{a}(H)\) Pa H/3 H = 4m Poussée Active (Rankine)

Schéma illustrant la distribution de la poussée active des terres sur un mur vertical selon Rankine.

Questions à traiter

  1. Calculer le coefficient de poussée active des terres (\(K_a\)).
  2. Déterminer la contrainte de poussée active (\(\sigma'_{a}\)) en tête (à \(z=0\)) et au pied du mur (à \(z=H\)).
  3. Calculer la résultante de la poussée active des terres (\(P_a\)) par mètre linéaire de mur.
  4. Déterminer le point d'application de cette résultante (\(P_a\)) par rapport à la base du mur.

Correction : Calcul de la Poussée des Terres

Question 1 : Calcul du coefficient de poussée active (\(K_a\))

Principe :

Pour un sol pulvérulent (\(c'=0\)), un remblai horizontal et un mur vertical sans frottement mur-sol (hypothèses de Rankine), le coefficient de poussée active \(K_a\) est donné par la formule suivante, où \(\phi'\) est l'angle de frottement interne du sol.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1 - \sin(\phi')}{1 + \sin(\phi')} \]
Données spécifiques :
  • Angle de frottement interne (\(\phi'\)) : \(30 \, \text{°}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} K_a &= \tan^2\left(45^\circ - \frac{30^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2\left(45^\circ - 15^\circ\right) \\ &= \tan^2\left(30^\circ\right) \\ &= \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} \approx 0.333 \end{aligned} \]

Alternativement avec la formule en sinus :

\[ \sin(30^\circ) = 0.5 \] \[ K_a = \frac{1 - 0.5}{1 + 0.5} = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3} \approx 0.333 \]
Résultat Question 1 : Le coefficient de poussée active est \(K_a = 1/3 \approx 0.333\).

Question 2 : Contrainte de poussée active (\(\sigma'_{a}\)) en tête et au pied du mur

Principe :

La contrainte de poussée active à une profondeur \(z\) est donnée par \(\sigma'_{a}(z) = K_a \cdot \gamma \cdot z\). En l'absence de surcharge et de cohésion, la contrainte en surface (\(z=0\)) est nulle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma'_{a}(z) = K_a \cdot \gamma \cdot z \]
Données spécifiques :
  • \(K_a = 1/3\)
  • Poids volumique du sol (\(\gamma\)) : \(18 \, \text{kN/m}^3\)
  • Hauteur du mur (\(H\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
Calcul :

En tête du mur (\(z=0\)) :

\[ \sigma'_{a}(0) = K_a \cdot \gamma \cdot 0 = 0 \, \text{kPa} \]

Au pied du mur (\(z=H=4.0 \, \text{m}\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma'_{a}(H) &= \frac{1}{3} \times 18 \, \text{kN/m}^3 \times 4.0 \, \text{m} \\ &= 6 \, \text{kN/m}^2 \times 4.0 \, \text{m} \\ &= 24 \, \text{kN/m}^2 = 24 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte de poussée active est \(\sigma'_{a}(0) = 0 \, \text{kPa}\) en tête et \(\sigma'_{a}(H) = 24 \, \text{kPa}\) au pied du mur.

Question 3 : Résultante de la poussée active (\(P_a\))

Principe :

La distribution de la poussée active étant triangulaire (de 0 en surface à \(\sigma'_{a}(H)\) au pied), la résultante \(P_a\) est l'aire de ce triangle par mètre linéaire de mur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_a = \frac{1}{2} \cdot \sigma'_{a}(H) \cdot H = \frac{1}{2} \cdot K_a \cdot \gamma \cdot H^2 \]
Données spécifiques :
  • \(\sigma'_{a}(H) = 24 \, \text{kPa}\)
  • \(H = 4.0 \, \text{m}\)
  • (Ou \(K_a = 1/3\), \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_a &= \frac{1}{2} \times 24 \, \text{kN/m}^2 \times 4.0 \, \text{m} \\ &= 12 \, \text{kN/m} \times 4.0 \, \text{m} \\ &= 48 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

Alternativement :

\[ \begin{aligned} P_a &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 18 \, \text{kN/m}^3 \times (4.0 \, \text{m})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 18 \times 16 \, \text{kN/m} \\ &= \frac{1}{6} \times 18 \times 16 \, \text{kN/m} \\ &= 3 \times 16 \, \text{kN/m} = 48 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La résultante de la poussée active est \(P_a = 48 \, \text{kN/m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la hauteur du mur double (et les autres paramètres restent constants), comment évolue \(P_a\) ?

Question 4 : Point d'application de la résultante (\(P_a\))

Principe :

Pour une distribution triangulaire de la poussée, la résultante \(P_a\) s'applique au tiers de la hauteur \(H\) à partir de la base du mur (centre de gravité du triangle de poussée).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ z_{P_a} = \frac{H}{3} \quad (\text{mesuré depuis la base}) \]
Données spécifiques :
  • \(H = 4.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ z_{P_a} = \frac{4.0 \, \text{m}}{3} \approx 1.33 \, \text{m} \]
Résultat Question 4 : Le point d'application de \(P_a\) est à \(H/3 \approx 1.33 \, \text{m}\) de la base du mur.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le coefficient de poussée active \(K_a\) est toujours :

2. Dans la théorie de Rankine pour un sol pulvérulent avec remblai horizontal, la distribution de la poussée active sur un mur vertical est :

3. La poussée active des terres est généralement :

Glossaire

Poussée des Terres
Force exercée par un massif de sol sur un ouvrage de soutènement. Elle dépend des caractéristiques du sol, de la géométrie de l'ouvrage et des déplacements relatifs sol-ouvrage.
Poussée Active (\(P_a\))
Force minimale exercée par le sol lorsque le mur s'éloigne légèrement du massif de sol, permettant au sol de se décomprimer et de mobiliser sa résistance au cisaillement.
Butée des Terres (\(P_p\))
Force maximale que le sol peut opposer lorsque le mur est poussé contre le massif de sol, comprimant ce dernier.
Coefficient de Poussée Active (\(K_a\))
Coefficient sans dimension utilisé pour calculer la contrainte de poussée active. Il dépend principalement de l'angle de frottement interne du sol (\(\phi'\)) et de l'inclinaison du remblai et du mur.
Angle de Frottement Interne (\(\phi'\))
Caractéristique intrinsèque d'un sol qui représente sa résistance au cisaillement due au frottement entre les grains. Exprimé en degrés.
Cohésion (\(c'\))
Caractéristique d'un sol qui représente sa résistance au cisaillement indépendante de la contrainte normale, due aux liaisons entre les particules (argiles). Exprimée en kPa.
Sol Pulvérulent
Sol dont la cohésion est négligeable (\(c' \approx 0\)), comme le sable ou le gravier propre.
Théorie de Rankine
Méthode de calcul de la poussée et de la butée des terres qui suppose un état de rupture plastique dans le sol, un mur vertical et lisse, et un remblai horizontal (dans sa forme la plus simple).
Calcul de la Poussée des Terres - Exercice d'Application

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1 Commentaire
  1. Mountari Saidou Ibrahim
    Mountari Saidou Ibrahim sur 11 avril 2025 à 2h15

    J’espère que j’aurai beaucoup de connaissances professionnelles

    Réponse
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