Calcul de la Poussée des Terres

Contexte : Stabiliser les terres, un enjeu majeur du Génie Civil.

Les murs de soutènement sont des ouvrages omniprésents dans nos paysages (routes, voies ferrées, aménagements de terrain). Leur rôle est de contenir une masse de sol et de résister à la force horizontale qu'elle exerce : la poussée des terresForce exercée par un massif de sol sur un ouvrage de soutènement. On distingue la poussée au repos, la poussée active (le mur s'éloigne du sol) et la butée (le mur se déplace vers le sol).. Le dimensionnement correct de ces murs est une question de sécurité fondamentale. Un mur sous-dimensionné peut basculer ou glisser, entraînant des conséquences graves. Cet exercice vous initiera au calcul de cette poussée en utilisant la théorie de Rankine, une méthode de base pour les murs à parement vertical et remblai horizontal.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de la mécanique des sols à un problème d'ingénierie concret. Nous allons transformer des propriétés intrinsèques du sol (poids, angle de frottement) en une force et un point d'application. C'est cette force qui sera ensuite utilisée par l'ingénieur en structure pour concevoir un mur (en béton armé, en gabions, etc.) capable de la reprendre en toute sécurité.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le coefficient de poussée active des terres \(K_a\) selon la théorie de Rankine.
Déterminer la distribution de la contrainte de poussée le long de la hauteur du mur.
Calculer la force de poussée résultante \(P_a\) exercée sur le mur.
Déterminer le point d'application de cette force résultante.
Comprendre l'influence d'une surcharge sur la poussée des terres.

Données de l'étude

On étudie un mur de soutènement vertical de 5 mètres de hauteur, retenant un massif de sable sec et homogène. Le terrain derrière le mur est horizontal et supporte une surcharge uniforme (par exemple, une aire de stockage).

Schéma du mur de soutènement

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur du mur	\(H\)	5.0	\(\text{m}\)
Poids volumique du sol	\(\gamma\)	19	\(\text{kN/m}^3\)
Cohésion effective du sol	\(c'\)	0	\(\text{kPa}\)
Angle de frottement effectif	\(\phi'\)	30	\(\text{degrés}\)
Surcharge uniforme	\(q\)	10	\(\text{kPa}\)

Questions à traiter

Calculer le coefficient de poussée active des terres \(K_a\).
Déterminer les contraintes horizontales de poussée en tête (\(z=0\)) et en pied (\(z=H\)) du mur.
Calculer la résultante des forces de poussée \(P_a\) s'exerçant sur 1 mètre linéaire de mur.
Déterminer la hauteur d'application \(z_a\) de cette résultante par rapport à la base du mur.

Les bases de la Poussée des Terres

Avant la correction, revoyons les principes de la théorie de la poussée de Rankine.

La théorie de Rankine (état actif) :
Cette théorie s'applique lorsqu'un mur de soutènement s'éloigne légèrement du massif de sol, permettant à ce dernier d'atteindre un état de rupture dit "actif". Dans cet état, la contrainte horizontale est minimale.

La contrainte verticale à une profondeur \(z\) est simplement le poids des terres au-dessus : \(\sigma_v(z) = \gamma \cdot z + q\).
La contrainte horizontale de poussée est une fraction de la contrainte verticale : \(\sigma_h(z) = K_a \cdot \sigma_v(z)\).
Le coefficient de poussée active \(K_a\)Rapport entre la contrainte horizontale et la contrainte verticale lorsque le sol est en état de rupture active (extension). Il est toujours inférieur à 1. ne dépend que de l'angle de frottement du sol \(\phi'\) : \[ K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1 - \sin(\phi')}{1 + \sin(\phi')} \]

La force de poussée totale est l'aire du diagramme des contraintes horizontales le long du mur.

Correction : Calcul de la Poussée des Terres sur un Mur de Soutènement

Question 1 : Calculer le coefficient de poussée active (Ka)

Principe (le concept physique)

Le coefficient de poussée active, \(K_a\), représente la proportion de la contrainte verticale qui se "transforme" en contrainte horizontale lorsque le sol se détend. Imaginez un tas de sable : il ne peut pas tenir à la verticale. La contrainte horizontale est bien plus faible que la contrainte verticale. \(K_a\) est ce facteur de réduction. Il est toujours inférieur à 1 et diminue à mesure que le sol devient plus "solide" (angle de frottement \(\phi'\) plus élevé).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

\(K_a\) est dérivé de l'analyse du cercle de Mohr à la rupture. En état actif, le sol est en extension horizontale, le cercle de Mohr devient tangent à la droite de rupture de Coulomb. Le rapport entre la contrainte effective mineure (horizontale) et majeure (verticale) à la rupture donne directement l'expression de \(K_a\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour retenir la formule, souvenez-vous que pour la poussée (état actif), le sol "pousse moins", donc on utilise le signe "moins" au numérateur de la formule avec les sinus : \((1 - \sin\phi') / (1 + \sin\phi')\). Pour la butée (état passif), où le sol résiste, c'est l'inverse.

Normes (la référence réglementaire)

La théorie de Rankine est une méthode de base reconnue par toutes les normes de géotechnique, y compris l'Eurocode 7. Elle constitue une approche simple et souvent sécuritaire pour les cas de figure simples (mur vertical, remblai horizontal, pas de frottement mur-sol).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Il existe deux formules équivalentes pour le coefficient de poussée active de Rankine :

K_a = \frac{1 - \sin(\phi')}{1 + \sin(\phi')}

K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right)

Hypothèses (le cadre du calcul)

La théorie de Rankine suppose que le mur est parfaitement lisse (pas de frottement entre le sol et le mur), que le parement du mur est vertical, et que la surface du remblai est horizontale.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Angle de frottement effectif, \(\phi' = 30^\circ\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour \(\phi' = 30^\circ\), les valeurs sont classiques et faciles à retenir. \(\sin(30^\circ) = 0.5\). Le calcul devient alors très simple : \((1 - 0.5) / (1 + 0.5) = 0.5 / 1.5 = 1/3\). C'est une valeur de \(K_a\) très courante dans les exercices.

Schéma (Avant les calculs)

Relation entre Contraintes Verticale et Horizontale

Calcul(s) (l'application numérique)

\begin{aligned} K_a &= \frac{1 - \sin(30^\circ)}{1 + \sin(30^\circ)} \\ &= \frac{1 - 0.5}{1 + 0.5} \\ &= \frac{0.5}{1.5} \\ &= \frac{1}{3} \approx 0.333 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Coefficient de Poussée Active Calculé

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un coefficient \(K_a\) de 1/3 signifie que la contrainte horizontale exercée par le sol sur le mur ne vaut qu'un tiers de la contrainte verticale à la même profondeur. C'est cette réduction significative qui rend les murs de soutènement possibles.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre le coefficient de poussée active \(K_a\) avec le coefficient de poussée au repos \(K_0\) (mur indéformable) ou le coefficient de butée \(K_p\) (mur poussé contre le sol). \(K_a\) est généralement le plus faible des trois, conduisant au dimensionnement le plus économique pour un mur de soutènement classique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le coefficient de poussée active \(K_a\) est utilisé lorsque le mur peut se déplacer légèrement vers l'extérieur.
Il ne dépend que de l'angle de frottement \(\phi'\).
Pour \(\phi' = 30^\circ\), \(K_a = 1/3\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La théorie de Rankine (1857) a été développée après celle de Coulomb (1776). Alors que Coulomb utilise une approche par l'équilibre d'un coin de sol qui glisse, Rankine utilise une approche basée sur l'état de contrainte et la rupture du sol en tout point. Pour les cas simples, les deux théories donnent des résultats très proches.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le coefficient de poussée active des terres est \(K_a = 1/3 \approx 0.333\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Calculez la valeur de \(K_a\) pour un angle de frottement de 35°.

Question 2 : Déterminer les contraintes horizontales

Principe (le concept physique)

La poussée n'est pas uniforme sur la hauteur du mur. Elle augmente avec la profondeur, car le poids des terres (la contrainte verticale) augmente. Nous allons donc calculer la valeur de cette poussée à deux points clés : tout en haut (en tête) et tout en bas (en pied) du mur. La distribution de la contrainte entre ces deux points sera linéaire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte verticale totale à une profondeur \(z\) est \(\sigma_v(z) = \gamma \cdot z + q\). La contrainte horizontale est donc \(\sigma_h(z) = K_a \cdot (\gamma \cdot z + q)\). On peut décomposer cette expression en deux parties : une partie rectangulaire constante due à la surcharge (\(K_a \cdot q\)) et une partie triangulaire qui augmente linéairement avec la profondeur (\(K_a \cdot \gamma \cdot z\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est exactement le même principe que la pression de l'eau dans un barrage. La pression de l'eau est nulle à la surface et augmente linéairement jusqu'à la base (\(p = \rho g h\)). Ici, c'est pareil, mais avec du sol (\(\sigma_v = \gamma z\)) et le tout est multiplié par le facteur de réduction \(K_a\). La surcharge \(q\) agit comme si on avait rehaussé le niveau d'eau, créant une pression constante sur toute la hauteur.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de la distribution des contraintes est une étape fondamentale imposée par toutes les normes. Ce diagramme de pression est ensuite utilisé pour les vérifications de la stabilité interne et externe du mur (résistance à la flexion, au cisaillement, etc.).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte horizontale à une profondeur \(z\):

\sigma_h(z) = K_a \cdot (\gamma \cdot z + q)

Hypothèses (le cadre du calcul)

On continue d'appliquer les hypothèses de Rankine. On suppose que la surcharge \(q\) est appliquée sur une surface infinie derrière le mur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

\(K_a = 1/3\) (de Q1)
\(\gamma = 19 \, \text{kN/m}^3\)
\(q = 10 \, \text{kPa}\)
\(H = 5 \, \text{m}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez d'abord la contrainte due à la surcharge (\(K_a \cdot q\)), qui sera constante. Puis calculez la contrainte maximale due au sol à la base (\(K_a \cdot \gamma \cdot H\)). La contrainte totale à la base sera simplement la somme des deux.

Schéma (Avant les calculs)

Diagramme de Poussée Attendu

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Contrainte en tête de mur (\(z=0\)):

\begin{aligned} \sigma_h(z=0) &= K_a \cdot (\gamma \cdot 0 + q) \\ &= K_a \cdot q \\ &= \frac{1}{3} \times 10 \, \text{kPa} \\ &\approx 3.33 \, \text{kPa} \end{aligned}

2. Contrainte en pied de mur (\(z=H=5\,\text{m}\)):

\begin{aligned} \sigma_h(z=H) &= K_a \cdot (\gamma \cdot H + q) \\ &= \frac{1}{3} \times (19 \, \text{kN/m}^3 \cdot 5 \, \text{m} + 10 \, \text{kPa}) \\ &= \frac{1}{3} \times (95 + 10) \\ &= \frac{105}{3} \\ &= 35 \, \text{kPa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de Poussée Calculé

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le diagramme des contraintes est un trapèze. La pression n'est pas nulle en tête à cause de la surcharge. Elle augmente ensuite linéairement pour atteindre sa valeur maximale de 35 kPa à la base du mur. C'est cette distribution de pression que le mur doit être capable de supporter sans se rompre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est d'oublier d'appliquer le coefficient \(K_a\) à la surcharge. La surcharge est une contrainte verticale, elle doit donc être multipliée par \(K_a\) pour obtenir son effet horizontal. Une autre erreur est de mal gérer les unités : assurez-vous que \(\gamma \cdot H\) et \(q\) sont dans la même unité (kPa ici) avant de les additionner.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La contrainte de poussée augmente linéairement avec la profondeur.
Une surcharge \(q\) crée une contrainte de poussée constante sur toute la hauteur, égale à \(K_a \cdot q\).
Le diagramme de pression total est la superposition d'un rectangle (surcharge) et d'un triangle (poids des terres).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans un sol argileux avec de la cohésion (\(c' > 0\)), la formule de la poussée devient \(\sigma_h(z) = K_a \sigma_v(z) - 2c'\sqrt{K_a}\). Le terme de cohésion vient en déduction ! Cela signifie que sur une certaine hauteur en tête de mur, le sol peut théoriquement tenir tout seul sans exercer de poussée (traction théorique). En pratique, on ne compte jamais sur cette "hauteur critique" pour des raisons de sécurité (fissuration, etc.).

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La contrainte de poussée est de 3.33 kPa en tête de mur et de 35 kPa en pied de mur.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Sans surcharge (\(q=0\)), quelle serait la contrainte de poussée en pied de mur (\(z=5\,\text{m}\)) en kPa ?

Question 3 : Calculer la force de poussée résultante (Pa)

Principe (le concept physique)

La force totale, ou résultante de la poussée, est simplement la somme de toutes les petites forces de pression agissant sur la surface du mur. Mathématiquement, cela correspond à l'aire du diagramme de pression que nous avons calculé à la question précédente. Puisque notre diagramme est un trapèze, nous allons simplement calculer son aire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La force est l'intégrale de la pression sur la surface. Pour une bande de mur de 1 mètre de large, la force \(P_a\) est : \[ P_a = \int_{0}^{H} \sigma_h(z) \cdot (1 \, \text{m}) \, dz \] Pour une distribution trapézoïdale, cette intégrale se simplifie en la formule bien connue de l'aire du trapèze : (petite base + grande base) * hauteur / 2.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Il est souvent plus simple et plus sûr de décomposer le diagramme trapézoïdal en une forme rectangulaire (due à la surcharge) et une forme triangulaire (due au poids du sol). On calcule la force de chaque partie séparément, puis on les additionne. Cela facilite également le calcul du point d'application à la question suivante.

Normes (la référence réglementaire)

La détermination de la force de poussée résultante est l'objectif principal du calcul de poussée. C'est cette force \(P_a\) qui est utilisée dans les vérifications de stabilité externe du mur : la stabilité au glissement (la poussée est comparée à la résistance au frottement sous la base) et la stabilité au renversement (le moment de la poussée est comparé au moment stabilisant du poids du mur).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Aire d'un trapèze :

P_a = \frac{(\sigma_{h,\text{tête}} + \sigma_{h,\text{pied}})}{2} \times H

Ou en décomposant :

P_{a, \text{surcharge}} = (\text{pression surcharge}) \times H = (K_a \cdot q) \cdot H

P_{a, \text{sol}} = \frac{1}{2} \times (\text{pression sol à la base}) \times H = \frac{1}{2} (K_a \gamma H) H = \frac{1}{2} K_a \gamma H^2

P_a = P_{a, \text{surcharge}} + P_{a, \text{sol}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses restent les mêmes. Le calcul est effectué pour une tranche de mur de 1 mètre de largeur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

\(\sigma_{h,\text{tête}} = 3.33 \, \text{kPa}\) (de Q2)
\(\sigma_{h,\text{pied}} = 35 \, \text{kPa}\) (de Q2)
\(H = 5 \, \text{m}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Utiliser la méthode décomposée est souvent plus rapide mentalement. Force du rectangle : \(3.33 \times 5 = 16.65\). Force du triangle : \(0.5 \times (35 - 3.33) \times 5 = 79.175\). Somme : \(16.65 + 79.175 = 95.825\). Cela permet de vérifier le calcul direct.

Schéma (Avant les calculs)

Aire à Calculer

Calcul(s) (l'application numérique)

En utilisant la formule de l'aire du trapèze :

\begin{aligned} P_a &= \frac{(3.33 \, \text{kPa} + 35 \, \text{kPa})}{2} \times 5 \, \text{m} \\ &= \frac{38.33}{2} \times 5 \\ &= 19.165 \times 5 \\ &= 95.83 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Note : l'unité est en kN/m car on multiplie des kPa (kN/m²) par des m, pour une tranche de 1m de large.

Schéma (Après les calculs)

Résultante de la Poussée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le mur doit résister à une force horizontale de près de 96 kN (environ 9.6 tonnes-force) pour chaque mètre de sa longueur. C'est une force considérable qui nécessite un dimensionnement attentif de la fondation du mur et de son ferraillage interne.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous de ne pas mélanger les contraintes (en kPa) et les forces (en kN/m). La force est l'aire du diagramme, pas une valeur de contrainte. L'unité finale doit être une force par unité de longueur.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La force de poussée est l'aire du diagramme de pression.
Pour un diagramme trapézoïdal, \(P_a = \frac{(\sigma_{h,1} + \sigma_{h,2})}{2} \times H\).
L'unité de la poussée sur un mur filant est une force par longueur (ex: kN/m).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La poussée des terres est à l'origine de l'invention de l'arc-boutant dans les cathédrales gothiques. Les voûtes en pierre exerçaient une poussée horizontale sur les murs, qui menaçait de les faire s'écarter. Les architectes ont alors conçu les arcs-boutants pour reprendre cette poussée et la dévier vers des contreforts massifs à l'extérieur de l'édifice.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La résultante des forces de poussée sur le mur est \(P_a \approx 95.8 \, \text{kN/m}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Sans surcharge, quelle serait la force de poussée \(P_a\) en kN/m ?

Question 4 : Déterminer le point d'application (za)

Principe (le concept physique)

La force de poussée n'est pas appliquée au milieu du mur. Comme la pression est plus forte en bas qu'en haut, le point d'application de la force résultante sera situé dans le tiers inférieur du mur. Pour le trouver précisément, nous devons calculer le "centre de gravité" du diagramme de pression. C'est le point où l'on pourrait appliquer la force unique \(P_a\) pour avoir le même effet de renversement que la pression répartie.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le point d'application se trouve en utilisant le théorème des moments (ou théorème de Varignon). Le moment de la force résultante \(P_a\) par rapport à la base du mur est égal à la somme des moments de ses composantes. On décompose le diagramme trapézoïdal en un rectangle (force \(P_1\)) et un triangle (force \(P_2\)). Le moment total est \(M_{/base} = P_1 \cdot z_1 + P_2 \cdot z_2\). Le point d'application de la résultante est alors \(z_a = M_{/base} / P_a\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la raison pour laquelle les murs de soutènement sont beaucoup plus épais à la base qu'au sommet. La force pousse bas, créant un fort moment de renversement que le mur doit contrer avec son propre poids, lui aussi appliqué bas (via une semelle large). Savoir que la poussée s'applique à H/3 (pour un triangle simple) est un réflexe fondamental en géotechnique.

Normes (la référence réglementaire)

La position de la force de poussée est aussi importante que sa magnitude. L'Eurocode 7 exige la vérification de la stabilité au renversement, qui se calcule en comparant le moment stabilisant (dû au poids de l'ouvrage) au moment de renversement (dû à la poussée). Une erreur sur le point d'application fausse complètement cette vérification cruciale.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On décompose la poussée en une partie rectangulaire \(P_1\) et une partie triangulaire \(P_2\).

P_1 = \sigma_{h,\text{tête}} \times H \quad (\text{s'applique à } z_1 = H/2)

P_2 = \frac{1}{2} (\sigma_{h,\text{pied}} - \sigma_{h,\text{tête}}) \times H \quad (\text{s'applique à } z_2 = H/3)

z_a = \frac{P_1 \cdot z_1 + P_2 \cdot z_2}{P_1 + P_2}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses restent inchangées. On utilise le principe de décomposition du diagramme de pression.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

\(\sigma_{h,\text{tête}} = 3.33 \, \text{kPa}\)
\(\sigma_{h,\text{pied}} = 35 \, \text{kPa}\)
\(H = 5 \, \text{m}\)
\(P_a = 95.83 \, \text{kN/m}\) (de Q3)

Astuces(Pour aller plus vite)

Le centre de gravité d'un rectangle est à mi-hauteur. Celui d'un triangle est au tiers de la hauteur depuis sa base. Ne vous trompez pas sur ces positions de base avant d'appliquer le théorème des moments.

Schéma (Avant les calculs)

Décomposition du Diagramme de Poussée

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer les forces composantes \(P_1\) et \(P_2\):

\begin{aligned} P_1 &= 3.33 \, \text{kPa} \times 5 \, \text{m} \\ &= 16.65 \, \text{kN/m} \end{aligned}

\begin{aligned} P_2 &= \frac{1}{2} (35 - 3.33) \, \text{kPa} \times 5 \, \text{m} \\ &= \frac{1}{2} \times 31.67 \times 5 \\ &= 79.18 \, \text{kN/m} \end{aligned}

2. Déterminer leurs points d'application par rapport à la base :

z_1 = \frac{H}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \, \text{m}

z_2 = \frac{H}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.67 \, \text{m}

3. Appliquer le théorème des moments :

\begin{aligned} z_a &= \frac{(16.65 \times 2.5) + (79.18 \times 1.67)}{16.65 + 79.18} \\ &= \frac{41.625 + 132.23}{95.83} \\ &= \frac{173.855}{95.83} \\ &\approx 1.81 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Position de la Résultante

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le point d'application est à 1.81 m de la base. C'est légèrement plus haut que H/3 (qui vaut 1.67 m) à cause de l'effet de la surcharge qui "remonte" le centre de gravité de la poussée. C'est cette position qui sera utilisée pour calculer le moment de renversement \(M_{renv} = P_a \times z_a\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de mal calculer le bras de levier. Rappelez-vous que le point d'application est toujours mesuré par rapport au point de rotation, qui est généralement la base du mur. Le centre de gravité d'un triangle est à H/3 de sa base (la partie la plus large), pas de son sommet.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le point d'application de la poussée est le centre de gravité du diagramme de pression.
Pour un simple triangle, il est à H/3 de la base.
Pour un trapèze, il faut utiliser le théorème des moments en décomposant le diagramme.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans la conception des barrages-poids, la forme de l'ouvrage est optimisée pour que la résultante de toutes les forces (poids propre, poussée de l'eau, sous-pression) passe dans le "tiers central" de la base de fondation. Cela garantit que toute la base reste en compression et évite les tractions qui pourraient fissurer le béton ou décomprimer le sol de fondation.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le point d'application de la force de poussée résultante se situe à \(z_a \approx 1.81 \, \text{m}\) au-dessus de la base du mur.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Sans surcharge (\(q=0\)), à quelle hauteur \(z_a\) (en m) la poussée s'appliquerait-elle ?

Outil Interactif : Paramètres de la Poussée

Modifiez les paramètres du sol et la surcharge pour voir leur influence sur la force de poussée.

Paramètres d'Entrée

Angle de Frottement φ' (°) 30 °

Surcharge q (kPa) 10 kPa

Hauteur H (m) 5.0 m

Résultats Clés

Coefficient de Poussée (Ka) -

Force de Poussée (kN/m) -

Point d'Application (m) -

Le Saviez-Vous ?

L'ingénieur militaire français Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806) a été le premier à proposer une théorie pour le calcul de la poussée des terres, bien avant Rankine. Sa méthode, basée sur l'équilibre d'un "coin" de sol qui glisse, est plus générale que celle de Rankine car elle peut prendre en compte le frottement mur-sol et l'inclinaison du mur et du remblai.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que la "butée" des terres ?

La butée est le contraire de la poussée. Elle se développe lorsque le mur est poussé CONTRE le sol (par exemple, à l'avant d'un mur de soutènement). Le sol résiste alors activement au mouvement. Le coefficient de butée, \(K_p\), est l'inverse de \(K_a\) (\(K_p = 1/K_a\)) et est donc toujours supérieur à 1. La force de butée est une force stabilisatrice très importante pour la sécurité des ouvrages.

Pourquoi parle-t-on de poussée "active" ?

On parle de poussée "active" car le sol est le moteur de l'action : il est en état de rupture et "pousse" activement le mur. L'état de "butée" est dit "passif" car le sol ne fait que réagir passivement à un déplacement du mur qui vient le comprimer.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'angle de frottement du sol \(\phi'\) augmente, le coefficient de poussée active \(K_a\)...

Augmente
Diminue
Reste le même

2. Pour un mur retenant un sol sans surcharge, la force de poussée résultante s'applique...

Au tiers inférieur de la hauteur
À mi-hauteur
Au tiers supérieur de la hauteur

Poussée des Terres: Force horizontale exercée par un massif de sol sur un ouvrage qui le retient (mur, écran de soutènement).
Coefficient de Poussée Active (Ka): Rapport entre la contrainte horizontale effective et la contrainte verticale effective lorsque le sol est en état de rupture par extension (le mur s'éloigne du sol).
Mur de Soutènement: Ouvrage de génie civil destiné à retenir les terres (ou tout autre matériau granulaire) sur une surface quasi verticale, pour prévenir les glissements et les éboulements.