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Calcul de la masse de Béton pour un Radier

Exercice : Calcul de la masse de Béton pour un Radier

Calcul de la masse de Béton pour un Radier

Contexte : Fondation d'un petit bâtiment industriel.

Les fondations sont la base de toute construction. Pour les terrains de faible portance, on utilise souvent un radierType de fondation superficielle constituée d'une dalle en béton armé continue sous l'ensemble de la structure, répartissant les charges sur une grande surface., une sorte de grande dalle en béton qui répartit les charges du bâtiment sur toute sa surface. Le calcul précis du volume de béton, puis de sa masse, est indispensable pour planifier les livraisons, estimer les coûts et vérifier la pression exercée sur le sol.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer le volume d'une structure composée (dalle + poutres) et à convertir ce volume en masse, une compétence essentielle pour tout technicien ou ingénieur en génie civil.

Objectifs Pédagogiques

  • Décomposer un radier en une dalle et des poutres (longrinesPoutres en béton armé, généralement situées en périphérie ou en quadrillage d'un radier, servant à rigidifier la structure et à reprendre les charges des murs ou poteaux.).
  • Calculer le volume de béton de chaque composant.
  • Déterminer le volume total de béton nécessaire pour l'ouvrage.
  • Convertir le volume total de béton en masse totale.

Données de l'étude

On doit couler un radier en béton armé pour un petit entrepôt. Le radier est constitué d'une dalle rectangulaire et de longrines périphériques (poutres de redressement) sur ses quatre côtés.

Schéma du Radier (Vue en plan)
Longueur = 15.00 m Largeur = 10.00 m Longrines périphériques
Vue 3D du Radier
Nom du Paramètre Description Valeur Unité
Dimensions du radier (L x l) Dimensions extérieures totales 15.00 x 10.00 m
Épaisseur de la dalle Épaisseur de la partie courante du radier 30 cm
Section des longrines (b x h) Largeur x Hauteur totale de la poutre 40 x 60 cm
Masse volumique du béton armé Masse par unité de volume 2500 kg/m³

Questions à traiter

  1. Calculer le volume de la dalle centrale du radier.
  2. Calculer le volume total des longrines périphériques.
  3. Calculer le volume total de béton nécessaire pour le radier complet.
  4. Calculer la masse totale du radier en tonnes.

Les bases du Calcul de Masse et Volume

Pour calculer la masse d'un ouvrage, il faut d'abord connaître son volume et la masse volumique du matériau qui le compose. La méthode consiste à décomposer la géométrie complexe en volumes simples.

1. Volume d'un Pavé Droit (Parallélépipède)
La plupart des éléments de génie civil (dalles, poutres, poteaux) peuvent être assimilés à des pavés droits. Leur volume est le produit de leurs trois dimensions. \[ V = \text{Longueur} \times \text{largeur} \times \text{épaisseur} \]

2. Relation entre Masse et Volume
La masse est la quantité de matière d'un objet. Elle est directement proportionnelle à son volume via la masse volumique (ρ, "rhô"), qui est une propriété du matériau. \[ \text{Masse} = \text{Volume} \times \text{Masse Volumique} \quad (m = V \times \rho) \]

Correction : Calcul de la masse de Béton pour un Radier

Question 1 : Calculer le volume de la dalle centrale du radier.

Principe

La dalle centrale est la partie plate du radier. C'est un simple pavé droit. Son volume se calcule en multipliant sa longueur, sa largeur et son épaisseur. Il faut d'abord déterminer ses dimensions en tenant compte de l'emplacement des longrines sur le pourtour.

Mini-Cours

Décomposition par soustraction : Pour trouver les dimensions de la dalle centrale, on part des dimensions totales du radier et on soustrait l'épaisseur des longrines périphériques de chaque côté. C'est une méthode de décomposition courante en métré.

Remarque Pédagogique

Un schéma en coupe est très utile pour visualiser comment les longrines et la dalle s'emboîtent. Cela permet de comprendre pourquoi on soustrait deux fois la largeur des longrines pour obtenir la largeur de la dalle centrale.

Normes

Les dimensions des radiers et des longrines sont définies par une étude de sol et une étude structurelle (Eurocode 2 pour le calcul du béton armé, Eurocode 7 pour le calcul géotechnique).

Formule(s)

Formule du volume d'un pavé droit :

\[ V_{\text{dalle}} = L_{\text{dalle}} \times l_{\text{dalle}} \times e_{\text{dalle}} \]
Hypothèses
  • Les longrines sont disposées sur tout le périmètre extérieur du radier.
Donnée(s)

  • Dimensions totales (L x l) : 15.00 m x 10.00 m

  • Largeur longrine (b) : 40 cm = 0.40 m

  • Épaisseur dalle (e) : 30 cm = 0.30 m

Astuces

Calculez d'abord les dimensions internes de la dalle avant de calculer le volume. Cela évite de se tromper dans la formule finale.

Schéma (Avant les calculs)
Dimensions de la dalle centrale
0.40m0.40mDalle centrale = ?
Calcul(s)

Calcul des dimensions de la dalle :

\[ \begin{aligned} L_{\text{dalle}} &= L_{\text{totale}} - 2 \times b_{\text{longrine}} \\ &= 15.00 \text{ m} - 2 \times 0.40 \text{ m} = 14.20 \text{ m} \\ l_{\text{dalle}} &= l_{\text{totale}} - 2 \times b_{\text{longrine}} \\ &= 10.00 \text{ m} - 2 \times 0.40 \text{ m} = 9.20 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul du volume de la dalle :

\[ \begin{aligned} V_{\text{dalle}} &= L_{\text{dalle}} \times l_{\text{dalle}} \times e_{\text{dalle}} \\ &= 14.20 \text{ m} \times 9.20 \text{ m} \times 0.30 \text{ m} \\ &= 130.64 \text{ m²} \times 0.30 \text{ m} \\ &= 39.192 \text{ m³} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Volume de la dalle
39.19 m³
Réflexions

Le volume de la dalle représente la majeure partie du béton à couler. C'est le cœur de la fondation. Une erreur sur ce calcul a un impact majeur sur le coût et la logistique du chantier.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de soustraire la largeur des longrines des deux côtés. On doit bien enlever 2 x 40 cm à la longueur et à la largeur totales.

Points à retenir

Pour un radier avec des poutres périphériques, les dimensions de la dalle centrale sont toujours les dimensions extérieures moins deux fois la largeur des poutres.

Le saviez-vous ?

Le plus grand radier du monde a été coulé pour la Wilshire Grand Tower à Los Angeles en 2014. Il a nécessité 16 200 m³ de béton, livrés par 208 camions-toupies en continu pendant plus de 18 heures !

FAQ
Pourquoi les longrines sont-elles plus hautes que la dalle ?

Les longrines agissent comme des poutres qui rigidifient l'ensemble du radier. Leur plus grande hauteur leur donne une meilleure inertie pour résister aux efforts de flexion et pour répartir les charges des murs qu'elles supporteront.

Résultat Final
\[ V_{\text{dalle}} \approx 39.19 \text{ m³} \]
A vous de jouer

Si l'épaisseur de la dalle était de 40 cm au lieu de 30 cm, quel serait son volume ?

Question 2 : Calculer le volume total des longrines périphériques.

Principe

Les longrines sont des poutres rectangulaires. On calcule le volume de chacune en multipliant leur longueur, leur largeur et leur hauteur. Le volume total est la somme des volumes des quatre longrines qui forment le périmètre.

Mini-Cours

Attention aux intersections : Pour éviter de compter deux fois le volume des coins, il faut être méthodique. Une méthode simple consiste à calculer les deux longrines les plus longues sur toute leur longueur (15 m), puis les deux autres sur leur longueur intérieure, c'est-à-dire la largeur totale moins l'épaisseur des deux longrines déjà comptées.

Remarque Pédagogique

Dessiner un schéma en plan et hachurer les différentes parties au fur et à mesure de leur calcul est une méthode visuelle très efficace pour ne pas se tromper dans les longueurs et éviter les doubles comptages.

Normes

La section des longrines (40x60 cm) et le ferraillage qu'elles contiennent sont déterminés par l'ingénieur structure selon l'Eurocode 2 pour supporter les charges des murs et du toit.

Formule(s)

Volume d'une longrine :

\[ V_{\text{longrine}} = L \times b \times h \]

Volume total des longrines :

\[ V_{\text{longrines}} = 2 \times V_{\text{longueur}} + 2 \times V_{\text{largeur}} \]
Hypothèses

  • Les quatre longrines ont la même section rectangulaire.

Donnée(s)

  • Longueur totale (L) : 15.00 m

  • Largeur totale (l) : 10.00 m

  • Section (b x h) : 0.40 m x 0.60 m

Astuces

Une autre méthode rapide est de calculer le volume du "grand" pavé extérieur (15x10x0.6) et de soustraire le volume du "trou" intérieur (14.2x9.2x0.6). Le résultat est le même !

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition des longrines
L = 15.00 ml' = 9.20 m
Calcul(s)

Calcul du volume des 2 longrines longitudinales :

\[ \begin{aligned} V_{\text{longueur}} &= L_{\text{totale}} \times b \times h \\ &= 15.00 \text{ m} \times 0.40 \text{ m} \times 0.60 \text{ m} \\ &= 3.60 \text{ m³} \end{aligned} \]

Calcul du volume des 2 longrines transversales (longueur intérieure) :

\[ \begin{aligned} l'_{\text{int}} &= l_{\text{totale}} - 2 \times b \\ &= 10.00 \text{ m} - 2 \times 0.40 \text{ m} = 9.20 \text{ m} \\ V_{\text{largeur}} &= l'_{\text{int}} \times b \times h \\ &= 9.20 \text{ m} \times 0.40 \text{ m} \times 0.60 \text{ m} \\ &= 2.208 \text{ m³} \end{aligned} \]

Calcul du volume total des longrines :

\[ \begin{aligned} V_{\text{longrines}} &= 2 \times V_{\text{longueur}} + 2 \times V_{\text{largeur}} \\ &= 2 \times 3.60 \text{ m³} + 2 \times 2.208 \text{ m³} \\ &= 7.20 \text{ m³} + 4.416 \text{ m³} \\ &= 11.616 \text{ m³} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Volume total des longrines
11.62 m³
Réflexions

Le volume des longrines (11.62 m³) est significatif. Il représente près d'un quart du volume de la dalle centrale. Omettre ce calcul ou mal l'exécuter conduirait à une grave sous-estimation du béton nécessaire.

Points de vigilance

Le principal piège est le double comptage des coins. En calculant 2x(15m) et 2x(10m), on compte les 4 coins deux fois. La méthode présentée ici (longueurs totales puis longueurs intérieures) est une façon simple d'éviter cette erreur.

Points à retenir

Pour un ensemble de poutres périphériques, calculez le volume des deux plus longues sur leur longueur totale, puis les deux autres sur leur longueur intérieure pour éviter de compter les coins en double.

Le saviez-vous ?

Dans les grands radiers, un quadrillage de longrines intérieures est souvent ajouté pour plus de rigidité. Le calcul de leur volume se fait de la même manière, en faisant attention aux intersections avec les autres poutres.

FAQ
La hauteur de la longrine inclut-elle l'épaisseur de la dalle ?

Oui, dans cet énoncé, la hauteur de 60 cm est la hauteur totale de la poutre. Comme la dalle fait 30 cm, cela signifie que la longrine dépasse de 30 cm au-dessus de la dalle (on parle de "poutre de redressement").

Résultat Final
\[ V_{\text{longrines}} \approx 11.62 \text{ m³} \]
A vous de jouer

Si les longrines avaient une section de 50x50 cm, quel serait leur volume total ?

Question 3 : Calculer le volume total de béton nécessaire pour le radier complet.

Principe

Le volume total de béton est simplement la somme des volumes de toutes les parties de l'ouvrage. Ici, il s'agit d'additionner le volume de la volée (paillasse + marches) et le volume du palier.

Mini-Cours

Métré par décomposition : Cette méthode, qui consiste à additionner les volumes d'éléments simples, est la base de tout métré de gros œuvre. Que ce soit pour une fondation, un mur ou une poutre, on décompose toujours la structure en volumes élémentaires avant de les sommer.

Remarque Pédagogique

Lors d'une commande de béton prêt à l'emploi (BPE), on arrondit toujours le volume total à la hausse, généralement au 0.5 m³ supérieur. Il vaut mieux avoir un léger surplus que de devoir recommander un complément.

Normes

Les centrales à béton garantissent la conformité du béton livré (classe de résistance, fluidité, etc.) selon la norme NF EN 206-1. Le volume commandé doit correspondre au volume calculé, majoré d'une marge de sécurité.

Formule(s)

Formule du volume total :

\[ V_{\text{total}} = V_{\text{dalle}} + V_{\text{longrines}} \]
Hypothèses

  • On ne prévoit pas de marge de sécurité supplémentaire à ce stade du calcul (elle sera ajoutée lors de la commande).

Donnée(s)

  • Volume de la dalle : 39.19 m³

  • Volume des longrines : 11.62 m³

Astuces

Pour vérifier votre ordre de grandeur, un escalier standard dans une maison contient généralement entre 1 et 2 m³ de béton. Notre résultat est plus élevé car il s'agit d'un escalier large et long. La cohérence du résultat est un bon indicateur.

Schéma (Avant les calculs)
Addition des volumes
V DalleV Longrines+
Calcul(s)

Calcul du volume total :

\[ \begin{aligned} V_{\text{total}} &= V_{\text{dalle}} + V_{\text{longrines}} \\ &= 39.192 \text{ m³} + 11.616 \text{ m³} \\ &= 50.808 \text{ m³} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Volume total de béton
50.81 m³de béton
Réflexions

Le volume total calculé est de 50.81 m³. Pour la commande, on arrondirait à 51.0 m³. C'est une quantité très importante qui nécessitera plusieurs camions-toupies et une planification rigoureuse du coulage.

Points de vigilance

Assurez-vous d'avoir additionné tous les composants. Pour des radiers plus complexes (avec des longrines intérieures en quadrillage), il est crucial de bien lister tous les volumes partiels avant de faire la somme finale.

Points à retenir

Le volume total est la somme des volumes de chaque partie géométrique simple qui compose l'ouvrage.

Le saviez-vous ?

Le béton est le deuxième matériau le plus consommé au monde après l'eau. Chaque année, plus de 10 milliards de mètres cubes de béton sont produits, soit près de 1.5 m³ pour chaque personne sur Terre.

FAQ
Doit-on déduire le volume des aciers d'armature ?

Non. Le volume occupé par les barres d'acier est très faible par rapport au volume total de béton (généralement moins de 1%). Il est considéré comme négligeable dans les calculs de métré courants.

Résultat Final
\[ V_{\text{total}} \approx 50.81 \text{ m³} \]
A vous de jouer

Si le volume de la dalle était de 40 m³ et celui des longrines de 15 m³, quel serait le volume total ?

Question 4 : Calculer la masse totale du radier en tonnes.

Principe

La masse d'un objet est le produit de son volume par la masse volumique du matériau qui le compose. Une fois le volume total de béton connu, il suffit de le multiplier par la masse volumique du béton armé pour obtenir la masse totale.

Mini-Cours

Masse Volumique (ρ) : C'est une caractéristique intrinsèque d'un matériau. Elle représente la masse contenue dans une unité de volume (par exemple, 1 m³). Pour le béton armé, elle est d'environ 2500 kg/m³, soit 2.5 tonnes/m³. L'eau, pour comparaison, a une masse volumique de 1000 kg/m³.

Remarque Pédagogique

Connaître la masse d'une fondation est crucial pour l'ingénieur en géotechnique, qui doit s'assurer que le sol peut supporter ce poids sans tasser de manière excessive. C'est le point de départ de toute étude de sol.

Normes

La masse volumique du béton armé est une valeur de référence donnée dans l'Eurocode 1 - Actions sur les structures. Elle est utilisée pour calculer les "charges permanentes" (le poids propre) d'une structure.

Formule(s)

Formule de la masse :

\[ \text{Masse} = V_{\text{total}} \times \rho_{\text{béton}} \]
Hypothèses

  • La masse volumique du béton est uniforme dans tout l'ouvrage.

Donnée(s)

  • Volume total : 50.81 m³

  • Masse volumique (ρ) : 2500 kg/m³

Astuces

Pour convertir rapidement des kg en tonnes, il suffit de diviser par 1000. Vous pouvez aussi utiliser directement la masse volumique en tonnes/m³ (2.5 t/m³), ce qui donne un résultat directement en tonnes.

Schéma (Avant les calculs)
Conversion Volume -> Masse
Volume (m³)Masse (kg)×ρ
Calcul(s)

Calcul de la masse totale en kg :

\[ \begin{aligned} \text{Masse} &= V_{\text{total}} \times \rho_{\text{béton}} \\ &= 50.808 \text{ m³} \times 2500 \text{ kg/m³} \\ &= 127020 \text{ kg} \end{aligned} \]

Conversion en tonnes :

\[ \begin{aligned} \text{Masse}_{\text{tonnes}} &= \frac{127020 \text{ kg}}{1000} \\ &= 127.02 \text{ tonnes} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Masse totale du Radier
~127 t
Réflexions

Une masse de 127 tonnes est considérable. C'est le poids d'environ 100 voitures. Cette valeur est fondamentale pour l'ingénieur géotechnicien qui vérifiera que la contrainte exercée sur le sol (Masse / Surface) est inférieure à la capacité portante du terrain.

Points de vigilance

Attention aux unités ! La masse volumique est souvent donnée en kg/m³. Si vous la multipliez par un volume en m³, vous obtiendrez une masse en kg. N'oubliez pas de convertir en tonnes si c'est demandé (diviser par 1000).

Points à retenir

Masse = Volume × Masse Volumique. C'est une relation physique fondamentale applicable à tous les matériaux.

Le saviez-vous ?

La densité de l'acier est d'environ 7850 kg/m³. C'est pourquoi le béton "armé", qui contient de l'acier, a une masse volumique (2500 kg/m³) légèrement supérieure à celle du béton non armé (environ 2300 kg/m³).

FAQ
Cette masse inclut-elle le poids de l'eau ?

Oui, la masse volumique de 2500 kg/m³ est celle du béton durci, qui a fait sa "prise". Elle inclut le poids des granulats, du ciment et de l'eau qui s'est liée chimiquement lors de l'hydratation.

Résultat Final
\[ \text{Masse}_{\text{totale}} \approx 127 \text{ tonnes} \]
A vous de jouer

Si le volume total de béton était de 60 m³, quelle serait la masse totale du radier en tonnes ?

Outil Interactif : Simulateur de Masse

Utilisez cet outil pour voir comment les dimensions du radier influencent le volume et la masse totale de béton.

Paramètres d'Entrée
15 m
10 m
Résultats Clés
Volume Dalle (m³) -
Volume Longrines (m³) -
Masse Totale (tonnes) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce qu'un radier ?

2. Pour passer du volume à la masse, on multiplie par :

Radier
Type de fondation superficielle constituée d'une dalle en béton armé continue sous l'ensemble de la structure, répartissant les charges sur une grande surface.
Longrine
Poutre en béton armé, généralement située en périphérie ou en quadrillage d'un radier, servant à rigidifier la structure et à reprendre les charges des murs ou poteaux.
Masse Volumique (ρ)
Propriété physique d'un matériau qui représente sa masse par unité de volume. Elle s'exprime généralement en kg/m³ ou en t/m³.
Volume
Mesure de l'espace occupé par un objet en trois dimensions, exprimé en mètres cubes (m³).
Calcul de la masse de Béton pour un Radier

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