Calcul de la Flèche en Mi-Travée d'une Poutre

Contexte : La déformation des structures, un enjeu de service et de sécurité.

Au-delà de la simple résistance à la rupture, un ingénieur en génie civil doit s'assurer que les structures se comportent de manière acceptable en service. Une poutre de plancher peut être parfaitement résistante, mais si elle fléchit excessivement sous le poids des occupants, elle provoquera une sensation d'inconfort et pourra endommager les cloisons ou les revêtements de sol. Le calcul de la flècheDéplacement vertical d'un point de la poutre sous l'effet des charges. La flèche maximale est une valeur critique à vérifier. (la déformation verticale) est donc un critère de dimensionnement essentiel, souvent plus contraignant que le critère de résistance. Cet exercice vous guidera dans le calcul de la flèche maximale pour un cas de charge courant.

Remarque Pédagogique : Cet exercice combine les notions de statique (calcul des réactions), de géométrie des sections (moment quadratique) et de comportement du matériau (module de Young) pour aboutir à un calcul de déformation. Nous utiliserons une formule issue de la théorie de la flexion des poutres pour déterminer la flèche maximale d'une poutre sous une charge uniformément répartie.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les réactions d'appuis pour une charge uniformément répartie.
Calculer le moment quadratique d'une section rectangulaire.
Appliquer la formule de la flèche maximale pour une poutre sur appuis simples.
Comprendre l'influence de chaque paramètre (portée, charge, rigidité) sur la déformation.
Comparer la flèche calculée à une limite admissible réglementaire.

Données de l'étude

Une poutre en béton armé de section rectangulaire est simplement appuyée à ses deux extrémités. Elle supporte une charge uniformément répartie \(q\) (incluant son poids propre et les charges d'exploitation). On souhaite calculer sa flèche maximale à mi-travée.

Schéma de la poutre et de son chargement

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Portée de la poutre	\(L\)	8.0	\(\text{m}\)
Charge uniformément répartie	\(q\)	15	\(\text{kN/m}\)
Module de Young du béton	\(E\)	30	\(\text{GPa}\)
Largeur de la section	\(b\)	25	\(\text{cm}\)
Hauteur de la section	\(h\)	50	\(\text{cm}\)
Limite de flèche admissible	\(f_{\text{adm}}\)	L / 250	-

Questions à traiter

Calculer les réactions aux appuis.
Calculer le moment quadratique \(I\) de la section de la poutre.
Calculer la flèche maximale \(f_{\text{max}}\) à mi-travée.
Comparer la flèche calculée à la flèche admissible et conclure sur la validité de la poutre en service.

Les bases de la déformation des poutres

Avant la correction, un rappel des formules essentielles pour ce cas de figure.

1. Réactions et Moment Maximal (Charge Répartie) :
Pour une poutre sur deux appuis simples avec une charge uniformément répartie \(q\) sur toute sa longueur \(L\), la charge totale est \(qL\). Par symétrie, chaque appui reprend la moitié de cette charge : \[ R_A = R_B = \frac{qL}{2} \] Le moment fléchissant est maximal au centre (\(x=L/2\)) et sa valeur est : \[ M_{\text{max}} = \frac{qL^2}{8} \]

2. Équation de la Déformée et Flèche Maximale :
La déformation d'une poutre est régie par l'équation différentielle \(EI \cdot y''(x) = M(x)\). En intégrant deux fois cette équation pour le cas d'une charge répartie et en appliquant les conditions aux limites (flèche nulle aux appuis), on obtient la formule de la flèche maximale (à mi-travée) : \[ f_{\text{max}} = \frac{5 q L^4}{384 E I} \] Cette formule est un classique de la RdM qu'il est essentiel de connaître.

Correction : Calcul de la Flèche en Mi-Travée d’une Poutre

Question 1 : Calculer les réactions aux appuis

Principe (le concept physique)

La poutre est soumise à une charge totale due à la charge répartie \(q\). Pour rester en équilibre, les deux appuis doivent fournir une force verticale ascendante dont la somme est égale à cette charge totale. En raison de la symétrie parfaite du problème (géométrie et chargement), chaque appui supportera exactement la moitié de la charge totale.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La charge répartie \(q\) (en \(\text{kN/m}\)) peut être vue comme une force résultante unique \(F_{\text{tot}} = q \cdot L\) appliquée au centre de gravité de la charge, soit à \(L/2\) pour une charge uniforme. Le calcul des réactions devient alors identique à celui d'une poutre avec une charge ponctuelle \(F_{\text{tot}}\) au milieu, menant directement à \(R_A = R_B = F_{\text{tot}}/2\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Même si le calcul est simple par symétrie, il est bon de savoir le démontrer avec la somme des moments. En calculant la somme des moments en A, on a la réaction en B qui s'oppose au moment créé par la force résultante \(qL\) appliquée à une distance \(L/2\). Cela donne \(R_B \cdot L = (qL) \cdot (L/2)\), ce qui simplifie en \(R_B = qL/2\).

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de construction, comme l'Eurocode 2 pour le béton, définissent les valeurs des charges réparties d'exploitation (\(q_k\)) à considérer en fonction de l'usage du bâtiment (logement, bureau, magasin...). Ces charges sont ensuite pondérées par des coefficients de sécurité pour le calcul.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Par symétrie, pour une charge uniformément répartie :

R_A = R_B = \frac{q \cdot L}{2}

Hypothèses (le cadre du calcul)

La charge \(q\) est parfaitement uniforme sur toute la portée. Les appuis sont parfaitement positionnés aux extrémités de la poutre.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Charge répartie \(q = 15 \, \text{kN/m}\)
Portée \(L = 8 \, \text{m}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour ce cas de charge, le plus courant en génie civil, la réaction est simplement la charge par mètre multipliée par la moitié de la longueur de la poutre. C'est un calcul mental rapide : \(15 \times 4 = 60\).

Schéma (Avant les calculs)

Schéma statique avec charge répartie

Calcul(s) (l'application numérique)

On applique directement la formule :

\begin{aligned} R_A = R_B &= \frac{15 \, \text{kN/m} \cdot 8 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{120 \, \text{kN}}{2} \\ &= 60 \, \text{kN} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Poutre avec réactions calculées

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Chaque appui supporte une force de 60 kN. La somme des réactions (120 kN) est bien égale à la charge totale appliquée (15 kN/m * 8 m = 120 kN), ce qui confirme l'équilibre vertical de la structure.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux unités. Si la charge est en kN/m et la longueur en m, la réaction sera en kN. Ne mélangez pas les unités (par exemple, des mm et des m) sans conversion.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour une charge uniformément répartie sur une poutre simple, les réactions sont égales.
Chaque réaction vaut la moitié de la charge totale : \(R = qL/2\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les ponts à plusieurs travées (poutres continues sur plusieurs appuis), le calcul des réactions n'est plus aussi simple. La rigidité de la poutre et la position des charges sur les travées voisines influencent les réactions à chaque appui. Ce sont des systèmes hyperstatiques.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les réactions aux appuis sont \(R_A = 60 \, \text{kN}\) et \(R_B = 60 \, \text{kN}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée L était de 10 m, quelle serait la valeur de chaque réaction ?

Question 2 : Calculer le moment quadratique (I)

Principe (le concept physique)

Le moment quadratique (ou moment d'inertie de section) est une propriété purement géométrique qui mesure la capacité d'une section à résister à la flexion. Plus sa valeur est élevée, plus la section est efficace pour résister à la déformation. Il ne dépend que de la forme et des dimensions de la section transversale de la poutre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), la formule \(I = bh^3/12\) montre que la hauteur a une influence prépondérante sur la rigidité en flexion (elle est à la puissance 3). C'est pourquoi les poutres sont généralement placées "sur leur chant" (hauteur plus grande que la largeur) pour être plus efficaces.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Une erreur très fréquente est l'incohérence des unités. L'énoncé donne les dimensions en centimètres, mais les calculs de RdM se font quasiment toujours dans un système cohérent comme (N, mm, MPa) ou (kN, m, GPa). Convertir toutes les longueurs en mètres dès le début est une bonne pratique pour éviter les erreurs.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de calcul (comme l'Eurocode) fournissent des catalogues de profilés métalliques standards (IPE, HEA...) avec leurs caractéristiques géométriques, y compris le moment quadratique, déjà calculées pour faciliter le travail de l'ingénieur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une section rectangulaire :

I = \frac{b \cdot h^3}{12}

Hypothèses (le cadre du calcul)

La section de la poutre est considérée comme un rectangle plein et homogène.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Largeur de la section \(b = 25 \, \text{cm} = 0.25 \, \text{m}\)
Hauteur de la section \(h = 50 \, \text{cm} = 0.50 \, \text{m}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour éviter de manipuler des nombres très petits avec des mètres (\(m^4\)), on peut tout calculer en millimètres. \(b = 250 \, \text{mm}\), \(h = 500 \, \text{mm}\). Le résultat sera en \(\text{mm}^4\), une unité très courante. Il faudra juste être cohérent pour la suite des calculs.

Schéma (Avant les calculs)

Section rectangulaire de la poutre

Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec les dimensions converties en mètres.

\begin{aligned} I &= \frac{b \cdot h^3}{12} \\ &= \frac{(0.25 \, \text{m}) \cdot (0.50 \, \text{m})^3}{12} \\ &= \frac{0.25 \cdot 0.125}{12} \, \text{m}^4 \\ &= \frac{0.03125}{12} \, \text{m}^4 \\ &\approx 0.002604 \, \text{m}^4 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Section avec moment quadratique calculé

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur représente la rigidité géométrique de la section. Elle sera combinée avec la rigidité du matériau (E) pour former la rigidité de flexion de la poutre (EI), qui est le dénominateur de la formule de la flèche. Une plus grande valeur de I signifie une plus grande résistance à la déformation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus critique est d'oublier de mettre les dimensions au cube (\(h^3\)) ou de mal convertir les unités. Si vous aviez utilisé des cm, le résultat serait en \(\text{cm}^4\), et il faudrait le convertir en \(\text{m}^4\) en divisant par \(100^4\), soit 100 millions.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le moment quadratique \(I\) est une propriété géométrique.
Pour une section rectangulaire, \(I = bh^3/12\).
La cohérence des unités est primordiale (utiliser le mètre pour les calculs de flèche).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour optimiser le rapport rigidité/poids, les ingénieurs ont développé des profilés en I (ou H). En concentrant la matière dans les semelles (les parties horizontales), loin de l'axe neutre, on augmente considérablement le moment quadratique pour une même quantité d'acier, rendant la poutre beaucoup plus efficace.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le moment quadratique de la section est \(I \approx 0.002604 \, \text{m}^4\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la hauteur h était de 60 cm (0.6 m), quelle serait la nouvelle valeur de I (en \(10^{-3} \, \text{m}^4\)) ?

Question 3 : Calculer la flèche maximale \(f_{\text{max}}\)

Principe (le concept physique)

La flèche est la conséquence directe de la charge appliquée sur une poutre d'une certaine portée et d'une certaine rigidité. La formule de la flèche relie toutes ces grandeurs : la charge (\(q\)) et la portée (\(L\)) tendent à augmenter la flèche, tandis que la rigidité du matériau (\(E\)) et de la forme (\(I\)) tendent à la diminuer.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule \(f_{\text{max}} = 5qL^4 / (384EI)\) est spécifique à ce cas de charge. Le facteur 5/384 est un coefficient qui découle de la double intégration mathématique de la fonction du moment fléchissant \(M(x) = qLx/2 - qx^2/2\). Chaque cas de charge (ponctuelle, triangulaire...) aura un coefficient numérique différent.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Notez la puissance 4 de la portée \(L\) dans la formule. Cela signifie que si vous doublez la longueur d'une poutre, sa flèche sera multipliée par \(2^4 = 16\). La portée est de loin le paramètre le plus influent sur la déformation. C'est pourquoi les grandes portées nécessitent des poutres très hautes et très rigides.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de la flèche est une vérification obligatoire aux "États Limites de Service" (ELS) dans les normes de construction. Ces normes imposent des limites à la flèche pour garantir le confort des usagers, l'intégrité des éléments non structuraux (cloisons, fenêtres) et l'aspect esthétique de l'ouvrage.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Flèche maximale pour une poutre sur appuis simples avec charge uniformément répartie :

f_{\text{max}} = \frac{5 \cdot q \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre se déforme dans le domaine élastique linéaire (la loi de Hooke s'applique). On suppose également que les déformations sont faibles par rapport aux dimensions de la poutre.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Charge \(q = 15 \, \text{kN/m} = 15000 \, \text{N/m}\)
Portée \(L = 8 \, \text{m}\)
Module de Young \(E = 30 \, \text{GPa} = 30 \times 10^9 \, \text{N/m}^2\)
Moment quadratique \(I \approx 0.002604 \, \text{m}^4\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Avant le calcul, vérifiez que toutes vos unités sont dans le Système International (N, m, Pa). GPa = \(10^9\) Pa, kN = \(10^3\) N. La cohérence est la clé pour éviter des erreurs d'un facteur mille ou un million.

Schéma (Avant les calculs)

Illustration de la déformée et de la flèche

Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec les valeurs en unités SI.

\begin{aligned} f_{\text{max}} &= \frac{5 \cdot (15000 \, \text{N/m}) \cdot (8 \, \text{m})^4}{384 \cdot (30 \times 10^9 \, \text{N/m}^2) \cdot (0.002604 \, \text{m}^4)} \\ &= \frac{75000 \cdot 4096}{384 \cdot (7.812 \times 10^7)} \\ &= \frac{3.072 \times 10^8}{2.999 \times 10^{10}} \, \text{m} \\ &\approx 0.01024 \, \text{m} \end{aligned}

Conversion en millimètres pour une meilleure représentation :

\begin{aligned} f_{\text{max}} &= 0.01024 \, \text{m} \times 1000 \, \text{mm/m} \\ &= 10.24 \, \text{mm} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Valeur de la flèche maximale calculée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La poutre fléchit d'environ 1 cm en son centre. Cette valeur, prise seule, ne signifie pas grand-chose. Elle doit être comparée à une limite acceptable pour juger si la déformation est excessive ou non. C'est l'objet de la question suivante.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La plus grande source d'erreur est la gestion des unités et des puissances. Une erreur dans la conversion des GPa en Pa ou des cm en m, combinée à la puissance 4 de la portée, peut entraîner des résultats erronés de plusieurs ordres de grandeur. Soyez méticuleux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La flèche dépend de la charge et de la portée à la puissance 4.
Elle est inversement proportionnelle à la rigidité de la poutre (EI).
La formule \(5qL^4 / (384EI)\) est un résultat fondamental pour les charges réparties.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour réduire la flèche des planchers de grande portée, les ingénieurs utilisent parfois des poutres en "précontrainte". Des câbles d'acier à haute résistance sont tendus à l'intérieur du béton. En se relâchant, ces câbles compriment le béton et créent une "contre-flèche" vers le haut, qui vient compenser la flèche due aux charges de service.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La flèche maximale à mi-travée est \(f_{\text{max}} \approx 10.24 \, \text{mm}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on utilisait de l'acier (\(E \approx 210\) GPa) au lieu du béton, quelle serait la nouvelle flèche (en mm) ?

Question 4 : Comparer à la flèche admissible

Principe (le concept physique)

Cette étape est la vérification à l'État Limite de Service (ELS). On compare une performance calculée de la structure (la flèche) à une exigence réglementaire ou fonctionnelle (la flèche admissible). L'objectif est de s'assurer que la structure est non seulement sûre, mais aussi confortable et apte à sa fonction.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les limites de flèche sont généralement exprimées comme une fraction de la portée (L/250, L/300, L/500...). Le choix de la limite dépend de la nature de l'élément. Une limite plus stricte (ex: L/500) sera utilisée pour un plancher supportant des cloisons fragiles, tandis qu'une limite plus souple (ex: L/150) pourrait être acceptable pour une toiture non accessible.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est ici que le calcul de l'ingénieur prend tout son sens. Il ne s'agit plus seulement d'appliquer une formule, mais de porter un jugement sur la base d'un critère. La conclusion "OK" ou "NON OK" est la finalité de l'étude de déformation.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 0 (Base de calcul des structures) et l'Eurocode 2 (Béton) définissent les critères de vérification des flèches pour les bâtiments. La limite de L/250 est une valeur courante pour la flèche totale après construction pour les planchers et toitures en général.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On calcule la limite et on la compare au résultat :

f_{\text{adm}} = \frac{L}{250}

\text{Condition à vérifier :} \quad f_{\text{max}} \le f_{\text{adm}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la limite L/250 est le critère pertinent pour la fonction de cette poutre.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Flèche calculée \(f_{\text{max}} = 10.24 \, \text{mm}\)
Portée \(L = 8 \, \text{m} = 8000 \, \text{mm}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour comparer, assurez-vous que les deux valeurs sont dans la même unité. Convertir la portée L en millimètres pour calculer la flèche admissible en millimètres est le plus simple.

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison de la flèche calculée et de la limite

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la flèche admissible :

\begin{aligned} f_{\text{adm}} &= \frac{L}{250} \\ &= \frac{8000 \, \text{mm}}{250} \\ &= 32 \, \text{mm} \end{aligned}

2. Comparaison :

10.24 \, \text{mm} \le 32 \, \text{mm}

Schéma (Après les calculs)

Vérification de la condition

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La flèche calculée (10.24 mm) est nettement inférieure à la flèche maximale autorisée (32 mm). La poutre est donc considérée comme suffisamment rigide pour son usage. Elle satisfait au critère de déformation de l'État Limite de Service.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais conclure sans comparer. Un calcul de flèche seul n'a pas de sens. Il doit toujours être mis en regard d'un critère admissible. Assurez-vous également d'utiliser la bonne limite (L/250 n'est pas universel).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La vérification de la flèche est une étape clé du dimensionnement.
On compare la flèche calculée \(f_{\text{max}}\) à une flèche admissible \(f_{\text{adm}}\).
La condition à respecter est \(f_{\text{max}} \le f_{\text{adm}}\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les calculs de flèche pour le béton armé, on doit aussi tenir compte du "fluage", qui est une déformation lente du béton sous charge constante au fil du temps. La flèche à long terme d'une poutre en béton peut être 2 à 3 fois plus grande que sa flèche instantanée.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La flèche calculée de 10.24 mm est inférieure à la flèche admissible de 32 mm. La poutre est conforme vis-à-vis du critère de déformation.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la limite était plus stricte (L/400), la poutre serait-elle toujours conforme ?

Outil Interactif : Paramètres de la Flèche

Modifiez les paramètres de la poutre pour voir leur influence sur la flèche.

Paramètres d'Entrée

Charge q (kN/m) 15 kN/m

Portée L (m) 8.0 m

Hauteur h (cm) 50 cm

Résultats Clés

Flèche Maximale (mm) -

Flèche Admissible (L/250) (mm) -

Statut -

Le Saviez-Vous ?

Le pont du Millau, un des plus hauts du monde, est un excellent exemple de gestion des déformations. Bien qu'il soit extrêmement résistant, son tablier métallique peut avoir une flèche de plusieurs mètres sous l'effet combiné du vent et des variations de température. Ces déformations ont été précisément calculées et anticipées lors de la conception pour garantir la sécurité et la durabilité de l'ouvrage.

Foire Aux Questions (FAQ)

Est-ce que la flèche est toujours maximale au milieu de la poutre ?

Non. Elle est maximale au milieu uniquement si la géométrie et le chargement sont symétriques. Pour une charge ponctuelle décentrée, par exemple, la flèche maximale sera décalée vers la charge, et sa position exacte nécessite un calcul plus complexe.

Comment sont dérivées ces formules de flèche ?

Elles proviennent de l'intégration de l'équation différentielle de la déformée : \(EI \cdot y''(x) = M(x)\). Une première intégration donne la pente (la rotation de la section), et une seconde intégration donne la flèche \(y(x)\). Les constantes d'intégration sont déterminées grâce aux conditions aux limites (par exemple, flèche nulle aux appuis).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la portée L d'une poutre sous charge répartie, sa flèche maximale est multipliée par :

2. Pour réduire de moitié la flèche d'une poutre rectangulaire, la solution la plus efficace est de :

Augmenter sa hauteur (h)
Augmenter sa largeur (b)
Utiliser un béton deux fois plus résistant

Flèche: Déplacement vertical (déformation) d'un point sur une poutre ou une dalle sous l'effet des charges. La flèche maximale est généralement vérifiée à mi-travée pour les cas symétriques.
État Limite de Service (ELS): État au-delà duquel les critères d'aptitude au service d'une structure ne sont plus respectés. Cela inclut les déformations excessives, les vibrations, ou la fissuration.
Charge Répartie (q): Charge qui s'applique sur une longueur ou une surface, par opposition à une charge ponctuelle. Exemples : poids propre, poids de la neige, pression du vent. Unité : N/m ou Pa.