Études de cas pratique

EGC

Calcul de la Densité Humide et Sèche du sol

Calcul de la Densité Humide et Sèche du Sol

Calcul de la Densité Humide et Sèche du Sol

Comprendre la Densité Humide et Sèche du Sol

En géotechnique, la densité (ou masse volumique) d'un sol est une propriété physique essentielle. Elle exprime la masse de sol par unité de volume. On distingue principalement la densité humide (\(\rho_h\)), qui inclut la masse des solides et de l'eau, et la densité sèche (\(\rho_d\)), qui ne considère que la masse des particules solides rapportée au volume total. Ces paramètres sont cruciaux pour de nombreuses analyses, notamment le calcul des contraintes, l'évaluation du compactage, et la détermination d'autres indices caractéristiques du sol. Cet exercice se concentre sur le calcul de \(\rho_h\) et \(\rho_d\) à partir de mesures de laboratoire sur un échantillon de sol.

Données de l'étude

Un échantillon de sol intact est prélevé sur site à l'aide d'un carottier cylindrique.

Mesures effectuées en laboratoire :

  • Diamètre intérieur du carottier (diamètre de l'échantillon, \(D\)) : \(75.0 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de l'échantillon dans le carottier (\(H\)) : \(100.0 \, \text{mm}\)
  • Masse de l'échantillon de sol humide (\(M_h\)) (après avoir retiré le carottier) : \(785.0 \, \text{g}\)
  • Masse de l'échantillon de sol après séchage complet à l'étuve (\(M_s\)) : \(670.0 \, \text{g}\)
Schéma : Échantillon de Sol Cylindrique
H D Échantillon de Sol

Schéma d'un échantillon de sol cylindrique.

Questions à traiter

  1. Calculer le volume total (\(V_t\)) de l'échantillon de sol en cm³ puis en m³.
  2. Calculer la densité humide (\(\rho_h\)) du sol en g/cm³ et en kg/m³.
  3. Calculer la teneur en eau (\(w\)) de l'échantillon de sol.
  4. Calculer la densité sèche (\(\rho_d\)) du sol en g/cm³ et en kg/m³, en utilisant la masse sèche \(M_s\).
  5. Vérifier le calcul de la densité sèche (\(\rho_d\)) en utilisant la densité humide (\(\rho_h\)) et la teneur en eau (\(w\)).

Correction : Calcul de la Densité Humide et Sèche du Sol

Question 1 : Volume Total (\(V_t\)) de l'Échantillon

Principe :

Le volume total de l'échantillon de sol est celui du cylindre formé par le carottier. L'aire de la base circulaire est \(A = \frac{\pi D^2}{4}\). Le volume est \(V_t = A \cdot H\). Les dimensions sont données en mm, il faudra donc être attentif aux conversions pour obtenir des cm³ puis des m³.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V_t = \frac{\pi D^2}{4} H \]
Données spécifiques :
  • Diamètre (\(D\)) : \(75.0 \, \text{mm} = 7.5 \, \text{cm}\)
  • Hauteur (\(H\)) : \(100.0 \, \text{mm} = 10.0 \, \text{cm}\)
Calcul en cm³ :
\[ \begin{aligned} V_t &= \frac{\pi (7.5 \, \text{cm})^2}{4} \cdot (10.0 \, \text{cm}) \\ &= \frac{\pi \cdot 56.25 \, \text{cm}^2}{4} \cdot 10.0 \, \text{cm} \\ &\approx \frac{176.71458676442586}{4} \cdot 10.0 \, \text{cm}^3 \\ &\approx 44.178646691106465 \cdot 10.0 \, \text{cm}^3 \\ &\approx 441.786 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]

Conversion en m³ (\(1 \, \text{m}^3 = 10^6 \, \text{cm}^3\)) :

\[ V_t \approx 441.786 \, \text{cm}^3 \cdot \frac{1 \, \text{m}^3}{1000000 \, \text{cm}^3} \approx 4.41786 \times 10^{-4} \, \text{m}^3 \]

Nous utiliserons \(V_t \approx 441.79 \, \text{cm}^3\) et \(V_t \approx 4.418 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\).

Résultat Question 1 : Le volume total de l'échantillon est \(V_t \approx 441.79 \, \text{cm}^3\) ou \(4.418 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\).

Question 2 : Calcul de la Densité Humide (\(\rho_h\))

Principe :

La densité humide (\(\rho_h\)) est la masse totale du sol humide (\(M_h\)) divisée par son volume total (\(V_t\)). La masse du sol humide est directement donnée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \rho_h = \frac{M_h}{V_t} \]
Données spécifiques :
  • Masse du sol humide (\(M_h\)) : \(785.0 \, \text{g}\)
  • Volume total (\(V_t\)) : \(441.79 \, \text{cm}^3\)
Calcul en g/cm³ :
\[ \begin{aligned} \rho_h &= \frac{785.0 \, \text{g}}{441.79 \, \text{cm}^3} \\ &\approx 1.7769 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned} \]

Conversion en kg/m³ : \(M_h = 785.0 \, \text{g} = 0.785 \, \text{kg}\) et \(V_t \approx 4.418 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\).

\[ \begin{aligned} \rho_h &= \frac{0.785 \, \text{kg}}{4.418 \times 10^{-4} \, \text{m}^3} \\ &\approx 1776.82 \, \text{kg/m}^3 \end{aligned} \]

Vérification : \(1.7769 \, \text{g/cm}^3 \times 1000 = 1776.9 \, \text{kg/m}^3\). Les résultats sont cohérents.

Résultat Question 2 : La densité humide du sol est \(\rho_h \approx 1.78 \, \text{g/cm}^3\) ou \(\approx 1777 \, \text{kg/m}^3\).

Question 3 : Calcul de la Teneur en Eau (\(w\))

Principe :

La teneur en eau (\(w\)) est le rapport de la masse de l'eau (\(M_w\)) contenue dans l'échantillon à la masse des particules solides (\(M_s\)). Elle est généralement exprimée en pourcentage. La masse de l'eau est la différence entre la masse du sol humide et la masse du sol sec.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ M_w = M_h - M_s \] \[ w = \frac{M_w}{M_s} \times 100\% \]
Données spécifiques :
  • Masse du sol humide (\(M_h\)) : \(785.0 \, \text{g}\)
  • Masse du sol sec (\(M_s\)) : \(670.0 \, \text{g}\)
Calcul :

Masse de l'eau :

\[ M_w = 785.0 \, \text{g} - 670.0 \, \text{g} = 115.0 \, \text{g} \]

Teneur en eau :

\[ \begin{aligned} w &= \frac{115.0 \, \text{g}}{670.0 \, \text{g}} \times 100\% \\ &\approx 0.17164 \times 100\% \\ &\approx 17.16\% \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La teneur en eau du sol est \(w \approx 17.16\%\).

Question 4 : Calcul de la Densité Sèche (\(\rho_d\)) à partir de \(M_s\)

Principe :

La densité sèche (\(\rho_d\)) est la masse des particules solides du sol (\(M_s\)) divisée par le volume total initial de l'échantillon (\(V_t\)). Elle représente la masse des grains solides contenus dans un volume unitaire de sol (incluant les vides).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \rho_d = \frac{M_s}{V_t} \]
Données spécifiques :
  • Masse du sol sec (\(M_s\)) : \(670.0 \, \text{g}\) ou \(0.670 \, \text{kg}\)
  • Volume total (\(V_t\)) : \(441.79 \, \text{cm}^3\) ou \(4.418 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\)
Calcul en g/cm³ :
\[ \begin{aligned} \rho_d &= \frac{670.0 \, \text{g}}{441.79 \, \text{cm}^3} \\ &\approx 1.51656 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned} \]
Calcul en kg/m³ :
\[ \begin{aligned} \rho_d &= \frac{0.670 \, \text{kg}}{4.418 \times 10^{-4} \, \text{m}^3} \\ &\approx 1516.52 \, \text{kg/m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La densité sèche du sol est \(\rho_d \approx 1.52 \, \text{g/cm}^3\) ou \(\approx 1517 \, \text{kg/m}^3\).

Question 5 : Vérification de \(\rho_d\) avec \(\rho_h\) et \(w\)

Principe :

La densité sèche (\(\rho_d\)) peut aussi être calculée à partir de la densité humide (\(\rho_h\)) et de la teneur en eau (\(w\), exprimée en décimal) en utilisant la relation : \(\rho_d = \frac{\rho_h}{1+w}\). Ceci permet de vérifier la cohérence des calculs précédents.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \rho_d = \frac{\rho_h}{1+w} \]
Données spécifiques :
  • Densité humide (\(\rho_h\)) : \(\approx 1.7769 \, \text{g/cm}^3\) (ou \(1776.82 \, \text{kg/m}^3\))
  • Teneur en eau (\(w\)) : \(\approx 17.16\% = 0.1716\)
Calcul en g/cm³ :
\[ \begin{aligned} \rho_d &= \frac{1.7769 \, \text{g/cm}^3}{1+0.1716} \\ &= \frac{1.7769}{1.1716} \, \text{g/cm}^3 \\ &\approx 1.5166 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned} \]

Ce résultat est très proche de celui obtenu à la Question 4 (\(1.51656 \, \text{g/cm}^3\)). Les petites différences sont dues aux arrondis.

Résultat Question 5 : La vérification confirme que \(\rho_d \approx 1.52 \, \text{g/cm}^3\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si un sol est compacté, sa densité sèche :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La densité humide d'un sol est :

2. La densité sèche \(\rho_d\) est reliée à la densité humide \(\rho_h\) et à la teneur en eau \(w\) (en décimal) par la formule :

Glossaire

Masse Volumique Humide (\(\rho_h\))
Rapport de la masse totale d'un échantillon de sol (solides + eau + air) à son volume total. Unités : g/cm³, kg/m³.
Masse Volumique Sèche (\(\rho_d\))
Rapport de la masse des particules solides du sol au volume total de l'échantillon. Unités : g/cm³, kg/m³.
Poids Volumique Humide (\(\gamma_h\))
Poids total d'un échantillon de sol par unité de volume total. \(\gamma_h = \rho_h \cdot g\). Unités : N/m³, kN/m³.
Poids Volumique Sec (\(\gamma_d\))
Poids des particules solides du sol par unité de volume total. \(\gamma_d = \rho_d \cdot g\). Unités : N/m³, kN/m³.
Teneur en Eau (\(w\))
Rapport de la masse de l'eau à la masse des particules solides dans un échantillon de sol, exprimé en pourcentage.
Carottier
Outil cylindrique utilisé pour prélever des échantillons de sol de volume connu, permettant de déterminer leur masse volumique in situ.
Calcul de la Densité Humide et Sèche du Sol - Exercice d'Application

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