Calcul de la Densité Humide et Sèche du sol

Calcul de la Densité Humide et Sèche du Sol en Géotechnique

Calcul de la Densité Humide et Sèche du Sol

Contexte : Le sol, fondation de tout projet de Génie Civil.

En géotechnique, la connaissance des propriétés physiques du sol est fondamentale. La densitéRapport de la masse d'un corps à son volume. En géotechnique, on distingue la densité humide (sol + eau) de la densité sèche (sol seul). et la teneur en eauRapport de la masse de l'eau contenue dans le sol à la masse des grains solides. Exprimée en pourcentage. sont parmi les paramètres les plus importants. Ils influencent directement la portance du sol, son comportement au tassement et sa stabilité. La détermination précise de la densité sèche est cruciale, par exemple, pour contrôler la qualité du compactage des remblais routiers ou des fondations. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul de ces paramètres à partir de mesures de laboratoire.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une procédure de base en laboratoire de géotechnique. À partir de mesures simples (pesées et mesure de volume), nous allons déduire des caractéristiques essentielles du sol. Comprendre la relation entre masse, volume, eau et grains solides est la première étape pour pouvoir ensuite aborder des notions plus complexes comme la contrainte effective, la consolidation ou la résistance au cisaillement.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la masse d'eau et la masse de sol sec à partir de pesées.
Déterminer la teneur en eau (w) d'un échantillon de sol.
Calculer la densité humide (ou apparente) \(\rho_{\text{h}}\) du sol.
Appliquer la formule de la densité sèche \(\rho_{\text{d}}\) pour caractériser l'état de compacité.
Se familiariser avec les unités courantes en géotechnique (g, cm³, t/m³, %).

Données de l'étude

Un échantillon de sol intact est prélevé sur le terrain à l'aide d'un carottier cylindrique. L'échantillon est ensuite ramené au laboratoire pour déterminer ses caractéristiques. Les mesures suivantes sont réalisées :

Schéma de l'essai en laboratoire

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse de l'échantillon humide	\(M_{\text{h}}\)	395.8	\(\text{g}\)
Masse de l'échantillon sec (après étuvage)	\(M_{\text{s}}\)	342.1	\(\text{g}\)
Volume total de l'échantillon	\(V\)	200	\(\text{cm}^3\)

Questions à traiter

Calculer la masse d'eau \(M_{\text{w}}\) contenue dans l'échantillon.
Déterminer la teneur en eau \(w\) de l'échantillon en pourcentage (%).
Calculer la densité humide (ou masse volumique humide) \(\rho_{\text{h}}\) du sol en g/cm³ puis en t/m³.
Calculer la densité sèche (ou masse volumique sèche) \(\rho_{\text{d}}\) du sol en g/cm³ puis en t/m³.

Les bases de la Mécanique des Sols

Avant de commencer la correction, revoyons les définitions fondamentales.

1. Le Sol : un milieu triphasique :
Le sol est un assemblage de grains solides, d'eau et d'air. Les calculs de densité visent à quantifier les proportions de ces trois phases. La masse totale est la somme de la masse des grains solides (\(M_{\text{s}}\)) et de la masse de l'eau (\(M_{\text{w}}\)). La masse de l'air est considérée comme nulle.

2. La Teneur en Eau (\(w\)) :
C'est le paramètre le plus important pour décrire l'état hydrique d'un sol. Elle représente la quantité d'eau par rapport à la quantité de matière solide. Elle est définie par : \[ w (\%) = \frac{M_{\text{w}}}{M_{\text{s}}} \times 100 \]

3. Densité Humide (\(\rho_{\text{h}}\)) et Sèche (\(\rho_{\text{d}}\)) :
La densité humide est la masse totale de l'échantillon (solides + eau) divisée par son volume total (solides + eau + air). La densité sèche ne considère que la masse des grains solides, mais rapportée au même volume total. Elle est un excellent indicateur du degré de tassement ou de compacité du sol. \[ \rho_{\text{h}} = \frac{M_{\text{h}}}{V} \quad ; \quad \rho_{\text{d}} = \frac{M_{\text{s}}}{V} \] La relation fondamentale qui les lie est : \[ \rho_{\text{d}} = \frac{\rho_{\text{h}}}{1 + w} \quad (\text{avec } w \text{ en décimal}) \]

Correction : Calcul de la Densité Humide et Sèche du Sol

Question 1 : Calculer la masse d'eau (\(M_{\text{w}}\))

Principe (le concept physique)

La masse totale d'un échantillon de sol humide (\(M_{\text{h}}\)) est la somme de la masse des particules solides (\(M_{\text{s}}\)) et de la masse de l'eau (\(M_{\text{w}}\)) qui remplit une partie des vides. L'opération d'étuvage à 105°C permet d'évaporer toute l'eau libre sans altérer les grains. La différence de masse avant et après étuvage correspond donc exactement à la masse d'eau qui s'est évaporée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce principe repose sur la conservation de la masse des solides. L'étuvage est une méthode de dessiccation qui ne fait que changer l'état de l'eau (liquide à vapeur) et la retirer de l'échantillon. La masse des grains minéraux reste constante, ce qui en fait une base de référence fiable pour les calculs.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez une éponge mouillée. Sa masse totale est celle de l'éponge sèche plus celle de l'eau qu'elle contient. Si vous la pesez, puis la laissez sécher complètement et la repesez, la différence de poids est exactement le poids de l'eau qui s'est évaporée. C'est la même logique simple que nous appliquons ici.

Normes (la référence réglementaire)

La procédure est normalisée (par ex. NF P94-050) pour garantir que l'on évapore bien toute l'eau "libre" et "adsorbée" sans commencer à dégrader la matière organique ou certains minéraux argileux, ce qui pourrait fausser la mesure de la masse sèche.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La masse d'eau est la différence entre la masse humide totale et la masse sèche.

M_{\text{w}} = M_{\text{h}} - M_{\text{s}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que seule l'eau s'évapore durant l'étuvage et que la masse des grains solides reste inchangée. On néglige la masse de l'air.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Masse humide, \(M_{\text{h}} = 395.8 \, \text{g}\)
Masse sèche, \(M_{\text{s}} = 342.1 \, \text{g}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

C'est un calcul direct. Assurez-vous simplement que les deux masses sont dans la même unité (ici, les grammes) avant de les soustraire.

Schéma (Avant les calculs)

Bilan des Masses

Calcul(s) (l'application numérique)

On applique directement la formule.

\begin{aligned} M_{\text{w}} &= M_{\text{h}} - M_{\text{s}} \\ &= 395.8 \, \text{g} - 342.1 \, \text{g} \\ &= 53.7 \, \text{g} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Bilan des Masses (Résultat)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette masse d'eau de 53.7 g est une valeur intermédiaire. Elle n'a de sens que si on la rapporte à la masse de solide ou au volume, ce que nous ferons dans les questions suivantes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Vérifiez toujours que votre balance de laboratoire est correctement tarée et précise. Une petite erreur de pesée peut avoir un impact significatif sur les paramètres calculés, en particulier la teneur en eau.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La masse d'un sol est composée de la masse des solides et de la masse de l'eau.
L'étuvage permet de séparer ces deux composantes.
\(M_{\text{w}} = M_{\text{h}} - M_{\text{s}}\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour des sols contenant du gypse, une température d'étuvage de 105°C peut chasser "l'eau de constitution" des cristaux, faussant la mesure. Pour ces sols spécifiques, les normes préconisent des températures plus basses (autour de 60°C) sur une durée plus longue.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La masse d'eau contenue dans l'échantillon est de 53.7 g.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la masse humide était de 410 g et la masse sèche de 350 g, quelle serait la masse d'eau en g ?

Question 2 : Déterminer la teneur en eau (\(w\))

Principe (le concept physique)

La teneur en eau n'est pas le rapport de la masse d'eau à la masse totale, mais bien à la masse des grains solides. C'est une convention essentielle en géotechnique. Elle exprime la proportion d'eau par rapport à la "matière" immuable du sol. Une teneur en eau de 15% signifie que pour 100g de sol sec, il y a 15g d'eau.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La teneur en eau est un paramètre sans dimension (masse/masse), mais on l'exprime presque toujours en pourcentage. Elle est fondamentale car elle gouverne la plupart des propriétés mécaniques des sols fins : leur consistance (liquide, plastique, solide), leur compressibilité et leur résistance au cisaillement sont directement liées à la valeur de \(w\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Rappelez-vous que le dénominateur est la masse sèche. C'est la seule quantité qui ne change pas, que le sol soit sec, humide ou saturé. C'est donc la référence la plus stable pour définir les propriétés du sol.

Normes (la référence réglementaire)

La détermination de la teneur en eau par étuvage est une procédure standardisée, décrite par des normes comme la norme française NF P94-050 ou la norme américaine ASTM D2216. Ces normes précisent la température et la durée de l'étuvage pour garantir des résultats fiables et reproductibles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La teneur en eau \(w\) est le rapport de la masse d'eau à la masse sèche, exprimé en pourcentage.

w (\%) = \frac{M_{\text{w}}}{M_{\text{s}}} \times 100

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les masses \(M_{\text{w}}\) et \(M_{\text{s}}\) sont supposées avoir été déterminées précisément, sans perte de matière solide lors des manipulations.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Masse d'eau, \(M_{\text{w}} = 53.7 \, \text{g}\) (du calcul Q1)
Masse sèche, \(M_{\text{s}} = 342.1 \, \text{g}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour avoir un ordre de grandeur, un sable humide aura une teneur en eau de quelques %, un limon de 15-25%, et une argile plastique de 30-50% ou plus. Si vous trouvez 80% pour un sable, il y a probablement une erreur.

Schéma (Avant les calculs)

Rapport des Masses

Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec les masses calculées et mesurées.

\begin{aligned} w &= \frac{53.7 \, \text{g}}{342.1 \, \text{g}} \times 100 \\ &\approx 15.7 \, \% \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Proportion d'Eau

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une teneur en eau de 15.7% est typique pour un sol limoneux ou argileux dans un état moyennement humide. Cette valeur sera cruciale pour interpréter les autres paramètres de densité et pour classer le sol.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de diviser la masse d'eau par la masse humide (\(M_{\text{h}}\)) au lieu de la masse sèche (\(M_{\text{s}}\)). Le dénominateur doit toujours être la masse de la phase solide, qui est la référence stable de l'échantillon.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La teneur en eau est un rapport de la masse d'eau sur la masse SÈCHE.
Elle est un indicateur clé de l'état hydrique et du comportement mécanique du sol.
Elle est exprimée en pourcentage (%).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les limites d'Atterberg (limite de liquidité, limite de plasticité) sont des teneurs en eau particulières qui marquent les changements d'état de consistance des sols fins. Leur détermination est un essai de classification de sol fondamental.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La teneur en eau de l'échantillon de sol est d'environ 15.7 %.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la masse sèche avait été de 320 g (pour la même masse humide de 395.8 g), quelle aurait été la nouvelle teneur en eau en % ?

Question 3 : Calculer la densité humide (\(\rho_{\text{h}}\))

Principe (le concept physique)

La densité humide, aussi appelée masse volumique apparente, représente la masse de l'échantillon de sol "en place", dans son état naturel (avec l'eau qu'il contient), pour un certain volume. C'est la densité la plus simple à mesurer : on pèse un volume connu de sol.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette densité prend en compte toutes les phases du sol (solides, eau, air) dans son calcul. Elle est directement liée au poids total du sol et est utilisée dans les calculs de stabilité pour déterminer les forces motrices (poids des terres) dans un talus, par exemple.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un seau que vous remplissez de terre de votre jardin. Si vous pesez le seau plein (après avoir soustrait le poids du seau vide) et que vous divisez par le volume du seau, vous obtenez la densité humide de votre terre. C'est une mesure très concrète.

Normes (la référence réglementaire)

La mesure du volume peut se faire de plusieurs manières normalisées : soit par les dimensions d'un carottier (comme ici), soit par immersion dans l'eau (pour les échantillons cohérents) ou à l'aide d'un densitomètre à membrane sur le terrain.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La densité humide est la masse humide totale divisée par le volume total de l'échantillon.

\rho_{\text{h}} = \frac{M_{\text{h}}}{V}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le volume de l'échantillon est supposé avoir été mesuré précisément et correspondre au volume total (incluant les vides).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Masse humide, \(M_{\text{h}} = 395.8 \, \text{g}\)
Volume total, \(V = 200 \, \text{cm}^3\)

Astuces(Pour aller plus vite)

L'unité g/cm³ est très pratique car elle est numériquement équivalente à t/m³ (tonne par mètre cube), une unité très utilisée sur les chantiers. 1 g/cm³ = 1 t/m³. La conversion est donc immédiate !

Schéma (Avant les calculs)

Rapport Masse / Volume

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul en g/cm³ :

\begin{aligned} \rho_{\text{h}} &= \frac{395.8 \, \text{g}}{200 \, \text{cm}^3} \\ &\approx 1.98 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned}

2. Conversion en t/m³ :

1.98 \, \text{g/cm}^3 = 1.98 \, \text{t/m}^3

Schéma (Après les calculs)

Densité Humide

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une densité humide de 1.98 t/m³ est une valeur courante pour un sol. Elle indique que chaque mètre cube de ce sol en place pèse près de 2 tonnes. C'est cette valeur qui sera utilisée pour calculer le poids des terres dans un projet.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à la précision de la mesure du volume. Pour un carottier, c'est simple, mais pour un échantillon de forme irrégulière, la méthode d'immersion doit être réalisée avec soin pour éviter les bulles d'air et bien saturer l'échantillon.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La densité humide est la masse totale (solide + eau) par volume total.
Elle représente la densité du sol "en place".
L'unité g/cm³ est équivalente à t/m³.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Sur les chantiers, on utilise souvent un gammadensimètre, un appareil contenant une source radioactive, pour mesurer la densité humide en place rapidement et sans prélèvement. L'appareil mesure la dispersion des rayons gamma, qui est fonction de la densité du matériau traversé.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La densité humide du sol est d'environ 1.98 g/cm³, soit 1.98 t/m³.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la masse humide était de 420 g pour un volume de 210 cm³, quelle serait la densité humide en t/m³ ?

Question 4 : Calculer la densité sèche (\(\rho_{\text{d}}\))

Principe (le concept physique)

La densité sèche est l'indicateur le plus important de la compacité d'un sol. Elle représente la masse de matière solide pure contenue dans un volume unitaire de sol. Plus la densité sèche est élevée, plus les grains sont serrés les uns contre les autres et moins il y a de vides (air + eau). C'est la valeur cible que l'on cherche à atteindre lors du compactage d'un remblai.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Il existe deux façons de calculer \(\rho_{\text{d}}\). Soit directement en rapportant la masse sèche au volume total (\(\rho_{\text{d}} = M_{\text{s}} / V\)), soit en utilisant la densité humide et la teneur en eau. La deuxième méthode est très utile car elle montre explicitement que pour une même densité humide, un sol avec plus d'eau (w plus grand) sera en réalité moins dense en termes de squelette solide.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous retirez "magiquement" toute l'eau d'un seau de terre sans changer son volume. La masse restante (les grains secs) divisée par le volume du seau vous donne la densité sèche. C'est une mesure de la quantité de "matière" que vous avez réussi à faire tenir dans ce volume.

Normes (la référence réglementaire)

La densité sèche est le paramètre de contrôle principal dans les essais de compactage comme l'essai Proctor (NF P94-093). On cherche à atteindre un pourcentage élevé (souvent 95% ou 98%) de la densité sèche maximale obtenue en laboratoire pour valider la qualité d'un remblai.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On peut utiliser deux formules équivalentes :

\text{Méthode 1: } \rho_{\text{d}} = \frac{M_{\text{s}}}{V} \quad \quad \text{Méthode 2: } \rho_{\text{d}} = \frac{\rho_{\text{h}}}{1 + w}

Nous utiliserons les deux pour vérifier la cohérence de nos calculs.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Toutes les données calculées précédemment (masse sèche, volume, densité humide, teneur en eau) sont supposées correctes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Masse sèche, \(M_{\text{s}} = 342.1 \, \text{g}\)
Volume total, \(V = 200 \, \text{cm}^3\)
Densité humide, \(\rho_{\text{h}} = 1.98 \, \text{g/cm}^3\) (du calcul Q3)
Teneur en eau, \(w = 15.7\% = 0.157\) (du calcul Q2)

Astuces(Pour aller plus vite)

La densité sèche est TOUJOURS inférieure à la densité humide (sauf pour un sol parfaitement sec où elles sont égales). Si votre calcul donne \(\rho_{\text{d}} > \rho_{\text{h}}\), vous avez fait une erreur, probablement en multipliant par (1+w) au lieu de diviser.

Schéma (Avant les calculs)

De la Densité Humide à la Sèche

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Avec la Méthode 1 :

\begin{aligned} \rho_{\text{d}} &= \frac{342.1 \, \text{g}}{200 \, \text{cm}^3} \\ &\approx 1.71 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned}

2. Avec la Méthode 2 (en utilisant la teneur en eau en décimal) :

\begin{aligned} \rho_{\text{d}} &= \frac{1.98 \, \text{g/cm}^3}{1 + 0.157} \\ &= \frac{1.98}{1.157} \, \text{g/cm}^3 \\ &\approx 1.71 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned}

Les deux méthodes donnent le même résultat. La densité sèche est donc de 1.71 t/m³.

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des Densités

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une densité sèche de 1.71 t/m³ correspond à un sol moyennement compact. Sur un chantier de terrassement, on viserait souvent des densités sèches supérieures, par exemple 1.85 ou 1.90 t/m³, pour garantir une bonne portance et limiter les tassements futurs. Cette valeur, comparée à une valeur de référence (comme l'optimum Proctor), permet de juger de la qualité du compactage.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'oubliez pas de convertir la teneur en eau de pourcentage en décimal (diviser par 100) avant de l'utiliser dans la formule \(\rho_{\text{d}} = \rho_{\text{h}} / (1+w)\). Utiliser 15.7 au lieu de 0.157 est une erreur très fréquente qui donne un résultat absurdement bas.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La densité sèche est la masse des solides par volume total.
C'est le meilleur indicateur de la compacité du sol.
\(\rho_{\text{d}} = M_{\text{s}} / V\) ou \(\rho_{\text{d}} = \rho_{\text{h}} / (1+w)\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Il existe une densité sèche maximale théorique pour un sol donné, appelée "densité sèche à saturation nulle en air" (\(\rho_{\text{d,sat}}\)). C'est la densité qu'aurait le sol si tous ses vides étaient remplis d'eau, sans aucune bulle d'air. C'est une limite physique qu'on ne peut pas dépasser par compactage.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La densité sèche du sol est d'environ 1.71 g/cm³, soit 1.71 t/m³.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec une densité humide de 2.10 t/m³ et une teneur en eau de 12%, quelle serait la densité sèche en t/m³ ?

Outil Interactif : Paramètres du Sol

Modifiez les mesures de laboratoire pour voir leur influence sur les densités.

Paramètres d'Entrée

Masse Humide (g) 395.8 g

Masse Sèche (g) 342.1 g

Volume (cm³) 200 cm³

Résultats Clés

Teneur en eau (%) -

Densité Humide (t/m³) -

Densité Sèche (t/m³) -

Le Saviez-Vous ?

Karl von Terzaghi (1883-1963) est considéré comme le "père de la mécanique des sols moderne". Ingénieur autrichien puis américain, il a révolutionné l'approche empirique de la construction sur les sols en développant des théories fondamentales, notamment le principe de la contrainte effective, qui est la pierre angulaire de toute la géotechnique actuelle.

Foire Aux Questions (FAQ)

La teneur en eau peut-elle dépasser 100% ?

Oui, absolument. Comme la teneur en eau est le rapport de la masse d'eau à la masse des solides (\(M_{\text{w}}/M_{\text{s}}\)), si un sol est très organique ou très peu dense (comme une tourbe ou une vase), la masse d'eau peut être supérieure à la masse des particules solides, conduisant à une teneur en eau de plus de 100%.

Quelle est la différence entre densité et poids volumique ?

La densité (ou masse volumique, \(\rho\)) est la masse par unité de volume (ex: kg/m³). Le poids volumique (\(\gamma\)) est le poids par unité de volume (ex: N/m³ ou kN/m³). La relation est simple : \(\gamma = \rho \times g\), où \(g\) est l'accélération de la pesanteur (environ 9.81 m/s²). Les ingénieurs utilisent souvent les deux notions.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on compacte un sol sans changer sa teneur en eau, que se passe-t-il ?

Sa densité humide augmente mais sa densité sèche diminue.
Ses densités humide et sèche augmentent toutes les deux.
Sa densité sèche augmente mais sa densité humide ne change pas.

2. Deux sols ont la même densité sèche \(\rho_{\text{d}}\). Le sol A a une teneur en eau w=10% et le sol B a w=20%. Lequel a la plus grande densité humide \(\rho_{\text{h}}\) ?

Le sol A
Ils ont la même densité humide
Le sol B

Teneur en Eau (w): Rapport de la masse de l'eau contenue dans un échantillon de sol à la masse des particules solides (sèches) de ce même échantillon. Généralement exprimée en pourcentage.
Densité Humide (\(\rho_{\text{h}}\)): Masse totale d'un échantillon de sol (solides + eau) par unité de volume total. C'est la densité du sol dans son état naturel.
Densité Sèche (\(\rho_{\text{d}}\)): Masse des particules solides d'un échantillon de sol par unité de volume total. C'est un indicateur clé de la compacité du sol.

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