EGC

Calcul de la densité humide du sol

Calcul de la Densité Humide du Sol en Géotechnique

Calcul de la Densité Humide d'un Sol

Contexte : La carte d'identité d'un sol pour les fondations.

En géotechnique, la connaissance des propriétés physiques d'un sol est la première étape indispensable avant tout projet de construction. La densité humideMasse totale du sol (solides + eau) par unité de volume total (solides + eau + air). C'est le poids du sol tel qu'il est prélevé sur le terrain. est l'un des paramètres fondamentaux qui nous renseigne sur l'état de compacité du sol en place. Elle est essentielle pour le calcul des contraintes dans le sol, pour le contrôle du compactage des remblais ou encore pour estimer la portance des fondations. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul de cette propriété à partir d'un prélèvement sur le terrain.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe des principes de la mécanique des sols. Nous allons utiliser des mesures de masse et de volume, réalisées avec du matériel de chantier simple (un cylindre et une balance), pour déterminer les caractéristiques intrinsèques du sol. C'est une démarche typique de l'ingénieur géotechnicien : passer de la mesure de terrain au calcul de bureau d'études.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la masse et le volume d'un échantillon de sol.
  • Déterminer la densité humide (\(\rho_h\)) à partir des mesures directes.
  • Calculer la teneur en eau (\(w\)) d'un sol.
  • Déduire la densité sèche (\(\rho_d\)), un paramètre clé pour le compactage.
  • Se familiariser avec les unités courantes en géotechnique (g, cm³, kg/m³, %).

Données de l'étude

Un prélèvement de sol est réalisé sur un chantier à l'aide d'un cylindre métallique (trousse coupante). Les mesures suivantes sont effectuées en laboratoire.

Schéma du prélèvement au cylindre coupant
Cylindre + Sol 1935.5 g Balance H D
Paramètre Symbole Valeur Unité
Masse (Cylindre + Sol humide) \(M_{\text{total}}\) 1935.5 \(\text{g}\)
Masse du cylindre vide \(M_{\text{cyl}}\) 850.0 \(\text{g}\)
Diamètre intérieur du cylindre \(D\) 10.0 \(\text{cm}\)
Hauteur intérieure du cylindre \(H\) 7.5 \(\text{cm}\)
Masse (Sol humide + Tare) \(M_{h+t}\) 152.4 \(\text{g}\)
Masse (Sol sec + Tare) \(M_{s+t}\) 135.8 \(\text{g}\)
Masse de la tare \(M_{t}\) 25.2 \(\text{g}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la masse humide (\(M_h\)) du sol contenu dans le cylindre.
  2. Calculer le volume total (\(V_t\)) de l'échantillon de sol.
  3. Calculer la densité humide (\(\rho_h\)) du sol, en g/cm³ puis en kg/m³.
  4. Calculer la teneur en eau (\(w\)) du sol en pourcentage.
  5. Calculer la densité sèche (\(\rho_d\)) du sol.

Les bases de la Mécanique des Sols

Avant de plonger dans la correction, revoyons les définitions fondamentales.

1. Le Sol, un matériau triphasique :
Un sol est un assemblage de grains solides entre lesquels se trouvent des vides. Ces vides peuvent être remplis d'eau et/ou d'air. On parle donc d'un matériau à trois phases : solide (les grains), liquide (l'eau) et gazeuse (l'air). Les densités permettent de quantifier les proportions de ces trois phases.

2. Densité Humide (\(\rho_h\)) :
C'est la masse la plus simple à mesurer : on pèse un certain volume de sol "tel quel". Elle représente la masse totale (solides + eau) divisée par le volume total (solides + eau + air). \[ \rho_h = \frac{M_{\text{total}}}{V_{\text{total}}} = \frac{M_{\text{solides}} + M_{\text{eau}}}{V_{\text{solides}} + V_{\text{eau}} + V_{\text{air}}} \]

3. Teneur en Eau (\(w\)) et Densité Sèche (\(\rho_d\)) :
La teneur en eau est le rapport de la masse d'eau sur la masse des grains solides. La densité sèche est le rapport de la masse des grains solides sur le volume total. Ces deux paramètres sont cruciaux car ils ne dépendent pas de la quantité d'eau, qui peut varier. Ils sont liés par la relation : \[ w = \frac{M_{\text{eau}}}{M_{\text{solides}}} \quad ; \quad \rho_d = \frac{M_{\text{solides}}}{V_{\text{total}}} \quad \Rightarrow \quad \rho_d = \frac{\rho_h}{1+w} \]

Correction : Calcul de la Densité Humide d'un Sol

Question 1 : Calculer la masse humide (\(M_h\))

Principe (le concept physique)

La première étape consiste à isoler la masse du sol lui-même. Puisque la balance nous a donné la masse combinée du cylindre et du sol humide, il suffit de soustraire la masse du contenant (le cylindre vide), préalablement mesurée, pour obtenir la masse du contenu (le sol humide).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce calcul repose sur le principe de la conservation de la masse. La masse totale d'un système composite (cylindre + sol) est la somme des masses de ses composants. En inversant cette relation, on peut isoler la masse d'un des composants si les autres sont connus. C'est une application fondamentale de la métrologie.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est exactement comme faire ses courses : pour connaître le poids des pommes que vous achetez, vous pesez le sac plein de pommes, puis vous soustrayez le poids du sac vide. Ici, le cylindre est le "sac" et le sol humide représente les "pommes".

Normes (la référence réglementaire)

Les procédures de pesée en laboratoire de géotechnique sont encadrées par des normes, comme la norme NF P94-050 en France, qui spécifient la précision requise pour les balances en fonction de la masse à mesurer, afin de garantir la fiabilité des résultats.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La masse de sol humide (\(M_h\)) est la différence entre la masse totale et la masse du cylindre.

\[ M_h = M_{\text{total}} - M_{\text{cyl}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la balance a été correctement tarée (mise à zéro) avant chaque pesée et qu'il n'y a eu aucune perte de matière (ni sol, ni humidité) entre le prélèvement et la pesée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Masse (Cylindre + Sol humide), \(M_{\text{total}} = 1935.5 \, \text{g}\)
  • Masse du cylindre vide, \(M_{\text{cyl}} = 850.0 \, \text{g}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant de calculer, faites une estimation rapide. 1900 - 800, ça fait 1100. Le résultat doit être proche de 1100 g. Cela permet de détecter rapidement une erreur de frappe sur la calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)
Principe de la Soustraction de Masse
M_total (1935.5g)-M_cyl (850.0g)=M_h (?)
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique directement la formule.

\[ \begin{aligned} M_h &= 1935.5 \, \text{g} - 850.0 \, \text{g} \\ &= 1085.5 \, \text{g} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Masse de Sol Humide Isolée
M_h = 1085.5 g
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons maintenant la masse exacte du sol prélevé. C'est la première des deux grandeurs (masse et volume) nécessaires pour calculer la densité. Cette valeur seule ne nous dit rien sur la compacité du sol, mais elle est une étape de calcul indispensable.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus simple est d'inverser les masses ou de mal recopier les valeurs. Il faut aussi s'assurer que les deux masses sont dans la même unité (ici, les grammes) avant de les soustraire.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La masse du contenu est la masse du (contenant + contenu) moins la masse du contenant.
  • Cette masse est la masse "humide", car elle inclut l'eau présente dans les pores du sol.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Sur les grands chantiers de terrassement, on utilise des "gammadensimètres" à source radioactive pour mesurer la densité humide directement sur le terrain, sans avoir à prélever d'échantillon. L'appareil émet des rayons gamma qui sont plus ou moins absorbés par le sol en fonction de sa densité.

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si on a oublié de peser le cylindre avant ?

Si le cylindre n'a pas été pesé avant, il faut le vider complètement après l'essai, le nettoyer soigneusement, le sécher et le peser. C'est une étape cruciale ; sans la masse du cylindre, le calcul est impossible.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La masse de l'échantillon de sol humide est de 1085.5 g.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la masse totale était de 2010.2 g et le cylindre de 900.0 g, quelle serait la masse humide du sol ?

Question 2 : Calculer le volume total (\(V_t\))

Principe (le concept physique)

Le sol prélevé remplit entièrement le volume intérieur du cylindre coupant. Le volume de l'échantillon de sol est donc simplement le volume intérieur du cylindre. On le calcule à partir de ses dimensions géométriques (diamètre et hauteur) en utilisant la formule du volume d'un cylindre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule du volume d'un prisme droit, \(V = \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}\), est un principe de base en géométrie euclidienne. Pour un cylindre, la base est un disque d'aire \(\pi R^2\). Ce volume représente le volume total de l'échantillon, incluant les grains solides, l'eau et l'air (\(V_t = V_s + V_w + V_a\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Il est crucial de mesurer les dimensions *intérieures* du cylindre. Une erreur de mesure sur le diamètre a plus d'impact qu'une erreur sur la hauteur, car le diamètre est élevé au carré dans la formule. Une petite erreur sur le diamètre est donc "amplifiée" dans le calcul du volume.

Normes (la référence réglementaire)

Les dimensions des trousses coupantes sont normalisées (par exemple, selon la norme NF P94-048) pour garantir que le volume prélevé soit connu avec une bonne précision et que les résultats soient reproductibles et comparables entre différents laboratoires.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le volume d'un cylindre est l'aire de sa base multipliée par sa hauteur.

\[ V_t = \text{Aire de la base} \times H = \pi \cdot R^2 \cdot H = \pi \cdot \left(\frac{D}{2}\right)^2 \cdot H \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le cylindre est parfaitement régulier (pas de déformation) et que l'échantillon de sol a été "arasé" parfaitement aux deux extrémités, c'est-à-dire qu'il remplit le volume du cylindre sans déborder ni manquer.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Diamètre intérieur, \(D = 10.0 \, \text{cm}\)
  • Hauteur intérieure, \(H = 7.5 \, \text{cm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un cylindre de 10 cm de diamètre, l'aire de la base est \(\pi \times 5^2 \approx 78.5 \, \text{cm}^2\). C'est une valeur très courante dans les laboratoires, il est utile de la mémoriser. Le calcul du volume devient alors une simple multiplication : \(78.5 \times 7.5\).

Schéma (Avant les calculs)
Dimensions du Cylindre pour le Calcul du Volume
H=7.5cmD=10.0cm
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer le rayon R :

\[ \begin{aligned} R &= \frac{D}{2} \\ &= \frac{10.0 \, \text{cm}}{2} \\ &= 5.0 \, \text{cm} \end{aligned} \]

2. Calculer le volume (le résultat sera en cm³) :

\[ \begin{aligned} V_t &= \pi \cdot (5.0 \, \text{cm})^2 \cdot (7.5 \, \text{cm}) \\ &= \pi \cdot 25 \cdot 7.5 \, \text{cm}^3 \\ &\approx 589.05 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Volume de l'Échantillon de Sol
V_t ≈ 589.05 cm³
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ce volume de 589.05 cm³ est le volume "apparent" ou "total" du sol, c'est-à-dire l'espace qu'il occupe dans le terrain. C'est le dénominateur de toutes nos formules de densité. Connaître ce volume avec précision est donc primordial.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier que la formule du volume utilise le rayon (\(R\)) et non le diamètre (\(D\)). Pensez à toujours diviser le diamètre par deux avant de l'élever au carré. Assurez-vous également que les unités de D et H sont cohérentes (ici, les deux sont en cm).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le volume de l'échantillon est le volume intérieur du cylindre.
  • La formule du volume d'un cylindre est \(V = \pi \cdot R^2 \cdot H\).
  • Une erreur sur le diamètre est plus impactante qu'une erreur sur la hauteur.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour des sols très mous ou des carottes de sondage, on ne peut pas utiliser de trousse coupante. On utilise alors d'autres méthodes pour mesurer le volume, comme la méthode au densitomètre à membrane ou, plus anciennement, par immersion dans du mercure (une pratique aujourd'hui abandonnée pour des raisons de sécurité).

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si le sol est un peu compacté en entrant dans le cylindre ?

C'est un problème connu. L'enfoncement de la trousse coupante peut légèrement modifier la densité du sol juste à l'intérieur. Les normes spécifient des caractéristiques pour les trousses (paroi mince, angle de coupe) pour minimiser cette perturbation et obtenir un échantillon dit "intact" ou "non remanié", aussi représentatif que possible du sol en place.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le volume total de l'échantillon de sol est d'environ 589.05 cm³.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le cylindre avait un diamètre de 8.0 cm et une hauteur de 10.0 cm, quel serait son volume en cm³ ?

Question 3 : Calculer la densité humide (\(\rho_h\))

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous connaissons la masse totale du sol (\(M_h\)) et le volume total qu'il occupe (\(V_t\)), la densité humide est simplement le rapport des deux. C'est la caractéristique la plus directe de la masse volumique du sol en place.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La densité est une propriété intensive de la matière, ce qui signifie qu'elle ne dépend pas de la quantité de matière. Que l'on prélève 1 cm³ ou 1 m³ de ce sol, sa densité humide sera la même. C'est ce qui en fait un paramètre si utile pour caractériser le sol sur un site entier à partir de quelques échantillons.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à une valise. Sa masse est ce que vous lisez sur la balance à l'aéroport. Son volume est l'espace qu'elle occupe. Sa densité est le rapport des deux. Une petite valise très lourde est très dense. Une grosse valise très légère est peu dense. C'est la même chose pour le sol.

Normes (la référence réglementaire)

La détermination de la masse volumique d'un sol est une procédure standardisée, décrite par exemple dans la norme EN ISO 17892-2. Les résultats sont une composante essentielle de tout rapport d'étude géotechnique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La densité humide est la masse humide divisée par le volume total.

\[ \rho_h = \frac{M_h}{V_t} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'échantillon est homogène, c'est-à-dire que sa masse est uniformément répartie dans son volume. La masse et le volume que nous avons calculés correspondent bien au même échantillon.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Masse humide, \(M_h = 1085.5 \, \text{g}\) (de Q1)
  • Volume total, \(V_t = 589.05 \, \text{cm}^3\) (de Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour convertir des g/cm³ en kg/m³, il suffit de multiplier par 1000. C'est une conversion très fréquente en géotechnique. En effet, 1 g/cm³ = (10⁻³ kg) / (10⁻⁶ m³) = 10³ kg/m³.

Schéma (Avant les calculs)
Combinaison de la Masse et du Volume
M_h = 1085.5gV_t = 589.05cm³/ρ_h = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la densité en g/cm³ :

\[ \begin{aligned} \rho_h &= \frac{1085.5 \, \text{g}}{589.05 \, \text{cm}^3} \\ &\approx 1.843 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned} \]

2. Convertir en kg/m³ :

\[ \begin{aligned} \rho_h &= 1.843 \times 1000 \\ &= 1843 \, \text{kg/m}^3 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Représentation de la Densité Humide
1 m³1843 kg
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une densité humide de 1843 kg/m³ (ou 1.84 t/m³) est une valeur typique pour un sol commun comme un limon ou un sable argileux. Elle indique un sol moyennement compact. Cette valeur seule ne suffit pas, il faut la comparer à la densité sèche pour juger de l'état de compactage.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente concerne les unités. Ne divisez pas des grammes par des m³, ou des kg par des cm³. Assurez-vous de la cohérence (g et cm³) ou (kg et m³) avant de faire le calcul, et maîtrisez la conversion (facteur 1000).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La densité est la masse par unité de volume : \(\rho = M/V\).
  • La densité humide (\(\rho_h\)) utilise la masse totale (solides + eau).
  • L'unité usuelle est le g/cm³ ou le kg/m³ (équivalent à t/m³).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La densité des grains solides qui composent le sol (\(\rho_s\)) est souvent proche de 2.65 g/cm³ (pour le quartz, principal constituant du sable) ou 2.75 g/cm³ (pour les minéraux argileux). La densité du sol dans son ensemble est toujours inférieure à cette valeur à cause des vides (remplis d'eau ou d'air).

FAQ (pour lever les doutes)
Une densité humide élevée est-elle toujours un bon signe ?

Pas nécessairement. Un sol peut avoir une densité humide élevée simplement parce qu'il est saturé d'eau (teneur en eau élevée). C'est pourquoi il est indispensable de calculer la densité sèche pour avoir une idée juste de la compacité du squelette solide, qui est le vrai critère de performance mécanique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La densité humide du sol est d'environ 1.843 g/cm³, soit 1843 kg/m³.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Un sol a une masse humide de 950 g et un volume de 500 cm³. Quelle est sa densité humide en kg/m³ ?

Question 4 : Calculer la teneur en eau (\(w\))

Principe (le concept physique)

La teneur en eau représente la proportion d'eau dans le sol par rapport à sa partie solide. Pour la mesurer, on pèse un échantillon de sol humide, puis on le passe à l'étuve (généralement à 105°C) jusqu'à ce que toute l'eau se soit évaporée. La différence de masse avant et après séchage nous donne la masse d'eau. On la rapporte à la masse de sol sec (sol après séchage) pour obtenir la teneur en eau.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La teneur en eau est un paramètre fondamental qui gouverne le comportement des sols fins (argiles, limons). Elle définit les limites d'Atterberg (limite de liquidité, de plasticité) qui permettent de classer le sol et de prédire son comportement (gonflement, retrait, résistance au cisaillement).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez une éponge. Sa teneur en eau, c'est le poids de l'eau qu'elle contient divisé par le poids de l'éponge sèche elle-même. Une éponge "humide" peut avoir une teneur en eau de 50%, tandis qu'une éponge "gorgée d'eau" peut dépasser les 200%.

Normes (la référence réglementaire)

La méthode de détermination de la teneur en eau par séchage à l'étuve est l'une des plus anciennes et des plus fiables en géotechnique. Elle est décrite en détail dans la norme NF P94-050 ou ASTM D2216, qui précise la température et la durée de séchage.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On calcule d'abord la masse d'eau (\(M_w\)) et la masse de solides (\(M_s\)), puis leur rapport.

\[ M_w = M_{h+t} - M_{s+t} \]
\[ M_s = M_{s+t} - M_t \]
\[ w = \frac{M_w}{M_s} \times 100 \, (\%) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la température de 105°C évapore toute l'eau "libre" et "capillaire" sans altérer la structure des minéraux argileux (qui contiennent de l'eau "liée"). On suppose aussi que la tare (le récipient) a une masse constante.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Masse (Sol humide + Tare), \(M_{h+t} = 152.4 \, \text{g}\)
  • Masse (Sol sec + Tare), \(M_{s+t} = 135.8 \, \text{g}\)
  • Masse de la tare, \(M_t = 25.2 \, \text{g}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le point clé est de ne jamais oublier de soustraire la masse de la tare (\(M_t\)) pour obtenir la masse des solides (\(M_s\)). C'est l'erreur la plus fréquente. La masse d'eau, elle, est une simple différence qui n'est pas affectée par la tare.

Schéma (Avant les calculs)
Processus de Séchage à l'Étuve
Sol HumideM_h+t = 152.4gÉtuveSol SecM_s+t = 135.8g+H₂O
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la masse d'eau :

\[ \begin{aligned} M_w &= 152.4 \, \text{g} - 135.8 \, \text{g} \\ &= 16.6 \, \text{g} \end{aligned} \]

2. Calculer la masse de sol sec (solides) :

\[ \begin{aligned} M_s &= 135.8 \, \text{g} - 25.2 \, \text{g} \\ &= 110.6 \, \text{g} \end{aligned} \]

3. Calculer la teneur en eau :

\[ \begin{aligned} w &= \frac{16.6 \, \text{g}}{110.6 \, \text{g}} \times 100 \\ &\approx 15.0 \, \% \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Répartition des Masses (pour 110.6g de solides)
Solides (110.6g)Eau (16.6g)w = 15.0%
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une teneur en eau de 15% est modérée. Pour un sable, ce serait un état "humide". Pour une argile, ce pourrait être un état assez ferme. Cette valeur est essentielle car elle nous permet de "corriger" la densité humide pour obtenir la densité sèche, qui est un bien meilleur indicateur de la compacité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La définition de la teneur en eau est \(M_{\text{eau}} / M_{\text{solides}}\). Une erreur fréquente est de diviser la masse d'eau par la masse totale humide (\(M_s + M_w\)). Cela donnerait une valeur systématiquement plus faible et fausserait tous les calculs ultérieurs.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La teneur en eau est le rapport de la masse d'eau à la masse des solides (grains secs).
  • Elle est obtenue par pesée avant et après passage à l'étuve.
  • C'est un paramètre clé du comportement des sols fins.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Certaines argiles, comme la bentonite, sont dites "gonflantes". Leur teneur en eau peut varier énormément, et elles peuvent absorber plusieurs fois leur propre poids en eau. Ce phénomène de gonflement-retrait peut exercer des pressions considérables sur les fondations et les murs de soutènement.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la température de l'étuve est-elle fixée à 105°C ?

Cette température est un compromis. Elle est suffisamment au-dessus du point d'ébullition (100°C) pour garantir une évaporation rapide et complète de l'eau libre. Mais elle est suffisamment basse pour ne pas "brûler" la matière organique qui pourrait être présente dans le sol et pour ne pas chasser l'eau "liée" à la structure même des minéraux argileux, ce qui fausserait la mesure.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La teneur en eau du sol est de 15.0 %.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Un échantillon pèse 210g humide et 180g sec (masses de sol nettes). Quelle est sa teneur en eau en % ?

Question 5 : Calculer la densité sèche (\(\rho_d\))

Principe (le concept physique)

La densité sèche est un indicateur bien plus fiable de la compacité d'un sol que la densité humide, car elle ne dépend pas de la teneur en eau qui peut varier (saison, pluie...). Elle représente la masse des grains solides "tassés" dans un volume donné. Plus la densité sèche est élevée, plus le sol est compact et plus ses propriétés mécaniques (portance, résistance) sont bonnes. On la déduit de la densité humide et de la teneur en eau.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La densité sèche est au cœur de la théorie du compactage (théorie de Proctor). Pour un sol donné, il existe une teneur en eau "optimale" qui permet, pour une énergie de compactage donnée, d'atteindre la densité sèche maximale. Le but du contrôle de compactage sur chantier est de s'assurer que le sol mis en place atteint un pourcentage élevé (souvent 95% ou 98%) de cette densité sèche maximale de référence.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Reprenons l'analogie de l'éponge. La densité humide dépend de la quantité d'eau. Mais la densité sèche, c'est comme si on ne considérait que le poids de l'éponge sèche elle-même, mais rapporté au volume total qu'elle occupait quand elle était humide. C'est une mesure de la quantité de "matière éponge" dans un volume donné, indépendamment de l'eau.

Normes (la référence réglementaire)

La valeur de densité sèche calculée ici est la densité "en place". Elle est ensuite comparée aux spécifications du projet, qui sont généralement exprimées en pourcentage de la densité sèche maximale déterminée en laboratoire selon les normes de l'essai Proctor (NF P94-093 ou ASTM D1557).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule lie directement les trois paramètres. Attention, la teneur en eau \(w\) doit être utilisée sous sa forme décimale (ex: 15% = 0.15) dans le calcul.

\[ \rho_d = \frac{\rho_h}{1+w} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le petit échantillon utilisé pour mesurer la teneur en eau est parfaitement représentatif de l'échantillon total prélevé dans le cylindre. En pratique, on s'assure de bien homogénéiser le sol avant de prélever la partie pour l'étuve.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Densité humide, \(\rho_h = 1.843 \, \text{g/cm}^3\) (de Q3)
  • Teneur en eau, \(w = 15.0 \, \% = 0.15\) (de Q4)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le dénominateur \(1+w\) est toujours supérieur à 1. La densité sèche \(\rho_d\) sera donc toujours inférieure à la densité humide \(\rho_h\). Si votre calcul donne un résultat supérieur, vous avez probablement fait une erreur (par exemple, multiplié au lieu de diviser).

Schéma (Avant les calculs)
Relation entre les Densités et la Teneur en Eau
ρ_h1.843 g/cm³/(1+w)w=15%ρ_d = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule en utilisant la valeur décimale de w.

\[ \begin{aligned} \rho_d &= \frac{1.843 \, \text{g/cm}^3}{1 + 0.15} \\ &= \frac{1.843}{1.15} \, \text{g/cm}^3 \\ &\approx 1.603 \, \text{g/cm}^3 \end{aligned} \]

En kg/m³, cela donne : \(1.603 \times 1000 = 1603 \, \text{kg/m}^3\).

Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Densités
ρ_h1843ρ_d1603
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La densité sèche (1603 kg/m³) est logiquement inférieure à la densité humide (1843 kg/m³), car on a "retiré" le poids de l'eau. C'est cette valeur de 1.603 g/cm³ que l'on comparera à la densité sèche maximale obtenue en laboratoire (l'optimum Proctor) pour déterminer le degré de compactage du sol sur le chantier.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus courante est d'utiliser la teneur en eau en pourcentage directement dans la formule (ex: diviser par 1+15). Il faut impérativement la convertir en décimal (15% devient 0.15) avant de l'ajouter à 1.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La densité sèche est la masse de solides par volume total.
  • Elle est le meilleur indicateur de la compacité du sol.
  • On la calcule avec la formule \(\rho_d = \rho_h / (1+w)\), avec \(w\) en décimal.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour un sol saturé en eau (sans air dans les vides), il existe une relation directe entre la densité sèche, la teneur en eau et la densité des grains solides (\(\rho_s\)). Cette relation définit la "courbe de saturation" sur le diagramme de Proctor, qui représente la limite théorique de compacité pour un sol donné.

FAQ (pour lever les doutes)
La densité sèche peut-elle être supérieure à la densité humide ?

Non, c'est physiquement impossible. La masse humide \(M_h = M_s + M_w\) est toujours supérieure ou égale à la masse sèche \(M_s\). Comme le volume total \(V_t\) est le même pour les deux calculs, la densité humide \(\rho_h = M_h / V_t\) sera toujours supérieure ou égale à la densité sèche \(\rho_d = M_s / V_t\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La densité sèche du sol est d'environ 1.603 g/cm³, soit 1603 kg/m³.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Un sol a une densité humide de 2050 kg/m³ et une teneur en eau de 12%. Quelle est sa densité sèche en kg/m³ (arrondir à l'entier) ?

Outil Interactif : Paramètres d'un Sol

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur les densités.

Paramètres d'Entrée
1843 kg/m³
15.0 %
Résultats Clés
Densité Sèche (kg/m³) -
Masse d'eau pour 1m³ (kg) -
Masse de solides pour 1m³ (kg) -

Le Saviez-Vous ?

Karl von Terzaghi (1883-1963) est considéré comme le "père de la mécanique des sols". Ingénieur autrichien, il a révolutionné le domaine en publiant en 1925 son livre "Erdbaumechanik" qui posait les bases scientifiques de l'étude du comportement des sols. Il a notamment développé le concept fondamental de la contrainte effective, qui régit la résistance et la déformation des sols.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la densité sèche est-elle si importante pour le contrôle du compactage ?

Sur un chantier de terrassement (route, remblai), l'objectif est d'atteindre un certain niveau de compacité pour garantir la stabilité de l'ouvrage. Cet objectif est fixé par une valeur de densité sèche à atteindre (par exemple, 95% de l'optimum Proctor). La teneur en eau du sol peut varier avec la météo, mais la quantité de grains solides dans un volume donné (la densité sèche) doit rester conforme aux exigences du projet. On mesure donc \(\rho_h\) et \(w\) sur le terrain pour calculer \(\rho_d\) et vérifier que l'objectif est atteint.

Quelle est la différence entre densité et poids volumique ?

La densité (ou masse volumique) \(\rho\) est une masse par unité de volume (ex: kg/m³). Le poids volumique \(\gamma\) est un poids (une force) par unité de volume (ex: N/m³ ou kN/m³). Les deux sont liés par l'accélération de la pesanteur, \(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\). La relation est \(\gamma = \rho \cdot g\). En pratique, les géotechniciens utilisent souvent les deux termes de manière interchangeable, mais il est important de connaître la distinction.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si un sol sèche (sa teneur en eau diminue) sans que son volume ne change, que se passe-t-il ?

2. Deux sols ont la même densité humide de 2000 kg/m³. Le sol A a une teneur en eau de 10% et le sol B de 20%. Lequel est le plus compact ?

Densité Humide (\(\rho_h\))
Masse totale d'un échantillon de sol (solides + eau) divisée par son volume total (solides + eau + air). C'est la masse volumique du sol dans son état naturel.
Teneur en Eau (\(w\))
Rapport de la masse de l'eau contenue dans les vides du sol à la masse des particules solides. Elle est généralement exprimée en pourcentage.
Densité Sèche (\(\rho_d\))
Masse des particules solides du sol divisée par le volume total de l'échantillon. C'est un indicateur clé de la compacité du sol.
Calcul de la Densité Humide du Sol en Géotechnique

D’autres exercices de Géotechnique:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *