Calcul de la Contrainte Maximale de Flexion
📝 Situation du Projet
Dans le cadre de l'aménagement paysager du Parc Urbain "Les Rives Vertes" à Lyon, le bureau d'études structures dans lequel vous opérez a été mandaté pour concevoir une série de franchissements piétons. Le projet spécifique qui vous est confié aujourd'hui concerne la Passerelle Nord, un ouvrage modeste mais stratégique, permettant de relier la zone de jeux pour enfants à l'aire de pique-nique en enjambant le ruisseau artificiel. Ce site est soumis à une forte fréquentation le week-end, imposant des critères de sécurité stricts.
L'architecte paysagiste a imposé une esthétique industrielle sobre : une structure métallique apparente, peinte en gris anthracite, supportant un platelage bois. Pour répondre à cette demande tout en maîtrisant les coûts, votre responsable a pré-sélectionné un profilé du commerce standard : un IPE (Profilé en I à ailes parallèles). La passerelle est conçue comme une poutre unique isostatique reposant simplement sur deux culées en béton armé situées sur les berges.
Votre rôle est crucial : valider scientifiquement ce choix. Vous devez vous assurer que le profilé choisi (IPE 240) est capable de supporter non seulement son propre poids et celui du bois, mais surtout la charge d'exploitation réglementaire simulant une foule compacte piétinant l'ouvrage, ainsi que les effets climatiques potentiels. Une défaillance de calcul pourrait entraîner des déformations inesthétiques, voire une rupture catastrophique mettant en danger les usagers.
En qualité d'Ingénieur Calculateur Structure, votre mission consiste à effectuer la vérification réglementaire à l'État Limite Ultime (ELU) de résistance. Vous devez modéliser la passerelle, déterminer les sollicitations internes maximales (Moment fléchissant), calculer la contrainte normale de flexion dans l'acier (\(\sigma_{\text{max}}\)) et conclure formellement sur la validité du profilé IPE 240 au regard de la norme Eurocode 3.
"Attention, jeune collègue. N'oubliez jamais que l'acier a une masse volumique élevée (\(7850 \text{ kg/m}^3\)). Cependant, dans les données ci-dessous, le poids propre de la poutre a déjà été intégré dans la charge linéique \(q\). Ne l'ajoutez pas une seconde fois ! Concentrez-vous sur la cohérence des unités : un moment en \(\text{kNm}\) ne se divise pas directement par un module en \(\text{cm}^3\)."
L'ensemble des paramètres techniques ci-dessous constitue la base contractuelle et physique de votre étude. Ces valeurs sont issues des notices fournisseurs (ArcelorMittal pour l'acier) et des Eurocodes structuraux. Elles ne doivent en aucun cas être modifiées sans justification.
📚 Référentiel Normatif
Eurocode 0 (Bases de calcul)Eurocode 3 (Acier)| ACIER DE CONSTRUCTION NUANCE S235 JR | |
| Limite Élastique (\(R_{\text{e}}\)) | \(235 \text{ MPa}\) (\(\text{N/mm}^2\)) |
| Résistance à la traction (\(R_{\text{m}}\)) | \(360 \text{ MPa}\) |
| Module de Young (\(E\)) | \(210\,000 \text{ MPa}\) |
| Coefficient de sécurité (\(s\)) | \(1.0\) (Hypothèse simplifiée ELS) |
| PROFILÉ IPE 240 (CARACTÉRISTIQUES DE SECTION) | |
| Hauteur de section (\(h\)) | \(240 \text{ mm}\) |
| Moment d'inertie de flexion (\(I_{\text{Gz}}\)) | \(3892 \text{ cm}^4\) |
| Module de flexion élastique (\(W_{\text{el,y}}\)) | \(324 \text{ cm}^3\) |
📐 Géométrie Globale
- Portée entre appuis (L): \(6.00 \text{ m}\)
- Largeur utile de passage: \(1.50 \text{ m}\)
- Flèche maximale tolérée: \(L/250\)
⚖️ Sollicitations / Charges de Calcul
Les charges ci-dessous sont des valeurs de calcul pondérées (ELU), incluant déjà les coefficients de sécurité sur les charges (\(\gamma_G\) et \(\gamma_Q\)).
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur Poutre | \(L\) | \(6.00\) | \(\text{m}\) |
| Charge Répartie | \(q\) | \(12.0\) | \(\text{kN/m}\) |
| Limite Élastique | \(R_{\text{e}}\) | \(235\) | \(\text{MPa}\) |
| Inertie de Flexion | \(I_{\text{Gz}}\) | \(3892\) | \(\text{cm}^4\) |
| Module de Flexion | \(W_{\text{el}}\) | \(324\) | \(\text{cm}^3\) |
E. Protocole de Résolution
Pour mener à bien cette vérification structurelle et garantir la sécurité de l'ouvrage, nous allons suivre une méthodologie séquentielle stricte, allant de la statique globale à la vérification locale du matériau.
Statique & Réactions d'Appuis
Avant tout calcul de déformation, il faut équilibrer le système. Nous isolerons la poutre pour déterminer les forces de réaction verticales aux appuis A et B en utilisant le Principe Fondamental de la Statique (PFS).
Sollicitations Internes (Moment Fléchissant)
Une fois l'équilibre extérieur connu, nous couperons virtuellement la poutre pour déterminer l'effort interne critique : le moment fléchissant maximum \(M_{\text{max}}\), qui est responsable de la courbure.
Calcul de la Contrainte Normale
Nous traduirons ce moment fléchissant (une force globale sur la section) en contrainte locale (une pression en \(\text{N/mm}^2\)) grâce à la formule de Navier-Bernoulli, pour voir ce que "ressent" l'acier.
Vérification & Conclusion
Enfin, nous comparerons cette contrainte de calcul à la limite élastique garantie par le fabricant pour prononcer la validation technique (Bon Pour Exécution) ou le rejet du profilé.
Calcul de la Contrainte Maximale de Flexion
🎯 1. Objectif
L'objectif primordial de cette première étape est de quantifier précisément les efforts que la poutre exerce sur ses fondations (et inversement, selon le principe newtonien de l'action et de la réaction). Il est impératif de connaître ces valeurs, notées \(R_A\) (Réaction à l'appui gauche) et \(R_B\) (Réaction à l'appui droit), car elles constituent les conditions aux limites mécaniques indispensables pour établir ensuite les diagrammes d'efforts internes. Sans la connaissance exacte de ces appuis, le système demeure statiquement indéterminé dans sa résolution pratique.
📚 2. Référentiel
Principe Fondamental de la Statique (PFS)Loi de l'Action-Réaction (Newton)🧠 3. Réflexion de l'Ingénieur
Nous sommes face à une configuration structurelle dite "classique" et "idéale" : une poutre isostatique sur deux appuis simples avec une charge uniformément répartie \(q\). La géométrie de la poutre et la distribution de son chargement présentent une symétrie parfaite par rapport à l'axe vertical médian (passant par \(L/2\)). L'intuition physique, avant même tout calcul, nous dicte que la charge gravitaire totale va se répartir équitablement entre l'appui de gauche (A) et l'appui de droite (B). Nous allons néanmoins le démontrer rigoureusement par le calcul pour valider cette hypothèse.
📘 4. Rappel Théorique
Pour qu'une structure soit à l'équilibre statique (c'est-à-dire immobile par rapport au référentiel terrestre), la somme vectorielle de toutes les forces extérieures appliquées et la somme de tous les moments doivent être rigoureusement nulles. En 2D (problème plan), cela se traduit par un système de trois équations scalaires indépendantes :
1. \(\sum F_x = 0\) : Équilibre des forces horizontales (garantit l'absence de glissement latéral).
2. \(\sum F_y = 0\) : Équilibre des forces verticales (garantit que la structure ne s'enfonce pas ni ne s'envole).
3. \(\sum M_{/\text{Point}} = 0\) : Équilibre en rotation autour d'un pivot (garantit l'absence de basculement).
📐 5. Formules Clés
📋 6. Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Charge linéique \(q\) | \(12.0 \text{ kN/m}\) |
| Longueur de portée \(L\) | \(6.00 \text{ m}\) |
💡 7. Astuce
Dans le cas purement symétrique comme celui-ci, il est inutile de poser et résoudre l'équation des moments (\(\sum M = 0\)), ce qui serait plus long. La simple équation de la somme des forces verticales suffit : \(R_A + R_B = F_{\text{tot}}\). Et comme la symétrie impose \(R_A = R_B\), on déduit immédiatement que \(R_A = F_{\text{tot}} / 2\). C'est un gain de temps précieux en bureau d'études.
📝 8. Calcul Détaillé
Nous commençons par calculer la charge totale que représente le poids combiné de la structure de la passerelle et de la foule de piétons sur toute la longueur de l'ouvrage.
1. Calcul de la charge totale descendante \(F_{\text{tot}}\) :
On multiplie la charge linéique par la portée totale.
La passerelle subit donc une charge verticale descendante totale de \(72\,000 \text{ Newtons}\) (soit \(72 \text{ kN}\)). C'est le poids total que les fondations devront reprendre.
2. Calcul des réactions aux appuis \(R_A\) et \(R_B\) :
En appliquant le principe de symétrie structurelle démontré dans la réflexion :
Chaque appui (berges gauche et droite) reprend exactement la moitié de la charge totale. C'est cohérent : si vous portez une charge avec un ami de même force, vous portez chacun la moitié du poids.
✅ 9. Interprétation Globale
Nous avons déterminé avec certitude les efforts aux bornes du système. Les appuis en béton devront chacun être dimensionnés pour supporter une charge verticale de service ultime de \(36.0 \text{ kN}\). Cette information est cruciale pour l'ingénieur géotechnicien qui calculera les fondations. Du point de vue de la poutre, ces réactions sont les forces qui vont "cisaillement" et "fléchir" la matière.
⚖️ 10. Analyse de Cohérence
L'ordre de grandeur est correct et vérifiable. \(36 \text{ kN}\) correspond environ à \(3.6 \text{ tonnes}\) par appui. Pour une passerelle de \(6 \text{ mètres}\) de long chargée d'une foule compacte (plusieurs personnes par \(\text{m}^2\)), c'est une valeur tout à fait réaliste et attendue.
⚠️ 11. Points de Vigilance
Attention à ne pas confondre la charge linéique (exprimée par mètre) avec la charge totale (la somme). Vérifiez toujours la géométrie des appuis : si la charge n'était pas centrée (par exemple une foule concentrée sur un seul côté de la rive), la symétrie serait brisée et \(R_A\) serait différent de \(R_B\).
🎯 1. Objectif
Il s'agit maintenant de "rentrer" à l'intérieur de la matière pour comprendre comment elle souffre. Nous devons identifier la zone de la poutre la plus sollicitée en flexion. C'est cette valeur maximale, le moment fléchissant \(M_{\text{max}}\), qui sera dimensionnante pour le choix du profilé. Si la poutre résiste à cet endroit critique (le "maillon faible"), elle résistera partout ailleurs. C'est l'étape pivot du dimensionnement.
📚 2. Référentiel
Théorie des Poutres (Modèle de Bernoulli)Mécanique des Milieux Continus🧠 3. Réflexion de l'Ingénieur
Sous une charge répartie uniforme, la poutre se courbe naturellement vers le bas (on dit qu'elle a une flèche positive). Physiquement, cela implique que les fibres supérieures se raccourcissent (elles sont comprimées) et les fibres inférieures s'allongent (elles sont tendues). Le diagramme du moment fléchissant pour ce cas de charge classique est une parabole. Le maximum de cette parabole se situe mathématiquement là où la dérivée s'annule (c'est-à-dire là où l'effort tranchant passe par zéro). Pour une charge symétrique, ce point se trouve exactement à mi-portée (\(x = L/2\)).
📘 4. Rappel Théorique
Le moment fléchissant \(M(x)\) traduit la tendance locale de la poutre à se courber sous l'action des charges extérieures. Son unité est le Newton-mètre (\(\text{N.m}\)) ou ses multiples. Pour une poutre simple sur deux appuis avec charge uniforme, la formule du moment max est un "classique" incontournable que tout ingénieur structure doit connaître par cœur, car elle revient dans \(80\%\) des pré-dimensionnements.
📐 5. Formules Clés
Cette formule dérive de la double intégration de la charge \(q(x)\) le long de la poutre, avec les conditions aux limites \(M(0)=0\) et \(M(L)=0\).
Notez l'importance du terme \(L^2\) : cela signifie que si vous doublez la portée de la passerelle, les efforts de flexion sont multipliés par 4 !
📋 6. Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Charge linéique \(q\) | \(12.0 \text{ kN/m}\) |
| Portée \(L\) | \(6.00 \text{ m}\) |
💡 7. Astuce
Une bonne pratique consiste à calculer d'abord le moment en \(\text{kNm}\) (car les unités naturelles des données sont les \(\text{kN}\) et les mètres), puis de convertir le résultat final en \(\text{Nmm}\) (en multipliant par \(10^6\)) pour être compatible avec les \(\text{MPa}\) (\(\text{N/mm}^2\)) de la formule de contrainte à l'étape suivante. Cela évite de manipuler trop de zéros dès le début et réduit le risque d'erreur de saisie.
📝 8. Calcul Détaillé
Nous appliquons directement la formule analytique pour le point critique situé à mi-portée (\(x = 3.00 \text{ m}\)).
1. Calcul de la valeur brute du Moment Fléchissant \(M_{\text{max}}\) :
Application numérique avec les valeurs standard.
C'est le moment de flexion maximal au centre de la poutre, exprimé en unités de structure (\(\text{kNm}\)).
2. Conversion d'unités (Crucial pour la suite) :
Pour calculer des contraintes en \(\text{MPa}\) (\(\text{N/mm}^2\)), il faut impérativement convertir les \(\text{kNm}\) en \(\text{Nmm}\). On sait que \(1 \text{ kNm} = 10^3 \text{ N} \cdot 10^3 \text{ mm} = 10^6 \text{ Nmm}\).
C'est cette valeur gigantesque en \(\text{Nmm}\) (54 millions) qui sera utilisée comme numérateur dans la formule de contrainte.
✅ 9. Interprétation Globale
La poutre doit être capable de générer un couple interne résistant de \(54 \text{ kNm}\) pour ne pas plier sous la charge. C'est une valeur conséquente qui élimine d'office les petits profilés. Nous avons transformé une charge répartie complexe en une valeur unique simple à comparer : le moment fléchissant.
⚖️ 10. Analyse de Cohérence
\(54 \text{ kNm}\) est un moment conséquent. Pour imager, c'est comme si on accrochait une masse de \(5.4 \text{ tonnes}\) au bout d'un levier de \(1 \text{ mètre}\). Pour une passerelle de cette taille, c'est un ordre de grandeur cohérent.
⚠️ 11. Points de Vigilance
L'erreur la plus fréquente (et fatale dans la vie réelle) est d'oublier le carré sur la longueur \(L\) dans la formule, ou de se tromper d'un facteur \(1000\) dans la conversion d'unités finale (\(\text{kNm}\) vers \(\text{Nmm}\)).
🎯 1. Objectif
Nous allons maintenant calculer l'intensité de l'effort interne au cœur de la matière, appelée "contrainte normale" (\(\sigma\)). Cette contrainte représente la tension (traction) maximale subie par les fibres d'acier inférieures de la poutre (les plus tendues) et la compression maximale subie par les fibres supérieures. C'est cette valeur qui déterminera si le matériau entre en souffrance.
📚 2. Référentiel
Critère de Navier-Bernoulli🧠 3. Réflexion de l'Ingénieur
En flexion simple, la contrainte n'est pas uniforme sur la hauteur de la section. Elle est nulle au centre (fibre neutre) et maximale aux extrémités (fibres extrêmes : semelle supérieure en compression, semelle inférieure en traction). Le "Module de Flexion" (\(W_{\text{el}}\)) quantifie la capacité géométrique de la section à résister à cette flexion : plus il est grand, plus la contrainte est faible pour un même moment appliqué.
📘 4. Rappel Théorique
La contrainte \(\sigma\) à une distance \(y\) de l'axe neutre est donnée par \(\sigma = \frac{M \cdot y}{I}\).
La contrainte maximale est atteinte pour la fibre la plus éloignée \(y_{\text{max}} = h/2\) (demi-hauteur).
On définit le module de flexion élastique par \(W_{\text{el}} = \frac{I}{v}\) où \(v = h/2\).
D'où la formule simplifiée très utilisée par les ingénieurs : \(\sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}}}{W_{\text{el}}}\).
📐 5. Formules Clés
La contrainte est le rapport entre l'effort de flexion et la géométrie de la section.
L'unité résultante est le N/mm², équivalent au MegaPascal (\(\text{MPa}\)).
📋 6. Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Moment Max \(M_{\text{max}}\) | \(54\,000\,000 \text{ Nmm}\) |
| Module de Flexion \(W_{\text{el}}\) | \(324 \text{ cm}^3\) |
💡 7. Astuce
Attention ! Le module de flexion est donné en \(\text{cm}^3\) dans les catalogues fournisseurs (Arcelor, etc.). Il faut impérativement le convertir en \(\text{mm}^3\) : \(1 \text{ cm}^3 = 10 \text{ mm} \times 10 \text{ mm} \times 10 \text{ mm} = 1000 \text{ mm}^3\) (\(10^3\)).
📝 8. Calcul Détaillé
Nous procédons étape par étape pour assurer l'homogénéité dimensionnelle.
1. Conversion du Module de Flexion \(W_{\text{el}}\) :
Conversion de cm³ vers mm³ pour l'homogénéité.
2. Calcul de la Contrainte Maximale \(\sigma_{\text{max}}\) :
Division du Moment (force x distance) par le Module (géométrie).
L'acier subit une contrainte de \(166.67 \text{ N/mm}^2\) dans ses fibres les plus sollicitées.
✅ 9. Interprétation Globale
Chaque millimètre carré d'acier situé sur la face inférieure de la poutre doit résister à une force de traction de \(166.67 \text{ Newtons}\). C'est une valeur élevée mais courante dans la construction métallique. Nous avons maintenant une valeur physique comparable à la résistance du matériau.
⚖️ 10. Analyse de Cohérence
Les aciers de construction courants ont des limites élastiques autour de \(200\) à \(300 \text{ MPa}\). Trouver une contrainte de \(166 \text{ MPa}\) est donc parfaitement dans l'ordre de grandeur attendu pour une structure bien dimensionnée.
⚠️ 11. Points de Vigilance
Ce calcul suppose que la section reste plane (hypothèse de Bernoulli) et que le comportement est élastique. Il ne prend pas en compte les phénomènes d'instabilité comme le déversement.
🎯 1. Objectif
C'est l'instant de vérité. Nous devons confronter la contrainte réelle calculée à la résistance théorique du matériau choisi. L'objectif est de valider formellement si le profilé IPE 240 est apte au service ou s'il présente un risque de ruine. Cette étape conclut la note de calcul par une décision binaire : Conforme ou Non-Conforme.
📚 2. Référentiel
Eurocode 3 (Vérification ELU)🧠 3. Réflexion de l'Ingénieur
Pour garantir la sécurité, la contrainte appliquée ne doit jamais dépasser la limite élastique \(R_{\text{e}}\) du matériau. Si cela arrivait, l'acier se déformerait de manière permanente (plastification), rendant la passerelle inutilisable et dangereuse. Nous utilisons ici un coefficient de sécurité \(s=1.0\) (dans un cadre simplifié) pour comparer les valeurs.
📘 4. Rappel Théorique
La condition de résistance s'écrit : \(\sigma_{\text{max}} \le f_{\text{y}}\), où \(f_{\text{y}}\) est la limite d'élasticité.
On définit le taux de travail par le ratio \(\tau = \frac{\sigma_{\text{max}}}{R_{\text{e}}}\).
Si \(\tau < 100\%\), la structure tient. Plus \(\tau\) est bas, plus la marge de sécurité est grande.
📐 5. Formules Clés
Comparaison directe des contraintes.
Si l'inégalité est vraie, le profilé est validé.
📋 6. Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Contrainte Calculée \(\sigma_{\text{max}}\) | \(166.67 \text{ MPa}\) |
| Limite Élastique \(R_{\text{e}}\) | \(235 \text{ MPa}\) |
| Coefficient sécurité \(s\) | \(1.0\) |
💡 7. Astuce
Un taux de travail optimal en construction métallique se situe généralement entre \(80\%\) et \(95\%\). En dessous de \(50\%\), la structure est considérée comme trop lourde et chère (gaspillage). Au-dessus de \(100\%\), elle est dangereuse.
📝 8. Calcul Détaillé
Vérification finale du critère de dimensionnement.
1. Comparaison avec la Limite Élastique :
On pose l'inégalité avec les valeurs numériques.
L'inégalité est respectée.
2. Calcul du Taux de Travail :
Pourcentage d'utilisation de la capacité du matériau.
La poutre travaille à \(71\%\) de ses capacités maximales.
✅ 9. Interprétation Globale
Le profilé IPE 240 est CONFORME aux exigences de résistance. Il offre une marge de sécurité d'environ \(30\%\) avant d'atteindre la limite élastique, ce qui est très confortable et permet d'absorber d'éventuelles surcharges imprévues sans risque immédiat pour la structure.
⚖️ 10. Analyse de Cohérence
Le taux de \(71\%\) est excellent. Il montre que le profilé n'est pas grossièrement surdimensionné (ce qui serait le cas à \(20\%\)) ni dangereusement proche de la limite (\(99\%\)). C'est un choix économique et technique rationnel.
⚠️ 11. Points de Vigilance
Attention, cette validation ne concerne que l'État Limite Ultime (ELU). Pour une passerelle piétonne, le confort vibratoire et la flèche (ELS) sont souvent plus contraignants que la simple résistance. Il faudra impérativement vérifier ces critères dans une seconde note de calculs.
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