Calcul des Réactions d'Appui d'une Poutre

Comprendre le Calcul des Réactions d'Appui

Une poutre simple en acier est utilisée dans une structure de plancher. Elle est supportée par un appui simple (rouleau) à une extrémité (A) et un appui double (rotule) à l'autre extrémité (B). La poutre est soumise à une charge ponctuelle et à une charge uniformément répartie. Il est nécessaire de calculer les réactions aux appuis pour pouvoir ensuite dimensionner la poutre.

Données

Géométrie et Appuis :
- Longueur de la poutre (\(L\)) : 6 \(\text{m}\)
- Appui A (x=0) : Appui simple (rouleau) - Réaction verticale \(R_{Ay}\)
- Appui B (x=6m) : Appui double (rotule) - Réactions verticale \(R_{By}\) et horizontale \(R_{Bx}\)
Charges Appliquées :
- Charge ponctuelle (\(F\)) : 15 \(\text{kN}\), appliquée à 2 \(\text{m}\) de l'appui A (x=2m).
- Charge uniformément répartie (\(q\)) : 5 \(\text{kN/m}\), appliquée sur toute la longueur de la poutre.

Schéma de la Poutre et des Charges

Question

Calculer les composantes des réactions d'appui en A (\(R_{Ay}\)) et en B (\(R_{Bx}, R_{By}\)).

Correction : Calcul des Réactions d'Appui

Question : Calcul des réactions d'appui \(R_{Ay}\), \(R_{Bx}\), \(R_{By}\)

Principe :

Pour qu'une structure soit en équilibre statique (immobile), la somme des forces dans chaque direction (horizontale et verticale) doit être nulle, et la somme des moments de toutes les forces par rapport à n'importe quel point doit également être nulle. Ces conditions permettent de trouver les forces inconnues exercées par les appuis sur la structure.

Équations d'équilibre statique :

\(\sum F_x = 0\) (Somme des forces horizontales = 0)
\(\sum F_y = 0\) (Somme des forces verticales = 0)
\(\sum M_{/A} = 0\) (Somme des moments par rapport au point A = 0)

On choisit le point A pour la somme des moments car cela élimine l'inconnue \(R_{Ay}\) de cette équation, permettant de trouver \(R_{By}\) directement.

Données :

Charge ponctuelle \(F = 15 \, \text{kN}\) à \(x=2 \, \text{m}\)
Charge répartie \(q = 5 \, \text{kN/m}\) sur \(L=6 \, \text{m}\)
Portée \(L = 6 \, \text{m}\)

La charge répartie \(q\) peut être remplacée par une force équivalente \(Q_{eq} = q \times L\) appliquée au centre de la poutre (\(L/2\)) pour le calcul des réactions d'appui.

Q_{eq} = 5 \, \text{kN/m} \times 6 \, \text{m} \] \[ Q_{eq} = 30 \, \text{kN}

Cette force équivalente est appliquée à \(x = L/2 = 6/2 = 3 \, \text{m}\).

Calcul de \(R_{Bx}\) :

Appliquons la somme des forces horizontales. Les seules forces horizontales possibles sont les réactions d'appui. \(R_{Ay}\) et \(R_{By}\) sont verticales, \(F\) et \(q\) sont verticales.

\sum F_x = 0 \Rightarrow R_{Bx} = 0

Calcul de \(R_{By}\) :

Appliquons la somme des moments par rapport à A. Convention : sens anti-horaire positif.

Le moment de \(F\) par rapport à A est \(-F \times 2 \, \text{m}\).

Le moment de la charge répartie (représentée par \(Q_{eq}\)) par rapport à A est \(-Q_{eq} \times (L/2) = -30 \, \text{kN} \times 3 \, \text{m}\).

Le moment de \(R_{By}\) par rapport à A est \(+R_{By} \times L = +R_{By} \times 6 \, \text{m}\).

\(R_{Ay}\) et \(R_{Bx}\) ne créent pas de moment par rapport à A.

\sum M_{/A} = 0 \Rightarrow -(F \times 2) - (Q_{eq} \times 3) + (R_{By} \times 6) = 0

-(15 \times 2) - (30 \times 3) + (R_{By} \times 6) = 0 \] \[ -30 - 90 + 6 R_{By} = 0 \] \[ -120 + 6 R_{By} = 0 \] \[ 6 R_{By} = 120 \] \[ R_{By} = \frac{120}{6} = 20 \, \text{kN}

Calcul de \(R_{Ay}\) :

Appliquons la somme des forces verticales.

\sum F_y = 0 \Rightarrow R_{Ay} + R_{By} - F - Q_{eq} = 0

\(R_{By} = 20 \, \text{kN}\)
\(F = 15 \, \text{kN}\)
\(Q_{eq} = 30 \, \text{kN}\)

R_{Ay} + 20 - 15 - 30 = 0 \] \[ R_{Ay} - 25 = 0 \] \[ R_{Ay} = 25 \, \text{kN}

Résultat Final : Les réactions d'appui sont :

\(R_{Ay} = 25 \, \text{kN}\) (vers le haut)
\(R_{Bx} = 0 \, \text{kN}\)
\(R_{By} = 20 \, \text{kN}\) (vers le haut)

Vérification : Somme des forces verticales = \(25 + 20 - 15 - 30 = 50 - 45 = 5 \ne 0\). Erreur de calcul. Revoyons le calcul de \(R_{Ay}\).

Correction du calcul de \(R_{Ay}\) :

R_{Ay} + 20 - 15 - 30 = 0 \] \[ R_{Ay} - 25 = 0 \] \[ R_{Ay} = 25 \, \text{kN}

Vérification (nouvelle) : \(25 + 20 - 15 - 30 = 45 - 45 = 0\). OK.

Les résultats corrigés sont donc corrects.

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