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Analyse des forces en géotechnique

Analyse des forces en géotechnique

Analyse des forces en géotechnique

Contexte : L'équilibre des forces, un enjeu majeur en Génie Civil.

En géotechnique, les murs de soutènement sont des ouvrages essentiels pour retenir les terres et prévenir les glissements de terrain. La conception de ces murs est un exercice d'équilibre : le poids propre du mur doit être suffisant pour contrer la poussée exercée par le sol qu'il retient. Une analyse de stabilité rigoureuse est donc impérative pour garantir la sécurité de l'ouvrage. Cet exercice vous guidera à travers les calculs fondamentaux pour vérifier la stabilité au renversement et au glissement d'un mur-poidsUn mur de soutènement, généralement en béton non armé, qui assure sa stabilité uniquement grâce à son poids propre. Sa géométrie trapézoïdale est optimisée pour cette fonction., en utilisant la théorie de Rankine pour évaluer la poussée des terres.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe des principes de la statique et de la mécanique des sols. Nous allons décomposer un problème complexe (l'interaction sol-structure) en un bilan de forces et de moments. C'est la démarche de base de l'ingénieur géotechnicien : modéliser les actions du sol pour dimensionner un ouvrage qui y résiste avec une marge de sécurité adéquate.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le poids et le centre de gravité d'une section trapézoïdale.
  • Déterminer le coefficient de poussée active des terres selon la théorie de Rankine.
  • Calculer la force de poussée résultante et son point d'application.
  • Vérifier la stabilité au renversement en calculant un facteur de sécurité.
  • Vérifier la stabilité au glissement en calculant un facteur de sécurité.
  • Se familiariser avec les unités en géotechnique (m, kN, kPa, degrés).

Données de l'étude

On étudie la stabilité d'un mur-poids en béton de section trapézoïdale, retenant un massif de sable horizontal. Les caractéristiques géométriques et géotechniques sont les suivantes :

Schéma du mur de soutènement et des forces
W Pₐ H = 6.0 m B = 3.0 m b = 0.5 m O
Paramètre Symbole Valeur Unité
Hauteur du mur \(H\) 6.0 \(\text{m}\)
Largeur de la base \(B\) 3.0 \(\text{m}\)
Largeur en crête \(b\) 0.5 \(\text{m}\)
Poids volumique du béton \(\gamma_b\) 25 \(\text{kN/m}^3\)
Poids volumique du sol \(\gamma_s\) 18 \(\text{kN/m}^3\)
Angle de frottement interne du sol \(\phi'\) 30 \(^\circ\)
Angle de frottement sol-mur \(\delta\) 20 \(^\circ\)

Questions à traiter

  1. Calculer le poids du mur par mètre linéaire, \(W\), et la position de son centre de gravité par rapport au point O.
  2. Calculer le coefficient de poussée active des terres \(K_a\) et la force de poussée active résultante \(P_a\).
  3. Vérifier la stabilité du mur au renversement par rapport au point O.
  4. Vérifier la stabilité du mur au glissement sur sa base.

Les bases de la Mécanique des Sols

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés de la stabilité des ouvrages géotechniques.

1. Poussée des Terres (Théorie de Rankine) :
Un sol retenu par un mur exerce une pression latérale. En état "actif", le mur s'éloigne légèrement du sol, permettant au sol de se décomprimer et de mobiliser sa résistance au cisaillement. La théorie de Rankine (1857) fournit une méthode simple pour calculer cette pression, qui est triangulaire et dépend du poids du sol (\(\gamma_s\)) et de son angle de frottement (\(\phi'\)). Le coefficient de poussée active \(K_a\) est donné par : \[ K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) \]

2. Stabilité au Renversement :
On vérifie que le mur ne bascule pas autour de son pied avant (le point O). Pour cela, on compare le moment des forces qui stabilisent le mur (moment stabilisateur, \(M_s\)) au moment des forces qui tendent à le faire basculer (moment de renversement, \(M_r\)). Le facteur de sécurité, qui doit être supérieur à une valeur de référence (souvent 1.5 ou 2.0), est le rapport : \[ F_{\text{renversement}} = \frac{\sum M_s}{\sum M_r} \]

3. Stabilité au Glissement :
On vérifie que le mur ne glisse pas horizontalement sur sa base. On compare la somme des forces horizontales qui résistent au mouvement (\(F_r\), principalement le frottement à la base) à la somme des forces qui poussent le mur (\(F_m\), la poussée des terres). Le facteur de sécurité, qui doit être supérieur à une valeur de référence (souvent 1.5), est le rapport : \[ F_{\text{glissement}} = \frac{\sum F_r}{\sum F_m} \]

Correction : Analyse des forces en géotechnique

Question 1 : Calculer le poids du mur (W) et son centre de gravité

Principe (le concept physique)

Le poids du mur est la principale force qui le stabilise. Pour le calculer, on détermine l'aire de sa section trapézoïdale (que l'on peut décomposer en un rectangle et un triangle) et on la multiplie par le poids volumique du béton. Le centre de gravité de la section est le point d'application de cette force de poids. Sa position est cruciale pour le calcul du moment stabilisateur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le centre de gravité d'une forme composée est trouvé en utilisant le principe des moments statiques. On calcule le barycentre des centres de gravité des formes simples (rectangle et triangle), pondéré par leurs aires respectives. Pour un rectangle, le centre de gravité est au centre. Pour un triangle rectangle, il est au tiers de la base et au tiers de la hauteur à partir de l'angle droit.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous essayez de trouver le point d'équilibre d'une plaque en forme de trapèze. C'est ce que nous faisons en calculant le centre de gravité. Décomposer la forme en un rectangle et un triangle est une méthode infaillible pour simplifier le problème. Le poids total agit comme une force unique appliquée à ce point d'équilibre.

Normes (la référence réglementaire)

Les méthodes de calcul des propriétés géométriques des sections (aire, centre de gravité) sont des principes de base de la statique, fondamentaux pour toute norme de calcul de structure, y compris l'Eurocode 7 pour le calcul géotechnique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Aire du trapèze :

\[ A = \frac{(B+b) \cdot H}{2} \]

Poids par mètre linéaire :

\[ W = A \cdot \gamma_b \]

Position du centre de gravité (xG) :

\[ x_G = \frac{A_1 \cdot x_1 + A_2 \cdot x_2}{A_1 + A_2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le mur est homogène, avec un poids volumique constant. On effectue le calcul pour une "tranche" de 1 mètre d'épaisseur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Hauteur, \(H = 6.0 \, \text{m}\)
  • Grande base, \(B = 3.0 \, \text{m}\)
  • Petite base, \(b = 0.5 \, \text{m}\)
  • Poids volumique béton, \(\gamma_b = 25 \, \text{kN/m}^3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour trouver rapidement le bras de levier du poids par rapport au point O, on peut calculer le centre de gravité par rapport au parement arrière (vertical) et le soustraire de la base B. C'est parfois plus intuitif : \(x_{G,\text{arrière}} = \frac{(3.0 \cdot 0.25) + (7.5 \cdot (0.5 + (2.5/3)))}{10.5} \approx 1.04 \text{ m}\). Le bras de levier par rapport à O est donc \(3.0 - 1.04 = 1.96 \text{ m}\).

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la section du mur
A₂A₁O
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'aire et du poids :

\[ \begin{aligned} A &= \frac{(B+b) \cdot H}{2} \\ &= \frac{(3.0 \, \text{m} + 0.5 \, \text{m}) \cdot 6.0 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{3.5 \, \text{m} \cdot 6.0 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{21.0 \, \text{m}^2}{2} \\ &= 10.5 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} W &= A \cdot \gamma_b \\ &= 10.5 \, \text{m}^2 \cdot 25 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 262.5 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Calcul du centre de gravité (par rapport au point O, le pied avant) :

\[ \begin{aligned} \text{Triangle :} & A_2 = \frac{(3.0-0.5) \cdot 6.0}{2} = 7.5 \, \text{m}^2, \quad x_2 = \frac{2}{3} \cdot (3.0-0.5) \approx 1.67 \, \text{m} \\ \text{Rectangle :} & A_1 = 0.5 \cdot 6.0 = 3.0 \, \text{m}^2, \quad x_1 = (3.0-0.5) + \frac{0.5}{2} = 2.75 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} x_G(\text{depuis O}) &= \frac{(A_2 \cdot x_2) + (A_1 \cdot x_1)}{A_1 + A_2} \\ &= \frac{(7.5 \, \text{m}^2 \cdot 1.67 \, \text{m}) + (3.0 \, \text{m}^2 \cdot 2.75 \, \text{m})}{10.5 \, \text{m}^2} \\ &= \frac{12.525 \, \text{m}^3 + 8.25 \, \text{m}^3}{10.5 \, \text{m}^2} \\ &= \frac{20.775 \, \text{m}^3}{10.5 \, \text{m}^2} \\ &\approx 1.98 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position du Poids W
WxG ≈ 1.98 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le poids de 262.5 kN (environ 26 tonnes par mètre) est la principale force qui va s'opposer à la poussée des terres. Son bras de levier de 1.98 m par rapport au point de pivotement O est un paramètre clé qui va déterminer le moment stabilisateur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est de mal définir l'origine pour le calcul du centre de gravité. Il faut être systématique. Ici, on calcule les distances par rapport au point O (le pied avant du mur), car c'est le pivot pour le calcul de renversement. Une erreur sur le bras de levier a un impact direct sur le facteur de sécurité.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Décomposer les formes complexes en formes simples (rectangles, triangles).
  • Calculer l'aire et le poids de chaque forme simple.
  • Utiliser la formule du barycentre pour trouver le centre de gravité global.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les Romains étaient des maîtres dans la construction de murs de soutènement et d'aqueducs. Sans calculs formels, ils avaient une compréhension empirique profonde de la géométrie optimale des murs-poids, en utilisant des bases très larges pour assurer la stabilité, une technique encore valable aujourd'hui.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi calcule-t-on par "mètre linéaire" ?

Les murs de soutènement sont des ouvrages "linéaires" (longs). On suppose que leur section et les conditions du sol sont constantes sur une certaine longueur. Le calcul par tranche de 1 mètre permet de simplifier le problème en 2D et de donner des résultats en force par mètre (kN/m) ou moment par mètre (kNm/m), facilement exploitables pour le dimensionnement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le poids du mur est de 262.5 kN par mètre linéaire, et son centre de gravité est situé à environ 1.98 m du pied avant (point O).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la base B était de 4.0 m (le reste inchangé), quel serait le nouveau poids W en kN/m ?

Question 2 : Calculer la poussée active des terres (Pa)

Principe (le concept physique)

Le sol derrière le mur exerce une poussée horizontale qui tend à le déstabiliser. La théorie de Rankine nous permet d'estimer cette force. On calcule d'abord un coefficient (\(K_a\)) qui dépend de la résistance interne du sol (son angle de frottement \(\phi'\)). Ce coefficient, toujours inférieur à 1, réduit la pression hydrostatique qu'exercerait un fluide de même poids volumique. La force résultante, \(P_a\), s'applique au tiers de la hauteur du mur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'état "actif" de Rankine suppose un léger déplacement du mur, suffisant pour que le sol entre en rupture le long d'un plan de glissement. La pression du sol à une profondeur \(z\) est \(\sigma'_h = K_a \cdot \sigma'_v = K_a \cdot \gamma_s \cdot z\). C'est une distribution de pression triangulaire, dont la résultante est l'aire du triangle, soit \( (1/2) \cdot (\text{pression à la base}) \cdot (\text{hauteur}) \).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un tas de sable sec. Il forme un cône avec un angle naturel. C'est l'angle de frottement \(\phi'\) qui gouverne cet angle. Un sol avec un \(\phi'\) élevé "se tient mieux" et pousse donc moins fort sur le mur. C'est pourquoi \(K_a\) diminue quand \(\phi'\) augmente.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 (Calcul géotechnique) spécifie les méthodes de calcul des pressions des terres. La théorie de Rankine est acceptée pour les cas simples (mur vertical, remblai horizontal, pas de frottement mur-sol). Pour des cas plus complexes, la théorie de Coulomb ou des méthodes numériques sont utilisées.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Coefficient de poussée active :

\[ K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) \]

Force de poussée résultante :

\[ P_a = \frac{1}{2} K_a \gamma_s H^2 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On applique les hypothèses de Rankine : le mur est parfaitement lisse et vertical (on néglige le frottement \(\delta\)), le remblai est horizontal, et le sol est homogène et pulvérulent (pas de cohésion).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Hauteur, \(H = 6.0 \, \text{m}\)
  • Poids volumique sol, \(\gamma_s = 18 \, \text{kN/m}^3\)
  • Angle de frottement sol, \(\phi' = 30^\circ\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les angles de frottement courants, il est bon de connaître quelques valeurs de \(K_a\). Pour \(\phi' = 30^\circ\), \(K_a\) vaut exactement 1/3. C'est le cas le plus classique dans les exercices. Pour \(\phi' = 36^\circ\), \(K_a \approx 0.26\).

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Pression Active des Terres
σ'h = Ka.γs.H
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du coefficient \(K_a\) :

\[ \begin{aligned} K_a &= \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) \\ &= \tan^2\left(45^\circ - \frac{30^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2(45^\circ - 15^\circ) \\ &= \tan^2(30^\circ) \\ &= \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned} \]

2. Calcul de la force de poussée \(P_a\) :

\[ \begin{aligned} P_a &= \frac{1}{2} K_a \gamma_s H^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 18 \, \frac{\text{kN}}{\text{m}^3} \cdot (6.0 \, \text{m})^2 \\ &= \frac{1}{6} \cdot 18 \, \frac{\text{kN}}{\text{m}^3} \cdot 36.0 \, \text{m}^2 \\ &= 3 \, \frac{\text{kN}}{\text{m}^3} \cdot 36.0 \, \text{m}^2 \\ &= 108 \, \frac{\text{kN}}{\text{m}} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultante de la Poussée Active
Pa = 108 kN/mH/3=2m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La force totale que le sol exerce sur le mur est de 108 kN pour chaque mètre de longueur. Cette force s'applique horizontalement à une hauteur de H/3 = 2.0 m depuis la base. C'est cette force qui va créer le moment de renversement et la force de glissement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le carré sur la hauteur H dans la formule de la force de poussée. C'est une erreur fréquente. La pression est proportionnelle à H, mais la force résultante (l'aire du triangle) est proportionnelle à H².

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La poussée active est la force minimale que le sol exerce.
  • Elle dépend de \(\gamma_s\), \(\phi'\) et \(H^2\).
  • La résultante s'applique au tiers de la hauteur depuis la base.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Il existe aussi une "poussée passive". C'est la force maximale que le sol peut opposer si on pousse le mur contre lui. Cette force est beaucoup plus grande que la poussée active. On l'utilise pour calculer la stabilité des fondations ou des ancrages (la "butée").

FAQ (pour lever les doutes)
Cette théorie s'applique-t-elle aux argiles ?

Non, pas directement. Les argiles ont de la "cohésion" (c), une force qui "colle" les grains ensemble. La théorie doit être modifiée (théorie de Bell) pour inclure cet effet. La cohésion réduit la poussée active et peut même créer une "tension" près de la surface, où le sol se décolle du mur.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La force de poussée active des terres est de 108 kN par mètre linéaire.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le sol était un sable plus lâche avec \(\phi' = 25^\circ\), quelle serait la nouvelle poussée \(P_a\) en kN/m ? (\(K_a\) pour 25° ≈ 0.406)

Question 3 : Vérifier la stabilité au renversement

Principe (le concept physique)

La stabilité au renversement est une comparaison de moments. On imagine que le mur pivote autour de son arête avant (point O). Le poids du mur (\(W\)) crée un moment qui s'oppose à ce pivotement (moment stabilisateur). La poussée des terres (\(P_a\)) crée un moment qui favorise le pivotement (moment de renversement). Le rapport entre ces deux moments nous donne le facteur de sécurité.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le moment d'une force est le produit de l'intensité de cette force par son "bras de levier", qui est la distance perpendiculaire entre la ligne d'action de la force et le point de pivot. L'équilibre est atteint lorsque la somme des moments est nulle. Pour la stabilité, on exige que la somme des moments stabilisateurs soit significativement plus grande que celle des moments de renversement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est comme jouer à la balançoire. Le poids du mur est le "grand" qui s'assoit près du centre pour stabiliser, tandis que la poussée des terres est le "petit" qui pousse loin du centre pour essayer de faire basculer la balançoire. On veut s'assurer que le "grand" a suffisamment de poids et est bien placé pour gagner à coup sûr.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 impose un facteur de sécurité minimal pour la vérification au renversement (EQU). Ce facteur est typiquement de 1.5 en situation de projet durable. Il garantit une marge de sécurité contre les incertitudes sur les charges et les propriétés des matériaux.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Moment stabilisateur :

\[ M_s = W \cdot x_G \]

Moment de renversement :

\[ M_r = P_a \cdot \frac{H}{3} \]

Facteur de sécurité :

\[ F_{\text{renv.}} = \frac{M_s}{M_r} \ge 1.5 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le point de pivotement est l'arête avant de la base du mur (point O). Toutes les forces sont appliquées dans le plan de l'étude (analyse 2D).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Poids du mur, \(W = 262.5 \, \text{kN/m}\) (de Q1)
  • Bras de levier du poids, \(x_G = 1.98 \, \text{m}\) (de Q1)
  • Poussée active, \(P_a = 108 \, \text{kN/m}\) (de Q2)
  • Bras de levier de la poussée, \(H/3 = 6.0/3 = 2.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant le calcul, on peut faire une estimation rapide. Le poids est environ 2.5 fois la poussée (\(262.5 / 108\)). Le bras de levier du poids (\(1.98\text{m}\)) est similaire à celui de la poussée (\(2.0\text{m}\)). Le facteur de sécurité sera donc de l'ordre de 2.5. Si le calcul donne un résultat très différent, il y a une erreur.

Schéma (Avant les calculs)
Moments par rapport au point O
OMsMr
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des moments :

\[ \begin{aligned} M_s &= W \cdot x_G \\ &= 262.5 \, \frac{\text{kN}}{\text{m}} \cdot 1.98 \, \text{m} \\ &= 519.75 \, \frac{\text{kNm}}{\text{m}} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} M_r &= P_a \cdot \frac{H}{3} \\ &= 108 \, \frac{\text{kN}}{\text{m}} \cdot \frac{6.0 \, \text{m}}{3} \\ &= 108 \, \frac{\text{kN}}{\text{m}} \cdot 2.0 \, \text{m} \\ &= 216 \, \frac{\text{kNm}}{\text{m}} \end{aligned} \]

2. Calcul du facteur de sécurité :

\[ \begin{aligned} F_{\text{renv.}} &= \frac{M_s}{M_r} \\ &= \frac{519.75 \, \text{kNm/m}}{216 \, \text{kNm/m}} \\ &\approx 2.41 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan des Moments
Ms = 519.8 kNm/mMr = 216 kNm/mFS = 2.41 > 1.5 ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le facteur de sécurité de 2.41 est bien supérieur à la valeur minimale de 1.5. Cela signifie que le moment qui stabilise le mur est presque deux fois et demie plus grand que le moment qui tend à le faire basculer. La conception est très sûre vis-à-vis du renversement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à bien calculer tous les moments par rapport au même point de pivot (O). Si d'autres forces étaient présentes (une surcharge sur le remblai, par exemple), il faudrait aussi calculer leur moment de renversement et l'ajouter au dénominateur.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Stabilité au renversement = Bilan des moments par rapport au pied avant.
  • Moment stabilisateur = Poids x bras de levier.
  • Moment de renversement = Poussée x bras de levier.
  • Le facteur de sécurité doit être > 1.5 (ou 2.0 selon les cas).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La Tour de Pise est un exemple célèbre de problème de renversement (et de tassement). Son inclinaison continue a déplacé le centre de gravité de la tour. Les travaux de stabilisation ont consisté, entre autres, à extraire du sol sous le côté le moins incliné pour la redresser légèrement et ramener la verticale passant par son centre de gravité à l'intérieur de sa base, garantissant ainsi sa stabilité.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que le poids du sol sur la semelle arrière du mur aide ?

Oui, absolument. Si le mur avait une semelle qui s'étend sous le remblai (mur en T inversé), le poids du sol reposant sur cette semelle serait ajouté au poids W dans le calcul du moment stabilisateur. C'est une technique très efficace pour améliorer la stabilité sans utiliser plus de béton.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le facteur de sécurité au renversement est de 2.41. L'ouvrage est stable vis-à-vis du renversement.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si une surcharge de 10 kPa était appliquée sur le remblai (créant une poussée rectangulaire supplémentaire de 20 kN/m à mi-hauteur), quel serait le nouveau FS au renversement ?

Question 4 : Vérifier la stabilité au glissement

Principe (le concept physique)

Ici, on vérifie que la poussée des terres n'est pas suffisante pour faire "glisser" le mur sur sa fondation. La force qui résiste au glissement est le frottement entre la base du mur et le sol. Cette force de frottement est proportionnelle à la force verticale totale (le poids du mur) et à un coefficient de frottement (\(\tan \delta\)). On compare cette force résistante à la force motrice (la poussée \(P_a\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La loi de frottement de Coulomb stipule que la force de frottement maximale mobilisable (\(F_r\)) entre deux surfaces est le produit de la force normale (\(N\)) qui les presse l'une contre l'autre et du coefficient de frottement (\(\mu\)). Dans notre cas, \(N\) est le poids du mur \(W\), et \(\mu\) est la tangente de l'angle de frottement à l'interface, \(\tan(\delta)\). C'est une application directe de la mécanique fondamentale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la même physique que lorsque vous essayez de pousser une armoire lourde. La force que vous devez vaincre est le frottement entre l'armoire et le sol. Plus l'armoire est lourde (plus \(W\) est grand), plus il est difficile de la faire glisser. De même, un sol plus "rugueux" sous la fondation (un \(\delta\) plus grand) aidera à résister au glissement.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 exige un facteur de sécurité minimal pour la vérification au glissement (GEO). Ce facteur est typiquement de 1.5. Il s'assure que les forces résistantes sont au moins 50% plus grandes que les forces qui provoquent le glissement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Force résistante (frottement) :

\[ F_r = W \cdot \tan(\delta) \]

Force motrice :

\[ F_m = P_a \]

Facteur de sécurité :

\[ F_{\text{gliss.}} = \frac{F_r}{F_m} \ge 1.5 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la résistance au glissement est uniquement due au frottement sur la base. On néglige la "butée", c'est-à-dire la résistance du sol devant le pied du mur, ce qui est une hypothèse conservative (sécuritaire).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Poids du mur, \(W = 262.5 \, \text{kN/m}\) (de Q1)
  • Angle de frottement sol-mur, \(\delta = 20^\circ\)
  • Poussée active, \(P_a = 108 \, \text{kN/m}\) (de Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le rapport \(P_a / W\) donne une idée de la "pente" de la force résultante. Si cet angle est supérieur à l'angle de frottement \(\delta\), le glissement est probable. Ici, \(\arctan(108 / 262.5) \approx 22.3^\circ\), ce qui est supérieur à \(\delta = 20^\circ\). On s'attend donc à ce que le mur glisse.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan des Forces Horizontales
PaFr ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la force résistante :

\[ \begin{aligned} F_r &= W \cdot \tan(\delta) \\ &= 262.5 \, \frac{\text{kN}}{\text{m}} \cdot \tan(20^\circ) \\ &\approx 262.5 \, \frac{\text{kN}}{\text{m}} \cdot 0.364 \\ &\approx 95.55 \, \frac{\text{kN}}{\text{m}} \end{aligned} \]

2. Calcul du facteur de sécurité :

\[ \begin{aligned} F_{\text{gliss.}} &= \frac{F_r}{F_m} \\ &= \frac{95.55 \, \text{kN/m}}{108 \, \text{kN/m}} \\ &\approx 0.88 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Forces
Fm (Poussée) = 108 kN/mFr (Frottement) = 95.6 kN/mFS = 0.88 < 1.5 ❌
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le facteur de sécurité de 0.88 est très inférieur à la valeur minimale de 1.5 requise. Cela signifie que la force de frottement est plus faible que la force de poussée. Le mur n'est PAS stable au glissement. En tant qu'ingénieur, il faudrait revoir la conception : élargir la base pour augmenter le poids, ajouter une "bêche" sous la fondation pour mobiliser la butée du sol, ou utiliser des techniques d'amélioration des sols.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur courante est de confondre l'angle de frottement interne du sol (\(\phi'\)) et l'angle de frottement à l'interface mur-sol (\(\delta\)). C'est bien \(\delta\) qui doit être utilisé pour le calcul du glissement. De plus, si la nappe phréatique est présente, il faut utiliser les poids volumiques déjaugés et ajouter la poussée de l'eau, ce qui complique les calculs et dégrade fortement la stabilité.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Stabilité au glissement = Bilan des forces horizontales.
  • Force résistante = Poids x tan(delta).
  • Force motrice = Poussée des terres.
  • Le facteur de sécurité doit être > 1.5.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les grands ouvrages de soutènement, on utilise souvent des "tirants d'ancrage". Ce sont de grands câbles d'acier forés et scellés loin dans le massif de sol derrière le mur. En les mettant en tension, ils "tirent" le mur contre le sol, augmentant la force normale et donc la résistance au glissement, tout en aidant à reprendre la poussée.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi \(\delta\) est-il souvent plus petit que \(\phi'\) ?

L'interface entre deux matériaux différents (ici, le béton du mur et le sable) est souvent plus "lisse" que l'interface entre les grains de sol eux-mêmes. Le frottement est donc plus faible. On prend souvent \(\delta\) égal à \(2/3\) de \(\phi'\) comme première approximation si aucune mesure n'est disponible.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le facteur de sécurité au glissement est de 0.88. L'ouvrage n'est PAS stable vis-à-vis du glissement.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle devrait être la largeur minimale de la base B (en m) pour obtenir un FS au glissement de 1.5 ? (Indice: Il faut exprimer W en fonction de B et résoudre l'équation).

Outil Interactif : Stabilité d'un Mur-Poids

Modifiez les paramètres du sol et du mur pour voir leur influence sur les facteurs de sécurité.

Paramètres d'Entrée
30 °
3.0 m
18.0 kN/m³
Facteurs de Sécurité
F.S. Renversement -
F.S. Glissement -
Stabilité Globale -

Le Saviez-Vous ?

L'ingénieur et physicien écossais William Rankine (1820-1872) est l'un des pères fondateurs de la thermodynamique, aux côtés de Clausius et Kelvin. Bien que sa théorie de la poussée des terres soit une simplification (elle ne prend pas en compte le frottement entre le mur et le sol), elle reste enseignée et utilisée dans le monde entier pour sa simplicité et son efficacité dans de nombreux cas de prédimensionnement.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si le sol n'est pas horizontal derrière le mur ?

Si le remblai est incliné, la théorie de Rankine peut être adaptée. Les formules pour le coefficient de poussée active \(K_a\) deviennent plus complexes, car elles doivent intégrer l'angle d'inclinaison du talus. La poussée n'est alors plus horizontale mais s'exerce avec une inclinaison parallèle à celle du talus.

Pourquoi utilise-t-on un "facteur de sécurité" ?

La géotechnique est une science qui compose avec de nombreuses incertitudes : les propriétés du sol peuvent varier d'un point à l'autre, les charges appliquées peuvent être plus importantes que prévu, et les modèles de calcul sont des simplifications de la réalité. Le facteur de sécurité est une marge, une "assurance" que l'on prend pour couvrir ces incertitudes et garantir que l'ouvrage reste stable même dans des conditions plus défavorables que celles du calcul.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'angle de frottement du sol (\(\phi'\)) augmente, la poussée active des terres...

2. Pour améliorer la stabilité au glissement d'un mur-poids, la solution la plus directe est...

Angle de frottement interne (\(\phi'\))
Propriété intrinsèque d'un sol granulaire (sable, gravier) qui mesure sa résistance au cisaillement. C'est l'équivalent de la "rugosité" entre les grains du sol.
Poussée des terres
Pression latérale exercée par un massif de sol sur un ouvrage de soutènement. On distingue la poussée au repos, la poussée active (minimale) et la poussée passive (maximale).
Facteur de Sécurité (FS)
Rapport entre les forces (ou moments) résistantes et les forces (ou moments) motrices. Un FS > 1.0 est nécessaire pour la stabilité, et les normes imposent des valeurs minimales (ex: 1.5) pour tenir compte des incertitudes.
Analyse des forces en géotechnique

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