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Analyse des forces en géotechnique

Analyse des Forces sur un Mur de Soutènement

Analyse des Forces sur un Mur de Soutènement

Comprendre les Forces Agissant sur les Murs de Soutènement

Les murs de soutènement sont des structures conçues pour retenir des masses de terre. L'analyse des forces agissant sur ces murs est cruciale pour assurer leur stabilité. Les principales forces à considérer sont le poids propre du mur, la poussée des terres exercée par le sol retenu, et les réactions du sol de fondation. La poussée des terres peut être active (le mur tend à s'éloigner du sol) ou passive (le mur tend à être poussé dans le sol). Cet exercice se concentrera sur le calcul de la poussée active des terres selon la théorie de Rankine pour un sol pulvérulent (sans cohésion) et un remblai horizontal.

Données de l'étude

On considère un mur de soutènement poids en béton, de section rectangulaire, retenant un sol sableux sec et horizontal.

Caractéristiques du mur et du sol :

  • Hauteur du mur (\(H\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Largeur de la base du mur (\(B\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Poids volumique du béton (\(\gamma_{beton}\)) : \(24 \, \text{kN/m}^3\)
  • Poids volumique du sol sableux sec (\(\gamma_{sol}\)) : \(18 \, \text{kN/m}^3\)
  • Angle de frottement interne du sol (\(\phi'\)) : \(30^\circ\)
  • Cohésion du sol (\(c'\)) : \(0 \, \text{kPa}\) (sol pulvérulent)
  • On néglige le frottement entre le mur et le sol.
Schéma : Mur de Soutènement avec Poussée des Terres
Sol de fondation Mur (Béton) Remblai (Sable) Surface horizontale Pa sigma_ha,base W_mur H=4m B=2m H/3

Mur de soutènement poids retenant un sol pulvérulent.

Questions à traiter

  1. Calculer le coefficient de poussée active des terres (\(K_a\)) selon la théorie de Rankine.
  2. Déterminer la contrainte de poussée active horizontale (\(\sigma'_{ha}\)) à la base du mur (à une profondeur \(z=H\)).
  3. Calculer la résultante de la poussée active des terres (\(P_a\)) par mètre linéaire de mur.
  4. Déterminer la hauteur d'application (\(h_a\)) de la résultante \(P_a\) par rapport à la base du mur.
  5. Calculer le poids du mur (\(W_{mur}\)) par mètre linéaire.
  6. Dessiner le Diagramme de Corps Libre (DCL) du mur, en indiquant \(P_a\), \(W_{mur}\), et les composantes de la réaction du sol de fondation (force normale \(N_{base}\) et force de frottement \(T_{base}\)).
  7. Écrire les équations d'équilibre des forces (\(\sum F_x = 0\), \(\sum F_y = 0\)) pour le mur et déterminer les valeurs de \(N_{base}\) et \(T_{base}\).

Correction : Analyse des Forces sur un Mur de Soutènement

Question 1 : Coefficient de Poussée Active (\(K_a\))

Principe :

Pour un sol pulvérulent (\(c'=0\)) avec un remblai horizontal et un mur vertical sans frottement mur-sol, le coefficient de poussée active de Rankine est donné par :

Formule(s) utilisée(s) :
\[ K_a = \frac{1 - \sin(\phi')}{1 + \sin(\phi')} = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) \]
Données spécifiques :
  • Angle de frottement interne du sol (\(\phi'\)) : \(30^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} K_a &= \tan^2\left(45^\circ - \frac{30^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2(45^\circ - 15^\circ) \\ &= \tan^2(30^\circ) \\ &= \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ &= \frac{1}{3} \approx 0.333 \end{aligned} \]

Alternativement : \(\sin(30^\circ) = 0.5\)

\[ K_a = \frac{1 - 0.5}{1 + 0.5} = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3} \approx 0.333 \]
Résultat Question 1 : Le coefficient de poussée active est \(K_a = 1/3 \approx 0.333\).

Question 2 : Contrainte de Poussée Active à la Base du Mur (\(\sigma'_{ha,base}\))

Principe :

La contrainte de poussée active horizontale à une profondeur \(z\) est \(\sigma'_{ha}(z) = K_a \cdot \sigma'_v(z)\), où \(\sigma'_v(z)\) est la contrainte verticale effective à cette profondeur. Pour un sol sec avec remblai horizontal, \(\sigma'_v(z) = \gamma_{sol} \cdot z\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma'_{ha,base} = K_a \cdot \gamma_{sol} \cdot H \]
Données spécifiques :
  • \(K_a = 1/3\)
  • \(\gamma_{sol} = 18 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(H = 4.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma'_{ha,base} &= \frac{1}{3} \cdot (18 \, \text{kN/m}^3) \cdot (4.0 \, \text{m}) \\ &= 6 \, \text{kN/m}^2 \cdot 4.0 \, \text{m} \\ &= 24 \, \text{kN/m}^2 = 24 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte de poussée active à la base du mur est \(\sigma'_{ha,base} = 24 \, \text{kPa}\).

Question 3 : Résultante de la Poussée Active (\(P_a\))

Principe :

La distribution de la poussée active est triangulaire, variant de 0 à la surface à \(\sigma'_{ha,base}\) à la base du mur. La résultante \(P_a\) est l'aire de ce triangle de pression, par mètre linéaire de mur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_a = \frac{1}{2} \cdot \sigma'_{ha,base} \cdot H = \frac{1}{2} K_a \gamma_{sol} H^2 \]
Données spécifiques :
  • \(\sigma'_{ha,base} = 24 \, \text{kPa}\)
  • \(H = 4.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_a &= \frac{1}{2} \cdot (24 \, \text{kN/m}^2) \cdot (4.0 \, \text{m}) \\ &= 12 \, \text{kN/m}^2 \cdot 4.0 \, \text{m} \\ &= 48 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

(kN/m car c'est par mètre linéaire de mur)

Résultat Question 3 : La résultante de la poussée active est \(P_a = 48 \, \text{kN/m}\).

Question 4 : Hauteur d'Application de \(P_a\) (\(h_a\))

Principe :

Pour une distribution triangulaire de pression, la résultante s'applique au tiers de la hauteur à partir de la base (le centroïde du triangle).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ h_a = \frac{H}{3} \]
Données spécifiques :
  • \(H = 4.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} h_a &= \frac{4.0 \, \text{m}}{3} \\ &\approx 1.333 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La hauteur d'application de \(P_a\) est \(h_a \approx 1.333 \, \text{m}\) depuis la base du mur.

Question 5 : Poids du Mur (\(W_{mur}\))

Principe :

Le poids du mur par mètre linéaire est le volume du mur (par mètre linéaire) multiplié par le poids volumique du béton.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ W_{mur} = (B \cdot H \cdot 1\text{m}) \cdot \gamma_{beton} \]
Données spécifiques :
  • Base du mur (\(B\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur du mur (\(H\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • \(\gamma_{beton} = 24 \, \text{kN/m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{mur} &= (2.0 \, \text{m} \cdot 4.0 \, \text{m} \cdot 1 \, \text{m}) \cdot (24 \, \text{kN/m}^3) \\ &= (8.0 \, \text{m}^3/\text{m}) \cdot (24 \, \text{kN/m}^3) \\ &= 192 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le poids du mur est \(W_{mur} = 192 \, \text{kN/m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'angle de frottement interne du sol \(\phi'\) augmentait, le coefficient \(K_a\) :

Question 6 : Diagramme de Corps Libre (DCL) du Mur

DCL du Mur de Soutènement
Mur Pa h_a W_mur N_base T_base

Le DCL montre le mur isolé avec la poussée active \(P_a\), son poids \(W_{mur}\), la réaction normale du sol de fondation \(N_{base}\) et la force de frottement (ou butée) \(T_{base}\) à la base du mur.

Résultat Question 6 : Le DCL du mur est présenté ci-dessus.

Question 7 : Équations d'Équilibre et Calcul de \(N_{base}\) et \(T_{base}\)

Principe :

On applique les équations d'équilibre des forces au DCL du mur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sum F_x = 0 \quad (\text{positif vers la droite}) \] \[ \sum F_y = 0 \quad (\text{positif vers le haut}) \]
Calcul :

Équilibre des forces horizontales :

\[ \begin{aligned} P_a - T_{base} &= 0 \\ T_{base} &= P_a \\ T_{base} &= 48 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

Équilibre des forces verticales :

\[ \begin{aligned} N_{base} - W_{mur} &= 0 \\ N_{base} &= W_{mur} \\ N_{base} &= 192 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Les forces à la base du mur nécessaires pour l'équilibre sont :
  • Réaction normale : \(N_{base} = 192 \, \text{kN/m}\)
  • Réaction tangentielle (frottement) : \(T_{base} = 48 \, \text{kN/m}\)

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La poussée active des terres sur un mur de soutènement est généralement :

2. Selon la théorie de Rankine pour un sol pulvérulent et un remblai horizontal, la distribution de la poussée active des terres est :

Glossaire

Mur de Soutènement
Structure conçue pour retenir une masse de terre ou d'autres matériaux granulaires, empêchant leur éboulement ou glissement.
Poussée des Terres
Force exercée par le sol sur une structure de soutènement. Elle peut être active (le mur s'éloigne du sol), passive (le mur est poussé dans le sol), ou au repos.
Poussée Active (\(P_a\))
Force minimale exercée par le sol sur un mur lorsque celui-ci se déplace légèrement ou pivote en s'éloignant du sol retenu.
Coefficient de Poussée Active (\(K_a\))
Coefficient adimensionnel utilisé pour calculer la contrainte de poussée active horizontale à partir de la contrainte verticale effective du sol. Il dépend des propriétés du sol (angle de frottement) et de la géométrie (inclinaison du mur et du remblai, frottement mur-sol).
Théorie de Rankine
Méthode d'analyse de la poussée des terres qui suppose un état d'équilibre plastique dans le sol et néglige le frottement entre le mur et le sol.
Sol Pulvérulent
Sol dont la résistance au cisaillement est principalement due au frottement entre les grains, avec une cohésion négligeable (ex: sables, graviers secs).
Diagramme de Corps Libre (DCL)
Représentation d'un corps isolé de son environnement, montrant toutes les forces et moments externes qui agissent sur lui, essentielle pour appliquer les équations d'équilibre.
Analyse des Forces sur un Mur de Soutènement - Exercice d'Application

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