Calcul d’un Circuit Domestique

Correction : calcul d’un Circuit Domestique

1. Calcul du Courant Total

Le courant électrique correspond au « débit » d’électrons circulant dans un circuit, un peu comme l’eau qui coule dans un tuyau. Pour savoir combien « d’eau » (électrons) passe, on calcule d’abord la quantité consommée par chaque appareil (ici lampes et prises), puis on additionne ces quantités.

Formule

\[I = \frac{P}{U}\]

Données

• Lampes LED : \(n_L = 5\), \(P_L = 10{,}0\ \mathrm{W}\), \(U = 230\ \mathrm{V}\)
• Prises électriques : \(n_P = 3\), \(P_P = 500\ \mathrm{W}\), \(U = 230\ \mathrm{V}\)

Calculs

Étape 1 : Puissance totale des lampes :
\[P_{L,\text{tot}} = n_L \times P_L \] \[P_{L,\text{tot}} = 5 \times 10{,}0 \] \[P_{L,\text{tot}} = 50{,}0\ \mathrm{W}\]

Étape 2 : Courant pour les lampes :
\[I_L = \frac{50{,}0}{230} \approx 0{,}2174\ \mathrm{A}\]

Étape 3 : Puissance totale des prises :
\[P_{P,\text{tot}} = n_P \times P_P \] \[P_{P,\text{tot}} = 3 \times 500 \] \[P_{P,\text{tot}} = 1500\ \mathrm{W}\]

Étape 4 : Courant pour les prises :
\[I_P = \frac{1500}{230} \approx 6{,}5217\ \mathrm{A}\]

Étape 5 : Courant total :
\[I_{\text{tot}} = I_L + I_P \] \[I_{\text{tot}} = 0{,}2174 + 6{,}5217 \] \[I_{\text{tot}} \approx 6{,}7391\ \mathrm{A}\]

2. Déterminer la Résistance Totale du Câble

La résistance agit comme un obstacle au passage du courant, comparable à la friction dans un tuyau. Plus le câble est long ou fin, plus la résistance est élevée.

Formule

\[R = r \times L\]

Données

• \(L = 50\ \mathrm{m}\)
• \(r = 0{,}10\ \mathrm{Ω/m}\)

Calcul

\[R_{\text{câble}} = 0{,}10 \times 50 \] \[R_{\text{câble}} = 5{,}00\ \mathrm{Ω}\]

3. Chute de Tension dans le Câble

À cause de la résistance, la tension au bout du câble est plus faible qu’à son origine. C’est comparable à une perte de pression dans un tuyau éloigné de la pompe.

Formule

\[\Delta U = I_{\text{tot}} \times R_{\text{câble}}\]

Données

• \(I_{\text{tot}} = 6{,}7391\ \mathrm{A}\)
• \(R_{\text{câble}} = 5{,}00\ \mathrm{Ω}\)

Calcul

\[\Delta U = 6{,}7391 \times 5{,}00 \] \[\Delta U \approx 33{,}6955\ \mathrm{V}\]

Sur 230 V d’entrée, seulement \(230 - 33{,}6955 = 196{,}3045\ \mathrm{V}\) sont disponibles à la fin du câble.

4. Puissance Dissipée dans le Câble

La puissance dissipée est l’énergie transformée en chaleur dans le câble. On la calcule pour s’assurer que le câble ne chauffe pas trop.

Formule

\[P_{\text{diss}} = I_{\text{tot}}^2 \times R_{\text{câble}}\]

Données

• \(I_{\text{tot}} = 6{,}7391\ \mathrm{A}\)
• \(R_{\text{câble}} = 5{,}00\ \mathrm{Ω}\)

Calcul

\[P_{\text{diss}} = (6{,}7391)^2 \times 5{,}00 \] \[P_{\text{diss}} \approx 227{,}2\ \mathrm{W}\]

5. Sécurité du Circuit

Analyse des résultats

Chute de tension : 33{,}6955 V perdus sur 230 V, soit
\[\frac{33{,}6955}{230} \times 100 \approx 14{,}65\%\] (norme ≤ 3 %).

Courant nominal : \(I_{\text{tot}} = 6{,}7391\ \mathrm{A}\) reste sous les calibres standards (10–16 A).

Puissance dissipée : \(P_{\text{diss}} = 227{,}2\ \mathrm{W}\), ce qui peut entraîner une surchauffe.

Conclusion

La configuration n’est pas sûre : trop de perte de tension et de dissipation thermique.

Modifications suggérées

• Utiliser un câble de section 2,5 mm² (\(r \approx 0{,}0033\ \mathrm{Ω/m}\)) :
  \[R = 0{,}0033 \times 50 \] \[R = 0{,}165\ \mathrm{Ω}\]
  \[\Delta U = 6{,}7391 \times 0{,}165 \] \[\Delta U \approx 1{,}11\ \mathrm{V}\, (0,5\%)\]
  \[P_{\text{diss}} = (6{,}7391)^2 \times 0{,}165 \] \[P_{\text{diss}}\approx 7{,}50\ \mathrm{W}\]
• Séparer le circuit lampes (10–16 A) et le circuit prises (16–20 A).
• Installer des disjoncteurs adaptés à chaque circuit.

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