Voile en béton armé dimensionnement

Principe (EC2 - 5.3.2.2) :

La hauteur efficace \(l_0\) dépend des conditions d'appui du voile. Pour un voile articulé en tête et en pied, et non contreventé horizontalement par des planchers rigides à ces niveaux (cas le plus simple pour un étage courant), la hauteur efficace est égale à la hauteur libre d'étage.

Formule :

Pour un voile articulé en tête et en pied, \(\beta = 1.0\).

Données :

• \(H = 2.80 \, \text{m}\)

Calcul :

Principe :

L'Eurocode 2 permet une méthode simplifiée pour les voiles non armés ou faiblement armés si la contrainte de compression moyenne sous charges ELU est limitée.

Condition : \(\sigma_{cd} = N_{Ed} / A_c \le 0.2 f_{cd}\) (pour voiles non armés) ou des limites similaires pour faiblement armés. Ici on vérifie la condition pour non armé.

Si cette condition est respectée et si l'excentricité est faible, on peut vérifier la résistance à la compression simple : \(N_{Ed} \le N_{Rd} = \phi A_c \alpha_{cc} f_{cd}\) où \(\phi\) est un facteur de réduction pour l'élancement.

Calcul de la contrainte moyenne :

Aire de la section du voile :

Contrainte de compression moyenne :

Limite pour voile non armé (indicatif, car il y a un moment) :

\(1.2 \, \text{MPa} \le 3.33 \, \text{MPa}\). La contrainte moyenne est faible. Cependant, la présence d'un moment \(M_{Ed} = 80 \, kN.m\) signifie que le voile est en flexion composée, et un calcul en béton armé est généralement requis, sauf si l'excentricité est très faible et que les conditions de l'EC2 pour voiles non armés sont explicitement satisfaites (ce qui est plus complexe que cette simple vérification de contrainte moyenne).

Principe :

L'excentricité \(e\) est le rapport entre le moment fléchissant \(M_{Ed}\) et l'effort normal \(N_{Ed}\).

Formule :

Données :

• \(M_{Ed} = 80 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 80 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
• \(N_{Ed} = 1200 \, \text{kN} = 1200 \times 10^3 \, \text{N}\)

Calcul :

Cette excentricité est à comparer à l'épaisseur du voile \(h_w = 200 \, mm\). \(e / h_w = 66.7 / 200 \approx 0.33\). Ce n'est pas une "petite" excentricité.

Principe (EC2 - 9.6.2 & 9.6.3) :

Des pourcentages minimaux d'armatures verticales et horizontales sont requis pour les voiles.

Formules :

Armatures verticales :

Armatures horizontales :

(\(A_c\) est l'aire de la section de béton du voile).

Données :

• \(A_c = 1 \, 000 \, 000 \, \text{mm}^2\) (de Q2)

Calcul :

Armatures verticales minimales :

Soit \(2000 \, \text{mm}^2 / 5.0 \, \text{m} \)\(= 400 \, \text{mm}^2/\text{m} \)\(= 4.0 \, \text{cm}^2/\text{m}\).

Armatures horizontales minimales :

Soit \(1000 \, \text{mm}^2 / 5.0 \, \text{m} \)\(= 200 \, \text{mm}^2/\text{m} \)\(= 2.0 \, \text{cm}^2/\text{m}\).

Principe :

Le voile est soumis à la flexion composée (compression + flexion). On peut utiliser des diagrammes d'interaction ou des méthodes simplifiées. Pour cet exercice, on utilisera une approche simplifiée en répartissant les aciers sur les deux faces.

On va d'abord vérifier l'élancement. Rayon de giration \(i = h_w / \sqrt{12}\) pour une section rectangulaire.

Élancement \(\lambda = l_0 / i\). Si \(\lambda > \lambda_{lim}\), des effets du second ordre doivent être considérés.

Pour un calcul simplifié, on peut utiliser la méthode de la section rectangulaire équivalente ou des abaques. Ici, on va supposer que les aciers sont concentrés aux extrémités pour une première approche, ou répartis.

Méthode simplifiée (approximative) : On calcule l'acier nécessaire comme pour une section de poteau. On peut utiliser la formule de base pour la flexion composée si l'excentricité est suffisamment grande pour que la section soit partiellement tendue.

Étant donné la complexité d'un calcul manuel complet en flexion composée sans abaques, nous allons faire une estimation basée sur la transformation du moment en un couple de forces dans les aciers, en supposant un bras de levier \(z\).

Vérification de l'élancement :

La limite \(\lambda_{lim}\) dépend de plusieurs facteurs (EC2 - 5.8.3.1). Pour une première approche, si \(\lambda > 20 \sqrt{n}\) (où \(n = N_{Ed}/(A_c f_{cd})\)), il faut considérer le 2nd ordre. Ici, \[ n = 1.2 / (1 \times 16.67) \approx 0.072 \] \[ 20 \sqrt{0.072} \approx 20 \times 0.268 \approx 5.36\] Clairement, \(\lambda = 48.5 > 5.36\), donc les effets du second ordre sont à considérer, ce qui majore le moment \(M_{Ed}\). Ce calcul dépasse le cadre d'un exercice simplifié sans outils spécifiques.

Simplification pour l'exercice : Nous allons ignorer les effets du second ordre et dimensionner pour \(M_{Ed} = 80 \, kN.m\). On supposera que les aciers sont répartis sur les deux faces.

Calcul simplifié de \(A_s\) :

On peut estimer la section d'acier en transformant le moment en un couple de forces \(T = C = M_{Ed}/z\), où \(z\) est le bras de levier. Pour un voile, \(z\) peut être pris comme une fraction de \(L_w\), par exemple \(z \approx 0.8 L_w\). L'effort normal est repris par le béton et les aciers.

Une approche plus courante pour les voiles est de les considérer comme des poteaux larges. Si l'excentricité \(e = M_{Ed}/N_{Ed} = 66.7 \, mm\) est telle que \(e > h_w/2 - d'\) (où \(d'\) est l'enrobage + rayon de la barre), une partie de la section est tendue.

Pour cet exercice, nous allons utiliser une approche très simplifiée : on va considérer que le moment est principalement repris par des aciers concentrés aux extrémités du voile (zones les plus sollicitées en flexion). Soit \(A_{s,bout}\) la section d'acier à chaque extrémité. Le bras de levier entre ces groupes d'aciers est \(z \approx L_w - 2 \times \text{dist_bord}\). Supposons \(z \approx 0.9 L_w\).

Force dans les aciers due au moment : \(F_s = M_{Ed}/z\).

Section d'acier pour le moment : \(A_{s,M} = F_s / f_{yd}\) (à répartir sur les deux faces ou aux extrémités).

Section d'acier pour l'effort normal : \(A_{s,N} = N_{Ed,res} / f_{yd}\), où \(N_{Ed,res}\) est la part de \(N_{Ed}\) non reprise par le béton. C'est complexe.

Méthode de la section entièrement comprimée (si e est faible) ou partiellement comprimée.

Vu l'excentricité, on est probablement en section partiellement comprimée. On va utiliser une méthode approchée de dimensionnement en flexion composée pour un poteau. On suppose que les aciers sont répartis sur les deux faces. Soit \(A_s\) l'acier total. \(A_s/2\) par face.

Pour une estimation, si on néglige la compression reprise par le béton pour le moment :

Avec \(z \approx d - d'/2\) pour une section de poutre, ou ici pour un voile, on peut prendre \(z \approx 0.8 L_w\) si les aciers sont aux extrémités, ou \(z \approx d - h_w/2 + d'\) si les aciers sont répartis.

Prenons \(d' \approx 50mm\). \(d_{eff} = L_w/2 = 2500mm\). \(z \approx L_w - 2d' = 5000 - 100 = 4900mm\) (si aciers aux bouts). Si aciers répartis, le calcul est plus complexe.

Pour cet exercice, nous allons nous contenter de vérifier que \(A_{s,vmin}\) est suffisant, car un calcul précis est trop long sans abaques/logiciel, surtout avec les effets du 2nd ordre à considérer.

Si on devait calculer, on utiliserait des diagrammes d'interaction ou un logiciel. Le moment de \(80 kN.m\) sur un voile de 5m de long est relativement faible par rapport à sa capacité en compression. L'effort normal de \(1200 kN\) est plus significatif.

Contrainte moyenne : \(1.2 MPa\). Contrainte due à la flexion : \[ \sigma_M = M_{Ed} / W \] \[ \sigma_M = (80 \times 10^6) / (h_w L_w^2 / 6) \] \[ \sigma_M = (80 \times 10^6) / (200 \times 5000^2 / 6) \] \[ \sigma_M \approx 0.096 MPa \] Les contraintes de flexion sont très faibles par rapport à la compression. Le voile travaille principalement en compression.

On va donc considérer que le ferraillage minimal vertical \(A_{s,vmin}\) calculé précédemment est le ferraillage principal à mettre en œuvre, en l'absence d'un calcul plus poussé qui montrerait un besoin supérieur (ce qui est peu probable ici vu la faible excentricité relative à la longueur du voile).

Principe :

On choisit un diamètre et un espacement pour les barres verticales pour atteindre au moins \(A_{s,vmin} = 2000 \, \text{mm}^2\), répartis sur les deux faces du voile.

Soit \(1000 \, \text{mm}^2\) par face. Sur une longueur de 5m, cela fait \(1000 / 5 = 200 \, \text{mm}^2/\text{m}\) par face.

Choix et Calcul :

Essayons des barres HA 10 (\(A_{\phi 10} \approx 78.5 \, \text{mm}^2\)) par face :

Nombre de barres par mètre par face : \(N = \frac{200}{78.5} \approx 2.55\). On prend 3 barres.

Espacement : \(s \approx 1000 / 3 \approx 333 \, \text{mm}\).

L'Eurocode 9.6.2 (2) limite l'espacement maximal des barres verticales à \(\min(3 h_w; 400 \, \text{mm})\).

Choix : **HA 10 e=30 cm** (300 mm) sur chaque face.

Section par mètre par face : \(A_{s,prov/face/m} = \frac{1000}{300} \times 78.5 \approx 261.7 \, \text{mm}^2/\text{m}\).

Section totale fournie : \(A_{s,prov,tot} = 2 \times 261.7 \, \text{mm}^2/\text{m} \times 5 \, \text{m} \)\(= 2617 \, \text{mm}^2\).

\(2617 \, \text{mm}^2 \ge A_{s,vmin} \)\(= 2000 \, \text{mm}^2\). OK.

Pourcentage d'acier vertical :

Ceci respecte le minimum de 0.2%.

Principe (EC2 - 9.6.3) :

Des armatures horizontales sont requises pour contrôler la fissuration due au retrait et aux effets thermiques, et pour distribuer les charges.

La section minimale a été calculée à la Question 4 : \(A_{s,hmin} = 1000 \, \text{mm}^2\) (soit \(2.0 \, \text{cm}^2/\text{m}\) ou \(200 \, \text{mm}^2/\text{m}\)).

L'espacement maximal des barres horizontales est \(\min(400 \, \text{mm})\).

Choix et Calcul :

Essayons des barres HA 8 (\(A_{\phi 8} \approx 50.3 \, \text{mm}^2\)) par face :

Section requise par mètre par face : \[ A_{s,hmin,face} = 200 / 2 = 100 \, \text{mm}^2/\text{m} \]

Nombre de barres HA 8 par mètre par face : \[ N = \frac{100}{50.3} \approx 1.99\] On prend 2 barres.

Espacement : \[s \approx 1000 / 2 = 500 \, \text{mm}\]. Cet espacement est > 400 mm.

Si on prend un espacement maximal de 25 cm (250 mm) pour des raisons constructives et de bonne répartition :

Nombre de cours par mètre : \(1000/250 = 4\). Section par cours par face : \(100/4 = 25 \, mm^2\). Cela correspond à un HA8 (\(50.3 mm^2\)) tous les 2 cours, ce qui n'est pas pratique.

Choix : **HA 8 e=25 cm** (250 mm) sur chaque face.

Section par mètre par face : \[ A_{s,prov/face/m} = \frac{1000}{250} \times 50.3 \] \[ A_{s,prov/face/m} = 4 \times 50.3 \] \[ A_{s,prov/face/m} = 201.2 \, \text{mm}^2/\text{m}\].

Section horizontale totale fournie par mètre : \(2 \times 201.2 = 402.4 \, \text{mm}^2/\text{m}\).

\(402.4 \, \text{mm}^2/\text{m} \ge A_{s,hmin}/L_w \times 1m \)\(= 200 \, \text{mm}^2/\text{m}\). OK.

Espacement \(s=250 \, mm \le 400 \, mm\). OK.