Détermination de la Composition d’un Béton (Méthode Dreux-Gorisse)
Contexte : La formulation du béton.
La formulation d'un béton consiste à déterminer les proportions optimales de ses constituants (ciment, eau, sable, graviers) pour atteindre des performances prédéfinies de résistance, d'ouvrabilité et de durabilité, tout en optimisant les coûts. Cet exercice vous guidera à travers la méthode de Dreux-GorisseUne méthode empirique de formulation des bétons, très utilisée en France, qui se base sur des abaques et des formules pour déterminer la composition optimale en fonction des propriétés désirées., une approche classique et efficace.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer une méthode de formulation structurée pour concevoir un béton répondant à un cahier des charges précis, une compétence fondamentale en génie civil.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre l'influence du rapport Eau/Ciment sur la résistance du béton.
- Savoir utiliser les abaques de la méthode Dreux-Gorisse.
- Calculer les quantités de chaque composant pour produire 1 m³ de béton.
- Maîtriser la notion de compacité et d'optimisation granulaire.
Données de l'étude
Fiche Technique du Béton Souhaité
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Classe de résistance visée | C25/30 |
| Affaissement au cône d'Abrams | 12 cm (Classe S3 - consistance plastique) |
| Dimension maximale des granulats (\(D_{\text{max}}\)) | 20 mm |
Courbes Granulométriques des Granulats Disponibles
| Composant | Masse Volumique Absolue | Classe Granulaire |
|---|---|---|
| Ciment CEM II/A 42.5 R | 3.1 t/m³ | - |
| Sable | 2.6 t/m³ | 0/4 mm |
| Gravier 1 (G1) | 2.7 t/m³ | 5/12 mm |
| Gravier 2 (G2) | 2.7 t/m³ | 12/20 mm |
Questions à traiter
- Déterminer la résistance moyenne cible à 28 jours (\(\sigma_{\text{28}}\)).
- Calculer le rapport Eau/Ciment (E/C) nécessaire.
- Déterminer les dosages en Ciment (C) et en Eau (E) en kg/m³.
- Déterminer la composition optimale du mélange de granulats (%S, %G1, %G2).
- Calculer les masses de chaque granulat (S, G1, G2) pour 1 m³ de béton.
Les bases sur la Formulation du Béton
1. Loi de Bolomey (simplifiée par Dreux)
La résistance d'un béton est principalement liée au rapport des masses d'eau et de ciment (E/C). Plus ce rapport est faible, plus la résistance est élevée. La formule de Dreux relie la résistance à 28 jours \(\sigma_{\text{28}}\) au rapport C/E et à la qualité des granulats et du ciment via une constante G.
\[ \sigma_{\text{28}} = G \cdot \left(\frac{C}{E} - 0.5\right) \]
2. Ouvrabilité et Eau de Gâchage
L'ouvrabilité, mesurée par l'affaissement au cône d'Abrams, dépend de la quantité d'eau, de la forme des granulats et de la finesse du ciment. La méthode de Dreux fournit des abaques pour estimer la quantité d'eau (E) nécessaire pour obtenir un affaissement donné, en fonction du \(D_{\text{max}}\) des granulats.
Correction : Détermination de la Composition d’un Béton (Méthode Dreux-Gorisse)
Question 1 : Déterminer la résistance moyenne cible à 28 jours (\(\sigma_{\text{28}}\))
Principe
Pour garantir que la quasi-totalité de la production dépasse la résistance caractéristique requise par le bureau d'études (\(f_{\text{ck}}\) = 25 MPa), on doit viser en production une résistance moyenne supérieure. Cette marge de sécurité est indispensable pour couvrir les aléas et la variabilité naturelle des matériaux et du processus de fabrication.
Mini-Cours
La résistance du béton suit une loi de distribution statistique (généralement une loi Normale). La résistance caractéristique (\(f_{\text{ck}}\)) est la valeur en dessous de laquelle seulement 5% des résultats d'essais sont susceptibles de tomber (fractile à 5%). La résistance moyenne (\(\sigma_{\text{28}}\) ou \(f_{\text{cm}}\)) est le centre de cette distribution. Pour que le fractile 5% soit au-dessus de \(f_{\text{ck}}\), la moyenne doit être significativement plus élevée.
Remarque Pédagogique
Pensez-y comme un archer qui vise le centre de la cible. Même un bon archer ne mettra pas toutes ses flèches au centre. En visant un peu plus haut (la résistance moyenne), on s'assure que même les flèches les moins précises (les bétons les moins résistants) atteignent la zone de points requise (la résistance caractéristique).
Normes
La norme NF EN 206-1 définit la relation entre la résistance moyenne visée (\(f_{\text{cm}}\)) et la résistance caractéristique (\(f_{\text{ck}}\)). Elle stipule que \(f_{\text{cm}} \ge f_{\text{ck}} + 1.48 \cdot s\), où 's' est l'écart-type de production. Pour simplifier en phase d'étude, on utilise une majoration forfaitaire.
Formule(s)
Formule de la résistance moyenne cible
Hypothèses
On suppose que le niveau de contrôle de la production en centrale à béton est "standard", ce qui justifie l'application d'une marge de 15%. Pour un contrôle plus strict, cette marge pourrait être réduite.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance caractéristique en compression | \(f_{\text{ck}}\) | 25 | MPa |
Astuces
Pour un prédimensionnement rapide, de nombreux ingénieurs utilisent la règle \(f_{\text{cm}} = f_{\text{ck}} + 8 \text{ MPa}\). Dans notre cas, cela donnerait \(25 + 8 = 33 \text{ MPa}\), une valeur plus conservatrice mais tout aussi valable.
Schéma (Avant les calculs)
Distribution de la résistance du béton
Calcul(s)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Résultats Quantifiés
Réflexions
La valeur de 28.75 MPa est la cible que la centrale à béton devra atteindre en moyenne sur ses essais de production pour garantir que le béton livré sur chantier soit bien de classe C25/30. C'est cette valeur qui servira de base pour la suite de la formulation.
Points de vigilance
Ne jamais utiliser la résistance caractéristique \(f_{\text{ck}}\) directement dans les formules de formulation. Cela conduirait à un béton dont la résistance moyenne serait trop faible, avec un risque élevé de non-conformité.
Points à retenir
La résistance moyenne cible (\(\sigma_{\text{28}}\) ou \(f_{\text{cm}}\)) est toujours supérieure à la résistance caractéristique (\(f_{\text{ck}}\)). Cette marge est essentielle pour garantir la sécurité et la qualité réglementaire de l'ouvrage.
Le saviez-vous ?
Le concept de valeur caractéristique (ou fractile à 5%) est au cœur des Eurocodes. Il n'est pas seulement utilisé pour la résistance du béton, mais aussi pour la limite d'élasticité de l'acier, les charges de vent, de neige, etc. C'est une approche probabiliste de la sécurité des structures.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la résistance moyenne cible pour un béton de classe C30/37 ?
Question 2 : Calculer le rapport Eau/Ciment (E/C) nécessaire
Principe
Le rapport E/C est le paramètre le plus influent sur la résistance du béton. En utilisant la loi de Bolomey (simplifiée par Dreux), on peut déduire le rapport C/E (inverse de E/C) nécessaire pour atteindre la résistance cible \(\sigma_{\text{28}}\).
Mini-Cours
L'hydratation du ciment est une réaction chimique qui consomme une certaine quantité d'eau (environ 0.25 kg d'eau par kg de ciment). Toute l'eau ajoutée au-delà de cette quantité sert à l'ouvrabilité mais ne participe pas à la réaction. En s'évaporant, cette "eau en excès" laissera des pores capillaires dans le béton, ce qui diminue sa compacité et donc sa résistance et sa durabilité.
Remarque Pédagogique
Considérez le rapport E/C comme la clé de voûte de votre formulation. C'est le premier paramètre que l'on fixe après avoir défini la résistance. Toutes les autres étapes découleront de ce choix. Un E/C faible est toujours bénéfique pour la qualité du béton durci, mais il rend le béton plus difficile à mettre en œuvre.
Normes
Pour des raisons de durabilité, les normes (comme l'EN 206-1) imposent des valeurs maximales pour le rapport E/C en fonction des classes d'exposition de l'ouvrage (risque de gel, de corrosion, etc.). Par exemple, pour un béton armé exposé aux intempéries, on exigera un E/C max de 0.50 ou 0.45, indépendamment de la résistance visée.
Formule(s)
Formule de Dreux inversée
Hypothèses
La constante G dépend de la classe du ciment et de la qualité des granulats. Pour un ciment de classe 42.5 et des granulats roulés de bonne qualité, on peut prendre G = 45. Pour des granulats concassés, on prendrait une valeur légèrement inférieure.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance moyenne cible | \(\sigma_{\text{28}}\) | 28.75 | MPa |
| Constante de Dreux | G | 45 | - |
Astuces
Les praticiens ont souvent en tête des ordres de grandeur. Pour un béton C25/30 courant, le rapport E/C se situe presque toujours entre 0.50 et 0.60. Si votre calcul donne une valeur très éloignée, vérifiez vos données.
Schéma (Avant les calculs)
Relation entre Résistance et Rapport E/C
Calcul(s)
Calcul du rapport Ciment/Eau (C/E)
Calcul du rapport Eau/Ciment (E/C)
Points de vigilance
Le résultat E/C = 0.88 est irréaliste pour un béton structurel et met en évidence les limites de cette formule simplifiée dans certaines plages. Un tel béton serait extrêmement poreux et peu résistant. L'expérience et les abaques de la méthode complète de Dreux nous ramènent à une valeur empirique plus fiable pour un C25/30, qui est E/C ≈ 0.55.
Schéma (Après les calculs)
Point de Fonctionnement Retenu
Réflexions
Cet exemple montre qu'une formule, même issue d'une méthode reconnue, a des limites d'application. Le jugement de l'ingénieur et le recours à des valeurs validées par l'expérience sont primordiaux. Le choix de E/C = 0.55 est un compromis sûr entre la résistance théorique visée et les exigences de durabilité.
Points à retenir
- La résistance du béton est inversement proportionnelle au rapport E/C.
- Les formules empiriques doivent être utilisées avec un esprit critique.
- Pour un béton C25/30, une valeur de E/C autour de 0.55 est une base de départ fiable.
Le saviez-vous ?
La relation fondamentale entre la résistance et la porosité (liée à l'eau) a été établie pour la première fois par l'ingénieur français René Féret à la fin du 19ème siècle, bien avant les travaux de Abrams ou Bolomey. Sa "loi de Féret" est toujours considérée comme la base théorique de la science du béton.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Pour atteindre une résistance cible de 40 MPa avec G=50, quel serait le rapport C/E calculé avec la formule de Dreux ?
Question 3 : Déterminer les dosages en Ciment (C) et en Eau (E)
Principe
La quantité d'eau nécessaire dépend de l'ouvrabilité souhaitée (affaissement au cône) et de la taille maximale des granulats. Une fois la quantité d'eau (E) déterminée via un abaque ou l'expérience, on peut déduire la quantité de ciment (C) grâce au rapport E/C calculé précédemment.
Mini-Cours
La consistance du béton frais est cruciale pour sa mise en place. Un béton trop sec sera difficile à vibrer et présentera des défauts (nids de cailloux), tandis qu'un béton trop fluide risquera la ségrégation. L'affaissement au cône d'Abrams est l'essai le plus courant pour caractériser cette ouvrabilité. La quantité d'eau est le principal levier pour ajuster cet affaissement.
Remarque Pédagogique
En formulation, on fixe d'abord la performance (résistance \(\Rightarrow\) E/C), puis la maniabilité (affaissement \(\Rightarrow\) Eau). Le dosage en ciment est la conséquence de ces deux choix. C'est une démarche logique : on ne "gaspille" pas du ciment pour obtenir de l'ouvrabilité, on utilise de l'eau (ou des plastifiants).
Normes
La norme EN 206-1 définit des classes de consistance (S1 à S5) basées sur l'affaissement. Elle impose aussi un dosage minimal en ciment (ex: 300 kg/m³ pour du béton armé en classe d'exposition XC3/XC4) pour garantir une durabilité suffisante (enrobage des aciers).
Formule(s)
Formule du dosage en ciment
Hypothèses
On suppose que les granulats sont de forme et de nature "standard" (roulés ou semi-concassés). Des granulats très anguleux (100% concassés) ou plats nécessiteraient plus d'eau pour la même ouvrabilité.
Donnée(s)
La quantité d'eau est déterminée graphiquement à partir de l'abaque de Dreux (voir schéma ci-dessous). Pour un Dmax de 20 mm et un affaissement plastique (courbe S3), on lit une valeur de E ≈ 190 L/m³.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Quantité d'eau (lue sur abaque) | E | 190 | L/m³ (ou kg/m³) |
| Rapport Eau/Ciment | E/C | 0.55 | - |
Astuces
Pour un béton courant avec un Dmax de 20mm, la quantité d'eau est souvent proche de 180-195 L/m³. Si l'on souhaite réduire cette quantité d'eau sans perdre en ouvrabilité, on utilise un adjuvant : le superplastifiant.
Schéma (Avant les calculs)
Abaque de Dreux : Dosage en Eau
Cet abaque met en relation la taille maximale des granulats (Dmax) et l'ouvrabilité souhaitée (ici la courbe verte pour un béton plastique S3) afin de déterminer la quantité d'eau de gâchage nécessaire.
Calcul(s)
Calcul du dosage en ciment
On arrondit généralement au 5 kg supérieurs, tout en vérifiant le respect du dosage minimal réglementaire (ici, 350 kg/m³ est une valeur très courante et sûre).
Schéma (Après les calculs)
Dosages en liant et en eau
Réflexions
Avec C = 350 kg/m³ et E = 190 kg/m³, le rapport E/C final est de 190/350 = 0.543. Cette valeur est légèrement inférieure à notre cible de 0.55, ce qui est favorable à la résistance : on peut donc s'attendre à une résistance finale légèrement supérieure à 28.75 MPa, ce qui est une bonne marge de sécurité.
Points de vigilance
Il faut toujours vérifier que le dosage en ciment calculé est supérieur au dosage minimal imposé par les normes de durabilité pour la classe d'exposition de l'ouvrage.
Points à retenir
Le dosage en eau est piloté par l'ouvrabilité. Le dosage en ciment est piloté par la résistance (via E/C) et la durabilité (dosage minimal).
Le saviez-vous ?
L'essai au cône a été développé par l'américain Duff Abrams en 1922. C'est l'un des plus anciens essais sur le béton frais, et malgré son empirisme, il reste universellement utilisé pour sa simplicité et sa rapidité d'exécution sur chantier.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Pour un béton fluide (affaissement S4), l'eau nécessaire serait d'environ 200 L/m³. Si le rapport E/C doit être de 0.50, quel serait le dosage en ciment ?
Question 4 : Déterminer la composition optimale du mélange de granulats (%S, %G1, %G2)
Principe
Pour obtenir un béton compact et résistant, le mélange de granulats (sable + graviers) doit avoir une courbe granulométrique continue, se rapprochant d'une courbe de référence idéale. La méthode consiste à combiner les granulats disponibles (S, G1, G2) pour coller au mieux à cette courbe théorique, afin de minimiser les vides à combler par la pâte de ciment.
Mini-Cours
L'optimisation granulaire repose sur le principe de l'empilement. Les plus petits grains (sable) viennent combler les vides laissés par les plus gros (graviers), ce qui augmente la compacité du squelette granulaire. La courbe granulométrique idéale de Dreux-Gorisse, ou courbe "0", est une référence qui permet d'atteindre une très bonne compacité pour un béton pompable et plastique.
Remarque Pédagogique
La recherche de la composition granulaire est un peu comme faire une vinaigrette : il faut les bonnes proportions d'huile, de vinaigre et de moutarde. Il n'y a pas une seule recette parfaite, mais une zone de "bonnes recettes". L'objectif est de trouver un mélange économique et performant en utilisant les matériaux disponibles localement.
Normes
La norme NF EN 933-1 spécifie les méthodes d'essai pour déterminer la granularité des granulats. Les résultats de ces essais (les courbes granulométriques) sont la base de tout travail d'optimisation.
Formule(s)
Somme des pourcentages
Hypothèses
En l'absence d'une analyse granulométrique détaillée, on se base sur une répartition standard pour un béton courant avec un \(D_{\text{max}}\) de 20 mm. Cette répartition est un point de départ fiable pour de nombreuses applications.
Donnée(s)
Aucune donnée numérique supplémentaire n'est requise pour cette étape, qui repose sur des proportions empiriques standards.
Astuces
Une règle simple pour une première approche est d'avoir environ un tiers de sable pour deux tiers de graviers. La répartition entre les différentes classes de graviers se fait souvent à parts égales pour assurer une bonne continuité.
Schéma (Avant les calculs)
Principe de l'empilement granulaire
Calcul(s)
On adopte une répartition standard : 40% de sable et 60% de graviers. On divise ensuite la part des graviers en deux parts égales entre G1 et G2.
Répartition Sable / Graviers
Calcul du pourcentage de Gravier 1 (%G1)
Calcul du pourcentage de Gravier 2 (%G2)
Schéma (Après les calculs)
Répartition en Volume du Squelette Granulaire
Réflexions
La composition 40/30/30 est un excellent point de départ. En pratique, on réaliserait des essais en laboratoire avec des mélanges légèrement différents (ex: 42/29/29) pour affiner la composition et trouver le meilleur compromis entre compacité, ouvrabilité et coût.
Points de vigilance
Une proportion de sable trop faible (< 35%) peut rendre le béton "caverneux" et difficile à travailler. Une proportion trop élevée (> 45%) augmente la surface à mouiller par la pâte de ciment, ce qui demande plus d'eau (et donc plus de ciment pour un E/C constant), rendant le béton plus coûteux et plus sensible à la fissuration.
Points à retenir
L'objectif de l'optimisation granulaire est de minimiser les vides avec les matériaux disponibles. Une courbe granulométrique continue est la clé. Une répartition 40% sable / 60% graviers est une base de départ solide pour les bétons courants.
Le saviez-vous ?
Les Romains étaient passés maîtres dans l'art de la formulation. Le béton du Panthéon de Rome, qui a plus de 1900 ans, a été formulé avec des granulats de plus en plus légers (de la brique pilée à la pierre ponce) en montant vers le sommet de la coupole pour l'alléger. C'est une optimisation granulaire intuitive et géniale !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'on vous imposait d'utiliser 45% de sable, comment répartiriez-vous les 55% restants entre G1 et G2 pour garder une bonne continuité ?
Question 5 : Calculer les masses de chaque granulat pour 1 m³ de béton
Principe
Le volume total de 1 m³ de béton est la somme des volumes absolus de chaque composant : ciment, eau et granulats. En connaissant les volumes du ciment et de l'eau, on peut déduire le volume total à combler par les granulats. Ensuite, on répartit ce volume selon les pourcentages trouvés et on convertit les volumes en masses via les masses volumiques.
Mini-Cours
Le volume absolu d'un matériau est le volume de matière pure, sans vides. La masse volumique absolue (\(\rho_{\text{abs}}\)) est la masse de cette matière pure divisée par son volume. Le principe de la formulation est que la somme des volumes absolus de tous les constituants doit être égale à 1 m³ (en supposant qu'il n'y a pas d'air occlus).
Remarque Pédagogique
L'erreur classique est de raisonner sur les masses ou les volumes apparents. Il faut absolument passer par les volumes absolus, c'est la seule façon de garantir que la "boîte" de 1 m³ sera parfaitement remplie par tous les ingrédients. Imaginez que vous remplissez un bocal avec des cailloux, des graviers puis du sable : vous ne pouvez pas juste additionner leurs volumes initiaux.
Normes
La norme NF EN 1097-6 décrit la méthode de détermination de la masse volumique réelle des granulats, une donnée d'entrée essentielle pour ce calcul.
Formule(s)
Volume absolu d'un composant
Équation du volume total
Hypothèses
On considère que le volume d'air occlus dans le béton est nul. En réalité, il y a toujours 1 à 2% d'air, mais on le néglige dans cette approche simplifiée pour obtenir le volume total des granulats.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Dosage Ciment | C | 350 | kg/m³ |
| Dosage Eau | E | 190 | kg/m³ |
| Masse Volumique Ciment | \(\rho_C\) | 3100 | kg/m³ |
| Masse Volumique Eau | \(\rho_E\) | 1000 | kg/m³ |
| Masse Volumique Sable | \(\rho_S\) | 2600 | kg/m³ |
| Masse Volumique Graviers | \(\rho_G\) | 2700 | kg/m³ |
| Pourcentage Sable | %S | 40 | % |
| Pourcentage Gravier G1 | %G1 | 30 | % |
| Pourcentage Gravier G2 | %G2 | 30 | % |
Astuces
Une fois tous les calculs terminés, additionnez toutes les masses. La masse volumique d'un béton courant est d'environ 2400 kg/m³. Si vous trouvez une valeur très différente, il y a probablement une erreur de calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Composition Volumique de 1m³ de Béton
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul des volumes de ciment et d'eau
Étape 2 : Calcul du volume total des granulats
Étape 3 : Répartition du volume et calcul des masses
Schéma (Après les calculs)
Composition en Masse pour 1m³ de Béton
Réflexions
La masse totale du béton est de \(350 + 190 + 725 + 565 + 565 = 2395 \text{ kg}\). La masse volumique de notre béton est donc de 2395 kg/m³, ce qui est une valeur tout à fait cohérente pour un béton armé courant. Cela nous conforte dans nos calculs.
Points de vigilance
Attention à bien utiliser les masses volumiques absolues (ou réelles) et non les masses volumiques apparentes. La masse volumique apparente inclut les vides internes au matériau, ce qui fausserait le calcul du volume de matière pure.
Points à retenir
La somme des volumes absolus des composants d'un béton compact est égale à 1. On calcule le volume restant pour les granulats après avoir déterminé les volumes d'eau et de ciment. On répartit ce volume selon les pourcentages de l'optimisation granulaire pour enfin calculer les masses.
Le saviez-vous ?
Pour les bétons légers, on remplace les granulats classiques par des matériaux de faible densité comme des billes d'argile expansée ou du polystyrène. La masse volumique peut alors descendre en dessous de 1000 kg/m³, permettant au béton de flotter !
FAQ
Résultat Final
Ciment = 350 kg | Eau = 190 kg | Sable = 725 kg | Gravier 5/12 = 565 kg | Gravier 12/20 = 565 kg.
A vous de jouer
Recalculez la masse de sable nécessaire si le dosage en ciment était de 400 kg/m³ (garder E=190 kg/m³ et les mêmes pourcentages de granulats).
Outil Interactif : Simulateur de Résistance
Utilisez les curseurs pour voir comment le rapport E/C et la classe du ciment (simulée par la constante G) influencent la résistance théorique du béton à 28 jours.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quel est l'effet principal d'une augmentation du rapport Eau/Ciment sur un béton ?
2. L'affaissement au cône d'Abrams mesure :
3. Pourquoi vise-t-on une résistance moyenne \(\sigma_{\text{28}}\) supérieure à la résistance caractéristique \(f_{\text{ck}}\) ?
4. Dans la formule de Dreux, la constante G dépend principalement :
5. L'optimisation granulaire a pour but de :
- Rapport Eau/Ciment (E/C)
- Le ratio de la masse d'eau sur la masse de ciment dans un béton. C'est le facteur principal qui contrôle la résistance et la porosité du béton durci.
- Affaissement au cône d'Abrams (Slump)
- Mesure de la consistance et de l'ouvrabilité du béton frais. Un affaissement plus grand indique un béton plus fluide.
- Granulats
- Composants inertes du béton (sable, graviers) qui forment son squelette et lui confèrent sa masse et une partie de sa résistance.
- Compacité
- Rapport entre le volume absolu des matières solides et le volume total apparent. Un béton compact a peu de vides, ce qui est favorable à la résistance et à la durabilité.
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