Compression rapide et adiabatique de l’argon

Correction : Compression rapide et adiabatique de l’argon

1. Calcul du nombre de moles \(n\)

Pourquoi calculer le nombre de moles ?
Les gaz sont composés de petites particules appelées molécules. Pour utiliser les lois des gaz parfaits, on travaille en moles, qui mesurent la quantité de molécules. Une mole correspond à environ 6,022×10²³ molécules.

Formule :

\[ n = \frac{P_1 \times V_1}{R \times T_1} \]

Données :

• Pression initiale, \(P_1 = 1\,\text{atm} = 1{,}01325\times10^5\,\mathrm{Pa}\)
• Volume initial, \(V_1 = 0{,}5\,\mathrm{m^3}\)
• Température initiale, \(T_1 = 300\,\mathrm{K}\)
• Constante des gaz parfaits, \(R = 8{,}314\,\mathrm{J/(mol\cdot K)}\)

Calcul :

\[ 1{,}01325\times10^5 \times 0{,}5 = 5,06625\times10^4 \\ 8{,}314 \times 300 = 2494{,}2 \\ n = \frac{5,06625\times10^4}{2494{,}2} \approx 20{,}30\,\mathrm{mol} \]

2. Calcul de la température isentropique \(T_{2s}\)

Un processus adiabatique réversible signifie qu’il n’y a pas d’échange de chaleur avec l’extérieur et que la compression est lente pour éviter les frottements : c’est une compression idéale. La loi de Poisson donne la relation entre pression et température dans ce cas.

Formule :

\[ T_{2s} = T_1 \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}} \]

Données :

• Rapport des capacités calorifiques, \(\gamma = 1,67\)
• Rapport de pression, \(\frac{P_2}{P_1} = 5\)
• Température initiale, \(T_1 = 300\,\mathrm{K}\)

Calcul :

\[ \frac{\gamma - 1}{\gamma} = \frac{1,67 - 1}{1,67} \approx 0{,}4012 \\ 5^{0,4012} \approx 1,908 \\ T_{2s} = 300 \times 1,908 \approx 572,5\,\mathrm{K} \]

3. Calcul de la température finale réelle \(T_2\)

Dans la réalité, le compresseur n’est pas parfait : l’efficacité \(\eta = 0,60\) signifie que le travail réel est plus grand que le travail idéal isentropique. Cela se traduit par une température finale plus élevée.

Formule :

\[ T_2 = T_1 + \frac{T_{2s} - T_1}{\eta} \]

Données :

• Température isentropique, \(T_{2s} = 572,5\,\mathrm{K}\)
• Température initiale, \(T_1 = 300\,\mathrm{K}\)
• Efficacité, \(\eta = 0,60\)

Calcul :

\[ T_{2s} - T_1 = 572,5 - 300 = 272,5 \\ \frac{272,5}{0,60} \approx 454,17 \\ T_2 = 300 + 454,17 = 754,17\,\mathrm{K} \]

4. Calcul du volume final \(V_2\)

Maintenant que nous connaissons la température finale et la pression finale, on réutilise l’équation des gaz parfaits pour trouver le volume final. Cette étape rassemble toutes les informations calculées précédemment.

Formule :

\[ V_2 = \frac{n \times R \times T_2}{P_2} \]

Données :

• Nombre de moles, \(n = 20,30\,\mathrm{mol}\)
• Constante des gaz parfaits, \(R = 8,314\,\mathrm{J/(mol\cdot K)}\)
• Température finale, \(T_2 = 754,17\,\mathrm{K}\)
• Pression finale, \(P_2 = 5\,\text{atm} = 5 \times 1,01325\times10^5 = 5,06625\times10^5\,\mathrm{Pa}\)

Calcul :

\[ n \times R \times T_2 = 20,30 \times 8,314 \times 754,17 \approx 127155 \\ V_2 = \frac{127155}{5,06625\times10^5} \approx 0,251\,\mathrm{m^3} \]

Résultats finaux

Volume final : \(V_2 = 0,251\,\mathrm{m^3}\)

Température finale : \(T_2 = 754,17\,\mathrm{K}\)

Compression rapide et adiabatique de l’argon