EGC

Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre

Calcul de la Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre (RDM)

Comprendre la Contrainte dans une Poutre

Lorsqu'une poutre est soumise à des charges, elle subit des déformations et des efforts internes se développent en son sein. Ces efforts internes (principalement l'effort tranchant et le moment fléchissant) génèrent des contraintes dans le matériau de la poutre. La contrainte normale (\(\sigma\)), due au moment fléchissant, est particulièrement importante car elle est souvent la cause de la rupture en flexion. Elle varie linéairement à travers la section transversale de la poutre, étant nulle à l'axe neutre et maximale aux fibres les plus éloignées de cet axe (fibres extrêmes). Le calcul de cette contrainte en des points spécifiques permet de vérifier si le matériau travaille dans des conditions admissibles et de dimensionner correctement la poutre pour éviter la défaillance.

Données de l'étude

Une poutre en bois de section rectangulaire repose sur deux appuis simples A (articulé) et B (à rouleau). Elle est soumise à une charge ponctuelle en son milieu.

Caractéristiques de la poutre et des charges :

  • Longueur totale de la poutre entre appuis (\(L\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Charge ponctuelle (\(P\)) : \(12 \, \text{kN}\), appliquée à \(L/2 = 2.0 \, \text{m}\) de A.
  • Section transversale rectangulaire de la poutre :
    • Base (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
    • Hauteur (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)
  • Point d'intérêt pour le calcul de contrainte : Section à \(x = 1.0 \, \text{m}\) de l'appui A, sur la fibre supérieure de la poutre.

Objectif : Calculer la contrainte normale de flexion (\(\sigma\)) au point spécifié.

Schéma de la Poutre, des Charges et du Point d'Analyse
Poutre et Point d'Analyse de Contrainte A (x=0) VA B (x=4m) VB P=12kN L = 4.0 m L/2 = 2.0 m x=1.0m Point S A.N. Section (bxh) 100x200 mm S (y=h/2)

Poutre avec charge, section transversale et point d'analyse S.

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui verticales \(V_A\) et \(V_B\). (On supposera \(H_A = 0\) car aucune charge horizontale n'est appliquée).
  2. Déterminer le moment fléchissant \(M(x)\) à la section \(x = 1.0 \, \text{m}\).
  3. Calculer le moment d'inertie (\(I_z\)) de la section rectangulaire par rapport à son axe neutre horizontal.
  4. Déterminer la distance \(y\) entre l'axe neutre de la section et la fibre supérieure où la contrainte doit être calculée.
  5. Calculer la contrainte normale de flexion (\(\sigma\)) au point spécifié (section à \(x=1.0 \, \text{m}\), fibre supérieure). Préciser si c'est une traction ou une compression.

Correction : Calcul de la Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre

Question 1 : Calcul des réactions d'appui (\(V_A\), \(V_B\))

Principe :

Pour une poutre en équilibre, la somme des forces verticales est nulle et la somme des moments par rapport à un point est nulle. 1. \(\sum M_A = 0\) (somme des moments par rapport à l'appui A) nous permet de trouver \(V_B\). 2. \(\sum F_y = 0\) (somme des forces verticales) nous permet ensuite de trouver \(V_A\). Convention : Forces vers le haut positives, moments anti-horaires positifs.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sum M_A = (V_B \times L) - (P \times \frac{L}{2}) = 0\]
\[\sum F_y = V_A + V_B - P = 0\]
Données spécifiques :
  • \(L = 4.0 \, \text{m}\)
  • \(P = 12 \, \text{kN}\)
  • Position de P : \(L/2 = 2.0 \, \text{m}\) de A
Calcul :

Somme des moments par rapport à A :

\[ \begin{aligned} (V_B \times 4.0 \, \text{m}) - (12 \, \text{kN} \times 2.0 \, \text{m}) &= 0 \\ 4V_B - 24 \, \text{kN.m} &= 0 \\ 4V_B &= 24 \, \text{kN.m} \\ V_B &= \frac{24}{4} = 6 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Somme des forces verticales :

\[ \begin{aligned} V_A + V_B - P &= 0 \\ V_A + 6 \, \text{kN} - 12 \, \text{kN} &= 0 \\ V_A - 6 \, \text{kN} &= 0 \\ V_A &= 6 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Réactions d'appui : \(V_A = 6 \, \text{kN}\) (\(\uparrow\)), \(V_B = 6 \, \text{kN}\) (\(\uparrow\)). (Et \(H_A = 0\)).

Question 2 : Moment fléchissant \(M(x)\) à \(x = 1.0 \, \text{m}\)

Principe :

Le moment fléchissant en une section \(x\) est la somme des moments des forces à gauche de cette section par rapport à \(x\). Pour \(0 \le x \le L/2\) (avant la charge P), la seule force à gauche (en dehors de l'appui) est la réaction \(V_A\). Le point d'intérêt est à \(x = 1.0 \, \text{m}\), ce qui est avant la charge P (\(L/2 = 2.0 \, \text{m}\)). Convention : Moment qui tend à courber la poutre avec concavité vers le haut (sourire) est positif. \(V_A\) crée un moment positif.

Formule(s) utilisée(s) :

Pour \(0 \le x \le L/2\) :

\[M(x) = V_A \times x\]
Données spécifiques :
  • \(V_A = 6 \, \text{kN}\) (de Q1)
  • \(x = 1.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M(x=1.0 \, \text{m}) &= 6 \, \text{kN} \times 1.0 \, \text{m} \\ &= 6 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]
Moment fléchissant à \(x = 1.0 \, \text{m}\) : \(M(1.0 \, \text{m}) = 6 \, \text{kN.m}\).

Question 3 : Moment d'inertie (\(I_z\)) de la section rectangulaire

Principe :

Le moment d'inertie (ou moment quadratique) d'une section rectangulaire par rapport à son axe neutre horizontal (passant par son centre de gravité) est donné par la formule \(I_z = \frac{b \times h^3}{12}\), où \(b\) est la base (largeur) et \(h\) est la hauteur de la section. Il est crucial d'utiliser des unités cohérentes. Si nous voulons la contrainte en \(\text{N/mm}^2\) (MPa), il est préférable de convertir toutes les dimensions en millimètres.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_z = \frac{b \times h^3}{12}\]
Données spécifiques :
  • Base (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_z &= \frac{100 \, \text{mm} \times (200 \, \text{mm})^3}{12} \\ &= \frac{100 \times 8000000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= \frac{800000000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &\approx 66666666.67 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Moment d'inertie de la section : \(I_z \approx 66.67 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).

Question 4 : Distance \(y\) de la fibre d'intérêt à l'axe neutre

Principe :

Pour une section rectangulaire symétrique, l'axe neutre horizontal passe par le milieu de sa hauteur. La fibre supérieure est la fibre la plus éloignée de cet axe neutre, vers le haut. La distance \(y\) est donc la moitié de la hauteur totale de la section.

Formule(s) utilisée(s) :
\[y = \frac{h}{2}\]
Données spécifiques :
  • Hauteur de la section (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y &= \frac{200 \, \text{mm}}{2} \\ &= 100 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Distance de la fibre supérieure à l'axe neutre : \(y = 100 \, \text{mm}\).

Question 5 : Contrainte normale de flexion (\(\sigma\)) au point spécifié

Principe :

La contrainte normale (\(\sigma\)) due à la flexion en un point d'une section est donnée par la formule de Navier : \(\sigma = \frac{M \cdot y}{I_z}\). Où :

  • \(M\) est le moment fléchissant à la section considérée (calculé en Q2).
  • \(y\) est la distance de la fibre considérée à l'axe neutre (calculée en Q4).
  • \(I_z\) est le moment d'inertie de la section par rapport à l'axe neutre (calculé en Q3).
Il faut s'assurer de la cohérence des unités. Si \(M\) est en \(\text{kN.m}\), \(y\) en \(\text{mm}\), et \(I_z\) en \(\text{mm}^4\), il faudra convertir \(M\) en \(\text{N.mm}\) pour obtenir \(\sigma\) en \(\text{N/mm}^2\) (MPa). \(1 \, \text{kN.m} = 10^3 \, \text{N} \times 10^3 \, \text{mm} = 10^6 \, \text{N.mm}\). Le signe du moment fléchissant (positif dans notre cas, indiquant une concavité vers le haut) et la position de la fibre (supérieure) déterminent si la contrainte est de traction ou de compression. Pour un moment positif, les fibres supérieures sont comprimées (contrainte négative) et les fibres inférieures sont tendues (contrainte positive).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma = \frac{M \cdot y}{I_z}\]
Données spécifiques :
  • Moment fléchissant (\(M\)) à \(x=1.0 \, \text{m}\) : \(6 \, \text{kN.m} = 6 \times 10^6 \, \text{N.mm}\)
  • Distance à l'axe neutre (\(y\)) : \(100 \, \text{mm}\) (fibre supérieure)
  • Moment d'inertie (\(I_z\)) : \(66.666666 \times 10^6 \, \text{mm}^4 \approx 66666666.67 \, \text{mm}^4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{(6 \times 10^6 \, \text{N.mm}) \times (100 \, \text{mm})}{66666666.67 \, \text{mm}^4} \\ &= \frac{600 \times 10^6}{66.666666 \times 10^6} \, \text{N/mm}^2 \\ &= \frac{600}{66.666666} \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 9.0 \, \text{N/mm}^2 \text{ (MPa)} \end{aligned} \]

Puisque le moment est positif (poutre "sourit", concavité vers le haut), la fibre supérieure est en compression. Donc, \(\sigma = -9.0 \, \text{MPa}\).

Résultat Question 5 : La contrainte normale de flexion à \(x=1.0 \, \text{m}\) sur la fibre supérieure est d'environ \(\sigma \approx -9.0 \, \text{MPa}\) (Compression).

Quiz Intermédiaire (Fin) : Si le moment fléchissant est positif, les fibres situées au-dessus de l'axe neutre sont en :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La contrainte normale de flexion est nulle :

2. Le moment d'inertie d'une section rectangulaire de base \(b\) et hauteur \(h\) par rapport à son axe neutre horizontal est :

3. Dans la formule \(\sigma = \frac{M \cdot y}{I}\), \(y\) représente :

Glossaire

Contrainte Normale (\(\sigma\))
Force interne par unité de surface agissant perpendiculairement à la section d'un matériau. En flexion, elle est due au moment fléchissant.
Moment Fléchissant (\(M\))
Effort interne dans une poutre qui mesure sa tendance à se courber sous l'effet des charges.
Axe Neutre (ou Fibre Neutre)
Ligne dans la section transversale d'une poutre en flexion où la contrainte normale est nulle. Pour un matériau homogène et élastique, il coïncide avec le centre de gravité de la section.
Moment d'Inertie (\(I\))
Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la flexion. Plus \(I\) est grand, plus la poutre est rigide en flexion.
Fibre
Partie infinitésimale d'une section transversale, située à une certaine distance de l'axe neutre.
Fibre Extrême
Fibre la plus éloignée de l'axe neutre, où la contrainte normale de flexion est maximale (en valeur absolue).
Traction
État d'un matériau soumis à des forces qui tendent à l'allonger. Contrainte de traction est généralement considérée comme positive.
Compression
État d'un matériau soumis à des forces qui tendent à le raccourcir. Contrainte de compression est généralement considérée comme négative.
Module d'Young (\(E\))
Mesure de la rigidité d'un matériau, reliant la contrainte à la déformation dans le domaine élastique.
Calcul de Contrainte en un Point - Exercice d'Application

D’autres exercices de Rdm:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *