Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre
📝 Situation du Projet : Réhabilitation d'un Site Industriel
Vous intervenez en tant qu'ingénieur structure confirmé au sein du bureau d'études "Struc-Avenir", mandaté pour un projet de modernisation critique. Le site concerné est un atelier historique de maintenance ferroviaire (Atelier SNCF/RFF type "Halle 1950") situé à Vénissieux, dans la banlieue industrielle lyonnaise. Ce bâtiment, constitué de portiques métalliques rivetés et boulonnés, doit être adapté pour accueillir une nouvelle chaîne de levage destinée aux moteurs de TGV de nouvelle génération.
La modification porte spécifiquement sur la poutre de roulement secondaire PR-104. Il s'agit d'un monorail en profilé IPE existant, initialement prévu pour des palans manuels de faible capacité (500 kg). Le nouveau cahier des charges impose l'installation d'un palan motorisé moderne capable de lever des charges dynamiques de 15 tonnes (150 kN). Cette augmentation drastique de la charge d'exploitation soulève des inquiétudes quant à la résistance locale du profilé, non pas seulement en flexion pure, mais surtout vis-à-vis des interactions complexes entre les contraintes dans les zones de transition géométrique (jonction âme-semelle).
Votre mission est d'une importance capitale : valider ou invalider la conservation de ce profilé. Une rupture de cette poutre en cours d'exploitation pourrait entraîner la chute d'un moteur de plusieurs tonnes, mettant en danger la vie des opérateurs et stoppant la chaîne de production pour plusieurs semaines.
Vous devez réaliser une note de calcul de vérification réglementaire (Eurocode 3). L'objectif précis est de déterminer l'état de contrainte complet (Tenseur des contraintes) au point critique M de la section la plus sollicitée (à mi-travée). Ce point M est stratégique : situé à la jonction de l'âme et de la semelle, il subit à la fois une forte contrainte normale de flexion et une contrainte de cisaillement significative, créant un état de contrainte bi-axial dangereux que l'analyse simplifiée néglige souvent.
"Attention, ne négligez pas l'effort tranchant. Sur ces profils en I laminés à chaud, la contrainte de cisaillement à la jonction âme/semelle peut être significative. Une plastification locale à cet endroit entraînerait un déversement instable du profilé. Soyez rigoureux sur le calcul du Moment Statique !"
Pour mener à bien cette vérification, nous nous appuyons sur un cadre normatif strict et des données matériaux certifiées. L'hypothèse fondamentale est celle de la théorie des poutres d'Euler-Bernoulli, supposant que les sections planes restent planes après déformation (conservation de la planéité).
📚 Référentiel Normatif
L'étude est régie par les Eurocodes structurels, qui définissent les principes de calcul aux États Limites (ELU/ELS) pour les structures en acier.
Eurocode 3 (NF EN 1993-1-1) RDM Classique (Timoshenko)Le profilé existant est un IPE 360 en acier de nuance S235. Ce choix historique s'explique par l'efficacité des profils en I pour la flexion (forte inertie pour un poids réduit). L'acier S235 est un acier de construction standard, très ductile, ce qui permet une redistribution des contraintes plastiques, mais impose une limite élastique relativement basse (235 MPa) qu'il ne faut absolument pas dépasser en service nominal.
| DONNÉES MATÉRIAU (ACIER S235) | |
| Module de Young | \( E = 210 \) GPa |
| Limite Élastique | \( f_{\text{y}} = 235 \) MPa |
| GÉOMÉTRIE (IPE 360) | |
| Hauteur totale | \( h = 360 \) mm |
| Largeur semelle | \( b = 170 \) mm |
| Épaisseur âme | \( t_{\text{w}} = 8.0 \) mm |
| Épaisseur semelle | \( t_{\text{f}} = 12.7 \) mm |
| Inertie de flexion | \( I_{\text{gz}} = 162.7 \times 10^6 \) mm\(^4\) |
📐 Configuration du Chargement
Le palan exerce une action mécanique modélisée par une force ponctuelle verticale descendante. Cette charge de 150 kN inclut déjà les coefficients de sécurité dynamiques liés au levage (phénomènes de chocs et d'accélérations verticales). La poutre repose sur deux appuis simples (rotules idéales) aux extrémités, permettant une libre rotation mais bloquant les déplacements verticaux.
- Portée de la poutre : \( L = 6.00 \) m
- Type d'appuis : Appuis simples aux extrémités (A et B)
- Position de la charge : Au milieu de la travée (\( L/2 \))
- Localisation du Point M : Dans l'âme, juste à la jonction avec la semelle supérieure
⚖️ Sollicitations (ELU)
Note : Le poids propre de la poutre est négligé devant la charge industrielle pour cet exercice.
| Variable | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Moment Quadratique | \( I_{\text{gz}} \) | 162 700 000 | mm\(^4\) |
| Ordonnée du point M | \( z_{\text{M}} \) | Variable géométrique | mm |
| Charge | \( P \) | 150 000 | N |
E. Protocole de Résolution
Afin de valider la sécurité du profilé au point M, nous allons suivre une démarche analytique rigoureuse issue de la Résistance des Matériaux (RDM).
Calcul des Sollicitations Globales
Détermination des efforts internes maximaux (Moment Fléchissant \(M_{\text{y}}\) et Effort Tranchant \(V_{\text{z}}\)) au droit de la section étudiée (à mi-travée).
Propriétés Géométriques Sectorielles
Calcul précis de l'ordonnée \(z_{\text{M}}\) et du Moment Statique \(S_{\text{y}}(\text{M})\) (ou \(Q\)) de la partie de section située au-dessus du point M, nécessaire pour le cisaillement.
Calcul des Contraintes (Normales et Tangentielles)
Application de la formule de Navier pour la contrainte normale \(\sigma_{\text{x}}\) et de la formule de Jourawski (ou Colignon) pour la contrainte de cisaillement \(\tau_{\text{xz}}\).
Vérification de Von Mises
Calcul de la contrainte équivalente \(\sigma_{\text{vm}}\) et comparaison avec la limite élastique de l'acier \(f_{\text{y}}\) pour conclure sur la sécurité.
Contrainte en un Point Spécifique d’une Poutre
🎯 Objectif Détaillé de l'Étape
Avant d'analyser ce qui se passe à l'intérieur de la matière (les contraintes), nous devons impérativement quantifier les efforts globaux que la structure subit sous l'effet du chargement extérieur. C'est l'étape de la "Descente de Charges" au niveau local. Notre objectif ici est double : 1) Isoler la poutre pour déterminer les réactions d'appuis aux extrémités A et B. 2) Tracer (analytiquement) les diagrammes des sollicitations pour identifier les valeurs maximales du Moment Fléchissant \( M_{\text{y}} \) et de l'Effort Tranchant \( V_{\text{z}} \). Puisque la charge est ponctuelle et située exactement à mi-travée, nous savons intuitivement que c'est la section centrale qui sera la plus critique en termes de moment.
📚 Référentiel Scientifique
Statique des Solides (PFS) Théorie des Poutres (Diagrammes N, V, M)Nous sommes face à la configuration la plus classique et fondamentale de la résistance des matériaux : une poutre isostatique sur deux appuis simples avec une charge concentrée centrale. Cette simplicité apparente ne doit pas nous conduire à l'erreur. La symétrie du problème est notre alliée principale : elle nous indique immédiatement que les réactions aux appuis seront identiques. Une attention particulière doit être portée à la discontinuité de l'effort tranchant sous la charge : il passe brutalement d'une valeur positive (\( +P/2 \)) à une valeur négative (\( -P/2 \)). Pour le calcul de la contrainte de cisaillement, le signe importe peu (sauf pour le cercle de Mohr), c'est la valeur absolue maximale qui compte.
Lorsqu'une force ponctuelle \( P \) est appliquée au centre d'une poutre de longueur \( L \) :
1. L'Effort Tranchant \( V(x) \) est constant par morceaux. Sur la moitié gauche (\( 0 < x < L/2 \)), il vaut \( +P/2 \). Sur la moitié droite (\( L/2 < x < L \)), il vaut \( -P/2 \). Le saut au milieu est exactement égal à la valeur de la charge \( P \).
2. Le Moment Fléchissant \( M(x) \) est l'intégrale de l'effort tranchant. Comme l'effort tranchant est constant, le moment est linéaire. Il part de 0, monte jusqu'à un maximum sous la charge, et redescend à 0. L'aire sous le diagramme de l'effort tranchant sur la demi-portée (\( P/2 \times L/2 \)) nous donne directement la valeur du moment maximal : \( PL/4 \).
Fig. 1.1 : Diagrammes des sollicitations pour une charge ponctuelle centrale.
📐 Formule 1 : Calcul des Réactions d'Appuis
Application du Principe Fondamental de la Statique (Somme des Forces verticales = 0). On résout : \( R_{\text{A}} + R_{\text{B}} - P = 0 \) et \( \sum M_{/\text{A}} = 0 \).
Puisque la charge est centrée, chaque appui reprend la moitié de l'effort total.
📐 Formule 2 : Effort Tranchant Maximal (\( V_{\text{Ed}} \))
Valeur absolue de l'effort tranchant dans les sections voisines de la charge. Obtenu par coupure à une abscisse \( x \).
C'est l'effort de cisaillement pur que la section doit transmettre.
📐 Formule 3 : Moment Fléchissant Maximal (\( M_{\text{Ed}} \))
Valeur du moment au point d'application de la charge (mi-travée). C'est le bras de levier (\( L/2 \)) fois la force (\( R_{\text{A}} \)).
C'est l'effort qui fait "plier" la poutre et génère les contraintes normales.
📋 Données d'Entrée Spécifiques
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité SI |
|---|---|---|---|
| Charge Ultime | \( P \) | 150 000 | Newton (N) |
| Portée de la poutre | \( L \) | 6.00 | Mètre (m) |
Avant de vous lancer dans les calculs, vérifiez toujours les unités. En RDM, le couple "Newton" et "Millimètre" (N et mm) est roi car il donne directement des contraintes en MPa (N/mm²). Cependant, pour le calcul global des efforts (cette étape), rester en Mètres (m) et Newtons (N) est souvent plus lisible pour éviter les puissances de 10 trop nombreuses. Nous ferons la conversion juste avant l'étape des contraintes.
📝 Calculs Détaillés et Interprétations
1. Détermination de l'Effort Tranchant de Dimensionnement (\( V_{\text{Ed}} \)) :
Commençons par calculer l'effort de cisaillement maximal. C'est simplement la moitié de la charge appliquée.
Interprétation : La section critique subit un effort de cisaillement vertical de 75 000 N (ou 75 kN). Cet effort tend à faire glisser les sections verticales l'une par rapport à l'autre.
2. Détermination du Moment Fléchissant de Dimensionnement (\( M_{\text{Ed}} \)) :
Calculons maintenant le moment fléchissant maximal. Nous utilisons la portée en mètres pour obtenir des Newton-mètres dans un premier temps.
Interprétation : La section centrale subit un couple de flexion de 225 kNm. Pour préparer l'étape suivante (calcul des contraintes en MPa), il est impératif de convertir ce résultat en N.mm. On multiplie par 1000 : \( M_{\text{Ed}} = 225\,000\,000 \text{ N.mm} \).
✅ Interprétation Globale de l'Étape
Nous avons réussi à quantifier les sollicitations externes. La poutre est soumise à un cisaillement modéré (75 kN) mais à une flexion très importante (225 kNm). C'est cette combinaison, au point particulier M, qui va nous intéresser. La hiérarchie des efforts est respectée : la flexion est le mode dominant, mais le cisaillement n'est pas négligeable.
Est-ce que 225 kNm est une valeur réaliste ? Pour une poutre de 6m supportant 15 tonnes, oui. Imaginez une voiture compacte (1.5 tonne) au bout d'un levier de 1m, c'est environ 15 kNm. Ici, on a 10 fois plus de poids et un bras de levier bien plus grand. L'ordre de grandeur est cohérent avec une charge industrielle lourde.
Ne confondez pas le moment à mi-travée (\( PL/4 \)) avec le moment sous une charge répartie (\( qL^2/8 \)). L'erreur est fréquente et sous-estime le moment de moitié (car \( qL = P \)). Ici, la charge est ponctuelle, le diagramme est triangulaire, pas parabolique.
🎯 Objectif Détaillé de l'Étape
Avant de pouvoir appliquer les formules de contraintes, nous devons définir géométriquement "qui" résiste à ces efforts au niveau local. Si l'inertie totale \( I_{\text{gz}} \) est donnée par le catalogue, les propriétés locales au point M ne le sont pas. Notre objectif est de calculer deux grandeurs géométriques spécifiques au point M : 1) Son ordonnée \( z_{\text{M}} \) : sa position verticale précise par rapport au centre de gravité de la section. 2) Son Moment Statique \( S_{\text{y}}(\text{M}) \) (ou \( Q \)) : une grandeur qui quantifie la quantité de matière située "au-dessus" du niveau de cisaillement. C'est cette grandeur qui est souvent difficile à conceptualiser pour les étudiants.
📚 Référentiel Scientifique
Géométrie des Masses Calcul intégral d'airesOù se trouve exactement le point M ? L'énoncé précise "à la jonction âme-semelle, dans l'âme". Géométriquement, cela signifie que nous devons descendre depuis le haut de la poutre d'une épaisseur de semelle (\( t_{\text{f}} \)). L'ordonnée \( z \) se mesure toujours depuis l'axe neutre (le milieu de la hauteur \( h \) pour un profil symétrique). Donc \( z_{\text{M}} \) sera égal à la demi-hauteur moins l'épaisseur de la semelle. Pour le moment statique \( S_{\text{y}} \), il faut imaginer qu'on "coupe" la poutre au niveau M. Le moment statique est le produit de l'Aire de la partie coupée (ici, toute la semelle supérieure) par la distance de son propre centre de gravité à l'axe neutre global. C'est une mesure du "poids géométrique" de la semelle vis-à-vis du cisaillement.
Le moment statique \( S_{\text{y}}(z) \) au niveau de l'ordonnée \( z \) est défini par une intégrale de surface. Concrètement, pour une section composée de rectangles simples comme un IPE, on le calcule en isolant la surface \( A' \) située au-delà de la coupure, et en multipliant cette surface par la distance \( d' \) entre le centre de gravité de cette surface isolée et l'axe neutre de la section complète. Plus la surface au-dessus de la coupure est grande et éloignée, plus le cisaillement à transmettre sera grand.
Fig. 2.1 : Isolation de la semelle supérieure pour le calcul du Moment Statique.
📐 Formule 1 : Position verticale \( z_{\text{M}} \)
Distance de l'axe neutre à la fibre inférieure de la semelle supérieure.
C'est le bras de levier pour la contrainte normale.
📐 Formule 2 : Moment Statique \( S_{\text{y}}(\text{M}) \)
Produit de l'aire de la semelle (\( A_{\text{semelle}} \)) par la distance de son centre (\( d_{G,\text{semelle}} \)). La distance \( d_{G,\text{semelle}} \) est la moyenne entre la position de M et la surface supérieure.
Notez que \( z_{\text{M}} + t_{\text{f}}/2 \) est simplement la position du centre de la semelle (\( h/2 - t_{\text{f}}/2 \)).
📋 Données d'Entrée Spécifiques (IPE 360)
| Dimension | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur totale | \( h \) | 360 | mm |
| Largeur semelle | \( b \) | 170 | mm |
| Épaisseur semelle | \( t_{\text{f}} \) | 12.7 | mm |
Faites un schéma rapide au brouillon. Dessinez la section en I, tracez l'axe neutre au milieu. Hachurez la semelle du haut. Le Moment Statique que vous cherchez est simplement "l'Aire hachurée" fois "la distance du centre de la zone hachurée au trait de l'axe neutre". C'est infaillible.
📝 Calculs Détaillés et Interprétations
1. Calcul de l'ordonnée \( z_{\text{M}} \) :
Nous partons de la fibre supérieure (\( h/2 \)) et nous descendons de l'épaisseur de la semelle (\( t_{\text{f}} \)).
Interprétation : Le point M est situé à 167.3 mm de l'axe neutre. C'est une valeur élevée (proche de la surface), ce qui laisse présager une contrainte de flexion importante.
2. Calcul de l'Aire de la semelle isolée :
Calculons d'abord l'aire de la partie située au-dessus de la coupure M.
3. Calcul de la distance du centre de gravité isolé :
Calculons la distance entre le centre de la semelle et l'axe neutre global.
4. Calcul Final du Moment Statique \( S_{\text{y}}(\text{M}) \) :
Nous faisons le produit de l'Aire par la Distance calculées précédemment.
Interprétation : Ce volume statique représente l'inertie de glissement de la semelle. Pour simplifier la suite, nous arrondirons à \( 374\,910 \text{ mm}^3 \).
✅ Interprétation Globale de l'Étape
Nous avons caractérisé géométriquement le point M. Il est situé "haut" dans la section (grand \( z \)) et supporte "lourd" (grand \( S_{\text{y}} \)). Ces deux facteurs géométriques vont agir comme des amplificateurs sur les efforts calculés à l'étape 1. C'est la conjonction d'un grand \( M_{\text{Ed}} \) agissant sur un grand \( z \), et d'un \( V_{\text{Ed}} \) agissant sur un grand \( S_{\text{y}} \) qui rend ce point critique.
Le moment statique calculé est-il cohérent ? L'inertie totale est \( 162 \cdot 10^6 \text{ mm}^4 \). Le moment statique \( S_{\text{y}} \) est de l'ordre de \( 3.7 \cdot 10^5 \text{ mm}^3 \). Si on multiplie \( S_{\text{y}} \) par une distance moyenne \( h/2 \), on retrouve un ordre de grandeur d'inertie. Ici, \( 3.7 \cdot 10^5 \times 180 \approx 67 \cdot 10^6 \), ce qui est bien une fraction significative de l'inertie totale (la moitié est logique car nous n'avons pris qu'une semelle).
Ne confondez pas le moment statique \( S_{\text{y}} \) avec le module de flexion \( W_{\text{el}} \). Ce sont deux grandeurs différentes. \( S_{\text{y}} \) sert pour le cisaillement (\( \tau \)), \( W_{\text{el}} \) sert pour la flexion (\( \sigma \)).
🎯 Objectif Détaillé de l'Étape
Nous entrons maintenant dans le cœur physique du problème. Nous allons transformer les efforts globaux (Calculés en Étape 1) et les propriétés géométriques (Calculées en Étape 2) en contraintes locales, c'est-à-dire en pression interne au sein du matériau (en Mégapascal, MPa). Nous devons calculer deux types de contraintes distinctes qui agissent simultanément au point M : 1. La Contrainte Normale de Flexion (\( \sigma_{\text{x}} \)) : Elle tire sur la matière (traction) selon l'axe longitudinal de la poutre. 2. La Contrainte Tangentielle de Cisaillement (\( \tau_{\text{xz}} \)) : Elle essaie de faire glisser l'âme verticalement par rapport à la semelle.
📚 Référentiel Scientifique
Formule de Navier-Bernoulli (Flexion) Formule de Colignon-Jourawski (Cisaillement)Pour la flexion (\( \sigma_{\text{x}} \)), la relation est linéaire : plus on est loin de l'axe neutre, plus ça tire. Avec notre \( z_{\text{M}} \) élevé, on s'attend à une valeur forte. Pour le cisaillement (\( \tau_{\text{xz}} \)), c'est plus subtil. La formule de Jourawski fait intervenir l'épaisseur de la section \( t \) au dénominateur. Au point M, il y a un changement brutal d'épaisseur : on passe de la largeur de la semelle (\( b=170 \)) à l'épaisseur de l'âme (\( t_{\text{w}}=8 \)). La contrainte fait donc un saut gigantesque. Comme nous vérifions la résistance de l'âme (le point faible), nous devons impérativement utiliser l'épaisseur la plus fine (\( t_{\text{w}} \)) dans le calcul. C'est le "pire cas" local.
1. Navier-Bernoulli : Cette formule suppose que la poutre reste droite dans sa section et que les contraintes sont proportionnelles à la distance de l'axe neutre. Elle découle de l'hypothèse de linéarité des déformations (Hooke).
2. Colignon-Jourawski : Cette formule décrit le "flux de cisaillement". Imaginez l'effort tranchant comme un fluide qui coule dans la section. Le flux est divisé par l'épaisseur \( t \). Plus le passage est étroit (\( t \) petit), plus la contrainte explose.
Fig. 3.1 : Profils de répartition des contraintes sur la section.
📐 Formule 1 : Contrainte Normale (\( \sigma_{\text{x}} \))
Proportionnelle au moment et à la position verticale.
Unité de sortie : N.mm / mm⁴ * mm = N/mm² = MPa.
📐 Formule 2 : Contrainte de Cisaillement (\( \tau_{\text{xz}} \))
Proportionnelle à l'effort tranchant et au moment statique, inversement proportionnelle à l'épaisseur locale.
Le terme critique est \( t_{\text{w}} \) (épaisseur d'âme).
📋 Données d'Entrée Spécifiques pour le calcul
| Paramètre | Valeur | Source |
|---|---|---|
| Moment \( M_{\text{Ed}} \) | \( 225 \times 10^6 \) N.mm | Résultat Étape 1 |
| Effort \( V_{\text{Ed}} \) | \( 75\,000 \) N | Résultat Étape 1 |
| Inertie \( I_{\text{gz}} \) | \( 162\,700\,000 \) mm\(^4\) | Donnée Catalogue IPE 360 |
| Position \( z_{\text{M}} \) | \( 167.3 \) mm | Résultat Étape 2 |
| Mom. Stat. \( S_{\text{y}} \) | \( 374\,910 \) mm\(^3\) | Résultat Étape 2 |
| Épaisseur \( t_{\text{w}} \) | \( 8.0 \) mm | Donnée Catalogue IPE 360 |
Pour le calcul de \( \tau \), n'oubliez jamais que l'épaisseur \( t \) au dénominateur doit être celle de la partie de la section où l'on se trouve. Dans l'âme, \( t = t_{\text{w}} \). Dans la semelle, \( t = b \). Le saut de contrainte à l'interface est égal au rapport des largeurs \( b/t_{\text{w}} \).
📝 Calculs Détaillés et Interprétations
1. Calcul de la Contrainte Normale \(\sigma_{\text{x}}\) :
Nous appliquons la formule de flexion pure en injectant les valeurs converties.
Interprétation : La contrainte de traction est de 231.36 MPa. Notez que la limite élastique est de 235 MPa. Rien qu'avec la flexion, nous consommons déjà 98% de la capacité du matériau !
2. Calcul de la Contrainte de Cisaillement \( \tau_{\text{xz}} \) :
Nous appliquons la formule de cisaillement avec l'épaisseur de l'âme (8 mm) qui est le facteur limitant.
Interprétation : La contrainte de cisaillement est de 21.6 MPa. Cela semble faible comparé aux 231 MPa de flexion, mais en RDM, les contraintes tangentielles ont un effet "décuplé" dans les critères de ruine.
✅ Interprétation Globale de l'Étape
Nous avons maintenant une image précise de ce qui se passe au point M. Il subit une très forte traction (231 MPa), à la limite de la rupture, accompagnée d'un cisaillement significatif (21.6 MPa). L'âme de la poutre est donc dans un état de contrainte complexe et sévère.
La contrainte de cisaillement moyenne \( V/A \) serait de \( 75000 / 7273 \approx 10 \) MPa. Notre valeur de pointe à 21.6 MPa est cohérente (environ double) car la distribution est parabolique et l'âme reprend la majorité de l'effort.
L'erreur fatale ici serait d'utiliser la largeur de la semelle \( b = 170 \) mm au lieu de l'épaisseur de l'âme \( t_{\text{w}} = 8 \) mm pour calculer \( \tau \). Cela diviserait le résultat par 20, donnant une contrainte de cisaillement négligeable (1 MPa) et faussant totalement la conclusion sur la sécurité de la structure.
🎯 Objectif Détaillé de l'Étape
Nous avons déterminé les composantes du tenseur des contraintes : une traction \( \sigma \) et un cisaillement \( \tau \). Mais l'acier ne "connaît" pas ces axes arbitraires. Il "sent" une densité d'énergie de déformation. Pour prédire si l'acier va plastifier (se déformer de manière irréversible et dangereuse), nous devons combiner ces deux valeurs scalaires en une seule "Contrainte Équivalente". L'objectif est d'appliquer le critère de Von Mises, qui est le standard pour les matériaux ductiles (acier), afin de comparer l'état de contrainte réel à la limite élastique \( f_{\text{y}} \) du matériau.
📚 Référentiel Scientifique
Critère de plasticité de Von Mises (HMH) Critère de Tresca (Comparaison)Le critère de Von Mises postule que la matière cède lorsque l'énergie de distorsion atteint un seuil critique. Dans notre cas, nous sommes en état plan de contraintes (pas de contrainte selon l'axe y ou z, sauf le cisaillement). La formule générale se simplifie considérablement. Le terme de cisaillement \( \tau \) est multiplié par \( \sqrt{3} \) (soit 3 au carré). Cela signifie que le cisaillement "pèse" plus lourd dans la balance de la ruine que la traction simple. C'est pourquoi même un faible cisaillement (21 MPa) peut faire basculer une section déjà très tendue (231 MPa) dans la zone rouge.
La contrainte de Von Mises \( \sigma_{\text{vm}} \) est un scalaire positif conçu pour être comparé directement à l'essai de traction uniaxiale. Si \( \sigma_{\text{vm}} < f_{\text{y}} \) : Comportement élastique (Réversible, OK). Si \( \sigma_{\text{vm}} \geq f_{\text{y}} \) : Début de plastification (Irréversible, Ruine). La formule exacte pour un point soumis à une normale \( \sigma \) et un cisaillement \( \tau \) est :
Fig. 4.1 : État de contrainte plan au point critique.
📐 Formule de Von Mises (Cas Plan)
Combinaison quadratique des contraintes normales et tangentielles.
Le coefficient 3 devant le cisaillement est issu de la théorie de l'énergie de distorsion.
📋 Données d'Entrée Spécifiques
| Paramètre | Valeur | Source |
|---|---|---|
| Normale \( \sigma_{\text{x}} \) | 231.36 MPa | Résultat Étape 3 |
| Tangentielle \( \tau_{\text{xz}} \) | 21.60 MPa | Résultat Étape 3 |
| Limite \( f_{\text{y}} \) | 235 MPa | Donnée Matériau (S235) |
Lorsque \( \sigma \) est proche de la limite, calculez toujours Von Mises même si \( \tau \) semble faible. L'effet quadratique du cisaillement (\( 3 \times \tau^2 \)) peut surprendre. C'est souvent le "coup de grâce" pour la vérification.
📝 Calculs Détaillés et Conclusion
1. Calcul de la Contrainte Équivalente :
Injectons nos valeurs : \( \sigma = 231.36 \) et \( \tau = 21.60 \). On commence par les carrés.
Interprétation : L'état de contrainte combiné équivaut à une traction simple de 234.36 MPa.
2. Calcul du Ratio de Résistance (Taux de Travail) :
Nous comparons la contrainte équivalente à la limite élastique de l'acier S235.
Interprétation : Le ratio est de 0.997, soit 99.7%.
✅ Interprétation Globale de l'Étape
La contrainte de Von Mises atteint 234.4 MPa, ce qui est extrêmement proche de la limite de 235 MPa. Le profilé est techniquement "passant" selon un calcul élastique strict, mais il est saturé. La moindre surcharge ou le moindre défaut de matériau entraînera une plastification locale.
Le résultat tombe à 99.7% de la limite. Mathématiquement, "ça passe" (\( < 100\% \)). Cependant, en ingénierie structurelle, une marge de sécurité aussi faible (0.3%) est inacceptable, surtout avec des hypothèses simplifiées (pas de coefficients de sécurité sur les matériaux \( \gamma_{\text{M0}} \) appliqués ici pour l'exercice, pas de déversement pris en compte).
Attention : ce calcul est effectué à l'ELU (État Limite Ultime). Si nous étions à l'ELS (Service), le critère serait la flèche, pas la contrainte. Ne mélangez pas les deux états limites.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 18/01/2026 | Création du document / Première diffusion | Ing. Expert |
- Eurocode 3 : Calcul des structures en acier.
- Analyse élastique linéaire au premier ordre.
| Contrainte Normale \( \sigma_{\text{x}} \) | 231.4 MPa |
| Contrainte Cisaillement \( \tau_{\text{xz}} \) | 21.6 MPa |
| Contrainte Von Mises \( \sigma_{\text{vm}} \) | 234.4 MPa |
L'Ingénieur Expert
Le Directeur Technique
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