Calcul de rayonnement à la station totale

Point de station A : XA = 235,500 m, YA = 460,750 m

Les angles sont mesurés depuis le Nord géographique dans le sens horaire (comme sur une boussole) : 0° = Nord, 90° = Est, 180° = Sud, 270° = Ouest.

Pour chaque visée, on construit un triangle rectangle : la distance mesurée (D) est l’hypoténuse, et on en extrait les deux côtés horizontaux et verticaux vers l’Est (ΔX) et vers le Nord (ΔY).

On utilise les formules trigonométriques :

\[ \begin{cases} \Delta X = D \times \sin(\theta) & \text{(déplacement Est)} \\ \Delta Y = D \times \cos(\theta) & \text{(déplacement Nord)}\\ X = X_A + \Delta X & \text{(coordonnée absolue Est)}\\ Y = Y_A + \Delta Y & \text{(coordonnée absolue Nord)} \end{cases} \]

1. Coordonnées du point B

1.1 Calcul de \(\Delta X\)

Pourquoi ? Delta X est la projection de la distance mesurée vers l’Est. Imaginez un triangle où D est l’hypoténuse, l’angle à la station est \(\theta=25,0°\). Le côté adjacent à l’Est se calcule avec la fonction sinus.

Formule : \[ \Delta X = D \times \sin(\theta) \]

Données :

• D = 150,0 m (longueur de la visée)
• θ = 25,0° (azimut mesuré depuis le Nord)
• Valeur trigonométrique : \(\sin(25,0°) = 0,422618\)

Calcul :

On multiplie la distance par la proportion correspondant à l’angle : \[ = 150,0 \times 0,422618 \] \[ = 63,3927\;\mathrm{m} \]

Donc, depuis A, on avance de 63,3927 m vers l’Est.

1.2 Calcul de \(\Delta Y\)

Pourquoi ? Delta Y est la projection vers le Nord. Dans notre triangle, c’est le côté adjacent à l’axe Nord, qu’on obtient avec la fonction cosinus.

Formule : \[ \Delta Y = D \times \cos(\theta) \]

Données :

• D = 150,0 m
• θ = 25,0°
• \(\cos(25,0°) = 0,906308\)

Calcul : \[ = 150,0 \times 0,906308 \] \[ = 135,9462\;\mathrm{m} \]

Donc, depuis A, on avance de 135,9462 m vers le Nord.

1.3 Calcul des coordonnées de B

Concept : pour obtenir les coordonnées absolues du point B, on part des coordonnées connues de A et on ajoute les décalages calculés.

Formule :

\[ \begin{aligned} X_B &= X_A + \Delta X \\ Y_B &= Y_A + \Delta Y \end{aligned} \]

Données : XA = 235,500 m, YA = 460,750 m, ΔX = 63,3927 m, ΔY = 135,9462 m

Calcul :

\[ X_B = 235,500 + 63,3927 \] \[ X_B = 298,8927\;\mathrm{m} \] \[ Y_B = 460,750 + 135,9462 \] \[ Y_B = 596,6962\;\mathrm{m} \]

Résultat arrondi : B (X_B,Y_B) = (298,893 m, 596,696 m)

2. Coordonnées du point C

2.1 Calcul de \(\Delta X\)

Pourquoi ? même méthode : composante Est d’une visée de 120,0 m à 110,0° (vers le Sud-Est). L’angle >90° indique qu’on se déplace en partie vers le Sud.

Formule : \[ \Delta X = 120,0 \times \sin(110,0°) \] \[ \Delta X = 120,0 \times 0,939693 \] \[ \Delta X = 112,7632\;\mathrm{m} \]

On avance de 112,7632 m vers l’Est.

2.2 Calcul de \(\Delta Y\)

Pourquoi ? composante Nord: ici \(\cos(110,0°)\) est négatif, ce qui signifie qu’on se déplace vers le Sud.

Formule : \[ \Delta Y = 120,0 \times (-0,342020) \] \[ \Delta Y = -41,0424\;\mathrm{m} \]

On avance de 41,0424 m vers le Sud (delta négatif).

2.3 Calcul des coordonnées de C

\[ X_C = 235,500 + 112,7632 \] \[ X_C = 348,2632\;\mathrm{m} \] \[ Y_C = 460,750 - 41,0424 \] \[ Y_C = 419,7076\;\mathrm{m} \]

Résultat arrondi : C (X_C,Y_C) = (348,263 m, 419,708 m)

3. Coordonnées du point D

3.1 Calcul de \(\Delta X\)

Pourquoi ? angle de 290,0° = 360° − 70°, or sin(290°) = −sin(70°). On se déplace vers l’Ouest.

Formule : \[ \Delta X = 100,0 \times (-0,939693) \] \[ \Delta X = -93,9693\;\mathrm{m} \]

On avance de 93,9693 m vers l’Ouest (delta négatif).

3.2 Calcul de \(\Delta Y\)

Pourquoi ? cos(290°) = cos(70°) > 0, donc on se déplace vers le Nord.

Formule : \[ \Delta Y = 100,0 \times 0,342020 \] \[ \Delta Y = 34,2020\;\mathrm{m} \]

On avance de 34,2020 m vers le Nord.

3.3 Calcul des coordonnées de D

\[ X_D = 235,500 - 93,9693 \] \[ X_D = 141,5307\;\mathrm{m} \] \[ Y_D = 460,750 + 34,2020 \] \[ Y_D = 494,9520\;\mathrm{m} \]

Résultat arrondi : D (X_D,Y_D) = (141,531 m, 494,952 m)

Récapitulatif final des coordonnées