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Analyse de la stabilité d’une pente

Analyse de la Stabilité d’une Pente

Analyse de la Stabilité d’une Pente

Contexte : La sécurité des ouvrages en terre, un enjeu majeur.

En géotechnique, l'analyse de la stabilité des pentes est une tâche fondamentale pour garantir la sécurité des infrastructures telles que les routes, les barrages, les carrières ou les fondations. Un glissement de terrain peut avoir des conséquences désastreuses. L'objectif de l'ingénieur est de calculer un Facteur de SécuritéLe Facteur de Sécurité (FoS ou Fs) est le rapport entre les forces résistantes (qui retiennent le sol en place) et les forces motrices (qui tendent à le faire glisser). Un FoS > 1.0 est requis pour la stabilité. pour s'assurer que la pente restera stable dans les conditions les plus défavorables. La méthode des tranches est l'une des approches les plus classiques et les plus pédagogiques pour aborder ce problème. Cet exercice vous guidera dans le calcul manuel de la stabilité d'un talus par cette méthode.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment on discrétise un problème continu (un massif de sol) en éléments plus simples (des tranches) pour le résoudre. Nous allons décomposer les forces agissant sur chaque tranche pour évaluer la résistance globale du sol le long d'une surface de rupture potentielle. C'est une démarche d'ingénierie essentielle qui combine géométrie, mécanique des sols et analyse statique.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le concept de facteur de sécurité pour une pente.
  • Appliquer la méthode des tranches (méthode de Fellenius) pour analyser une rupture circulaire.
  • Calculer le poids d'une tranche de sol et décomposer les forces agissantes.
  • Déterminer les forces résistantes (cohésion et frottement) et les forces motrices.
  • Calculer un facteur de sécurité global et interpréter le résultat.
  • Se familiariser avec les paramètres géotechniques (cohésionLa cohésion (c') est la résistance intrinsèque du sol au cisaillement, indépendante de la contrainte normale. Elle est typique des argiles., angle de frottementL'angle de frottement interne (φ') représente la résistance au cisaillement du sol due à la friction entre les grains. Il est typique des sables et graviers., poids volumique).

Données de l'étude

On étudie la stabilité d'un talus homogène. Une surface de rupture potentielle, de forme circulaire, a été identifiée. Pour l'analyse, le massif de sol glissant est découpé en 5 tranches verticales. Les propriétés du sol et la géométrie des tranches sont les suivantes :

Schéma de la Pente et des Tranches
O (Centre) 1 2 3 4 5 W N T
Paramètre du Sol Symbole Valeur Unité
Poids volumique total \(\gamma\) 19 \(\text{kN/m³}\)
Cohésion effective \(c'\) 12 \(\text{kPa (kN/m²)}\)
Angle de frottement effectif \(\phi'\) 25 \(\text{degrés}\)
Tranche N° Largeur \(b_i\) (m) Hauteur moyenne \(h_i\) (m) Angle à la base \(\alpha_i\) (°)
1 2.0 1.5 -10
2 2.0 3.5 5
3 2.0 4.8 20
4 2.0 4.2 38
5 2.0 2.1 55

Questions à traiter

  1. Calculer le poids \(W_3\) de la tranche n°3 (par mètre linéaire de largeur).
  2. Pour la tranche n°3, calculer la force normale à la base \(N_3\).
  3. Pour la tranche n°3, calculer la force résistante totale (cohésion + frottement) à la base.
  4. Pour la tranche n°3, calculer la force motrice \(T_3\).
  5. Calculer le Facteur de Sécurité global \(F_s\) pour l'ensemble des 5 tranches.
  6. Conclure sur la stabilité de la pente.

Les bases de la Stabilité des Pentes

Avant de commencer la correction, rappelons les principes fondamentaux.

1. Le Facteur de Sécurité (FoS) :
Le FoS (ou Fs) est le concept central. Il compare la résistance maximale que le sol peut mobiliser le long d'une surface de rupture à la sollicitation qui tend à provoquer le glissement. \[ F_s = \frac{\text{Forces Résistantes (maximales)}}{\text{Forces Motrices}} \] Si \(F_s > 1\), la pente est stable. Si \(F_s < 1\), la pente est instable. Si \(F_s = 1\), on est à l'équilibre strict (rupture imminente).

2. La Méthode des Tranches :
Pour une surface de rupture courbe, on découpe le massif instable en tranches verticales. Pour chaque tranche \(i\), on analyse les forces : son poids \(W_i\), la réaction normale à la base \(N_i\), et la réaction tangentielle \(T_i\). La méthode de Fellenius (la plus simple) fait des hypothèses pour simplifier le calcul de ces forces.

3. Forces Motrices et Résistantes :
La force motrice est la composante du poids de la tranche qui est tangente à la surface de rupture : \( T_i = W_i \sin(\alpha_i) \). La force résistante provient de deux phénomènes (critère de Mohr-Coulomb) : la cohésion sur la surface de base (\(c' \cdot l_i\)) et le frottement, qui dépend de la force normale (\(N_i \tan(\phi')\)). Dans la méthode de Fellenius, on approxime \(N_i \approx W_i \cos(\alpha_i)\).

Correction : Analyse de la Stabilité d'une Pente

Question 1 : Calculer le poids de la tranche n°3 (W₃)

Principe (le concept physique)

Le poids d'une tranche de sol est la force gravitationnelle qui s'exerce sur elle. On le calcule en multipliant son volume par le poids volumique du sol. Comme on raisonne en 2D (profil), on calcule le poids pour une "tranche" de 1 mètre d'épaisseur, ce qui revient à multiplier la surface de la tranche par le poids volumique.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le poids volumique \(\gamma\) (en kN/m³) représente le poids d'un mètre cube de sol en place. Il dépend de la nature des grains, de leur compacité et de la teneur en eau. Dans les calculs, il faut distinguer le poids volumique total (ou humide) \(\gamma\), le poids volumique déjaugé \(\gamma'\) (si la tranche est sous l'eau) et le poids volumique sec \(\gamma_d\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'approximation d'une tranche par un rectangle de hauteur moyenne est une simplification courante pour les calculs manuels. Les logiciels de calcul de stabilité utilisent une géométrie plus précise, mais le principe de base reste identique : déterminer le poids de chaque tranche, car c'est lui qui est à l'origine de toutes les forces, qu'elles soient motrices ou résistantes (via la force normale).

Normes (la référence réglementaire)

La détermination des paramètres du sol, comme le poids volumique, doit suivre des procédures d'essai normalisées en laboratoire ou in-situ (essais pressiométriques, pénétrométriques), conformément aux normes en vigueur (par exemple, l'Eurocode 7 pour le calcul géotechnique).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le poids d'une tranche \(i\) de largeur \(b_i\) et de hauteur moyenne \(h_i\) est :

\[ W_i = \gamma \cdot b_i \cdot h_i \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la tranche a une forme approximativement rectangulaire et que le poids volumique est constant dans tout le massif.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Poids volumique, \(\gamma = 19 \, \text{kN/m³}\)
  • Largeur de la tranche 3, \(b_3 = 2.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur moyenne de la tranche 3, \(h_3 = 4.8 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Vérifiez toujours la cohérence des unités. Ici, \(\gamma\) est en kN/m³ et les dimensions en m. Le résultat sera donc logiquement en kN (ou plus précisément, en kN par mètre linéaire de talus), ce qui est bien une force.

Schéma (Avant les calculs)
Géométrie de la Tranche n°3
b₃ = 2.0 mh₃ = 4.8 mW₃ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule pour la tranche 3.

\[ \begin{aligned} W_3 &= \gamma \cdot b_3 \cdot h_3 \\ &= 19 \, \text{kN/m³} \cdot 2.0 \, \text{m} \cdot 4.8 \, \text{m} \\ &= 182.4 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Poids de la Tranche n°3
W₃ = 182.4 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le poids de la tranche 3 est de 182.4 kN pour chaque mètre de longueur du talus. C'est la force principale qui agit sur cette tranche. Les étapes suivantes consisteront à décomposer cette force pour voir quelle partie contribue au glissement et quelle partie contribue à la résistance.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de prendre en compte la largeur de la tranche ou de se tromper dans les unités. Assurez-vous que tous vos paramètres sont dans un système cohérent (ici, kN et m).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le poids est la force motrice fondamentale dans les problèmes de gravité.
  • \( \text{Poids} = \text{Poids Volumique} \times \text{Volume} \).
  • En 2D, on calcule un poids par mètre linéaire.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les massifs rocheux, le poids des blocs est aussi la force motrice, mais la rupture ne se produit pas à travers le matériau, mais le long de discontinuités préexistantes (failles, diaclases, joints...). L'analyse de stabilité est alors très différente et se base sur la géométrie de ces discontinuités.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la nappe phréatique est présente ?

Si une partie de la tranche est sous l'eau, il faut utiliser le poids volumique déjaugé (\(\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_w\)) pour cette partie, car la poussée d'Archimède de l'eau "allège" le sol. De plus, la pression de l'eau à la base de la tranche réduit la force normale effective et donc la résistance au frottement, ce qui est très défavorable à la stabilité.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le poids de la tranche n°3 est de 182.4 kN/m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Calculez le poids de la tranche n°5 (W₅) en kN/m.

Question 2 : Calculer la force normale à la base (N₃)

Principe (le concept physique)

La force normale \(N\) est la composante du poids qui agit perpendiculairement à la surface de glissement. C'est cette force qui "presse" les grains de sol les uns contre les autres et qui est donc directement responsable de la mobilisation de la résistance au frottement. Plus la force normale est élevée, plus la résistance au frottement sera grande.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Dans la méthode simplifiée de Fellenius, on suppose que les forces entre les tranches (interslices) sont parallèles à la base de la tranche et n'ont donc pas de composante verticale. Dans ce cas, la force normale \(N_i\) à la base de la tranche est simplement la projection du poids \(W_i\) sur la normale à la base, ce qui donne la formule \(N_i = W_i \cos(\alpha_i)\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez un objet sur un plan incliné. Son poids le tire verticalement vers le bas. Une partie de ce poids pousse perpendiculairement contre le plan (force normale), et l'autre partie le tire parallèlement au plan (force tangentielle). C'est exactement la même décomposition de forces que nous faisons ici pour chaque tranche.

Normes (la référence réglementaire)

Des méthodes de calcul plus avancées (comme Bishop, Janbu, Spencer) prennent en compte les forces interslices, ce qui modifie le calcul de la force normale. Ces méthodes sont plus précises et sont implémentées dans les logiciels de calcul. L'Eurocode 7 autorise l'utilisation de ces différentes méthodes, en fonction de la complexité du problème.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Selon l'approximation de Fellenius :

\[ N_i = W_i \cdot \cos(\alpha_i) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On néglige les forces de cisaillement et normales entre les tranches (hypothèse de Fellenius).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Poids de la tranche 3, \(W_3 = 182.4 \, \text{kN/m}\) (du calcul Q1)
  • Angle à la base de la tranche 3, \(\alpha_3 = 20^\circ\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" pour le calcul du cosinus ! Une erreur de mode (radians vs degrés) est une source fréquente d'erreurs dans les calculs géotechniques.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition du Poids W₃
W₃N₃=?α₃=20°
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule pour la tranche 3.

\[ \begin{aligned} N_3 &= W_3 \cdot \cos(\alpha_3) \\ &= 182.4 \, \text{kN/m} \cdot \cos(20^\circ) \\ &= 182.4 \cdot 0.9397 \\ &\approx 171.4 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Force Normale N₃ Calculée
W₃N₃=171.4
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La force normale de 171.4 kN/m est légèrement inférieure au poids total de la tranche (182.4 kN/m), ce qui est logique car c'est une projection. Cette valeur sera utilisée à l'étape suivante pour calculer la part de la résistance due au frottement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre sinus et cosinus. Le cosinus est utilisé pour la force normale (perpendiculaire), le sinus sera utilisé pour la force tangentielle (parallèle).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La force normale \(N\) est la composante du poids perpendiculaire à la base.
  • Elle est responsable de la résistance au frottement.
  • Dans la méthode de Fellenius, \(N_i = W_i \cos(\alpha_i)\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La notion de "contrainte effective", introduite par Karl Terzaghi, le père de la mécanique des sols, est fondamentale. La résistance au frottement ne dépend pas de la contrainte normale totale, mais de la contrainte "effective" (\(\sigma' = \sigma - u\)), qui est la contrainte totale moins la pression de l'eau (\(u\)). C'est pourquoi la présence d'eau est si critique pour la stabilité.

FAQ (pour lever les doutes)
L'approximation de Fellenius est-elle toujours valable ?

C'est une bonne approximation pour des analyses simples et manuelles, et elle est souvent conservative (donne un facteur de sécurité plus faible que la réalité). Cependant, pour des géométries complexes, des sols avec de fortes pressions d'eau ou pour des projets importants, des méthodes plus raffinées comme celle de Bishop sont préférées car elles donnent des résultats plus réalistes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La force normale à la base de la tranche 3 est d'environ 171.4 kN/m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour la tranche n°5, avec W₅ = 79.8 kN/m et α₅ = 55°, quelle est la force normale N₅ ?

Question 3 : Calculer la force résistante totale pour la tranche n°3

Principe (le concept physique)

La résistance au cisaillement du sol, c'est-à-dire sa capacité à s'opposer au glissement, provient de deux composantes. La première est la cohésion, une sorte de "colle" entre les particules, qui existe même sans force de serrage. La seconde est le frottement, qui est directement proportionnel à la force normale qui "serre" les particules les unes contre les autres. La force résistante totale est la somme de ces deux contributions.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le critère de rupture de Mohr-Coulomb est la loi fondamentale qui décrit la résistance au cisaillement (\(\tau\)) d'un sol : \(\tau = c' + \sigma'_n \tan(\phi')\). \(\sigma'_n\) est la contrainte normale effective. Pour obtenir la force résistante sur la base d'une tranche de longueur \(l_i\), on multiplie cette contrainte par la surface : \(F_{\text{résistante}} = (c' \cdot l_i) + (N'_i \tan(\phi'))\), où \(N'_i = \sigma'_n \cdot l_i\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez essayer de faire glisser un livre sur une table. La force nécessaire dépend de deux choses : si la table est collante (cohésion) et du poids du livre (qui crée la force normale, donc le frottement). Pour le sol, c'est pareil. Les argiles ont beaucoup de cohésion (elles sont "collantes"), tandis que les sables n'ont presque pas de cohésion mais une grande résistance au frottement.

Normes (la référence réglementaire)

Les paramètres de résistance \(c'\) et \(\phi'\) sont déterminés par des essais de laboratoire complexes, comme l'essai triaxial ou l'essai à la boîte de cisaillement, dont les procédures sont rigoureusement normalisées pour garantir la fiabilité des résultats.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Force résistante \(R_i\) pour une tranche \(i\) :

\[ R_i = (c' \cdot l_i) + (N_i \cdot \tan(\phi')) \]

Avec la longueur de la base \(l_i\) calculée par :

\[ l_i = \frac{b_i}{\cos(\alpha_i)} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les paramètres de résistance \(c'\) et \(\phi'\) sont constants le long de toute la surface de rupture. On suppose également qu'il n'y a pas de pression d'eau (calcul en contraintes effectives avec u=0, donc \(N' = N\)).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Cohésion, \(c' = 12 \, \text{kPa} = 12 \, \text{kN/m²}\)
  • Angle de frottement, \(\phi' = 25^\circ\)
  • Largeur de la tranche 3, \(b_3 = 2.0 \, \text{m}\)
  • Angle à la base, \(\alpha_3 = 20^\circ\)
  • Force normale, \(N_3 = 171.4 \, \text{kN/m}\) (du calcul Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le terme \(\tan(25^\circ)\) vaut environ 0.466. Mémoriser les tangentes des angles courants (30°, 45°) peut accélérer les estimations. Ici, la résistance due au frottement devrait être un peu moins de la moitié de la force normale.

Schéma (Avant les calculs)
Composantes de la Résistance
Frottement = ?Cohésion = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la longueur de la base \(l_3\) :

\[ \begin{aligned} l_3 &= \frac{b_3}{\cos(\alpha_3)} \\ &= \frac{2.0 \, \text{m}}{\cos(20^\circ)} \\ &= \frac{2.0}{0.9397} \\ &\approx 2.128 \, \text{m} \end{aligned} \]

2. Calculer la force résistante due à la cohésion :

\[ \begin{aligned} F_{\text{cohésion}} &= c' \cdot l_3 \\ &= 12 \, \text{kN/m²} \cdot 2.128 \, \text{m} \\ &\approx 25.5 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

3. Calculer la force résistante due au frottement :

\[ \begin{aligned} F_{\text{frottement}} &= N_3 \cdot \tan(\phi') \\ &= 171.4 \, \text{kN/m} \cdot \tan(25^\circ) \\ &\approx 171.4 \cdot 0.4663 \\ &\approx 79.9 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

4. Calculer la résistance totale :

\[ \begin{aligned} R_3 &= F_{\text{cohésion}} + F_{\text{frottement}} \\ &= 25.5 + 79.9 \\ &= 105.4 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résistance Totale sur la Base de la Tranche 3
R₃ = 105.4 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La résistance maximale que le sol peut mobiliser à la base de la tranche 3 est de 105.4 kN/m. On remarque que dans ce cas (sol frottant et cohérent), la contribution du frottement (79.9 kN/m) est bien plus importante que celle de la cohésion (25.5 kN/m). La prochaine étape est de comparer cette résistance à la force qui essaie de faire glisser la tranche.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier de convertir l'angle de frottement avec la fonction tangente. Une erreur fréquente est d'utiliser l'angle directement. De plus, la cohésion est une contrainte (kN/m²), il faut la multiplier par une longueur pour obtenir une force par mètre linéaire (kN/m).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance au cisaillement a deux composantes : cohésion et frottement.
  • La cohésion dépend de la longueur de la base : \(c' \cdot l_i\).
  • Le frottement dépend de la force normale : \(N_i \cdot \tan(\phi')\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les argiles saturées en condition non drainée (chargement rapide), on utilise une approche différente. On considère que l'angle de frottement est nul (\(\phi_u = 0\)) et on utilise une cohésion non drainée, \(c_u\). L'analyse est alors beaucoup plus simple car la résistance ne dépend plus de la force normale, mais uniquement de la valeur de \(c_u\).

FAQ (pour lever les doutes)
Que sont les paramètres "effectifs" c' et φ' ?

Ce sont les paramètres de résistance qui dépendent des contraintes effectives, c'est-à-dire des contacts entre les grains du sol, sans l'effet de la pression de l'eau. Ils sont utilisés pour les analyses à long terme, lorsque la pression de l'eau a eu le temps de se dissiper (conditions "drainées").

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La force résistante totale à la base de la tranche 3 est d'environ 105.4 kN/m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour la tranche 2 (b=2m, α=5°, N=132.5 kN/m), quelle est la résistance totale R₂ ?

Question 4 : Calculer la force motrice (T₃)

Principe (le concept physique)

La force motrice (ou force de cisaillement tangentielle) \(T\) est la composante du poids qui agit parallèlement à la surface de glissement. C'est cette force qui "pousse" la tranche vers le bas de la pente et qui est donc responsable de l'instabilité potentielle. Le facteur de sécurité comparera la somme de toutes ces forces motrices à la somme de toutes les forces résistantes.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Tout comme la force normale, la force motrice est obtenue par projection du poids \(W_i\). Cette fois, on projette sur la tangente à la base de la tranche. La formule est donc \(T_i = W_i \sin(\alpha_i)\). L'angle \(\alpha_i\) est positif si la base de la tranche est inclinée dans le même sens que la pente, et négatif dans le cas contraire (ce qui peut arriver pour des cercles de rupture profonds).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Notez la dualité entre \(N_i\) et \(T_i\). Elles sont les deux faces d'une même pièce : le poids \(W_i\). \(N_i = W_i \cos(\alpha_i)\) génère la résistance, tandis que \(T_i = W_i \sin(\alpha_i)\) génère la sollicitation. La stabilité de la tranche (et de la pente) dépend de l'équilibre entre ces deux effets, via la cohésion et le frottement.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des forces motrices est une application directe des lois de la statique. Les normes comme l'Eurocode 7 ne dictent pas la formule elle-même, mais les combinaisons de charges et les facteurs partiels à appliquer sur les actions (comme le poids) et les résistances du matériau pour les calculs de dimensionnement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La force motrice pour une tranche \(i\) est :

\[ T_i = W_i \cdot \sin(\alpha_i) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise toujours l'approximation de Fellenius, où la force motrice ne dépend que du poids de la tranche et de l'inclinaison de sa base.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Poids de la tranche 3, \(W_3 = 182.4 \, \text{kN/m}\) (du calcul Q1)
  • Angle à la base de la tranche 3, \(\alpha_3 = 20^\circ\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour de petits angles (inférieurs à 10-15°), \(\sin(\alpha) \approx \tan(\alpha) \approx \alpha\) (en radians). Pour des angles plus grands, cette approximation n'est plus valable. Ici, avec 20°, il faut calculer la valeur exacte du sinus.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition du Poids W₃
W₃T₃=?α₃=20°
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule pour la tranche 3.

\[ \begin{aligned} T_3 &= W_3 \cdot \sin(\alpha_3) \\ &= 182.4 \, \text{kN/m} \cdot \sin(20^\circ) \\ &= 182.4 \cdot 0.3420 \\ &\approx 62.4 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Force Motrice T₃ Calculée
W₃T₃=62.4
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La force qui pousse la tranche 3 à glisser est de 62.4 kN/m. En comparant à la résistance de 105.4 kN/m calculée précédemment, on voit que pour cette seule tranche, la résistance est supérieure à la sollicitation. Cependant, pour juger de la stabilité globale, il faut faire la somme de toutes les forces motrices et de toutes les forces résistantes pour l'ensemble des tranches.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention au signe de l'angle \(\alpha\). Pour la tranche 1, l'angle est de -10°. Le sinus d'un angle négatif est négatif, ce qui signifie que la force tangentielle T₁ sera négative. Physiquement, cela veut dire que cette tranche, située en haut du glissement, a une action stabilisatrice (elle "retient" le reste du massif).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La force motrice \(T\) est la composante du poids parallèle à la base.
  • Elle est responsable du glissement.
  • La formule est \(T_i = W_i \sin(\alpha_i)\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les forces sismiques peuvent être incluses dans l'analyse de stabilité. On les modélise comme des forces horizontales (et parfois verticales) appliquées au centre de chaque tranche, proportionnelles à leur poids. Ces forces additionnelles augmentent considérablement les forces motrices et peuvent déstabiliser des pentes qui seraient sûres en conditions statiques.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que la force motrice est toujours positive ?

Non. Si la base de la tranche est inclinée "à l'envers" par rapport au sens du glissement (angle \(\alpha\) négatif), la force motrice est négative. C'est le cas des tranches situées tout en haut d'un cercle de rupture profond. Ces tranches contribuent à la résistance et ne sont pas "motrices".

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La force motrice pour la tranche 3 est d'environ 62.4 kN/m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour la tranche n°1 (W₁ = 57 kN/m, α₁ = -10°), quelle est la force motrice T₁ ?

Question 5 : Calculer le Facteur de Sécurité global (Fs)

Principe (le concept physique)

Le facteur de sécurité global est le bilan final de la lutte entre les forces qui retiennent le sol et celles qui le poussent à glisser. On somme toutes les forces résistantes maximales disponibles le long de la surface de rupture et on divise ce total par la somme de toutes les forces motrices qui s'exercent. Le résultat nous dit de combien la résistance est supérieure (ou inférieure) à la sollicitation.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule générale du facteur de sécurité pour la méthode des tranches est : \( F_s = \frac{\sum R_i}{\sum T_i} \). En remplaçant par les expressions de la méthode de Fellenius, on obtient la formule complète : \( F_s = \frac{\sum (c' \cdot l_i + W_i \cos(\alpha_i) \tan(\phi'))}{\sum W_i \sin(\alpha_i)} \). Le calcul consiste à remplir un tableau pour chaque tranche, puis à sommer les colonnes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La méthode des tranches est un excellent exemple de la stratégie "diviser pour régner". Le problème global est trop complexe, alors on le divise en sous-problèmes simples (chaque tranche), on résout chaque sous-problème, puis on assemble les résultats pour obtenir la solution globale. C'est une approche très courante en ingénierie.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de conception géotechnique (comme l'Eurocode 7) spécifient les valeurs minimales requises pour le facteur de sécurité. Typiquement, un FoS de 1.3 à 1.5 est exigé pour les pentes permanentes en conditions normales, mais cette valeur peut varier en fonction de la criticité de l'ouvrage et des incertitudes sur les paramètres du sol.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Facteur de sécurité global :

\[ F_s = \frac{\sum_{i=1}^{n} R_i}{\sum_{i=1}^{n} T_i} = \frac{\text{Somme des forces résistantes}}{\text{Somme des forces motrices}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la surface de rupture circulaire étudiée est bien la plus critique, c'est-à-dire celle qui donne le facteur de sécurité le plus faible. En pratique, un ingénieur teste des centaines de cercles potentiels à l'aide d'un logiciel pour trouver le minimum.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les données de toutes les tranches pour remplir le tableau de calcul.

Astuces(Pour aller plus vite)

L'utilisation d'un tableur (comme Excel) est idéale pour ce type de calcul répétitif. On crée une ligne pour chaque tranche et des colonnes pour chaque étape du calcul (Poids, N, T, Résistance). Les fonctions de somme permettent d'obtenir le résultat final très rapidement et de manière fiable.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan des Forces : Stabilité en jeu
Σ T (Motrices)Σ R (Résistantes)
Calcul(s) (l'application numérique)

Nous allons remplir un tableau récapitulatif pour toutes les tranches (valeurs intermédiaires arrondies pour la clarté).

TrancheWᵢ (kN/m)αᵢ (°)Nᵢ = Wᵢcos(αᵢ)Tᵢ = Wᵢsin(αᵢ)lᵢ = bᵢ/cos(αᵢ)Résistance Rᵢ (kN/m)
157.0-1056.1-9.92.0380.2
2133.05132.511.62.0185.8
3182.420171.462.42.13105.4
4159.638125.898.32.5492.2
579.85545.865.43.4963.1
Somme Σ---227.8-426.7

Maintenant, on calcule le facteur de sécurité :

\[ \begin{aligned} F_s &= \frac{\sum R_i}{\sum T_i} \\ &= \frac{426.7}{227.8} \\ &\approx 1.87 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat du Bilan : Pente Stable
Σ T = 227.8Σ R = 426.7Fs = 1.87 > 1
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le facteur de sécurité calculé est de 1.87. Cette valeur est nettement supérieure à 1.0, ce qui indique que la pente est stable vis-à-vis de la surface de rupture étudiée. Les forces résistantes sont 87% plus grandes que les forces motrices.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur dans le calcul d'une seule tranche peut fausser le résultat final. Il est crucial d'être systématique et de vérifier chaque ligne du tableau. Attention également à bien sommer les forces motrices (colonne T) et les forces résistantes (colonne R), sans les mélanger.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le FoS global est le rapport de la somme des résistances sur la somme des sollicitations.
  • La méthode nécessite un calcul systématique pour chaque tranche.
  • Un FoS > 1 indique la stabilité.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La "recherche du cercle critique" est un problème d'optimisation complexe. Les premiers ingénieurs utilisaient des abaques ou des méthodes graphiques (comme la spirale de Culmann). Aujourd'hui, les ordinateurs utilisent des algorithmes de recherche (grille de centres, algorithmes génétiques) pour tester des milliers de cercles et trouver celui qui a le Fs le plus faible, garantissant ainsi une conception sûre.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si j'obtiens un Fs de 1.2 ?

Un Fs de 1.2 signifie que la pente est théoriquement stable, mais avec une marge de sécurité faible (20%). Selon les normes et le type de projet, cela pourrait être jugé insuffisant. L'ingénieur devrait alors envisager des solutions de confortement : adoucir la pente, construire un mur de soutènement, installer des drains pour abaisser la nappe phréatique, ou utiliser des techniques de renforcement du sol comme le clouage.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le Facteur de Sécurité global pour la surface de rupture étudiée est d'environ 1.87.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la cohésion du sol était nulle (c'=0 kPa), quel serait le nouveau Fs ? (Recalculez la somme des résistances sans la part de cohésion).

Question 6 : Conclure sur la stabilité de la pente

Principe (le concept physique)

La conclusion est l'étape d'ingénierie où l'on interprète le résultat numérique (le Fs) par rapport à des critères de conception et de sécurité. Il ne suffit pas de dire "c'est stable", il faut quantifier cette stabilité et la comparer aux exigences du projet et des normes.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La conclusion d'une étude de stabilité s'inscrit dans le cadre des États Limites Ultimes (ELU) définis par les normes. La rupture d'une pente est un ELU de type "EQU" (perte d'équilibre statique) ou "GEO" (rupture du terrain). Les normes modernes, comme l'Eurocode 7, utilisent des facteurs partiels sur les actions et les résistances. Un calcul de Fs global comme le nôtre est une approche plus traditionnelle mais conceptuellement équivalente.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Un chiffre n'est rien sans son contexte. Un Fs de 1.87 est excellent, mais un ingénieur doit toujours se demander : "Mes hypothèses sont-elles valides ? Les paramètres du sol sont-ils fiables ? Ai-je considéré le cas de charge le plus défavorable (ex: séisme, pluies exceptionnelles) ?" La conclusion doit refléter cette analyse critique.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 (EN 1997) est la norme de référence en Europe pour le calcul géotechnique. Il définit les approches de calcul qui spécifient les jeux de facteurs partiels à appliquer. Un Fs global de 1.87 correspondrait largement à une vérification réussie selon ces approches, qui visent typiquement des marges de sécurité équivalentes à un Fs de 1.3 à 1.5 pour des situations permanentes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La condition de stabilité à vérifier est :

\[ F_s \ge F_{s, \text{requis}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

L'hypothèse principale est que le Fs calculé (1.87) est bien le Fs minimal pour toutes les surfaces de rupture possibles et que les conditions (notamment hydrauliques) ne vont pas se dégrader.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Facteur de sécurité calculé, \(F_s = 1.87\)
  • Facteur de sécurité requis (valeur usuelle), \(F_{s, \text{requis}} \approx 1.3 - 1.5\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour une première évaluation rapide, si le Fs est très supérieur à 1.5, la pente est très probablement stable. S'il est entre 1.0 et 1.3, une analyse plus poussée est impérative.

Schéma (Avant les calculs)
Jauge de Stabilité
InstableStable ?Stable1.01.3
Calcul(s) (l'application numérique)

On effectue la comparaison :

\[ 1.87 > 1.5 \]
Schéma (Après les calculs)
Positionnement du Résultat
InstableStable ?Stable1.01.3Fs=1.87
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un facteur de sécurité de 1.87 est généralement considéré comme très bon pour une pente permanente. Il indique une marge de sécurité confortable par rapport à la rupture. On peut donc conclure que, pour la surface de rupture analysée et avec les paramètres de sol fournis, la pente ne présente pas de risque d'instabilité à court terme.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La conclusion ne doit pas être hâtive. Elle doit mentionner les limites du calcul : nous n'avons testé qu'une seule surface de rupture. Une autre surface pourrait être plus critique. De plus, les paramètres du sol (\(c', \phi'\)) sont sujets à des incertitudes. Une analyse de sensibilité, où l'on fait varier ces paramètres, est souvent nécessaire pour confirmer la robustesse de la conclusion.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Un Fs élevé indique une bonne marge de sécurité.
  • La conclusion doit toujours mentionner les limites de l'analyse effectuée.
  • La stabilité n'est jamais absolue et dépend des conditions (hydrauliques, sismiques...).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les glissements de terrain peuvent être très lents (quelques mm/an), on parle de "fluage". Ils sont surveillés par des instruments (inclinomètres, tassomètres, GPS) pour anticiper une accélération qui pourrait précéder une rupture rapide.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce qu'un Fs de 3.0 est "trop" sûr ?

Pas nécessairement "trop sûr", mais potentiellement "surdimensionné". Cela peut signifier une conception non économique (par exemple, un talus beaucoup moins raide que nécessaire, ce qui augmente les coûts de terrassement). L'objectif de l'ingénieur est d'atteindre le niveau de sécurité requis de manière optimisée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le facteur de sécurité de 1.87 est supérieur au seuil de 1.0 et aux exigences normatives usuelles (typiquement 1.3-1.5). On peut donc conclure que la pente est stable vis-à-vis du mécanisme de rupture étudié.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la norme exigeait un Fs minimal de 2.0 pour cet ouvrage critique, quelle serait votre conclusion ?

Outil Interactif : Paramètres de Stabilité

Modifiez les paramètres du sol pour voir leur influence sur le Facteur de Sécurité.

Paramètres d'Entrée
12 kPa
25 °
Sec
Résultats Clés
Somme des Forces Résistantes (kN/m) -
Somme des Forces Motrices (kN/m) -
Facteur de Sécurité (Fs) -

Le Saviez-Vous ?

La catastrophe du barrage de Vajont en Italie en 1963 est l'un des exemples les plus tragiques de glissement de terrain. Le remplissage du réservoir a provoqué la saturation du flanc du Mont Toc, qui a glissé en masse dans le lac, créant une vague de 250 mètres de haut qui a détruit plusieurs villages et causé la mort de près de 2000 personnes. Cet événement a souligné l'importance capitale de l'analyse géotechnique et de la prise en compte de la pression de l'eau dans la stabilité des grands ouvrages.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utilise-t-on une surface de rupture circulaire ?

Pour les sols homogènes et cohérents comme les argiles, l'expérience et la théorie montrent que la surface de rupture a souvent une forme qui s'approche d'un arc de cercle. C'est une simplification qui permet des calculs relativement aisés. Pour les sols rocheux ou stratifiés, d'autres formes (plane, polygonale) sont plus appropriées.

L'eau est-elle toujours mauvaise pour la stabilité ?

Dans la grande majorité des cas, oui. La présence d'eau dans les pores du sol augmente le poids total (force motrice) et, plus important encore, elle crée une pression interstitielle (pression de l'eau, notée u) qui réduit la contrainte effective entre les grains. Comme la résistance au frottement dépend de cette contrainte effective, l'eau diminue drastiquement la résistance du sol. C'est pourquoi les glissements de terrain se produisent souvent après de fortes pluies.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la cohésion (c') d'un sol est nulle (cas d'un sable sec), la résistance au cisaillement dépend uniquement de...

2. Une forte pluie s'abat sur un talus. Quel est l'effet le plus probable sur son facteur de sécurité ?

Facteur de Sécurité (Fs)
Rapport adimensionnel entre la résistance maximale au cisaillement d'un sol et la contrainte de cisaillement mobilisée. Une valeur supérieure à 1 indique la stabilité.
Cohésion (c')
Partie de la résistance au cisaillement d'un sol qui est indépendante de la contrainte normale. Elle est due aux forces d'attraction entre les particules fines (argiles).
Angle de Frottement Interne (φ')
Paramètre décrivant la résistance au cisaillement due à la friction et à l'imbrication des grains de sol. Il caractérise la pente de la droite de rupture de Mohr-Coulomb.
Méthode des Tranches
Méthode de calcul de stabilité où le volume de sol potentiellement instable est découpé en une série de tranches verticales pour faciliter l'analyse des forces.
Analyse de la Stabilité d’une Pente

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