EGC

Torsion dans une Poutre en T

Calcul de Torsion dans une Poutre en T en RdM

Calcul de Torsion dans une Poutre en T

Contexte : La Stabilité à la Torsion, un Enjeu Majeur.

En Résistance des Matériaux (RdM), la torsion est une sollicitation qui tend à "tordre" une poutre autour de son axe longitudinal. Si elle est souvent secondaire dans les poutres symétriques chargées au centre, elle devient critique pour les éléments supportant des charges excentrées (poutres de rive, balcons) ou pour les structures courbes (passerelles, ponts). Le calcul des contraintes de cisaillement et de l'angle de torsion est donc essentiel pour garantir la sécurité et la stabilité de ces ouvrages. Cet exercice explore le comportement d'une poutre en T, une section non circulaire courante, soumise à un moment de torsion.

Remarque Pédagogique : Contrairement à la flexion, la torsion dans les sections non circulaires est un problème complexe. Nous utiliserons des formules approchées basées sur la décomposition de la section en rectangles, une méthode très utilisée en bureau d'études. L'objectif est de comprendre comment la géométrie de la section influence sa rigidité à la torsion et où se concentrent les contraintes.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer l'inertie de torsion équivalente pour une section composée.
  • Déterminer la contrainte de cisaillement maximale due à la torsion.
  • Vérifier la résistance de la section en comparant la contrainte à une limite admissible.
  • Calculer l'angle de rotation (torsion) total d'une poutre.
  • Comprendre l'influence du Module de CoulombAussi appelé module de cisaillement ou module de rigidité (G), il mesure la résistance d'un matériau à la déformation par cisaillement. C'est l'équivalent du module de Young pour la torsion. (G) sur la déformation.

Données de l'étude

Une poutre-console en acier de section en T est encastrée à une extrémité. Un moment de torsion (torque) est appliqué à son extrémité libre. Les caractéristiques de la poutre sont les suivantes :

Schéma de la Poutre en T et du Chargement
T L = 2000 mm
Paramètre Symbole Valeur Unité
Largeur de la semelle \(b_1\) 100 \(\text{mm}\)
Épaisseur de la semelle \(t_1\) 15 \(\text{mm}\)
Hauteur de l'âme \(b_2\) 85 \(\text{mm}\)
Épaisseur de l'âme \(t_2\) 10 \(\text{mm}\)
Longueur de la poutre \(L\) 2000 \(\text{mm}\)
Moment de torsion \(T\) 250 \(\text{N} \cdot \text{m}\)
Module de Coulomb (Acier) \(G\) 80 \(\text{GPa}\)
Contrainte de cisaillement admissible \(\tau_{\text{adm}}\) 140 \(\text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer l'inertie de torsion équivalente \(J_{\text{eq}}\) pour la section en T.
  2. Calculer la contrainte de cisaillement maximale \(\tau_{\text{max}}\) et indiquer où elle se produit.
  3. Vérifier la résistance de la poutre en comparant la contrainte maximale à la contrainte admissible.
  4. Calculer l'angle de rotation total \(\theta\) de l'extrémité libre de la poutre, en degrés.

Les bases de la Torsion sur Sections Ouvertes

La torsion des sections non circulaires est régie par la théorie de Saint-Venant.

1. L'Inertie de Torsion (\(J\)) :
Pour les sections non circulaires, l'inertie polaire n'est plus pertinente. On utilise une "inertie de torsion" \(J\) (ou \(I_t\)). Pour une section composée de rectangles minces, on peut l'approximer en sommant les inerties de chaque rectangle : \[ J_{\text{eq}} \approx \sum_{i} \alpha_i \cdot b_i \cdot t_i^3 \] où \(b_i\) est la grande dimension et \(t_i\) la petite dimension du rectangle \(i\). Le coefficient \(\alpha_i\) dépend du rapport \(b_i/t_i\). Pour des rectangles élancés (\(b/t \rightarrow \infty\)), \(\alpha\) tend vers 1/3.

2. Contrainte de Cisaillement (\(\tau\)) :
La contrainte de cisaillement maximale se produit sur le bord de la partie la plus épaisse de la section. Sa valeur est donnée par : \[ \tau_{\text{max}} = \frac{T \cdot t_{\text{max}}}{J_{\text{eq}}} \] Où \(t_{\text{max}}\) est la plus grande épaisseur parmi les rectangles composant la section.

3. Angle de Torsion (\(\theta\)) :
L'angle de rotation total de la poutre est proportionnel au moment de torsion et à la longueur, et inversement proportionnel à la rigidité de torsion du matériau (\(G\)) et de la section (\(J\)): \[ \theta (\text{rad}) = \frac{T \cdot L}{G \cdot J_{\text{eq}}} \] C'est l'analogue de la formule de la flèche en flexion.

Correction : Calcul de Torsion dans une Poutre en T

Question 1 : Calculer l'inertie de torsion équivalente (J_eq)

Principe (le concept physique)

L'inertie de torsion est la propriété géométrique qui mesure la capacité d'une section à résister à la torsion. Pour une section ouverte comme un T, on ne peut pas simplement additionner les inerties polaires. On la modélise comme un assemblage de rectangles minces, et on somme leurs contributions individuelles. L'épaisseur de chaque rectangle a une influence prépondérante (au cube), ce qui signifie que les parties minces contribuent très peu à la rigidité globale.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La théorie de Saint-Venant montre que le cisaillement est nul dans les coins sortants et maximal au milieu des grands côtés. La formule \(J_{\text{eq}} = \sum \alpha b t^3\) est une excellente approximation pour les sections ouvertes à parois minces. Le coefficient \(\alpha\) varie de 0.141 pour un carré (b/t=1) à 1/3 pour un rectangle très fin. Pour simplifier, les bureaux d'études utilisent souvent \(\alpha = 1/3\) pour tous les rectangles, ce qui est une approximation sûre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous tordez une éponge en forme de T. Vous verrez que c'est la "torsion" de chaque branche (semelle et âme) qui compte. La formule reflète cela en additionnant la capacité de chaque rectangle à se tordre. Notez bien que l'épaisseur est au cube : une semelle deux fois plus épaisse est \(2^3=8\) fois plus rigide en torsion !

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 (EN 1993-1-1) fournit des méthodes pour calculer les propriétés de torsion des sections courantes. Les formules basées sur la décomposition en rectangles sont une approche standard et acceptée pour les profilés ouverts.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une section composée, avec l'approximation des rectangles élancés :

\[ J_{\text{eq}} \approx \frac{1}{3} \sum_{i} b_i \cdot t_i^3 = \frac{1}{3} (b_1 t_1^3 + b_2 t_2^3) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On néglige les concentrations de contraintes à la jonction entre l'âme et la semelle. On considère que les deux rectangles (âme et semelle) sont suffisamment élancés pour utiliser le coefficient \(\alpha = 1/3\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Semelle : \(b_1 = 100 \, \text{mm}\), \(t_1 = 15 \, \text{mm}\)
  • Âme : \(b_2 = 85 \, \text{mm}\), \(t_2 = 10 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant le calcul, identifiez la partie la plus épaisse (\(t_1 = 15\) mm). Sa contribution à l'inertie (\(b_1 t_1^3\)) sera bien plus grande que celle de la partie mince, même si cette dernière est haute. Cela vous donne un ordre de grandeur et permet de vérifier le résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la Section en T
Rectangle 1Rectangle 2
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule en utilisant les dimensions en mm. Le résultat sera en mm⁴.

\[ \begin{aligned} J_{\text{eq}} &= \frac{1}{3} (b_1 t_1^3 + b_2 t_2^3) \\ &= \frac{1}{3} (100 \cdot 15^3 + 85 \cdot 10^3) \\ &= \frac{1}{3} (100 \cdot 3375 + 85 \cdot 1000) \\ &= \frac{1}{3} (337500 + 85000) \\ &= \frac{422500}{3} \\ &\approx 140833 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Section avec Inertie de Torsion Calculée
J_eq ≈ 140 833 mm⁴
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur de 140 833 mm⁴ représente la rigidité géométrique de la section en T à la torsion. On remarque que la semelle (\(337500\)) contribue presque 4 fois plus que l'âme (\(85000\)) à cette rigidité, bien qu'elle soit moins haute, confirmant l'importance cruciale de l'épaisseur (\(t^3\)).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'utiliser l'inertie polaire (\(I_x + I_y\)) qui n'est valable que pour les sections circulaires. Une autre erreur est de mal identifier les termes \(b\) (grande dimension) et \(t\) (petite dimension) pour chaque rectangle.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'inertie de torsion \(J\) mesure la rigidité géométrique à la torsion.
  • Pour les sections ouvertes, on la calcule en sommant les contributions de rectangles.
  • La formule est \(J_{\text{eq}} \approx \frac{1}{3} \sum b_i t_i^3\), où l'épaisseur \(t\) est le terme dominant.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour une même quantité de matière, une section fermée (comme un tube ou un caisson) est des centaines de fois plus rigide en torsion qu'une section ouverte (comme un I ou un T). C'est pourquoi les arbres de transmission sont des tubes et les fuselages d'avion sont des caissons.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette formule est-elle exacte ?

Non, c'est une approximation. La valeur exacte utilise des coefficients \(\alpha\) et \(\beta\) qui dépendent du rapport b/t de chaque rectangle. Cependant, pour des rectangles assez élancés (b/t > 5), l'approximation avec \(\alpha = 1/3\) est très bonne et est souvent utilisée pour sa simplicité.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'inertie de torsion équivalente de la section en T est d'environ 140 833 mm⁴.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'épaisseur de la semelle était réduite à 10 mm (\(t_1 = t_2\)), quelle serait la nouvelle inertie de torsion en mm⁴ ?

Simulateur 3D : Influence de l'Épaisseur sur J_eq

Inertie de Torsion (J_eq) : 140833 mm⁴

Question 2 : Calculer la contrainte de cisaillement maximale

Principe (le concept physique)

Lorsqu'une poutre est tordue, la matière subit un cisaillement. La contrainte de cisaillement (\(\tau\)) n'est pas uniforme. Pour les sections ouvertes, elle est maximale à la surface, au milieu du côté long du rectangle le plus épais. C'est donc à cet endroit que le matériau est le plus sollicité et qu'une rupture par torsion pourrait s'initier.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La distribution des contraintes de cisaillement dans une section non circulaire est complexe et forme des boucles fermées. Cependant, la formule \(\tau_{\text{max}} = T \cdot t_{\text{max}} / J_{\text{eq}}\) donne une excellente estimation de la valeur maximale, qui est la plus importante pour le dimensionnement. Le reste de la section est moins sollicité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Contrairement à la flexion où la contrainte est maximale le plus loin de l'axe neutre, en torsion de section ouverte, c'est l'épaisseur qui commande. C'est une notion contre-intuitive mais essentielle : la contrainte la plus forte apparaît dans la partie la plus "massive" (la plus épaisse) de la section.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification de la contrainte de cisaillement est un critère de résistance fondamental dans les Eurocodes. La contrainte de calcul (\(\tau_{Ed}\)) doit être inférieure à la résistance au cisaillement du matériau (\(f_{yd} / \sqrt{3}\) selon le critère de von Mises).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La contrainte de cisaillement maximale est :

\[ \tau_{\text{max}} = \frac{T \cdot t_{\text{max}}}{J_{\text{eq}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le moment de torsion \(T\) est constant sur toute la longueur et que les formules de Saint-Venant pour la torsion uniforme s'appliquent. Le gauchissement de la section est libre à l'extrémité.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment de torsion, \(T = 250 \, \text{N} \cdot \text{m}\)
  • Inertie de torsion, \(J_{\text{eq}} \approx 140833 \, \text{mm}^4\) (du calcul Q1)
  • Épaisseurs : \(t_1 = 15 \, \text{mm}\), \(t_2 = 10 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! Le couple est en N·m et les dimensions en mm. Il faut convertir le couple en N·mm en le multipliant par 1000. Oublier cette conversion est l'erreur la plus fréquente. \(T = 250 \, \text{N} \cdot \text{m} = 250000 \, \text{N} \cdot \text{mm}\).

Schéma (Avant les calculs)
Localisation de la Contrainte Maximale
τ_max ?Partie la plus épaisse (t1=15mm)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Convertir le moment de torsion en N·mm :

\[ \begin{aligned} T &= 250 \, \text{N} \cdot \text{m} \\ &= 250 \times 1000 \\ &= 250000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

2. Identifier l'épaisseur maximale :

\[ t_{\text{max}} = \max(t_1, t_2) = \max(15, 10) = 15 \, \text{mm} \]

3. Calculer la contrainte (le résultat sera directement en MPa) :

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{max}} &= \frac{T \cdot t_{\text{max}}}{J_{\text{eq}}} \\ &= \frac{250000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \cdot 15 \, \text{mm}}{140833 \, \text{mm}^4} \\ &= \frac{3750000}{140833} \, \frac{\text{N}}{\text{mm}^2} \\ &\approx 26.6 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Distribution des Contraintes de Cisaillement
τ_max ≈ 26.6 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte maximale est de 26.6 MPa et elle se situe à la surface de la semelle (la partie la plus épaisse). C'est une valeur relativement faible, ce qui suggère que la poutre est bien dimensionnée pour la torsion appliquée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Outre l'erreur d'unité sur le couple, il faut bien identifier \(t_{\text{max}}\). Dans un profilé en I, l'âme peut être plus fine que les semelles. La contrainte maximale n'est pas forcément dans la plus grande partie, mais dans la plus épaisse.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte de cisaillement en torsion est maximale sur le bord de la partie la plus épaisse.
  • La formule est \(\tau_{\text{max}} = T \cdot t_{\text{max}} / J_{\text{eq}}\).
  • La conversion des unités du moment de torsion est une étape critique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'effondrement spectaculaire du pont de Tacoma Narrows en 1940 est un exemple célèbre d'instabilité aéroélastique impliquant la torsion. Un vent modéré a excité le mode de vibration en torsion du pont, créant des oscillations de plus en plus amples jusqu'à la rupture. Depuis, l'étude de la torsion est primordiale dans la conception des ponts suspendus.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que la contrainte est nulle au centre de la section ?

Non, contrairement à une section circulaire, la contrainte de cisaillement n'est pas nulle au centre de gravité. Elle est nulle uniquement dans les coins rentrants et sortants. La distribution est complexe et ne peut être visualisée simplement que par des simulations par éléments finis.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de cisaillement maximale est d'environ 26.6 MPa, localisée sur la face supérieure/inférieure de la semelle.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le couple T était doublé (500 N·m), quelle serait la nouvelle contrainte maximale en MPa ?

Simulateur 3D : Contrainte de Torsion

Contrainte Max : 26.6 MPa

Question 3 : Vérifier la résistance de la poutre

Principe (le concept physique)

La vérification de la résistance est l'étape ultime du dimensionnement. Elle consiste à s'assurer que la sollicitation maximale que subit le matériau (la contrainte calculée, \(\tau_{\text{max}}\)) reste inférieure à ce qu'il peut supporter (la contrainte admissible, \(\tau_{\text{adm}}\)). La contrainte admissible est la limite élastique du matériau en cisaillement, souvent affectée d'un coefficient de sécurité.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette vérification relève du concept des états limites ultimes (ELU) en ingénierie. On s'assure que la structure ne rompt pas sous les charges de calcul. La contrainte admissible (\(\tau_{\text{adm}}\)) est généralement dérivée de la limite élastique du matériau (\(f_y\)) divisée par un coefficient de sécurité partiel (\(\gamma_M\)) et un facteur de conversion pour le cisaillement (souvent \(1/\sqrt{3}\) pour le critère de Von Mises).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un pont : il ne doit pas seulement supporter le poids des voitures prévu, mais aussi avoir une marge pour des surcharges imprévues, des défauts de matériau ou des imprécisions de construction. Cette marge est le coefficient de sécurité. Notre calcul vérifie que même dans le cas le plus défavorable, la poutre est loin de sa limite de rupture.

Normes (la référence réglementaire)

Selon l'Eurocode 3, la vérification au cisaillement s'écrit \( V_{Ed} \le V_{pl,Rd} \), où \(V_{Ed}\) est l'effort tranchant de calcul et \(V_{pl,Rd}\) est la résistance plastique au cisaillement. Notre approche par contrainte admissible est une méthode simplifiée mais équivalente, souvent appelée calcul en contraintes admissibles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La condition de résistance à vérifier est :

\[ \tau_{\text{max}} \le \tau_{\text{adm}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la valeur de \(\tau_{\text{adm}}\) fournie dans l'énoncé est une valeur de calcul qui inclut déjà tous les coefficients de sécurité requis par les normes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contrainte maximale calculée, \(\tau_{\text{max}} = 26.6 \, \text{MPa}\)
  • Contrainte de cisaillement admissible, \(\tau_{\text{adm}} = 140 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour évaluer rapidement à quel point la conception est sûre, calculez le "taux de travail" : \((\tau_{\text{max}} / \tau_{\text{adm}}) \times 100\%\). Un taux de travail faible (ici, \(26.6/140 \approx 19\%\)) indique que la poutre est très largement surdimensionnée pour cette sollicitation.

Schéma (Avant les calculs)
Jauge de Sécurité
0140 MPa?
Calcul(s) (l'application numérique)

On compare simplement la valeur calculée à la question 2 à la donnée de l'énoncé.

\[ 26.6 \, \text{MPa} \le 140 \, \text{MPa} \quad \Rightarrow \quad \text{VÉRIFIÉ} \]
Schéma (Après les calculs)
Jauge de Sécurité - Résultat
0140 MPaOK
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La condition de résistance est largement satisfaite. Le rapport \(140 / 26.6 \approx 5.26\) représente le coefficient de sécurité. Cela signifie que la poutre pourrait supporter un couple plus de 5 fois supérieur avant d'atteindre la limite admissible. La conception est donc très sûre vis-à-vis de la torsion.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Il ne faut pas comparer une contrainte de cisaillement (\(\tau\)) à une contrainte admissible en traction/compression (\(\sigma_{\text{adm}}\)) sans conversion. Les matériaux n'ont pas la même résistance dans les deux modes. La limite en cisaillement est généralement de 50% à 60% de la limite en traction.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de la résistance est une simple comparaison : \(\tau_{\text{calculée}} \le \tau_{\text{admissible}}\).
  • Un coefficient de sécurité élevé indique une conception robuste ou surdimensionnée.
  • Cette vérification garantit que la poutre ne rompra pas sous la charge de calcul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les premiers ingénieurs, comme pour la construction des ponts en fer au 19ème siècle, utilisaient des coefficients de sécurité très élevés (parfois de 6 à 10) pour pallier les incertitudes sur la qualité de la fonte et les théories de calcul encore balbutiantes. Aujourd'hui, avec une meilleure connaissance des matériaux et des méthodes de calcul plus fines, on utilise des coefficients partiels plus faibles (typiquement de 1.15 à 1.5).

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si la vérification de résistance n'est pas satisfaite ?

Si \(\tau_{\text{max}} > \tau_{\text{adm}}\), l'ingénieur doit modifier la conception. Les solutions sont : augmenter les épaisseurs de la section (surtout \(t_{\text{max}}\)), choisir une section géométriquement plus efficace (comme un caisson fermé), ou utiliser un matériau avec une limite élastique plus élevée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Comme 26.6 MPa < 140 MPa, la poutre résiste en toute sécurité au moment de torsion appliqué.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel est le couple de torsion maximal (en N·m) que la poutre peut supporter avant de dépasser \(\tau_{\text{adm}}\) ?

Simulateur 3D : Jauge de Sécurité

État : SÉCURITAIRE

Question 4 : Calculer l'angle de rotation total

Principe (le concept physique)

Au-delà de la résistance, il faut maîtriser la déformation. En torsion, la déformation est l'angle de rotation \(\theta\) de la section. Un angle de torsion trop important peut être inacceptable pour des raisons fonctionnelles (ex: désalignement de machines, inconfort sur une passerelle). Le calcul de \(\theta\) permet de vérifier que la poutre est non seulement résistante, mais aussi suffisamment rigide.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le produit \(G \cdot J_{\text{eq}}\) est appelé "rigidité de torsion". Il représente la capacité de la poutre à résister à la déformation angulaire. Il est l'équivalent du produit \(E \cdot I\) (rigidité de flexion). La formule \(\theta = TL/GJ\) montre que pour limiter la rotation, on peut utiliser un matériau plus rigide (G élevé), une section plus efficace (J élevé), ou réduire la longueur (L).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Tordre une longue règle en plastique est facile, mais tordre une règle courte et épaisse en métal est quasi impossible. Cette expérience illustre parfaitement la formule \(\theta = TL/GJ\). La longue règle en plastique a un grand \(L\) et un petit \(G\), donc un grand \(\theta\). La règle en métal a un petit \(L\) et un grand \(G\), donc un \(\theta\) très faible.

Normes (la référence réglementaire)

Le contrôle des déformations relève des "états limites de service" (ELS) dans les Eurocodes. Les normes imposent des limites sur les déformations (flèches, rotations) pour garantir le confort des usagers, l'intégrité des éléments non structuraux (cloisons, vitrages) et le bon fonctionnement des équipements.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'angle de torsion en radians est :

\[ \theta_{\text{rad}} = \frac{T \cdot L}{G \cdot J_{\text{eq}}} \]

La conversion en degrés est :

\[ \theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le matériau a un comportement linéaire-élastique (G est constant) et que les déformations angulaires sont faibles (ce qui permet d'utiliser \(\tan(\theta) \approx \theta\)).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(T = 250000 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(L = 2000 \, \text{mm}\)
  • \(G = 80 \, \text{GPa} = 80000 \, \text{MPa} = 80000 \, \text{N}/\text{mm}^2\)
  • \(J_{\text{eq}} = 140833 \, \text{mm}^4\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La conversion de G en MPa (N/mm²) est essentielle pour avoir un calcul homogène avec les autres unités. 1 GPa = 1000 MPa. Ne pas faire cette conversion est une erreur fréquente qui mène à un résultat 1000 fois trop grand.

Schéma (Avant les calculs)
Rotation de la Section d'Extrémité
θ ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer l'angle en radians :

\[ \begin{aligned} \theta_{\text{rad}} &= \frac{T \cdot L}{G \cdot J_{\text{eq}}} \\ &= \frac{250000 \cdot 2000}{80000 \cdot 140833} \\ &= \frac{5 \times 10^8}{1.1266 \times 10^{10}} \\ &\approx 0.04438 \, \text{rad} \end{aligned} \]

2. Convertir en degrés :

\[ \begin{aligned} \theta_{\text{deg}} &= \theta_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi} \\ &= 0.04438 \cdot \frac{180}{\pi} \\ &\approx 2.54^\circ \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Rotation de la Section d'Extrémité - Résultat
2.54°
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'extrémité de la poutre tourne de 2.54 degrés. Selon l'application, cette valeur peut être acceptable ou non. Pour une poutre de structure supportant un plancher, c'est généralement une déformation acceptable. Pour un axe de machine de précision, ce serait beaucoup trop important.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La formule donne le résultat en radians, une unité mathématique. Il faut presque toujours le convertir en degrés pour avoir une représentation intuitive de la déformation. Oublier la conversion (\(\times 180 / \pi\)) est une erreur courante qui laisse un résultat peu parlant.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'angle de torsion \(\theta\) mesure la déformation en torsion.
  • La formule est \(\theta = TL / GJ\).
  • La rigidité en torsion est le produit \(G \cdot J\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les brins d'ADN sont soumis à une torsion constante lors des processus de réplication et de transcription. Des enzymes spécialisées, les topoisomérases, agissent comme des "détordeurs" moléculaires pour couper, faire tourner et ressouder les brins afin de relâcher les contraintes de torsion, un exploit de nanotechnologie biologique.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que l'angle de rotation est constant le long de la poutre ?

Non, il varie linéairement. Il est nul à l'encastrement (rotation bloquée) et augmente progressivement pour atteindre sa valeur maximale à l'extrémité libre, là où le couple est appliqué. Notre calcul donne cette valeur maximale.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'angle de rotation total à l'extrémité libre de la poutre est d'environ 2.54°.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la poutre était deux fois plus longue (4000 mm), quel serait le nouvel angle de torsion en degrés ?

Simulateur 3D : Angle de Torsion

Angle de Torsion : 2.54°

Outil Interactif : Paramètres de Torsion

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur la contrainte et l'angle de torsion.

Paramètres d'Entrée
250 N·m
15 mm
Résultats Clés
Contrainte Max (MPa) -
Angle de Torsion (°) -
Coefficient de Sécurité -

Le Saviez-Vous ?

Le mathématicien et ingénieur français Adhémar Jean-Claude Barré de Saint-Venant (1797-1886) est le père de la théorie moderne de la torsion. Son "principe de Saint-Venant" stipule que l'effet d'une charge localisée sur les contraintes s'estompe à une distance suffisante du point d'application. C'est ce qui nous permet d'utiliser des formules simplifiées pour analyser des poutres loin de leurs appuis et points de chargement.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la torsion est-elle si différente entre une section ouverte et une section fermée ?

Dans une section fermée (tube), les contraintes de cisaillement forment un "flux" continu qui circule le long de la paroi. Ce flux est très efficace pour reprendre le couple. Dans une section ouverte (T, I), ce flux est interrompu. Le couple est repris par des contraintes de "torsion pure" bien moins efficaces. La différence de rigidité peut atteindre un facteur de 100 ou plus pour une même quantité de matériau.

Que se passe-t-il si la poutre ne peut pas se déformer librement (gauchissement empêché) ?

Si l'encastrement ou un autre élément bloque la déformation hors-plan de la section (le gauchissement), une "torsion de gauchissement" (ou bimoment) apparaît. Cela génère des contraintes normales (traction/compression) en plus des contraintes de cisaillement, un phénomène beaucoup plus complexe qui n'est pas couvert par la théorie de Saint-Venant et nécessite des calculs avancés.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour une section ouverte en torsion, la contrainte de cisaillement maximale se trouve...

2. Si on remplace une poutre en acier (G=80 GPa) par une poutre identique en aluminium (G=26 GPa) soumise au même couple, l'angle de torsion sera...

Module de Coulomb (G)
Aussi appelé module de cisaillement ou de rigidité. C'est une propriété du matériau qui mesure sa résistance à la déformation par cisaillement. Unité : Pascal (Pa) ou ses multiples (MPa, GPa).
Inertie de Torsion (J)
Propriété géométrique d'une section qui quantifie sa résistance à la rotation due à la torsion. À ne pas confondre avec l'inertie polaire pour les sections non circulaires. Unité : m⁴ ou mm⁴.
Contrainte de Cisaillement (\(\tau\))
Contrainte interne agissant parallèlement à la surface d'une section. En torsion, elle est responsable de la "glissade" relative des plans de matière.
Calcul de Torsion dans une Poutre en T

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