Remblais et Déblais sur un Terrain Complexe

Comprendre le Calcul des Mouvements de Terre

Lors d'un projet de terrassement, il est essentiel de calculer les volumes de terre à déplacer. On distingue :

Les déblais : Volumes de terre à enlever (lorsque le niveau du projet est plus bas que le terrain naturel).
Les remblais : Volumes de terre à ajouter (lorsque le niveau du projet est plus haut que le terrain naturel).

Pour un terrain complexe dont la topographie est connue par un relevé de points, une méthode courante pour estimer ces volumes est la **méthode des mailles** (ou méthode du quadrillage). Le terrain est divisé en cellules carrées ou rectangulaires, et on calcule le volume de déblai ou de remblai pour chaque cellule en se basant sur la différence d'altitude entre le terrain naturel et le projet aux coins de la cellule.

Données

On souhaite créer une plateforme horizontale rectangulaire de 20m x 10m sur un terrain en pente. Le terrain naturel a été relevé selon un quadrillage régulier de 10m x 10m.

Niveau du projet :

Altitude de la plateforme finie : \(Z_{projet} = 102.50 \, \text{m}\)

Topographie du Terrain Naturel (TN) :

Altitudes (en mètres) aux nœuds du quadrillage (maille de 10m x 10m) :

Point	X (m)	Y (m)	Altitude TN (m)
A1	0	0	104.20
A2	0	10	103.80
A3	0	20	103.40
B1	10	0	103.50
B2	10	10	103.10
B3	10	20	102.70
C1	20	0	102.80
C2	20	10	102.40
C3	20	20	102.00
D1	30	0	102.10
D2	30	10	101.70
D3	30	20	101.30

Zone du projet :

La plateforme s'étend de X=5m à X=25m et de Y=5m à Y=15m.
Pour simplifier, on calculera les volumes sur les 2 mailles complètes incluses dans cette zone : la maille B1-B2-C2-C1 et la maille B2-B3-C3-C2.

Schéma : Quadrillage du Terrain et Zone Projet

Questions

Calculer la hauteur de déblai ou de remblai (\(h_i\)) à chaque nœud (B1, B2, B3, C1, C2, C3) par rapport à l'altitude du projet \(Z_{projet}\). Indiquer s'il s'agit d'un déblai (+) ou d'un remblai (-).
Calculer le volume de déblai et de remblai pour la maille 1 (B1-B2-C2-C1) en utilisant la méthode de la hauteur moyenne des 4 coins.
Calculer le volume de déblai et de remblai pour la maille 2 (B2-B3-C3-C2) en utilisant la même méthode.
Calculer le volume total de déblai (\(V_{deblai}\)) et le volume total de remblai (\(V_{remblai}\)) pour les deux mailles étudiées.
Calculer le volume net (\(V_{net} = V_{deblai} - V_{remblai}\)) et conclure sur l'équilibre des terrassements pour cette zone.

Correction : Calcul de Remblais et Déblais sur un Terrain Complexe

Question 1 : Calcul des Hauteurs de Déblai/Remblai (\(h_i\))

Principe :

Pour chaque nœud \(i\) du quadrillage concerné par le projet, on calcule la différence entre l'altitude du terrain naturel (\(Z_{TN,i}\)) et l'altitude du projet (\(Z_{projet}\)).

Formule :

h_i = Z_{TN,i} - Z_{projet}

Si \(h_i > 0\), il s'agit d'un déblai (le terrain est au-dessus du projet).
Si \(h_i < 0\), il s'agit d'un remblai (le terrain est en dessous du projet).
Si \(h_i = 0\), le point est au niveau du projet.

Données :

\(Z_{projet} = 102.50 \, \text{m}\)
Altitudes TN : B1=103.50, B2=103.10, B3=102.70, C1=102.80, C2=102.40, C3=102.00

Calcul :

{/* MODIFICATION: Utilisation de l'environnement aligned pour les calculs */}

\begin{aligned} h_{B1} &= 103.50 - 102.50 \\ &= +1.00 \, \text{m} \, (\text{Déblai}) \end{aligned}

\begin{aligned} h_{B2} &= 103.10 - 102.50 \\ &= +0.60 \, \text{m} \, (\text{Déblai}) \end{aligned}

\begin{aligned} h_{B3} &= 102.70 - 102.50 \\ &= +0.20 \, \text{m} \, (\text{Déblai}) \end{aligned}

\begin{aligned} h_{C1} &= 102.80 - 102.50 \\ &= +0.30 \, \text{m} \, (\text{Déblai}) \end{aligned}

\begin{aligned} h_{C2} &= 102.40 - 102.50 \\ &= -0.10 \, \text{m} \, (\text{Remblai}) \end{aligned}

\begin{aligned} h_{C3} &= 102.00 - 102.50 \\ &= -0.50 \, \text{m} \, (\text{Remblai}) \end{aligned}

Résultat Question 1 : Les hauteurs de déblai (+) / remblai (-) sont :

B1: +1.00 m
B2: +0.60 m
B3: +0.20 m
C1: +0.30 m
C2: -0.10 m
C3: -0.50 m

Question 2 : Calcul des Volumes pour la Maille 1 (B1-B2-C2-C1)

Principe (Méthode de la hauteur moyenne) :

Pour une maille carrée ou rectangulaire, le volume de déblai ou de remblai peut être approximé en multipliant l'aire de la maille par la hauteur moyenne de déblai/remblai aux quatre coins.

Il faut distinguer les points en déblai (\(h_i > 0\)) et les points en remblai (\(h_i < 0\)).

Formule (pour une maille) :

Hauteur moyenne : \(h_{moy} = \frac{h_1 + h_2 + h_3 + h_4}{4}\)

Volume total (algébrique) : \(V_{maille} = h_{moy} \times \text{Aire}_{maille}\)

Une méthode plus précise sépare déblais et remblais. On calcule la hauteur moyenne des points en déblai (\(h_{moy,D}\)) et la hauteur moyenne des points en remblai (\(h_{moy,R}\)). Le volume de déblai est approximé par \(V_D \approx h_{moy,D} \times \text{Aire}_{maille} \times (\text{Proportion Déblai})\) et idem pour remblai. C'est complexe si certains points sont en déblai et d'autres en remblai.

Approximation simplifiée : On calcule la hauteur moyenne algébrique. Si \(h_{moy} > 0\), le volume est considéré comme déblai. Si \(h_{moy} < 0\), il est considéré comme remblai.

V_{maille} \approx \frac{h_1 + h_2 + h_3 + h_4}{4} \times \text{Aire}_{maille}

Données Maille 1 (B1, B2, C2, C1) :

\(h_{B1} = +1.00 \, \text{m}\)
\(h_{B2} = +0.60 \, \text{m}\)
\(h_{C2} = -0.10 \, \text{m}\)
\(h_{C1} = +0.30 \, \text{m}\)
Aire de la maille = \(10 \, \text{m} \times 10 \, \text{m} = 100 \, \text{m}^2\)

Calcul :

Hauteur moyenne :

\begin{aligned} h_{moy,1} &= \frac{1.00 + 0.60 + (-0.10) + 0.30}{4} \\ &= \frac{1.80}{4} \\ &= +0.45 \, \text{m} \end{aligned}

Volume (puisque \(h_{moy} > 0\), c'est un volume de déblai) :

\begin{aligned} V_{maille1} &= 0.45 \, \text{m} \times 100 \, \text{m}^2 \\ &= 45 \, \text{m}^3 \end{aligned}

Résultat Question 2 : Pour la maille 1, en utilisant l'approximation de la hauteur moyenne, on obtient un volume net de **déblai** de \(V_{D,1} \approx 45 \, \text{m}^3\) et un volume de remblai \(V_{R,1} \approx 0 \, \text{m}^3\).

(Note : Une méthode plus précise tenant compte de la ligne de passage déblai/remblai donnerait des volumes distincts pour les deux, mais cette approximation est souvent utilisée pour une estimation rapide).

Question 3 : Calcul des Volumes pour la Maille 2 (B2-B3-C3-C2)

Principe :

Même méthode que pour la maille 1.

Données Maille 2 (B2, B3, C3, C2) :

\(h_{B2} = +0.60 \, \text{m}\)
\(h_{B3} = +0.20 \, \text{m}\)
\(h_{C3} = -0.50 \, \text{m}\)
\(h_{C2} = -0.10 \, \text{m}\)
Aire de la maille = \(100 \, \text{m}^2\)

Calcul :

Hauteur moyenne :

\begin{aligned} h_{moy,2} &= \frac{0.60 + 0.20 + (-0.50) + (-0.10)}{4} \\ &= \frac{0.20}{4} \\ &= +0.05 \, \text{m} \end{aligned}

Volume (puisque \(h_{moy} > 0\), c'est un volume de déblai) :

\begin{aligned} V_{maille2} &= 0.05 \, \text{m} \times 100 \, \text{m}^2 \\ &= 5 \, \text{m}^3 \end{aligned}

Résultat Question 3 : Pour la maille 2, en utilisant l'approximation de la hauteur moyenne, on obtient un volume net de **déblai** de \(V_{D,2} \approx 5 \, \text{m}^3\) et un volume de remblai \(V_{R,2} \approx 0 \, \text{m}^3\).

Question 4 : Calcul des Volumes Totaux de Déblai et Remblai

Principe :

On somme les volumes de déblai et de remblai calculés pour chaque maille.

Calcul :

Volume total de déblai :

\begin{aligned} V_{deblai, tot} &= V_{D,1} + V_{D,2} \\ &= 45 \, \text{m}^3 + 5 \, \text{m}^3 \\ &= 50 \, \text{m}^3 \end{aligned}

Volume total de remblai :

\begin{aligned} V_{remblai, tot} &= V_{R,1} + V_{R,2} \\ &= 0 \, \text{m}^3 + 0 \, \text{m}^3 \\ &= 0 \, \text{m}^3 \end{aligned}

Résultat Question 4 : Pour les deux mailles étudiées et avec la méthode simplifiée :

Volume total de Déblai \(\approx 50 \, \text{m}^3\)
Volume total de Remblai \(\approx 0 \, \text{m}^3\)

Question 5 : Calcul du Volume Net et Conclusion

Principe :

Le volume net est la différence entre le volume total de déblai et le volume total de remblai. Il indique s'il y a un excédent de terre (net > 0) ou un déficit (net < 0).

Formule :

V_{net} = V_{deblai, tot} - V_{remblai, tot}

Calcul :

\begin{aligned} V_{net} &= 50 \, \text{m}^3 - 0 \, \text{m}^3 \\ &= +50 \, \text{m}^3 \end{aligned}

Résultat Question 5 : Le volume net pour la zone étudiée est \(V_{net} = +50 \, \text{m}^3\).

Conclusion : Selon cette méthode d'approximation, le projet dans cette zone génère un excédent de \(50 \, \text{m}^3\) de déblais. Ces terres devront être évacuées ou réutilisées ailleurs sur le site. Il est important de noter que des méthodes de calcul plus précises (intégration numérique, logiciels spécialisés) sont nécessaires pour des projets réels, notamment pour gérer correctement les zones mixtes déblai/remblai au sein d'une même maille.