Performance Éolienne selon la Limite de Betz

Contexte : L'énergie éolienne et son efficacité.

L'énergie éolienne est une source d'énergie renouvelable clé, convertissant l'énergie cinétique du vent en électricité. Cependant, une éolienne ne peut pas capturer 100% de l'énergie du vent qui la traverse. En 1919, le physicien allemand Albert Betz a démontré qu'il existe une limite théorique à l'efficacité de toute éolienne. Cet exercice vous guidera à travers le calcul de la puissance disponible dans le vent, la détermination de cette puissance maximale théorique (la Limite de BetzLa puissance maximale possible qu'on peut extraire d'un fluide. Pour les éoliennes, elle est de 16/27 (soit 59.3%) de l'énergie cinétique du vent.), et l'évaluation de la performance réelle d'une turbine.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à quantifier le potentiel énergétique du vent et à comprendre pourquoi les éoliennes ont une efficacité limitée, un concept fondamental dans le domaine des énergies renouvelables.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la puissance cinétique totale contenue dans le vent.
Appliquer la loi de Betz pour déterminer la puissance maximale extractible.
Calculer et interpréter le coefficient de performance (Cp)Rapport entre la puissance électrique produite par l'éolienne et la puissance cinétique du vent qui traverse le rotor. C'est une mesure de l'efficacité de la turbine. d'une éolienne.
Comprendre l'influence de la vitesse du vent et du diamètre du rotor sur la puissance.

Données de l'étude

On étudie une éolienne de taille moyenne installée dans une plaine où le vent est régulier. On cherche à évaluer sa performance dans des conditions de fonctionnement nominales.

Schéma d'une éolienne et du flux d'air

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Diamètre du rotor	\(D\)	90	\(\text{m}\)
Vitesse du vent (nominale)	\(v\)	12	\(\text{m/s}\)
Masse volumique de l'air	\(\rho\)	1.225	\(\text{kg/m}^3\)
Puissance électrique réelle produite	\(P_{\text{réelle}}\)	2000	\(\text{kW}\)

Questions à traiter

Calculer la surface \(A\) balayée par les pales de l'éolienne.
Calculer la puissance totale du vent (\(P_{\text{vent}}\)) qui traverse cette surface.
Déterminer la puissance maximale théorique (\(P_{\text{max}}\)) qui peut être extraite du vent selon la limite de Betz.
Calculer le coefficient de performance réel (\(C_p\)) de l'éolienne et le comparer à la limite théorique.

Les bases sur la Puissance Éolienne

Pour aborder cet exercice, il faut comprendre d'où vient l'énergie du vent et comment on la quantifie.

1. Puissance Cinétique du Vent
Le vent est de l'air en mouvement, il possède donc une énergie cinétique. La puissance du vent est le flux de cette énergie à travers une surface donnée. Elle dépend de trois facteurs clés : la masse volumique de l'air (\(\rho\)), la surface balayée par le rotor (\(A\)), et surtout, la vitesse du vent (\(v\)). La formule est : \[ P_{\text{vent}} = \frac{1}{2} \rho A v^3 \] Notez que la puissance varie avec le cube de la vitesse du vent. Si la vitesse double, la puissance est multipliée par 8 !

2. La Limite de Betz
Une éolienne fonctionne en ralentissant le vent, mais elle ne peut pas l'arrêter complètement (sinon l'air s'accumulerait et ne passerait plus à travers les pales). Albert Betz a calculé que l'efficacité maximale de conversion est atteinte lorsque le vent est ralenti à un tiers de sa vitesse initiale. Cette efficacité maximale, ou coefficient de performance maximal, est : \[ C_{p, \text{max}} = \frac{16}{27} \approx 0.593 \] Cela signifie qu'au maximum, 59.3% de la puissance du vent peut être convertie en énergie mécanique par le rotor.

Correction : Performance Éolienne selon la Limite de Betz

Question 1 : Calculer la surface balayée par les pales

Principe

Les pales de l'éolienne, en tournant, décrivent un disque. La surface balayée est la "fenêtre" à travers laquelle l'éolienne capture le vent. C'est simplement l'aire de ce disque, qui dépend directement du diamètre du rotor.

Mini-Cours

L'aire d'un disque est une notion géométrique de base. Elle est calculée à partir de son rayon (\(R\)) ou de son diamètre (\(D\)). Le rayon est la moitié du diamètre (\(R = D/2\)). La constante Pi (\(\pi\)) est un nombre fondamental qui relie la circonférence d'un cercle à son diamètre, et est crucial pour calculer son aire.

Remarque Pédagogique

L'erreur la plus commune est de confondre le rayon et le diamètre dans la formule. Rappelez-vous toujours de diviser le diamètre par deux avant de l'élever au carré si vous utilisez la formule avec le rayon. Utiliser la formule avec \(D^2\) est souvent plus direct.

Normes

Le calcul de l'aire d'un cercle est un principe mathématique universel et n'est pas régi par une norme d'ingénierie spécifique. Cependant, les méthodes de mesure du diamètre du rotor pour la certification des éoliennes sont, elles, standardisées (par ex. par la Commission Électrotechnique Internationale, IEC).

Formule(s)

Formule de l'aire du disque

A = \frac{\pi D^2}{4}

Hypothèses

Pour ce calcul, on fait l'hypothèse simple que les pales balayent un disque parfait, sans considérer la forme conique que peut avoir la rotation dans la réalité ou la taille du moyeu central.

Donnée(s)

Diamètre du rotor, \(D = 90 \text{ m}\)

Astuces

Pour un calcul rapide, vous pouvez approximer \(\pi\) à 3.14. Pour plus de précision, utilisez la touche \(\pi\) de votre calculatrice. Retenez que l'aire augmente avec le carré du diamètre : une éolienne deux fois plus large a une surface de captage quatre fois plus grande !

Schéma (Avant les calculs)

Disque balayé par le rotor

Calcul(s)

Application numérique de l'aire

\begin{aligned} A &= \frac{\pi \cdot (90 \text{ m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 8100 \text{ m}^2}{4} \\ &\approx 6361.7 \text{ m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison de la surface balayée

Réflexions

Une surface de plus de 6300 m² est considérable. Pour donner un ordre de grandeur, cela correspond à peu près à la surface d'un terrain de football standard. C'est cette immense surface qui permet de capter une quantité significative d'énergie, même avec un vent de vitesse modérée.

Points de vigilance

Le principal point de vigilance ici est l'unité. Le diamètre est en mètres (m), l'aire doit donc être en mètres carrés (m²). Assurez-vous de bien élever au carré l'unité en même temps que la valeur numérique.

Points à retenir

La surface de captage d'une éolienne est un disque.
La formule clé est \(A = \pi D^2 / 4\).
Cette surface est un facteur déterminant de la puissance potentielle de l'éolienne.

Le saviez-vous ?

Les plus grandes éoliennes offshore actuelles ont des diamètres de rotor dépassant 230 mètres, ce qui correspond à une surface balayée de plus de 41 500 m², soit l'équivalent de près de 6 terrains de football !

FAQ

Résultat Final

La surface balayée par les pales de l'éolienne est d'environ 6361.7 m².

A vous de jouer

Calculez la surface balayée pour une petite éolienne domestique de 5 m de diamètre.

Question 2 : Calculer la puissance totale du vent (\(P_{\text{vent}}\))

Principe

Le vent est de l'air en mouvement, il transporte de l'énergie cinétique. La puissance est la quantité d'énergie qui traverse la surface balayée par le rotor chaque seconde. Cette puissance dépend de la masse d'air qui passe et de sa vitesse.

Mini-Cours

L'énergie cinétique est donnée par \(E_c = \frac{1}{2} m v^2\). La puissance, étant de l'énergie par unité de temps, est \(P = \frac{dE_c}{dt}\). Le débit massique d'air (\( \dot{m} \)) traversant le rotor est \(\rho A v\). En combinant ces notions, on obtient la formule de la puissance du vent : \( P = \frac{1}{2} \dot{m} v^2 = \frac{1}{2} (\rho A v) v^2 = \frac{1}{2} \rho A v^3 \).

Remarque Pédagogique

Le point le plus important à retenir de cette formule est la dépendance à la vitesse au cube (\(v^3\)). C'est ce qui rend le choix d'un site venteux si crucial pour la rentabilité d'un parc éolien. Une petite augmentation de la vitesse moyenne du vent a un impact énorme sur la production d'énergie potentielle.

Normes

La formule de la puissance cinétique est un principe de base de la physique. Cependant, les normes internationales comme la série IEC 61400 définissent les conditions précises (densité de l'air, mesure du vent) pour évaluer et certifier la courbe de puissance d'une éolienne.

Formule(s)

Formule de la puissance cinétique du vent

P_{\text{vent}} = \frac{1}{2} \rho A v^3

Hypothèses

Pour ce calcul, on suppose que : 1) La vitesse du vent \(v\) est uniforme sur toute la surface du disque. 2) La masse volumique de l'air \(\rho\) est constante. 3) Le flux d'air est non perturbé avant d'atteindre le rotor.

Donnée(s)

Masse volumique de l'air, \(\rho = 1.225 \text{ kg/m}^3\)
Surface balayée, \(A \approx 6361.7 \text{ m}^2\)
Vitesse du vent, \(v = 12 \text{ m/s}\)

Astuces

Calculez d'abord le terme \(v^3\) séparément pour bien visualiser son impact. \(12^3 = 1728\). C'est un grand nombre qui va amplifier de manière significative les autres termes de l'équation.

Schéma (Avant les calculs)

Volume d'air traversant le rotor

Calcul(s)

Application numérique et conversion

\begin{aligned} P_{\text{vent}} &= \frac{1}{2} \cdot (1.225 \text{ kg/m³}) \cdot (6361.7 \text{ m²}) \cdot (12 \text{ m/s})^3 \\ &= 0.5 \cdot 1.225 \cdot 6361.7 \cdot 1728 \text{ W} \\ &\approx 6,734,425 \text{ W} \\ &\approx 6.73 \text{ MW} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la Puissance du Vent

Réflexions

Le vent qui traverse le rotor transporte une puissance colossale de plus de 6.7 Mégawatts. C'est l'équivalent de la puissance nécessaire pour alimenter plusieurs milliers de foyers. Cela met en évidence l'énorme potentiel de l'énergie éolienne. La question est maintenant de savoir quelle fraction de cette puissance nous pouvons réellement convertir.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier d'élever la vitesse au cube. Une autre erreur classique est l'incohérence des unités. Assurez-vous que toutes vos données sont en unités du Système International (m, kg, s) pour obtenir un résultat en Watts.

Points à retenir

La puissance du vent est proportionnelle à la surface balayée A.
Elle est proportionnelle à la masse volumique de l'air \(\rho\).
Elle est surtout proportionnelle au cube de la vitesse du vent \(v^3\).

Le saviez-vous ?

La masse volumique de l'air diminue avec l'altitude et la température. Une éolienne installée en montagne par temps chaud produira donc moins d'électricité qu'une éolienne identique installée au niveau de la mer par temps froid, pour une même vitesse de vent.

FAQ

Résultat Final

La puissance totale du vent traversant le rotor est d'environ 6.73 MW.

A vous de jouer

Recalculez la puissance du vent si la vitesse augmente de 12 à 14 m/s (tous les autres paramètres inchangés).

Question 3 : Déterminer la puissance maximale théorique (\(P_{\text{max}}\))

Principe

On ne peut pas extraire toute la puissance du vent, car il faut que l'air puisse continuer à s'écouler après avoir traversé le rotor. La limite de Betz est un principe physique qui définit le rendement aérodynamique maximal d'une turbine idéale, qui est de 16/27 (environ 59.3%).

Mini-Cours

La démonstration de Betz modélise l'éolienne comme un "disque actuateur" qui crée une discontinuité de pression. En appliquant les lois de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie au flux d'air, il a prouvé que la puissance extraite est maximale lorsque la vitesse du vent juste derrière le rotor est égale à 1/3 de la vitesse du vent en amont.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de comprendre que la limite de Betz est une barrière théorique, un "mur" physique infranchissable, un peu comme le fait qu'on ne peut pas aller plus vite que la lumière. Aucune éolienne, aussi parfaite soit-elle, ne pourra jamais dépasser ce rendement de 59.3%.

Normes

La loi de Betz n'est pas une norme mais un principe fondamental de la physique des fluides. Toutes les normes de performance des éoliennes, comme la série IEC 61400, utilisent ce principe comme référence absolue pour évaluer l'efficacité des conceptions de turbines.

Formule(s)

Formule de la puissance maximale (Betz)

P_{\text{max}} = P_{\text{vent}} \cdot C_{p, \text{max}} = P_{\text{vent}} \cdot \frac{16}{27}

Hypothèses

La loi de Betz repose sur des hypothèses très fortes : un fluide incompressible et non visqueux, un rotor idéal sans moyeu et avec un nombre infini de pales fines, un flux d'air parfaitement homogène et unidirectionnel, et aucune perte par frottement ou turbulence.

Donnée(s)

Puissance du vent, \(P_{\text{vent}} \approx 6,734,425 \text{ W}\)
Limite de Betz, \(C_{p, \text{max}} = 16/27 \approx 0.593\)

Astuces

Pour une estimation rapide, vous pouvez considérer que la puissance maximale extractible est un peu moins des deux tiers (environ 60%) de la puissance totale du vent que vous avez calculée.

Schéma (Avant les calculs)

Tube de courant et ralentissement du vent

Calcul(s)

Application numérique et conversion

\begin{aligned} P_{\text{max}} &= P_{\text{vent}} \cdot \frac{16}{27} \\ &= 6,734,425 \text{ W} \cdot \frac{16}{27} \\ &\approx 3,990,770 \text{ W} \\ &\approx 3.99 \text{ MW} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des puissances

Réflexions

Le résultat de 3.99 MW représente le potentiel maximal absolu de notre site pour une éolienne de 90m de diamètre avec un vent de 12 m/s. Toute la puissance restante (6.73 - 3.99 = 2.74 MW) doit obligatoirement rester dans le vent sous forme d'énergie cinétique pour que le flux d'air continue de s'écouler. C'est le "prix" physique à payer pour pouvoir extraire de l'énergie.

Points de vigilance

Ne confondez pas la puissance maximale théorique (liée à Betz) et la puissance nominale de l'éolienne (qui est une caractéristique technique de la machine, liée à la capacité de son générateur). La puissance maximale théorique est une limite physique, pas une limite technologique.

Points à retenir

Le rendement maximal théorique d'une éolienne est de 16/27, soit environ 59.3%.
Cette limite est due à la nécessité de conserver un écoulement d'air derrière le rotor.
\(P_{\text{max}} = P_{\text{vent}} \times 0.593\).

Le saviez-vous ?

Albert Betz a publié sa théorie en 1919 dans son livre "Wind-Energie und ihre Ausnutzung durch Windmühlen" (L'énergie éolienne et son utilisation par les moulins à vent). Ses travaux fondamentaux sont encore la base de la conception de toutes les éoliennes modernes, plus d'un siècle plus tard.

FAQ

Résultat Final

La puissance maximale théoriquement extractible du vent est d'environ 3.99 MW.

A vous de jouer

Quelle serait la puissance maximale théorique si la puissance du vent était de 10 MW ?

Question 4 : Calculer le coefficient de performance réel (\(C_p\))

Principe

Le coefficient de performance réel, ou \(C_p\), est la mesure ultime de l'efficacité d'une éolienne. Il compare la puissance électrique réellement produite et envoyée au réseau à la puissance totale qui était disponible dans le vent. C'est un ratio qui nous dit : "sur 100% de l'énergie du vent, quel pourcentage avons-nous réellement transformé en électricité ?".

Mini-Cours

L'efficacité globale d'un système de conversion d'énergie est le produit des efficacités de chaque étape. Pour une éolienne : \( C_p = \eta_{\text{global}} = \eta_{\text{aéro}} \times \eta_{\text{méca}} \times \eta_{\text{élec}} \). \(\eta_{\text{aéro}}\) est limité par Betz, et \(\eta_{\text{méca}}\) (boîte de vitesse, roulements) et \(\eta_{\text{élec}}\) (générateur, convertisseur) introduisent des pertes supplémentaires.

Remarque Pédagogique

Le \(C_p\) n'est pas une constante ! Il varie avec la vitesse du vent. Les constructeurs fournissent une "courbe de puissance" qui montre la puissance électrique produite pour chaque vitesse de vent, et donc une "courbe de Cp" qui a généralement une forme de cloche, avec une efficacité maximale à une vitesse de vent spécifique.

Normes

La norme IEC 61400-12 spécifie la méthodologie exacte pour mesurer la courbe de puissance d'une éolienne sur le terrain. Ces mesures permettent de vérifier que le \(C_p\) réel de la machine correspond à celui annoncé par le fabricant.

Formule(s)

Formule du coefficient de performance

C_p = \frac{P_{\text{réelle}}}{P_{\text{vent}}}

Hypothèses

On suppose que la puissance électrique de 2000 kW a été mesurée précisément dans des conditions stables où la vitesse du vent était exactement de 12 m/s et la densité de l'air de 1.225 kg/m³.

Donnée(s)

Puissance réelle, \(P_{\text{réelle}} = 2000 \text{ kW} = 2,000,000 \text{ W}\)
Puissance du vent, \(P_{\text{vent}} \approx 6,734,425 \text{ W}\)

Astuces

Le résultat du \(C_p\) doit impérativement être un nombre sans unité, inférieur à la limite de Betz (0.593). Si vous obtenez une valeur supérieure, vous avez très probablement fait une erreur dans les unités (kW vs W) ou inversé le numérateur et le dénominateur.

Schéma (Avant les calculs)

Cascade des puissances et des pertes

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} C_p &= \frac{P_{\text{réelle}}}{P_{\text{vent}}} \\ &= \frac{2,000,000 \text{ W}}{6,734,425 \text{ W}} \\ &\approx 0.297 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison finale des puissances

Réflexions

Un \(C_p\) de 0.297 (soit 29.7%) signifie que près de 30% de l'énergie cinétique du vent a été convertie en électricité utile. Bien que cela puisse paraître faible par rapport aux 100% disponibles, c'est en réalité une performance honorable. Cela signifie que sur les 59.3% théoriquement capturables, notre éolienne en a capté environ la moitié (29.7 / 59.3 \(\approx\) 50%), le reste étant perdu dans les conversions mécanique et électrique.

Points de vigilance

L'erreur la plus critique est la conversion des unités. La puissance réelle est souvent donnée en kilowatts (kW) ou mégawatts (MW) par les fabricants, tandis que la puissance du vent est calculée en watts (W). Vous devez impérativement utiliser la même unité pour le numérateur et le dénominateur.

Points à retenir

Le \(C_p\) est le ratio de la puissance électrique de sortie sur la puissance du vent en entrée.
Il représente l'efficacité globale de la conversion d'énergie.
Sa valeur est toujours inférieure à la limite de Betz (0.593).

Le saviez-vous ?

Le \(C_p\) d'une éolienne dépend fortement du "Tip Speed Ratio" (TSR), le rapport entre la vitesse en bout de pale et la vitesse du vent. Chaque profil de pale est conçu pour atteindre son \(C_p\) maximal à un TSR optimal, généralement compris entre 6 et 8.

FAQ

Résultat Final

Le coefficient de performance réel de l'éolienne est d'environ 0.297 (ou 29.7%).

A vous de jouer

Si une nouvelle génération de pales permettait à cette même éolienne de produire 2500 kW dans le même vent, quel serait son nouveau \(C_p\) ?

Outil Interactif : Simulateur de Puissance Éolienne

Utilisez les curseurs ci-dessous pour voir comment la vitesse du vent et le diamètre du rotor influencent la puissance potentielle d'une éolienne. Le graphique montre l'évolution de la puissance maximale (selon Betz) en fonction de la vitesse du vent pour le diamètre sélectionné.

Paramètres d'Entrée

Vitesse du vent (v) 12 m/s

Diamètre du rotor (D) 90 m

Résultats Clés

Puissance du vent (kW) -

Puissance max. (Betz) (kW) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la valeur approximative de la limite de Betz (Cp,max) ?

1.0 (100%)
0.75 (75%)
0.59 (59%)

2. Si la vitesse du vent double, par quel facteur la puissance disponible dans le vent est-elle multipliée ?

3. Le coefficient de performance (Cp) d'une éolienne réelle est :

Toujours inférieur à la limite de Betz.
Toujours égal à la limite de Betz.
Souvent supérieur à la limite de Betz.

Limite de Betz: La puissance maximale possible qu'on peut extraire d'un fluide en mouvement. Pour les éoliennes, elle est de 16/27 (soit 59.3%) de l'énergie cinétique du vent.
Coefficient de performance (Cp): Rapport sans dimension entre la puissance électrique produite par l'éolienne et la puissance cinétique du vent qui traverse le rotor. C'est une mesure de l'efficacité de la turbine.
Masse volumique de l'air (\(\rho\)): Masse de l'air par unité de volume. Elle dépend de la température, de la pression et de l'altitude. Une valeur standard au niveau de la mer est de 1.225 kg/m³.
Puissance cinétique: Énergie que possède un corps du fait de son mouvement. Pour le vent, elle est proportionnelle au cube de sa vitesse.