Études de cas pratique

EGC

Performance Éolienne selon la Limite de Betz

Performance Éolienne selon la Limite de Betz (Énergies Renouvelables)

Performance Éolienne selon la Limite de Betz

Comprendre la Limite de Betz et la Performance Éolienne

L'énergie éolienne est une source d'énergie renouvelable prometteuse, mais la conversion de l'énergie cinétique du vent en énergie mécanique par une éolienne n'est pas parfaite. Albert Betz, un physicien allemand, a démontré en 1919 qu'une éolienne ne peut théoriquement capter qu'une fraction maximale de l'énergie du vent qui la traverse. Cette fraction, connue sous le nom de limite de Betz, est d'environ 59.3% (\(16/27\)). En pratique, le coefficient de puissance (\(C_p\)) d'une éolienne réelle est toujours inférieur à cette limite en raison de diverses pertes aérodynamiques et mécaniques. Comprendre la limite de Betz et le coefficient de puissance est essentiel pour évaluer la performance maximale théorique et réelle d'une éolienne et pour estimer sa production d'énergie.

Données de l'étude

On étudie une éolienne dont on souhaite évaluer la puissance maximale théorique extractible du vent et la puissance mécanique réellement captée.

Caractéristiques de l'éolienne et du site :

  • Diamètre du rotor (\(D\)) : \(90 \, \text{m}\)
  • Vitesse du vent incidente (amont, \(V_1\)) : \(10 \, \text{m/s}\)
  • Masse volumique de l'air (\(\rho_{\text{air}}\)) : \(1.225 \, \text{kg/m}^3\)
  • Coefficient de puissance réel de l'éolienne (\(C_p\)) : \(0.45\) (45%)

Rappel : La limite de Betz pour le coefficient de puissance est \(C_{p,\text{max}} = 16/27\).

Schéma : Éolienne et Volume de Contrôle pour Betz
Limite de Betz et Écoulement d'Air {/* */} {/* */} Rotor {/* */} V1 (Amont) V2 (Aval) Le vent ralentit en passant à travers le rotor

Illustration du volume de contrôle et du ralentissement du vent à travers le disque d'une éolienne, concept clé de la loi de Betz.

Questions à traiter

  1. Calculer la surface balayée par le rotor de l'éolienne (\(A_{\text{rotor}}\)).
  2. Calculer la puissance cinétique du vent (\(P_{\text{vent}}\)) interceptée par le rotor.
  3. Calculer la puissance maximale théoriquement extractible du vent par cette éolienne selon la limite de Betz (\(P_{\text{Betz}}\)).
  4. Calculer la puissance mécanique (\(P_{\text{meca,réelle}}\)) réellement extraite du vent par le rotor de cette éolienne, compte tenu de son coefficient de puissance \(C_p\).
  5. Comparer la puissance mécanique réelle à la puissance maximale théorique de Betz et commenter.

Correction : Performance Éolienne selon la Limite de Betz

Question 1 : Surface Balayée par le Rotor (\(A_{\text{rotor}}\))

Principe :

Le rotor d'une éolienne à axe horizontal décrit un cercle en tournant. La surface balayée par ce rotor est donc l'aire de ce cercle. Elle se calcule à partir du diamètre (\(D\)) du rotor en utilisant la formule \(A = \pi D^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_{\text{rotor}} = \frac{\pi D^2}{4} \]
Données spécifiques :
  • Diamètre du rotor (\(D\)) : \(90 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{\text{rotor}} &= \frac{\pi (90 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 8100 \, \text{m}^2}{4} \\ &= \pi \times 2025 \, \text{m}^2 \\ &\approx 6361.725 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Arrondissons à \(A_{\text{rotor}} \approx 6362 \, \text{m}^2\).

Résultat Question 1 : La surface balayée par le rotor est \(A_{\text{rotor}} \approx 6362 \, \text{m}^2\).

Question 2 : Puissance Cinétique du Vent Interceptée (\(P_{\text{vent}}\))

Principe :

La puissance cinétique (\(P_{\text{vent}}\)) transportée par le vent à travers une surface \(A_{\text{rotor}}\) est l'énergie cinétique du volume d'air traversant cette surface par unité de temps. Elle est donnée par la formule \(P_{\text{vent}} = \frac{1}{2} \rho_{\text{air}} A_{\text{rotor}} V_1^3\), où \(\rho_{\text{air}}\) est la masse volumique de l'air et \(V_1\) est la vitesse du vent en amont (non perturbé).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{\text{vent}} = \frac{1}{2} \rho_{\text{air}} A_{\text{rotor}} V_1^3 \]
Données spécifiques :
  • Masse volumique de l'air (\(\rho_{\text{air}}\)) : \(1.225 \, \text{kg/m}^3\)
  • Surface balayée (\(A_{\text{rotor}}\)) : \(\approx 6361.725 \, \text{m}^2\) (valeur non arrondie de Q1)
  • Vitesse du vent (\(V_1\)) : \(10 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_1^3 &= (10 \, \text{m/s})^3 = 1000 \, \text{m}^3\text{/s}^3 \\ P_{\text{vent}} &= \frac{1}{2} \times 1.225 \, \text{kg/m}^3 \times 6361.725 \, \text{m}^2 \times 1000 \, \text{m}^3\text{/s}^3 \\ &\approx 0.6125 \times 6361.725 \times 1000 \, \text{W} \\ &\approx 3896557.6875 \, \text{W} \end{aligned} \]

Soit \(P_{\text{vent}} \approx 3896.6 \, \text{kW}\) ou \(3.897 \, \text{MW}\).

Résultat Question 2 : La puissance cinétique du vent interceptée par le rotor est \(P_{\text{vent}} \approx 3896.6 \, \text{kW}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le diamètre du rotor était réduit de moitié, la surface balayée serait divisée par :

Question 3 : Puissance Maximale Théoriquement Extractible (\(P_{\text{Betz}}\))

Principe :

La loi de Betz établit que le coefficient de puissance maximal théorique (\(C_{p,\text{max}}\)) qu'une éolienne peut atteindre est de \(16/27 \approx 0.5926\). Cela signifie qu'au mieux, une éolienne ne peut convertir quenviron 59.3% de l'énergie cinétique du vent qui la traverse en énergie mécanique. La puissance maximale théoriquement extractible (\(P_{\text{Betz}}\)) est donc la puissance du vent multipliée par ce \(C_{p,\text{max}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C_{p,\text{max}} = \frac{16}{27} \] \[ P_{\text{Betz}} = P_{\text{vent}} \times C_{p,\text{max}} \]
Données spécifiques :
  • Puissance du vent (\(P_{\text{vent}}\)) : \(\approx 3896557.6875 \, \text{W}\) (valeur non arrondie de Q2)
  • \(C_{p,\text{max}} \approx 0.5926\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{Betz}} &= 3896557.6875 \, \text{W} \times \frac{16}{27} \\ &\approx 3896557.6875 \, \text{W} \times 0.5925926 \\ &\approx 2309071.2 \, \text{W} \end{aligned} \]

Soit \(P_{\text{Betz}} \approx 2309.1 \, \text{kW}\) ou \(2.309 \, \text{MW}\).

Résultat Question 3 : La puissance maximale théoriquement extractible du vent par cette éolienne selon la limite de Betz est \(P_{\text{Betz}} \approx 2309.1 \, \text{kW}\).

Question 4 : Puissance Mécanique Réellement Extraite (\(P_{\text{meca,réelle}}\))

Principe :

Le coefficient de puissance réel (\(C_p\)) d'une éolienne est inférieur à la limite de Betz en raison des imperfections aérodynamiques des pales, des pertes par frottement, de la turbulence, etc. La puissance mécanique réellement extraite par le rotor est la puissance du vent multipliée par le \(C_p\) réel de l'éolienne.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{\text{meca,réelle}} = P_{\text{vent}} \times C_p \]
Données spécifiques :
  • Puissance du vent (\(P_{\text{vent}}\)) : \(\approx 3896557.6875 \, \text{W}\) (valeur non arrondie de Q2)
  • Coefficient de puissance réel (\(C_p\)) : \(0.45\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{meca,réelle}} &= 3896557.6875 \, \text{W} \times 0.45 \\ &\approx 1753450.96 \, \text{W} \end{aligned} \]

Soit \(P_{\text{meca,réelle}} \approx 1753.5 \, \text{kW}\) ou \(1.753 \, \text{MW}\).

Résultat Question 4 : La puissance mécanique réellement extraite par le rotor est \(P_{\text{meca,réelle}} \approx 1753.5 \, \text{kW}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si le \(C_p\) réel d'une éolienne est de 0.40, cela signifie qu'elle convertit :

Question 5 : Comparaison de \(P_{\text{meca,réelle}}\) à \(P_{\text{Betz}}\)

Principe :

On compare la puissance mécanique réellement captée par l'éolienne (calculée avec son \(C_p\) réel) à la puissance maximale théoriquement extractible selon la limite de Betz. Cela permet de voir à quel point l'éolienne s'approche de la performance théorique maximale.

Comparaison et Commentaire :

Nous avons calculé :

  • Puissance maximale théorique (Betz) : \(P_{\text{Betz}} \approx 2309.1 \, \text{kW}\)
  • Puissance mécanique réelle : \(P_{\text{meca,réelle}} \approx 1753.5 \, \text{kW}\)

Le rapport entre la puissance réelle et la puissance de Betz est :

\[ \frac{P_{\text{meca,réelle}}}{P_{\text{Betz}}} = \frac{1753.5 \, \text{kW}}{2309.1 \, \text{kW}} \approx 0.7594 \]

Cela signifie que l'éolienne, avec son \(C_p\) de 0.45, capte environ 75.9% de la puissance maximale théoriquement extractible par une éolienne idéale selon Betz (qui aurait un \(C_p\) de \(16/27 \approx 0.593\)).

On peut aussi vérifier : \(\frac{C_p \text{ réel}}{C_{p,\text{max}}} = \frac{0.45}{16/27} = \frac{0.45}{0.59259} \approx 0.7594\).

Commentaire : Un \(C_p\) de 0.45 est une bonne performance pour une éolienne moderne, se rapprochant de la limite théorique de Betz. Les éoliennes les plus performantes peuvent atteindre des \(C_p\) de l'ordre de 0.45 à 0.50. La différence par rapport à la limite de Betz est due à des facteurs inévitables tels que le nombre fini de pales, les pertes aérodynamiques aux extrémités des pales, le sillage de la nacelle, etc.

Résultat Question 5 : La puissance mécanique réelle (\(\approx 1753.5 \, \text{kW}\)) représente environ 75.9% de la puissance maximale théorique de Betz (\(\approx 2309.1 \, \text{kW}\)). Cela indique une bonne efficacité aérodynamique du rotor.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La limite de Betz stipule qu'une éolienne ne peut convertir au maximum qu'environ :

2. Le coefficient de puissance (\(C_p\)) d'une éolienne réelle est :

3. La puissance cinétique du vent (\(P_{\text{vent}}\)) dépend :

Glossaire

Énergie Éolienne
Énergie renouvelable tirée de la force du vent, convertie généralement en électricité par des aérogénérateurs (éoliennes).
Rotor d'Éolienne
Ensemble des pales et du moyeu d'une éolienne qui captent l'énergie cinétique du vent.
Surface Balayée (\(A_{\text{rotor}}\))
Aire du disque décrit par la rotation des pales de l'éolienne, perpendiculaire à la direction du vent. C'est la surface qui intercepte le vent.
Puissance Cinétique du Vent (\(P_{\text{vent}}\))
Puissance totale contenue dans le vent qui traverse la surface balayée par le rotor, avant toute extraction par l'éolienne.
Limite de Betz
Limite théorique maximale de l'énergie cinétique du vent qu'une éolienne peut convertir en énergie mécanique. Cette limite est de \(16/27\) (environ 59.3%) de la puissance cinétique du vent incident.
Coefficient de Puissance (\(C_p\))
Rapport sans dimension entre la puissance mécanique extraite par le rotor de l'éolienne et la puissance cinétique totale du vent traversant la surface balayée par le rotor. \(C_p = P_{\text{meca}} / P_{\text{vent}}\). Il est toujours inférieur à la limite de Betz.
Puissance Mécanique (\(P_{\text{meca}}\))
Puissance de rotation effectivement transmise par le rotor à l'arbre principal de l'éolienne.
Puissance Électrique (\(P_{\text{elec}}\))
Puissance électrique nette produite par l'alternateur de l'éolienne, après conversion de la puissance mécanique et déduction des pertes dans le multiplicateur et l'alternateur.
Heures de Fonctionnement Équivalent à Pleine Puissance (\(T_{\text{eqfp}}\))
Nombre d'heures théoriques pendant lesquelles une éolienne devrait fonctionner à sa puissance nominale pour produire la même quantité d'énergie qu'elle produit réellement sur une année, compte tenu des variations de la vitesse du vent.
Performance Éolienne et Limite de Betz - Exercice d'Application

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