Calcul de la Puissance d’une Éolienne

Comprendre le Calcul de la Puissance d’une Éolienne

Dans le cadre du développement des énergies renouvelables, une nouvelle éolienne est installée dans une région connue pour ses vents constants. L’objectif est de calculer la puissance que cette éolienne peut générer sous différentes conditions pour évaluer son efficacité et sa contribution potentielle au réseau électrique local.

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Données fournies:

Vitesse du vent (V) : 10 m/s
Densité de l’air (ρ) : 1.225 kg/m³ (standard à une température de 15°C et à une pression atmosphérique de 101325 Pa)
Rayon du rotor (R) : 20 mètres
Coefficient de performance (Cp) : 0.4 (typiquement entre 0.25 et 0.45 pour des turbines modernes)

Questions:

1. Calcul de l’aire balayée par le rotor : Calculez l’aire balayée par le rotor de l’éolienne. Utilisez la formule de l’aire d’un cercle.

2. Calcul de la puissance générée : Utilisez les données fournies pour calculer la puissance théorique que l’éolienne pourrait générer. Assurez-vous d’effectuer correctement les conversions d’unités si nécessaire (par exemple, convertir la puissance en kilowatts).

3. Impact de la vitesse du vent : Si la vitesse du vent double, quelle serait la nouvelle puissance générée par l’éolienne ? Expliquez l’effet de la vitesse du vent sur la puissance produite.

4. Discussion sur le coefficient de performance : Discutez de l’influence du coefficient de performance sur la puissance générée. Que se passerait-il si ce coefficient augmente à 0.5 ?

Correction : Calcul de la Puissance d’une Éolienne

1. Calcul de l’aire balayée par le rotor

L’aire balayée par le rotor correspond à l’aire d’un cercle dont le rayon est celui du rotor.

Formule :

\[ A = \pi R^2 \]

Données :

Rayon \( R = 20 \) mètres

Calcul :

\[ A = \pi \times (20)^2 \] \[ A = \pi \times 400 \] \[ A \approx 1256.64 \, \text{m}^2 \]

2. Calcul de la puissance générée

La puissance théorique extraite du vent par l’éolienne est calculée à partir de l’énergie cinétique du vent intercepté par le rotor, modifiée par le coefficient de performance \( C_p \).

Formule :

\[ P = \frac{1}{2} \rho A V^3 C_p \]

Données :

Vitesse du vent, \( V = 10 \) m/s
Densité de l’air, \( \rho = 1.225 \) kg/m\(^3\)
Aire balayée, \( A \approx 1256.64 \) m\(^2\)
Coefficient de performance, \( C_p = 0.4 \)

Calcul :

1. Calcul de \( V^3 \) :

\[ V^3 = 10^3 = 1000 \, \text{m}^3/\text{s}^3 \]

2. Substitution dans la formule :

\[ P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times 1256.64 \times 1000 \times 0.4 \] \[ P = 770580 \times 0.4 \approx 308232 \]

Résultat en watts :

\[ P \approx 308232 \, \text{W} \]

Conversion en kilowatts :

\[ P \approx 308.23 \, \text{kW} \]

3. Impact de la vitesse du vent

La puissance extraite du vent est proportionnelle au cube de la vitesse du vent. Ainsi, si la vitesse double, la puissance augmente d’un facteur de \(2^3 = 8\).

Données modifiées :

Nouvelle vitesse du vent, \( V’ = 20 \) m/s
\( (V’)^3 = 20^3 = 8000 \, \text{m}^3/\text{s}^3 \)

Calcul :

Facteur d’augmentation :

\[ \frac{(V’)^3}{V^3} = \frac{8000}{1000} = 8 \]

Nouvelle puissance :

\[ P’ = 8 \times 308232 \] \[ P’ \approx 2465856 \, \text{W} \]

Conversion en kilowatts :

\[ P’ \approx 2465.86 \, \text{kW} \]

Conclusion :
En doublant la vitesse du vent, la puissance théorique générée passe d’environ 308.23 kW à environ 2465.86 kW.

4. Discussion sur le coefficient de performance (\( C_p \))

Le coefficient de performance \( C_p \) représente l’efficacité de la conversion de l’énergie cinétique du vent en énergie électrique. Il est un facteur multiplicatif dans le calcul de la puissance générée.

Impact de l’augmentation de \( C_p \) :

Si \( C_p \) augmente de 0.4 à 0.5, la puissance générée augmente proportionnellement, puisque \( C_p \) intervient directement dans la formule.

Calcul avec \( C_p = 0.5 \) :

\[ P_{\text{new}} = \frac{1}{2} \rho A V^3 C_p \]

En utilisant les mêmes valeurs pour \( \rho \), \( A \) et \( V \) :

\[ P_{\text{new}} = 0.5 \times 1.225 \times 1256.64 \times 1000 \times 0.5 \]

On remarque que, par rapport au calcul initial, le facteur \( C_p \) passe de 0.4 à 0.5, ce qui représente une augmentation de \(\frac{0.5}{0.4} = 1.25 \quad \text{(soit 25% d’augmentation)} \)

Calcul numérique :

Nouvelle puissance :

\[ P_{\text{new}} = 1.25 \times 308232 \] \[ P_{\text{new}} \approx 385290 \, \text{W} \]

Conversion en kilowatts :

\[ P_{\text{new}} \approx 385.29 \, \text{kW} \]

Conclusion :
Une amélioration du coefficient de performance à 0.5 permettrait d’augmenter la puissance générée de 25 %, passant d’environ 308.23 kW à environ 385.29 kW.

Calcul de la Puissance d’une Éolienne

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