Calcul d’une centrale hydroélectrique à barrage
Comprendre le calcul d’une centrale hydroélectrique à barrage.
Dans le cadre de la transition énergétique, une nouvelle centrale hydroélectrique, Centrale Rivière Bleue, a été conçue sur une rivière afin d’exploiter l’énergie hydraulique. Le barrage construit sur la rivière forme un réservoir permettant de constituer une chute d’eau (ou « tête hydraulique ») exploitable. L’eau s’écoule du réservoir vers les turbines selon un débit moyen constant.
Les ingénieurs ont relevé les données suivantes :
- Hauteur de chute : \(H = 45 \, \text{m}\)
- Débit d’eau : \(Q = 250 \, \text{m}^3/s\)
- Densité de l’eau : \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
- Accélération de la pesanteur : \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)
- Rendement global (turbines + générateurs) : \(\eta = 0,90\)
- Durée de fonctionnement annuelle : 4000 heures
La centrale est ainsi conçue pour convertir l’énergie potentielle de l’eau en énergie électrique, dans le respect des principes des énergies renouvelables.

Questions:
1. Puissance hydraulique théorique
Calculez la puissance hydraulique théorique disponible au niveau du barrage avant conversion. Donnez le résultat en watts (W) puis en mégawatts (MW).
2. Puissance électrique effective
En tenant compte du rendement global de la conversion (\(\eta = 0,90\)), déterminez la puissance électrique produite effectivement par la centrale.
3. Énergie annuelle produite
Sachant que la centrale fonctionne 4000 heures par an, calculez l’énergie annuelle produite en kilowattheures (kWh).
4. Nombre de foyers alimentés
Si la consommation électrique annuelle moyenne d’un foyer est estimée à 3500 kWh, estimez le nombre de foyers pouvant être alimentés par l’énergie produite annuellement par la centrale.
5. Masse d’eau écoulée en 1 heure
Calculez la masse d’eau (en tonnes) qui passe par la turbine en 1 heure de fonctionnement, en sachant que la masse volumique de l’eau est \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
6. Débit minimal pour une puissance donnée
Supposons que la centrale doit pouvoir produire une puissance électrique de \(P_{\text{élec}} = 100 \, \text{MW}\) avec le même dénivelé et rendement.
- Déduisez la formule permettant de calculer le débit \(Q\) minimal nécessaire.
- Calculez ce débit en \(\text{m}^3/s\).
Correction: calcul d’une centrale hydroélectrique à barrage
1. Calcul de la Puissance Hydraulique Théorique
La puissance hydraulique théorique disponible est obtenue en convertissant l’énergie potentielle de l’eau en puissance. La formule utilisée est :
\[ P_{\text{hydro}} = \rho \cdot g \cdot Q \cdot H \]
Données:
- Densité de l’eau : \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
- Accélération due à la pesanteur : \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)
- Débit volumique : \(Q = 250 \, \text{m}^3/\text{s}\)
- Hauteur de chute : \(H = 45 \, \text{m}\)
Calcul:
Calculons le produit \(\rho \cdot g\) :
\[ = 1000 \times 9,81 \] \[ = 9810 \, (\text{kg}\cdot\text{m})/(\text{s}^2\cdot\text{m}^3) \] \[ = 9810 \, \text{N/m}^3 \]
Multiplions par le débit \(Q\) :
\[ = 9810 \times 250 \] \[ = 2452500 \, \text{W/m} \]
Enfin, multiplions par la hauteur \(H\) :
\[ = 2452500 \times 45 \] \[ = 110362500 \, \text{W} \]
Résultat :
La puissance hydraulique théorique est de 110 362 500 W, ce qui correspond à
\[ = \frac{110362500}{10^6} \] \[ \approx 110,36 \, \text{MW}. \]
2. Calcul de la Puissance Électrique Effective
La puissance électrique effective tient compte du rendement global de la conversion (\(\eta = 0,90\)). On l’obtient en multipliant la puissance hydraulique par ce rendement.
Formule:
\[ P_{\text{élec}} = \eta \cdot P_{\text{hydro}} \]
Données:
- Rendement : \(\eta = 0,90\)
- Puissance hydraulique : \(P_{\text{hydro}} = 110362500 \, \text{W}\)
Calcul:
\[ P_{\text{élec}} = 0,90 \times 110362500 \] \[ P_{\text{élec}} = 99326250 \, \text{W} \]
Résultat :
La puissance électrique produite est de 99 326 250 W, soit environ 99,33 MW.
3. Calcul de l’Énergie Annuelle Produite
L’énergie annuelle produite est obtenue en multipliant la puissance électrique effective par le nombre d’heures de fonctionnement annuel. Pour obtenir l’énergie en kilowattheures (kWh), il convient d’exprimer la puissance en kilowatts.
Formule:
\[ E = P_{\text{élec}} \times \text{temps} \]
(avec \(P_{\text{élec}}\) en kW et le temps en heures)
Données:
- \(P_{\text{élec}} = 99326250 \, \text{W} = 99326,25 \, \text{kW}\)
- Durée annuelle : 4000 heures
Calcul:
\[ E = 99326,25 \, \text{kW} \times 4000 \, \text{h} \] \[ E = 397305000 \, \text{kWh} \]
Résultat :
L’énergie produite annuellement est de 397 305 000 kWh.
4. Calcul du Nombre de Foyers Alimentés
Pour estimer le nombre de foyers pouvant être alimentés, on divise l’énergie annuelle produite par la consommation annuelle moyenne d’un foyer.
Formule:
\[ \text{Nombre de foyers} = \frac{E_{\text{annuelle}}}{\text{Consommation par foyer}} \]
Données:
- Énergie annuelle : \(E_{\text{annuelle}} = 397305000 \, \text{kWh}\)
- Consommation par foyer : \(3500 \, \text{kWh/an}\)
Calcul:
\[ \text{Nombre de foyers} = \frac{397305000}{3500} \] \[ \text{Nombre de foyers} \approx 113515,7 \]
Résultat :
Environ 113 516 foyers peuvent être alimentés.
5. Calcul de la Masse d’Eau Écoulée en 1 Heure
La masse d’eau écoulée se calcule en multipliant le volume d’eau qui passe en une heure par la densité de l’eau. Pour obtenir le volume, on multiplie le débit par la durée (en secondes).
Formule:
\[ \text{Masse} = \rho \times V \quad \text{avec} \quad V = Q \times t \]
Données:
- Débit : \(Q = 250 \, \text{m}^3/\text{s}\)
- Durée : \(t = 1 \, \text{heure} = 3600 \, \text{s}\)
- Densité : \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
Calcul:
Calcul du volume en 1 heure :
\[ V = 250 \times 3600 \] \[ V = 900000 \, \text{m}^3 \]
Calcul de la masse en kg :
\[ \text{Masse} = 900000 \times 1000 \] \[ \text{Masse} = 900000000 \, \text{kg} \]
Conversion en tonnes (1 tonne = 1000 kg) :
\[ = \frac{900000000}{1000} \] \[ = 900000 \, \text{tonnes} \]
Résultat :
La masse d’eau écoulée en 1 heure est de 900 000 tonnes.
6. Calcul du Débit Minimal pour une Puissance Électrique de 100 MW
Pour obtenir la puissance électrique souhaitée de \(100\, \text{MW}\) avec le même dénivelé et rendement, on part de l’équation :
\[ P_{\text{élec}} = \eta \cdot \rho \cdot g \cdot Q \cdot H \]
Il s’agit d’isoler \(Q\) pour déterminer le débit minimal nécessaire.
Formule:
En isolant \(Q\) :
\[ Q = \frac{P_{\text{élec}}}{\eta \cdot \rho \cdot g \cdot H} \]
Données:
- Puissance électrique souhaitée : \(P_{\text{élec}} = 100 \, \text{MW} = 100000000 \, \text{W}\)
- Rendement : \(\eta = 0,90\)
- Densité de l’eau : \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
- Accélération due à la pesanteur : \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)
- Hauteur de chute : \(H = 45 \, \text{m}\)
Calcul:
Calcul du dénominateur :
\[ = \eta \cdot \rho \cdot g \cdot H = 0,90 \times 1000 \times 9,81 \times 45 \]
- \( 0,90 \times 1000 = 900\)
- \(900 \times 9,81 = 8829\)
- \(8829 \times 45 = 397305\)
Calcul du débit minimal \(Q\) :
\[ Q = \frac{100000000}{397305} \] \[ Q \approx 251,9 \, \text{m}^3/\text{s} \]
Résultat :
Le débit minimal nécessaire pour produire 100 MW est d’environ 251,9 m³/s.
Calcul d’une centrale hydroélectrique à barrage
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