Création d’un Diagramme (PERT/CPM)

Création d'un Diagramme PERT/CPM

Vous avez été nommé chef de projet pour la construction d'un pont. Pour assurer une planification efficace et identifier les étapes critiques, vous devez construire et analyser un diagramme PERT/CPM basé sur les tâches et dépendances suivantes :

Tâches du Projet :

Voici la liste des tâches nécessaires à la réalisation du pont, avec leur durée estimée et leurs dépendances :

Tâche	Durée (jours)	Tâche(s) Prédécesseur(s)	Notes Spécifiques
A. Étude de faisabilité	10	Aucune	Tâche initiale du projet.
B. Conception préliminaire	20	A	Peut commencer dès la fin de l'Étude de faisabilité.
C. Obtention des permis	15	A	Peut commencer dès la fin de l'Étude de faisabilité.
D. Conception détaillée	30	B	Ne peut débuter qu'après la fin de la Conception préliminaire.
E. Préparation du site	25	C	Peut commencer après l'Obtention des permis.
F. Construction des fondations	40	E	Peut commencer une fois que la Préparation du site est terminée.
G. Érection de la superstructure	45	F	Ne peut débuter qu'après la Construction des fondations.
H. Travaux de finition	20	Début de G + 22.5 jours	Peut commencer 22.5 jours après le début de l'Érection de la superstructure.
I. Inspection et livraison	10	H	Peut commencer après la fin des Travaux de finition.

Objectif de l'exercice :

Votre objectif est de construire le diagramme PERT/CPM pour ce projet et de réaliser son analyse afin de déterminer la durée minimale du projet et d'identifier les tâches critiques.

Questions:

1. Identification des dépendances : Représentez graphiquement les tâches et leurs interdépendances sous la forme d'un réseau (comme un diagramme PERT/CPM).
2. Calcul des dates au plus tôt : Pour chaque tâche, calculez sa date de Démarrage au plus tôt (DD) et sa date de Fin au plus tôt (DF). Expliquez brièvement comment vous obtenez ces dates (en avançant dans le réseau).
3. Calcul des dates au plus tard : En partant de la date de fin au plus tôt du projet, calculez pour chaque tâche sa date de Fin au plus tard (FR) et sa date de Démarrage au plus tard (DR). Expliquez brièvement comment vous obtenez ces dates (en reculant dans le réseau).
4. Identification du chemin critique et calcul des marges :
   • Calculez la marge totale (ou flottant) pour chaque tâche (Marge = DR - DD ou FR - DF).
   • Identifiez le chemin critique, c'est-à-dire la séquence de tâches dont la marge est nulle.
   • Déterminez la durée totale minimale du projet.
5. Synthèse et Représentation :
   • Présentez un tableau récapitulatif listant pour chaque tâche : sa durée, ses dates DD, DF, DR, FR, sa marge et si elle est critique.
   • Fournissez une représentation visuelle du diagramme PERT/CPM (peut être un schéma dessiné ou un diagramme généré). Indiquez clairement les tâches critiques sur ce diagramme.
6. Questions de réflexion :
   • Comment une augmentation de la durée d'une tâche située sur le chemin critique affecterait-elle la durée totale du projet ? Et si l'augmentation concerne une tâche non critique ?
   • Quelles stratégies concrètes pourriez-vous envisager pour réduire la durée totale de ce projet si cela devenait nécessaire ?

Réalisez cette analyse étape par étape pour planifier efficacement la construction du pont.

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Correction : Création d'un diagramme (PERT/CPM)

1. Identification des dépendances et durées

La première étape consiste à lister toutes les tâches du projet, leur durée estimée et les tâches qui doivent être terminées avant que chacune puisse commencer. Ces informations sont cruciales pour déterminer l'ordre logique des activités.

Tâche	Durée \(d_j\)	Avant de commencer
A. Étude de faisabilité	\(10\,\text{jours}\)	–
B. Conception préliminaire	\(20\,\text{jours}\)	Terminer A
C. Obtention des permis	\(15\,\text{jours}\)	Terminer A
D. Conception détaillée	\(30\,\text{jours}\)	Terminer B
E. Préparation du site	\(25\,\text{jours}\)	Terminer C
F. Construction des fondations	\(40\,\text{jours}\)	Terminer E
G. Érection de la superstructure	\(45\,\text{jours}\)	Terminer F
H. Travaux de finition	\(20\,\text{jours}\)	Commencer à mi-parcours de G (\(22.5\) jours après le début de G)
I. Inspection et livraison	\(10\,\text{jours}\)	Terminer H

2. Calcul des dates au plus tôt (DD et DF)

Le calcul des dates au plus tôt se fait en avançant dans le temps depuis le début du projet. Il nous indique le moment le plus précoce où chaque tâche peut commencer et finir.

2.1 Concepts clés

• DD (Démarrage au plus tôt) : Le premier jour possible où une tâche peut commencer, en tenant compte de la fin de toutes ses tâches précédentes.
• DF (Fin au plus tôt) : Le premier jour possible où une tâche peut se terminer si elle commence à sa date DD. Calculé par : DF = DD + durée.

2.2 Formules

\[ DD_j = \begin{cases} 0, \\[0.5em] \text{si pas de prédécesseur}, \\ \max_{i\in \mathrm{pred}(j)} DF_i, \\[0.5em] \text{sinon}. \end{cases} \]

\[DF_j = DD_j + d_j\]

Pour la tâche H, qui commence à mi-parcours de G, son DD est calculé différemment : \(DD_H = DD_G + \frac{d_G}{2}\).

2.3 Calculs

Nous calculons les dates DD et DF pour chaque tâche en suivant l'ordre des dépendances :

Tâche A :

Pas de prédécesseur. \(DD_A = 0\), \(d_A = 10\). \[DF_A = 0 + 10 = 10\]

Tâche B :

Prédécesseur A. \(DD_B = DF_A = 10\), \(d_B = 20\). \[DF_B = 10 + 20 = 30\]

Tâche C :

Prédécesseur A. \(DD_C = DF_A = 10\), \(d_C = 15\). \[DF_C = 10 + 15 = 25\]

Tâche D :

Prédécesseur B. \(DD_D = DF_B = 30\), \(d_D = 30\). \[DF_D = 30 + 30 = 60\]

Tâche E :

Prédécesseur C. \(DD_E = DF_C = 25\), \(d_E = 25\). \[DF_E = 25 + 25 = 50\]

Tâche F :

Prédécesseur E. \(DD_F = DF_E = 50\), \(d_F = 40\). \[DF_F = 50 + 40 = 90\]

Tâche G :

Prédécesseur F. \(DD_G = DF_F = 90\), \(d_G = 45\). \[DF_G = 90 + 45 = 135\]

Tâche H :

Commence à mi-parcours de G. \(DD_H = DD_G + \frac{d_G}{2} = 90 + 22.5 = 112.5\), \(d_H = 20\). \[DF_H = 112.5 + 20 = 132.5\].

Tâche I :

Prédécesseur H. \(DD_I = DF_H = 132.5\), \(d_I = 10\). \[DF_I = 132.5 + 10 = 142.5\].

La date de fin au plus tôt du projet est déterminée par la tâche finale, ici la tâche I. La durée totale minimale du projet est donc de \(142.5\) jours.

3. Calcul des dates au plus tard (DR et FR)

Le calcul des dates au plus tard se fait en remontant dans le temps depuis la date de fin du projet. Il nous indique le dernier moment où chaque tâche peut commencer et finir sans retarder la fin globale du projet.

3.1 Concepts clés

• FR (Fin au plus tard) : Le dernier jour possible où une tâche peut se terminer sans retarder le projet.
• DR (Démarrage au plus tard) : Le dernier jour possible où une tâche peut commencer pour se terminer à sa date FR. Calculé par : DR = FR - durée.

3.2 Formules

\[ FR_j = \begin{cases} D_{projet}, \\[0.5em] \text{si la tâche est une tâche finale}, \\ \min_{k\in \mathrm{successeurs}(j)} DR_k, \\[0.5em] \text{sinon (la tâche doit finir au plus tard pour permettre à TOUS ses successeurs de commencer à temps)}. \end{cases} \]

\[DR_j = FR_j - d_j\]

Pour la tâche G, qui permet à H de commencer à mi-parcours, sa date FR est liée au DR de H : \(FR_G = DR_H + \frac{d_G}{2}\) (pour que le mi-parcours de G au plus tard corresponde au démarrage au plus tard de H).

3.3 Calculs

Nous calculons les dates FR et DR pour chaque tâche en remontant depuis la fin du projet (\(D_{projet} = 142.5\)):

Tâche I :

Tâche finale. \(FR_I = 142.5\), \(d_I = 10\). \[DR_I = 142.5 - 10 = 132.5\]

Tâche H :

Successeur I. \(FR_H = DR_I = 132.5\), \(d_H = 20\). \[DR_H = 132.5 - 20 = 112.5\]

Tâche G :

Permet à H de commencer à mi-parcours. \(FR_G = DR_H + \frac{d_G}{2} = 112.5 + 22.5 = 135\), \(d_G = 45\). \[DR_G = 135 - 45 = 90\]

Tâche F :

Successeur G. \(FR_F = DR_G = 90\), \(d_F = 40\). \[DR_F = 90 - 40 = 50\]

Tâche E :

Successeur F. \(FR_E = DR_F = 50\), \(d_E = 25\). \[DR_E = 50 - 25 = 25\]

Tâche D :

Pas de successeur listé menant au chemin critique. On considère que sa fin au plus tard est la fin du projet. \(FR_D = 142.5\), \(d_D = 30\). \[DR_D = 142.5 - 30 = 112.5\]

Tâche C :

Successeur E. \(FR_C = DR_E = 25\), \(d_C = 15\). \[DR_C = 25 - 15 = 10\]

Tâche B :

Successeur D. \(FR_B = DR_D = 112.5\), \(d_B = 20\). \[DR_B = 112.5 - 20 = 92.5\]

Tâche A :

Successeurs B et C. \(FR_A = \min(DR_B, DR_C) = \min(92.5, 10) = 10\), \(d_A = 10\). \[DR_A = 10 - 10 = 0\]

4. Chemin critique et Marge totale

La marge totale d'une tâche représente le temps qu'elle peut être retardée sans affecter la durée totale du projet. Elle est calculée par la différence entre sa date de démarrage au plus tard et sa date de démarrage au plus tôt (ou entre sa date de fin au plus tard et sa date de fin au plus tôt).

4.1 Notion de marge

\[\mathrm{Marge}_j = DR_j - DD_j \quad (\text{ou } FR_j - DF_j)\]
Interprétation : Si la marge est nulle, la tâche est critique. Tout retard sur une tâche critique retarde le projet.

4.2 Identification du chemin critique

Le chemin critique est la séquence de tâches qui n'ont aucune marge (Marge = 0). C'est le chemin le plus long à travers le réseau et il détermine la durée minimale du projet.

5. Résumé des résultats et Diagramme

Tableau Récapitulatif des Dates et Marges

Tâche	Durée	DD	DF	DR	FR	Marge	Critique
A	10	0	10	0	10	0	Oui
B	20	10	30	92.5	112.5	82.5	Non
C	15	10	25	10	25	0	Oui
D	30	30	60	112.5	142.5	82.5	Non
E	25	25	50	25	50	0	Oui
F	40	50	90	50	90	0	Oui
G	45	90	135	90	135	0	Oui
H	20	112.5	132.5	112.5	132.5	0	Oui
I	10	132.5	142.5	132.5	142.5	0	Oui

• Chemin critique identifié : A → C → E → F → G → H → I
• Durée totale minimale du projet : \(142.5\) jours
• Marge des tâches hors critique : Les tâches B et D ont chacune une marge de \(82.5\) jours.

Schéma du diagramme PERT/CPM (Disposition Verticale)

Ce diagramme représente visuellement le réseau des tâches, disposé verticalement. Chaque rectangle (nœud) représente une tâche, et les flèches représentent les dépendances. Les tâches et les flèches en rouge indiquent le chemin critique.

Dans chaque nœud, vous trouverez les informations clés pour la tâche :

• La lettre de la tâche (ex: A)
• Sa durée
• Ses dates au plus tôt (DD, DF) et au plus tard (DR, FR)
• Sa marge (Marge)

Le format dans le nœud est : Tâche (Durée)
DD | DF
DR | FR
Marge

6. Questions de réflexion

Comprendre l'impact des modifications sur le chemin critique et identifier les stratégies pour réduire la durée du projet sont des aspects importants de l'analyse PERT/CPM.

6.1 Impact d’une modification sur le chemin critique

Si la durée d'une tâche qui se trouve sur le chemin critique augmente, la durée totale du projet augmentera d'autant. Par exemple, si la durée de la tâche G augmente de 5 jours, la fin du projet sera retardée de 5 jours.

Si la durée d'une tâche qui n'est pas sur le chemin critique augmente, cela n'affectera la durée totale du projet que si l'augmentation est supérieure à la marge de cette tâche. Si l'augmentation dépasse sa marge, cette tâche pourrait devenir critique ou faire changer le chemin critique.

6.2 Stratégies pour réduire la durée du projet

Pour réduire la durée totale du projet, il faut agir sur les tâches du chemin critique. Voici quelques stratégies possibles :

• Accélération (Crashing) : Allouer plus de ressources (personnel, équipement) aux tâches critiques pour en réduire la durée. Cela peut augmenter les coûts.
• Chevauchement (Fast-Tracking) : Commencer une tâche critique avant que sa tâche prédécesseur ne soit complètement terminée (if possible and manageable in terms of risks). C'est ce qui est illustré par la dépendance entre G et H dans cet exemple.
• Révision des dépendances : Examiner si certaines dépendances peuvent être modifiées ou si des tâches peuvent être exécutées en parallèle au lieu de séquentiellement.
• Réduction du périmètre : Si possible, réduire le travail à effectuer pour certaines tâches critiques.

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