Correction de la Fermeture Planimétrique
Comprendre la Correction de la Fermeture Planimétrique
Vous êtes un géomètre qui travaille sur un nouveau développement résidentiel. Pour commencer la construction, vous devez d’abord vérifier l’exactitude de votre levé de terrain. Vous avez parcouru un périmètre fermé et pris des mesures d’angles et de distances entre des bornes consécutives.
Pour comprendre le Calcul de la Fermeture Angulaire, cliquez sur le lien.
Données:
Vous avez effectué un parcours fermé composé de quatre points (A, B, C, D) et revenu au point de départ A. Voici les données collectées :
- AB : Distance = 150 m, Azimut = 30°
- BC : Distance = 200 m, Azimut = 110°
- CD : Distance = 180 m, Azimut = 200°
- DA : Distance = 160 m, Azimut = 300°
Questions:
1. Calcul des Coordonnées Relatives :
- Convertissez les distances et azimuts en coordonnées cartésiennes relatives (déplacements en x et y pour chaque segment).
2. Calcul de la Fermeture Planimétrique :
- Calculez la somme des déplacements en x et en y sur l’ensemble du parcours.
- Déterminez l’erreur de fermeture planimétrique.
- Calculez la précision de votre levé selon la norme : Précision = Longueur du parcours / Erreur de fermeture.
3. Correction des Coordonnées :
- Si nécessaire, appliquez une correction de Bowditch pour ajuster les coordonnées des points en fonction de l’erreur de fermeture proportionnellement aux longueurs des côtés.
Correction : Correction de la Fermeture Planimétrique
1. Calcul des Coordonnées Relatives
Lors d’un levé planimétrique, chaque segment est défini par sa distance et son azimut. Pour reporter ces mesures sur un plan, nous devons convertir chaque segment en déplacements horizontaux (Est) et verticaux (Nord). C’est le calcul des coordonnées relatives.
Formules de base et définitions
\[ ΔE = D \times \sin(α) \]
\[ ΔN = D \times \cos(α) \]
- D : distance mesurée (m).
- α : azimut (° depuis le nord, sens horaire).
- ΔE : déplacement selon l’axe Est.
- ΔN : déplacement selon l’axe Nord.
Segment AB – Calculs
\[ D = 150\,\text{m},\; α = 30^\circ \]
\[ \Delta E_{AB} = 150 \times \sin(30^\circ) = 75{,}00\,\text{m} \]
\[ \Delta N_{AB} = 150 \times \cos(30^\circ) = 129{,}90\,\text{m} \]
Segment BC – Calculs
\[ D = 200\,\text{m},\; α = 110^\circ \]
\[ \sin(110^\circ) = 0{,}9397,\; \cos(110^\circ) = -0{,}3420 \]
\[ \Delta E_{BC} = 200 \times 0{,}9397 = 187{,}94\,\text{m} \]
\[ \Delta N_{BC} = 200 \times (-0{,}3420) = -68{,}40\,\text{m} \]
Segment CD – Calculs
\[ D = 180\,\text{m},\; α = 200^\circ \]
\[ \sin(200^\circ) = -0{,}3420,\; \cos(200^\circ) = -0{,}9397 \]
\[ \Delta E_{CD} = 180 \times (-0{,}3420) = -61{,}56\,\text{m} \]
\[ \Delta N_{CD} = 180 \times (-0{,}9397) = -169{,}15\,\text{m} \]
Segment DA – Calculs
\[ D = 160\,\text{m},\; α = 300^\circ \]
\[ \sin(300^\circ) = -0{,}8660,\; \cos(300^\circ) = 0{,}5000 \]
\[ \Delta E_{DA} = 160 \times (-0{,}8660) = -138{,}56\,\text{m} \]
\[ \Delta N_{DA} = 160 \times 0{,}5000 = 80{,}00\,\text{m} \]
2. Vérification de la Fermeture Planimétrique
La fermeture planimétrique consiste à additionner tous les ΔE et ΔN pour vérifier si l’on revient au point de départ. L’écart final est l’erreur de fermeture.
Addition des déplacements – Calculs
\[ ΣΔE = ΔE_{AB} + ΔE_{BC} + ΔE_{CD} + ΔE_{DA} \] \[ ΣΔE = 75{,}00 + 187{,}94 - 61{,}56 - 138{,}56 \] \[ ΣΔE = 62{,}82\,\text{m} \]
\[ ΣΔN = ΔN_{AB} + ΔN_{BC} + ΔN_{CD} + ΔN_{DA} \] \[ ΣΔN = 129{,}90 - 68{,}40 - 169{,}15 + 80{,}00 \] \[ ΣΔN = -27{,}65\,\text{m} \]
Erreur de fermeture – Calculs
\[ E_{clo} = \sqrt{(ΣΔE)^2 + (ΣΔN)^2} \] \[ E_{clo} = \sqrt{(62{,}82)^2 + (-27{,}65)^2} \] \[ E_{clo} ≈ 68{,}64\,\text{m} \]
Précision du levé – Calculs
\[ Précision = \frac{L_{totale}}{E_{clo}} = \frac{690}{68{,}64} ≈ 1 : 10 \]
3. Correction par la Méthode de Bowditch
La méthode de Bowditch répartit l’erreur de fermeture sur chaque segment proportionnellement à sa longueur.
Formules de correction et définitions
\[ f_i = \frac{L_i}{L_{totale}} \]
\[ c_{E,i} = - ΣΔE \times f_i \]
\[ c_{N,i} = - ΣΔN \times f_i \]
- Ltotale : somme des longueurs des segments (690 m).
- Li : longueur du segment i.
- fi : fraction du segment i dans Ltotale.
- cE,i : correction Est du segment i.
- cN,i : correction Nord du segment i.
Segment AB – Correction
\[ f_{AB} = \frac{150}{690} ≈ 0{,}217 \]
\[ c_{E,AB} = -62{,}82 \times 0{,}217 = -13{,}63\,\text{m} \]
\[ c_{N,AB} = -(-27{,}65) \times 0{,}217 = 6{,}00\,\text{m} \]
\[ ΔE_{AB,corr} = ΔE_{AB} + c_{E,AB} \] \[ ΔE_{AB,corr} = 75{,}00 - 13{,}63 \] \[ ΔE_{AB,corr} = 61{,}37\,\text{m} \]
\[ ΔN_{AB,corr} = ΔN_{AB} + c_{N,AB} \] \[ ΔN_{AB,corr} = 129{,}90 + 6{,}00 \] \[ ΔN_{AB,corr} = 135{,}90\,\text{m} \]
Segment BC – Correction
\[ f_{BC} = \frac{200}{690} ≈ 0{,}290 \]
\[ c_{E,BC} = -62{,}82 \times 0{,}290 = -18{,}22\,\text{m} \]
\[ c_{N,BC} = -(-27{,}65) \times 0{,}290 = 8{,}02\,\text{m} \]
\[ ΔE_{BC,corr} = 187{,}94 - 18{,}22 = 169{,}72\,\text{m} \]
\[ ΔN_{BC,corr} = -68{,}40 + 8{,}02 = -60{,}38\,\text{m} \]
Segment CD – Correction
\[ f_{CD} = \frac{180}{690} ≈ 0{,}261 \]
\[ c_{E,CD} = -62{,}82 \times 0{,}261 = -16{,}41\,\text{m} \]
\[ c_{N,CD} = -(-27{,}65) \times 0{,}261 = 7{,}22\,\text{m} \]
\[ ΔE_{CD,corr} = -61{,}56 - 16{,}41 = -77{,}97\,\text{m} \]
\[ ΔN_{CD,corr} = -169{,}15 + 7{,}22 = -161{,}93\,\text{m} \]
Segment DA – Correction
\[ f_{DA} = \frac{160}{690} ≈ 0{,}232 \]
\[ c_{E,DA} = -62{,}82 \times 0{,}232 = -14{,}58\,\text{m} \]
\[ c_{N,DA} = -(-27{,}65) \times 0{,}232 = 6{,}42\,\text{m} \]
\[ ΔE_{DA,corr} = -138{,}56 - 14{,}58 = -153{,}14\,\text{m} \]
\[ ΔN_{DA,corr} = 80{,}00 + 6{,}42 = 86{,}42\,\text{m} \]
Résumé Final
Coordonnées corrigées
- \( A : (0{,}00; 0{,}00) \)
- \( B : (61{,}37; 135{,}90) \)
- \( C : (231{,}09; 75{,}52) \)
- \( D : (153{,}15; -86{,}45) \)
- \( A' : (0{,}00; 0{,}00) \)
Conclusion pour le novice
En suivant ces étapes détaillées, on passe d’un simple relevé de terrain à un tracé parfaitement fermé et corrigé, tout en comprenant l’origine et la correction de l’erreur.
Correction de la Fermeture Planimétrique
D’autres exercices de topographie:
0 commentaires