Correction de la Fermeture Planimétrique

Contexte : Le cheminement polygonalOpération topographique qui consiste à déterminer les coordonnées de points (stations) en mesurant angles et distances entre eux, formant ainsi une ligne brisée ou un polygone..

En topographie, la précision est essentielle. Lors du levé d'un terrain, les géomètres créent un cheminement (ou polygone) pour relier différents points de mesure. Idéalement, si l'on part d'un point connu et que l'on y revient après plusieurs mesures, on devrait retomber exactement sur les mêmes coordonnées. En pratique, de petites erreurs de mesure (angles et distances) sont inévitables. L'écart entre le point de départ et le point d'arrivée calculé est appelé la fermeture planimétrique. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul et de compensation de cette erreur pour garantir la fiabilité des données topographiques.

Remarque Pédagogique : Cet exercice pratique est fondamental pour tout futur technicien ou ingénieur. Il permet de maîtriser la chaîne de calcul complète, de la validation des mesures brutes sur le terrain jusqu'à l'obtention de coordonnées corrigées et fiables.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les gisements à partir d'angles observés.
Déterminer les écarts de fermeture angulaire et planimétrique.
Vérifier la conformité du levé par rapport aux tolérances réglementaires.
Appliquer la méthode de compensation proportionnelle aux longueurs.
Calculer les coordonnées définitives des points du polygone.

Données de l'étude

Une équipe de topographes a réalisé un cheminement polygonal fermé à 4 sommets (S1, S2, S3, S4). Les coordonnées du point de départ S1 et le gisement de départ G(S1-S2) sont connus. Les mesures brutes (angles et distances) ont été consignées.

Coordonnées et Gisement de Départ

Point	E (m)	N (m)	Gisement de départ	Valeur (gon)
S1	1500.000	2500.000	G(S1-S2)	240.4750

Schéma du Cheminement Polygonal

Station	Point Visé	Angle Interne (gon)	Distance Horizontale (m)
S1	S4	109.5220	183.845
S2	S1	82.8750	223.610
S3	S2	87.2510	200.005
S4	S3	120.3470	202.735

Questions à traiter

Calculer la somme des angles observés et déterminer l'erreur de fermeture angulaire \( f_{\alpha} \).
Comparer \( f_{\alpha} \) à la tolérance réglementaire \( T_{\alpha} = 0.0150 \sqrt{n} \) (avec n=nombre de sommets) et conclure sur la validité des mesures angulaires.
Calculer les angles compensés.
Calculer les gisements de chaque côté en partant du gisement de départ G(S1-S2).
Calculer les écarts en X (\( \Delta X \)) et en Y (\( \Delta Y \)) pour chaque côté, puis déterminer l'erreur de fermeture planimétrique \( f_x \) et \( f_y \).
Calculer les corrections \( C_x \) et \( C_y \) à appliquer sur chaque \( \Delta X \) et \( \Delta Y \).
Déterminer les coordonnées compensées (E, N) des points S2, S3 et S4.

Les bases du calcul topométrique

Pour résoudre cet exercice, plusieurs formules et principes de base de la topographie sont nécessaires.

1. Calcul du Gisement
Le gisement d'un côté est déduit du gisement du côté précédent et de l'angle mesuré à la station. La formule de transmission de gisement est : \[ G_{i, i+1} = G_{i-1, i} + \alpha_i \pm 200 \text{ gon} \] Où \( \alpha_i \) est l'angle mesuré à la station i. On ajoute ou soustrait 200 gon pour ramener le résultat dans l'intervalle [0, 400].

2. Calcul des Coordonnées Partielles
Les écarts en abscisse (\( \Delta X \)) et en ordonnée (\( \Delta Y \)) sont calculés à partir du gisement (G) et de la distance (D) : \[ \Delta X = D \cdot \sin(G) \] \[ \Delta Y = D \cdot \cos(G) \]

Correction : Correction de la Fermeture Planimétrique d'un Polygone

Question 1 : Calcul de l'erreur de fermeture angulaire \( f_{\alpha} \)

Principe

La géométrie euclidienne impose des contraintes sur les figures. Pour un polygone, la somme de ses angles internes n'est pas aléatoire mais est fixée par son nombre de côtés. Le "principe physique" ici est cette contrainte géométrique. En comparant la somme des angles que nous avons réellement mesurés à cette valeur théorique, nous isolons l'erreur de mesure pure.

Mini-Cours

Un polygone à n sommets peut être décomposé en n-2 triangles. Par exemple, un quadrilatère (4 sommets) peut être divisé en 2 triangles par une diagonale. Sachant que la somme des angles d'un triangle est de 200 gon (ou 180°), la somme totale des angles internes d'un polygone est logiquement le produit de ces deux nombres.

Remarque Pédagogique

Cette première étape est cruciale. C'est le premier contrôle qualité de votre levé. Une erreur de fermeture angulaire trop grande indique souvent une faute grossière (mauvaise lecture, erreur de retranscription) qu'il faut identifier avant de poursuivre les calculs. Ne sautez jamais cette vérification !

Normes

Les cahiers des charges des travaux topographiques imposent des tolérances en fonction de la précision attendue (canevas de base, levé de détail...). Bien que nous utilisions une formule simplifiée ici, les normes officielles (comme les normes ISO) définissent des classes de précision qui dictent les tolérances acceptables pour les fermetures angulaires et planimétriques.

Formule(s)

Somme théorique des angles internes

\sum \alpha_{\text{théorique}} = (n-2) \times 200 \text{ gon}

Erreur de fermeture angulaire

f_{\alpha} = \sum \alpha_{\text{observés}} - \sum \alpha_{\text{théorique}}

Hypothèses

Le cheminement est bien fermé, c'est-à-dire que le point d'arrivée est le même que le point de départ.
Les angles mesurés sont les angles intérieurs du polygone.
Le levé a été réalisé dans un plan (projection plane), ignorant la courbure de la Terre.

Donnée(s)

Station	Angle Horizontal Observé (gon)
S1	109.5220
S2	82.8750
S3	87.2510
S4	120.3470

Astuces

Pour la somme théorique, retenez simplement : 400 gon pour un quadrilatère, 600 gon pour un pentagone, 800 gon pour un hexagone, etc. C'est une progression simple de 200 gon par sommet supplémentaire.

Schéma (Avant les calculs)

Angles internes du polygone

Calcul(s)

Somme des angles observés

\begin{aligned} \sum \alpha_{\text{obs}} &= 109.5220 + 82.8750 + 87.2510 + 120.3470 \\ &= 399.9950 \text{ gon} \end{aligned}

Somme théorique des angles

\begin{aligned} \sum \alpha_{\text{théo}} &= (4-2) \times 200 \\ &= 2 \times 200 \\ &= 400.0000 \text{ gon} \end{aligned}

Erreur de fermeture

\begin{aligned} f_{\alpha} &= 399.9950 - 400.0000 \\ &= -0.0050 \text{ gon} \end{aligned}

Réflexions

Le résultat est négatif, ce qui signifie que la somme des angles que nous avons mesurés est légèrement inférieure à ce qu'elle devrait être. L'erreur est de -0.5 cgon (centi-grade), ce qui est très faible et indique des mesures de bonne qualité.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une faute de frappe lors de la saisie des angles. Vérifiez toujours deux fois la somme. Une autre erreur est de se tromper dans la formule de la somme théorique (par exemple, utiliser (n) ou (n-1) au lieu de (n-2)).

Points à retenir

Pour tout polygone fermé, la première étape est de vérifier la cohérence des angles. La formule \((n-2) \times 200\) est la base de cette vérification. L'erreur de fermeture \(f_{\alpha}\) est la clé qui quantifie la qualité des mesures angulaires.

Le saviez-vous ?

Le "gon" ou "grade" est une unité d'angle divisant le cercle en 400 parties (au lieu de 360 degrés). Il a été introduit en France après la Révolution pour décimaliser les unités. Il est très apprécié en topographie car un angle droit vaut exactement 100 gon, ce qui simplifie de nombreux calculs mentaux et conversions.

FAQ

Résultat Final

L'erreur de fermeture angulaire \( f_{\alpha} \) est de -0.0050 gon.

A vous de jouer

Un pentagone (5 sommets) a une somme d'angles observés de 599.9820 gon. Quelle est son erreur de fermeture angulaire \(f_{\alpha}\) ?

Question 2 : Comparaison à la tolérance réglementaire

Principe

Toute mesure physique comporte une part d'incertitude. Les normes et règlements définissent un seuil, la "tolérance", en deçà duquel l'incertitude est jugée acceptable pour l'usage prévu. Cette étape est une décision binaire : soit le levé est accepté et on continue, soit il est rejeté et il faut retourner sur le terrain.

Mini-Cours

La tolérance n'est pas une valeur arbitraire. Elle est souvent issue de modèles statistiques qui prennent en compte l'accumulation des erreurs sur un parcours. La racine carrée du nombre de stations (\(\sqrt{n}\)) est typique de ces modèles, car elle représente la manière dont des erreurs aléatoires indépendantes se combinent : l'erreur totale augmente moins vite que le nombre de mesures.

Remarque Pédagogique

En tant que professionnel, vous devez être intransigeant sur cette étape. Compenser un levé hors tolérances revient à "cacher la poussière sous le tapis" et peut avoir des conséquences graves (mauvais positionnement d'un ouvrage, litiges fonciers...). La rigueur commence ici.

Normes

La formule fournie (\(T_{\alpha} = 0.0150 \sqrt{n}\)) est une tolérance typique pour des levés de précision courante. Pour des travaux de haute précision (canevas géodésique), le coefficient (ici 0.0150) serait beaucoup plus faible.

Formule(s)

T_{\alpha} = 0.0150 \sqrt{n} \text{ gon}

\text{Condition de validité : } |f_{\alpha}| \le T_{\alpha}

Hypothèses

On suppose que la formule de tolérance de l'énoncé est celle qui s'applique au type de matériel et à la mission topographique réalisée.

Donnée(s)

Erreur de fermeture \(f_{\alpha} = -0.0050\) gon (calculée à la Q1).
Nombre de sommets \(n = 4\).

Astuces

Lors de la comparaison, n'oubliez pas d'utiliser la valeur absolue de votre erreur de fermeture. Une erreur de -0.020 gon est aussi grande qu'une erreur de +0.020 gon. Le signe nous servira pour la correction, mais c'est la magnitude qui compte pour la tolérance.

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison sur un axe

Calcul(s)

\begin{aligned} T_{\alpha} &= 0.0150 \sqrt{4} \\ &= 0.0150 \times 2 \\ &= 0.0300 \text{ gon} \end{aligned}

Comparaison

|f_{\alpha}| = |-0.0050| = 0.0050 \text{ gon}

\text{On vérifie si } 0.0050 \le 0.0300 \text{ ? Oui.}

Réflexions

L'erreur commise est très largement inférieure à la limite autorisée (elle ne représente que 17% de la tolérance). Cela confirme la grande qualité des mesures angulaires. Nous pouvons passer à la compensation avec une confiance maximale.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier la racine carrée dans la formule de la tolérance. C'est une erreur fréquente qui peut conduire à accepter un levé qui devrait être rejeté (ou inversement).

Points à retenir

La validation d'une mesure passe toujours par la comparaison de son erreur (valeur absolue) à une tolérance prédéfinie. Si |erreur| ≤ tolérance, la mesure est acceptée. C'est un principe universel en métrologie.

Le saviez-vous ?

Les premières grandes opérations de géodésie, comme la mesure du méridien terrestre par Delambre et Méchain à la fin du 18ème siècle, ont été les premières à systématiser la notion de contrôle et de compensation des erreurs. Leurs travaux ont jeté les bases de la théorie des erreurs, encore utilisée aujourd'hui.

FAQ

Résultat Final

Puisque \( |f_{\alpha}| = 0.0050 \text{ gon} \le T_{\alpha} = 0.0300 \text{ gon} \), les mesures angulaires sont validées.

A vous de jouer

Pour un cheminement de 9 sommets, quelle est la tolérance angulaire \(T_{\alpha}\) avec la même formule ?

Question 3 : Calculer les angles compensés

Principe

La compensation consiste à répartir l'erreur de fermeture, qui est connue globalement, sur chacune des mesures individuelles qui y ont contribué. Le principe le plus simple est de supposer que chaque mesure d'angle a contribué de manière égale à l'erreur totale, et donc de répartir la correction uniformément.

Mini-Cours

Cette méthode de répartition uniforme est la plus simple. Des méthodes plus complexes, dites de "moindres carrés", existent. Elles permettent de pondérer la correction en fonction de la précision estimée de chaque mesure (par exemple, une visée plus courte sera considérée plus précise et recevra une correction plus faible). Pour les calculs manuels, la répartition uniforme est la norme.

Remarque Pédagogique

Voyez la compensation comme un "ajustement" pour rendre votre figure géométriquement parfaite. La somme des angles de votre polygone corrigé sera exactement égale à la somme théorique, au millième de grade près. C'est une étape de "nettoyage" des données avant de les utiliser pour calculer des coordonnées.

Normes

Les normes topographiques n'imposent pas toujours une méthode de compensation unique, mais exigent que la méthode utilisée soit documentée et justifiée. La répartition uniforme est universellement acceptée pour les cheminements courants.

Formule(s)

Correction unitaire

C_{\alpha} = - \frac{f_{\alpha}}{n}

Angle compensé

\alpha_{\text{compensé}} = \alpha_{\text{observé}} + C_{\alpha}

Hypothèses

Toutes les mesures d'angle ont été réalisées avec le même soin et le même matériel.
Chaque mesure a donc une probabilité égale d'avoir contribué à l'erreur totale.

Donnée(s)

Erreur de fermeture \(f_{\alpha} = -0.0050\) gon.
Nombre d'angles \(n = 4\).
Angles observés de l'énoncé.

Astuces

Le signe est votre ami ! La correction totale doit être l'opposé de l'erreur totale. Si votre erreur est négative (vous n'avez pas assez mesuré), votre correction totale doit être positive (vous devez ajouter un peu partout). C'est un excellent moyen de vérifier le signe de votre correction unitaire.

Calcul(s)

Calcul de la correction unitaire

\begin{aligned} C_{\alpha} &= - \frac{-0.0050}{4} \\ &= +0.00125 \text{ gon} \end{aligned}

Application de la correction

Station	Angle Observé	Correction	Angle Compensé
S1	109.5220	+0.00125	109.52325
S2	82.8750	+0.00125	82.87625
S3	87.2510	+0.00125	87.25225
S4	120.3470	+0.00125	120.34825
Total	399.9950	+0.0050	400.0000

Réflexions

Nous avons maintenant un jeu d'angles qui sont non seulement individuellement précis (car dans les tolérances), mais aussi collectivement cohérents. La somme des angles compensés est exactement 400.0000 gon, ce qui respecte la contrainte géométrique d'un quadrilatère. Nous pouvons maintenant nous fier à ces angles pour la suite des calculs.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier le signe "moins" dans la formule de la correction. Si vous ajoutez l'erreur au lieu de la soustraire (ou vice-versa), l'écart final doublera au lieu de s'annuler ! La vérification de la somme finale est donc impérative.

Points à retenir

La compensation angulaire consiste à répartir l'opposé de l'erreur de fermeture (\(-f_{\alpha}\)) sur les 'n' angles mesurés. Chaque angle est ensuite ajusté de cette petite correction.

Le saviez-vous ?

Dans les calculs de très haute précision, on ne se contente pas de répartir l'erreur. On la "modélise". On cherche à savoir si elle est due à une mauvaise mise en station, à la réfraction atmosphérique, etc. Cela permet d'appliquer des corrections plus ciblées et plus justes que la simple répartition uniforme.

FAQ

Résultat Final

Les angles compensés sont : \(\alpha_{S1}\)=109.52325, \(\alpha_{S2}\)=82.87625, \(\alpha_{S3}\)=87.25225, \(\alpha_{S4}\)=120.34825 gon.

A vous de jouer

Pour un triangle (n=3) avec une erreur de fermeture de -0.0090 gon, quelle correction unitaire \(C_{\alpha}\) faut-il appliquer à chaque angle ?

Question 4 : Calculer les gisements

Principe

Le gisement est l'orientation d'une ligne par rapport à une direction de référence fixe (le Nord). Le principe est de "transporter" cette orientation de station en station. Connaissant l'orientation de la ligne pour arriver à un point, et l'angle que l'on tourne sur ce point, on peut en déduire l'orientation de la ligne pour en repartir.

Mini-Cours

Le calcul de gisement est une addition d'angles. La subtilité du \(\pm 200\) vient de la définition des angles. L'angle mesuré \(\alpha_i\) est entre le côté "arrière" et le côté "avant". L'opération \(G_{\text{arrière}} + \alpha_i\) nous donne le gisement "avant". Cependant, cet angle peut dépasser 400 gon ou être négatif. Le \(\pm 200\) est une astuce de calcul pour le ramener dans l'intervalle [0, 400] tout en conservant la bonne direction, car ajouter ou enlever un demi-cercle (200 gon) à un gisement inverse simplement sa direction.

Remarque Pédagogique

C'est une étape purement séquentielle. Chaque calcul dépend du précédent. Une erreur au début se propage jusqu'à la fin. C'est pourquoi il est crucial de faire la "vérification de fermeture" à la fin : en recalculant le gisement de départ, vous vérifiez l'ensemble de votre chaîne de calculs.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique, c'est une méthode de calcul fondamentale en topographie et en géodésie.

Formule(s)

G_{\text{avant}} = G_{\text{arrière}} + \alpha_{\text{interne}} \pm 200 \text{ gon}

Hypothèses

Le gisement de départ (G(S1-S2)) est considéré comme exact.
Les angles compensés calculés à la question 3 sont utilisés.

Donnée(s)

Gisement de départ G(S1-S2) = 240.4750 gon.
Angles compensés : \(\alpha_{S1}\)=109.52325, \(\alpha_{S2}\)=82.87625, \(\alpha_{S3}\)=87.25225, \(\alpha_{S4}\)=120.34825 gon.

Astuces

Pour le \(\pm 200\), une règle simple : si \(G_{\text{arrière}} + \alpha < 200\), ajoutez 200. Si \(G_{\text{arrière}} + \alpha > 200\), soustrayez 200. Si le résultat est encore supérieur à 400, soustrayez à nouveau 200. Le but est de toujours rester entre 0 et 400.

Schéma (Avant les calculs)

Transmission de Gisement

Calcul(s)

Gisement S2-S3

\begin{aligned} G_{S2-S3} &= G_{S1-S2} + \alpha_{S2} - 200 \\ &= 240.4750 + 82.87625 - 200 \\ &= 123.35125 \text{ gon} \end{aligned}

Gisement S3-S4

\begin{aligned} G_{S3-S4} &= G_{S2-S3} + \alpha_{S3} - 200 \\ &= 123.35125 + 87.25225 - 200 \\ &= 10.6035 \text{ gon} \end{aligned}

Gisement S4-S1

\begin{aligned} G_{S4-S1} &= G_{S3-S4} + \alpha_{S4} + 200 \\ &= 10.6035 + 120.34825 + 200 \\ &= 330.95175 \text{ gon} \end{aligned}

Vérification

\begin{aligned} G_{S1-S2} &= G_{S4-S1} + \alpha_{S1} - 200 \\ &= 330.95175 + 109.52325 - 200 \\ &= 240.4750 \text{ gon} \end{aligned}

Réflexions

La vérification finale est concluante : en bouclant le parcours, nous retombons exactement sur le gisement de départ. Cela confirme que nos angles compensés sont corrects et que la chaîne de calcul des gisements a été menée sans erreur. Nous disposons maintenant de l'orientation de chaque côté du polygone.

Points de vigilance

La principale source d'erreur est le choix de l'opération \(\pm 200\). Une erreur ici décale le gisement de 200 gon (un demi-tour), ce qui inversera les signes des \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) correspondants et faussera complètement la suite.

Points à retenir

La transmission de gisement est une simple addition d'angles. Le gisement d'un côté est celui du côté précédent, auquel on ajoute l'angle interne tourné, en ajustant le résultat pour qu'il reste dans l'intervalle [0, 400] gon.

Le saviez-vous ?

Dans l'hémisphère sud, certains topographes travaillent avec des angles orientés depuis le Sud et non le Nord. Les formules de transmission de gisement restent les mêmes, mais la référence de départ est inversée de 200 gon.

FAQ

Résultat Final

Les gisements calculés sont : G(S2-S3)=123.35125, G(S3-S4)=10.60350, G(S4-S1)=330.95175 gon.

A vous de jouer

Si le gisement d'arrivée est de 50 gon et que l'angle interne mesuré est de 175 gon, quel est le gisement de départ ? (G_départ = G_arrivée + angle \(\pm\) 200)

Question 5 : Calculer les écarts et l'erreur de fermeture planimétrique

Principe

Chaque côté du polygone peut être vu comme un vecteur, défini par sa longueur (la distance mesurée) et son orientation (le gisement calculé). Le principe est de décomposer chaque vecteur en ses composantes cartésiennes : une sur l'axe Est-Ouest (\(\Delta X\)) et une sur l'axe Nord-Sud (\(\Delta Y\)). Pour un polygone qui se referme parfaitement, la somme de tous ces déplacements devrait nous ramener au point de départ, signifiant que la somme des \(\Delta X\) et la somme des \(\Delta Y\) devraient être nulles.

Mini-Cours

Les formules \(\Delta X = D \cdot \sin(G)\) et \(\Delta Y = D \cdot \cos(G)\) sont les définitions de base de la trigonométrie dans un cercle. En topographie, le cercle est orienté avec 0 au Nord, 100 à l'Est, 200 au Sud et 300 à l'Ouest. Le sinus correspond bien à la projection sur l'axe Est-Ouest (X) et le cosinus à la projection sur l'axe Nord-Sud (Y).

Remarque Pédagogique

Cette étape transforme vos mesures de terrain (angles, distances) en déplacements dans un système de coordonnées. C'est le pont entre le monde réel et sa représentation sur un plan. L'erreur de fermeture que vous calculez (\(f_x, f_y\)) matérialise l'écart cumulé de toutes les petites imprécisions de vos mesures d'angles ET de distances.

Normes

Tout comme pour les angles, il existe des tolérances réglementaires pour la fermeture planimétrique, souvent exprimées en fonction de la longueur totale du cheminement (ex: \(T_L = a \cdot L + b \sqrt{L}\)). Nous ne la calculons pas ici, mais c'est une vérification indispensable en pratique.

Formule(s)

Coordonnées partielles

\Delta X_i = D_i \cdot \sin(G_i) \quad | \quad \Delta Y_i = D_i \cdot \cos(G_i)

Erreur de fermeture planimétrique

f_x = \sum \Delta X_i \quad | \quad f_y = \sum \Delta Y_i

Hypothèses

Les distances mesurées sont des distances horizontales.
Les gisements utilisés sont ceux qui ont été préalablement compensés.

Donnée(s)

Côté	Gisement (gon)	Distance (m)
S1-S2	240.4750	223.610
S2-S3	123.35125	200.005
S3-S4	10.60350	202.735
S4-S1	330.95175	183.845

Astuces

Avant de calculer, estimez le signe de vos \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) en regardant le quadrant du gisement. Entre 0 et 100, les deux sont positifs. Entre 100 et 200, \(\Delta X\) est positif et \(\Delta Y\) négatif, etc. C'est un excellent moyen de repérer rapidement une erreur de calcul.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul des \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) bruts

Côté	\( \Delta X \) (m)	\( \Delta Y \) (m)
S1-S2	\(223.610 \cdot \sin(240.4750) = -200.003\)	\(223.610 \cdot \cos(240.4750) = -100.001\)
S2-S3	\(200.005 \cdot \sin(123.35125) = 119.998\)	\(200.005 \cdot \cos(123.35125) = -160.008\)
S3-S4	\(202.735 \cdot \sin(10.60350) = 33.496\)	\(202.735 \cdot \cos(10.60350) = 199.996\)
S4-S1	\(183.845 \cdot \sin(330.95175) = -129.995\)	\(183.845 \cdot \cos(330.95175) = 130.001\)

Étape 2 : Erreurs de fermeture \( f_x, f_y \)

\begin{aligned} f_x &= -200.003 + 119.998 + 33.496 - 129.995 \\ &= -76.504 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} f_y &= -100.001 - 160.008 + 199.996 + 130.001 \\ &= +69.988 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Vecteur de Fermeture Planimétrique

Réflexions

L'erreur de fermeture est un vecteur de coordonnées (-76.5 m, +70.0 m). C'est une erreur très importante qui, dans un cas réel, indiquerait une faute majeure dans les mesures (par exemple une distance mal lue ou mal retranscrite) et imposerait de refaire le levé. Pour les besoins de l'exercice, nous allons tout de même la compenser.

Points de vigilance

Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "Grades" ou "Gon" et non en "Degrés" ! C'est l'erreur la plus classique et la plus dévastatrice à cette étape.

Points à retenir

Le passage des mesures polaires (distance, gisement) aux mesures cartésiennes (\(\Delta X, \Delta Y\)) se fait via les fonctions sinus et cosinus. La somme de ces déplacements cartésiens sur un polygone fermé révèle l'erreur de fermeture planimétrique.

Le saviez-vous ?

Avant les calculatrices électroniques, les topographes utilisaient des tables de sinus et de cosinus très détaillées (comme les tables de Callet) et des logarithmes pour effectuer ces calculs, qui prenaient des heures et étaient sujets aux erreurs de calcul manuel.

FAQ

Résultat Final

L'erreur de fermeture est de \(f_x = -76.504\) m et \(f_y = +69.988\) m.

A vous de jouer

Pour un côté de 150 m avec un gisement de 350 gon, quel est le \(\Delta X\) ?

Question 6 : Calculer les corrections planimétriques

Principe

Le principe est de répartir l'erreur de fermeture (\(f_x, f_y\)) sur chaque côté du polygone. La méthode la plus juste suppose que les erreurs de mesure des distances sont la principale source de l'erreur planimétrique. Il est donc logique de répartir la correction proportionnellement à la longueur de chaque côté : un côté plus long est susceptible d'avoir une erreur de mesure plus grande et recevra donc une correction plus importante.

Mini-Cours

La correction est l'opposé de l'erreur. Si l'on a un excédent de +69.988 m en Y (\(f_y\)), il faut appliquer une correction totale de -69.988 m. Cette correction totale est ensuite distribuée. La fraction de la correction appliquée à un côté 'i' est simplement le rapport de sa longueur \(D_i\) sur la longueur totale du cheminement \(\sum D\). C'est une simple règle de trois.

Remarque Pédagogique

Cette étape est la clé de la compensation. C'est ici que l'on "ajuste" les déplacements calculés pour forcer le polygone à se refermer. Comprendre la logique de la proportionnalité aux longueurs est essentiel pour appliquer la méthode correctement.

Normes

Cette méthode de compensation, parfois appelée "méthode des latitudes et longitudes" ou "méthode de la boussole", est une procédure standardisée dans tous les manuels de topographie pour le calcul manuel des cheminements.

Formule(s)

C_{x_i} = -f_x \cdot \frac{D_i}{\sum D} \quad | \quad C_{y_i} = -f_y \cdot \frac{D_i}{\sum D}

Hypothèses

Les erreurs sur les mesures de distance sont prépondérantes par rapport aux erreurs résiduelles sur les angles (qui ont déjà été compensés).
L'erreur de mesure d'une distance est proportionnelle à cette distance.

Donnée(s)

Erreurs de fermeture : \(f_x = -76.504\) m, \(f_y = +69.988\) m.
Distances de chaque côté.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la longueur totale

\begin{aligned} \sum D &= 223.610 + 200.005 + 202.735 + 183.845 \\ &= 810.195 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul des corrections

Côté	Distance (m)	Correction \( C_x \) (m)	Correction \( C_y \) (m)
S1-S2	223.610	\(-(-76.504) \cdot \frac{223.610}{810.195} = +21.130\)	\(-(69.988) \cdot \frac{223.610}{810.195} = -19.324\)
S2-S3	200.005	\(-(-76.504) \cdot \frac{200.005}{810.195} = +18.899\)	\(-(69.988) \cdot \frac{200.005}{810.195} = -17.284\)
S3-S4	202.735	\(-(-76.504) \cdot \frac{202.735}{810.195} = +19.157\)	\(-(69.988) \cdot \frac{202.735}{810.195} = -17.502\)
S4-S1	183.845	\(-(-76.504) \cdot \frac{183.845}{810.195} = +17.371\)	\(-(69.988) \cdot \frac{183.845}{810.195} = -15.878\)
Total	810.195	+76.557	-70.000

Réflexions

La somme des corrections est bien l'opposé de l'erreur de fermeture (aux arrondis près). Cela garantit que la somme des déplacements corrigés sera nulle. On remarque aussi que les corrections sont très importantes, ce qui est logique vu l'ampleur de l'erreur de fermeture.

Points de vigilance

Encore une fois, le signe est primordial. N'oubliez pas le signe "moins" dans la formule. Une erreur de signe ici rendrait la fermeture deux fois plus mauvaise au lieu de l'annuler.

Points à retenir

La correction planimétrique pour un côté est l'opposé de l'erreur totale, pondérée par le rapport de la longueur de ce côté sur la longueur totale du cheminement.

Le saviez-vous ?

La compensation des grands réseaux géodésiques nationaux (des milliers de points interconnectés) est un problème mathématique extrêmement complexe. Elle se fait par des logiciels spécialisés qui résolvent des systèmes de milliers d'équations par la méthode des moindres carrés, un processus qui peut prendre plusieurs heures de calcul sur des ordinateurs puissants.

FAQ

Résultat Final

Les corrections à appliquer ont été calculées pour chaque côté et sont prêtes à être utilisées pour déterminer les coordonnées finales.

A vous de jouer

Un cheminement de 1000m a une erreur \(f_x = +0.050\) m. Quelle correction \(C_x\) appliquer à un côté de 200m ?

Question 7 : Déterminer les coordonnées compensées

Principe

C'est l'aboutissement de tout le processus. On part des coordonnées connues du premier point, et on "construit" le reste du polygone en ajoutant successivement les déplacements partiels (\(\Delta X, \Delta Y\)) qui ont été corrigés et compensés. C'est un calcul itératif où chaque nouveau point est calculé à partir du précédent.

Mini-Cours

Un système de coordonnées topographiques (comme le Lambert 93 en France) est un repère orthonormé. Le calcul de coordonnées est une simple application de la relation de Chasles pour les vecteurs : \(\vec{P_1 P_{i+1}} = \vec{P_1 P_i} + \vec{P_i P_{i+1}}\). En termes de coordonnées, cela se traduit par une addition composante par composante : \(X_{i+1} = X_i + \Delta X_{i,i+1}\) et \(Y_{i+1} = Y_i + \Delta Y_{i,i+1}\).

Remarque Pédagogique

La dernière ligne du tableau de calcul est la plus importante : vous devez recalculer les coordonnées du point de départ S1. Si vous retombez exactement (ou à 1 mm près, à cause des arrondis) sur les coordonnées initiales, votre travail est juste. C'est la vérification finale qui valide l'ensemble de votre calcul, depuis la question 1.

Normes

Le résultat final doit être présenté avec une précision cohérente avec celle des mesures initiales. En général, les coordonnées d'un levé topographique sont données au millimètre près.

Formule(s)

Déplacement compensé

\Delta X_{\text{comp}} = \Delta X_{\text{brut}} + C_x \quad | \quad \Delta Y_{\text{comp}} = \Delta Y_{\text{brut}} + C_y

Coordonnées

E_{i+1} = E_i + \Delta X_{\text{comp}} \quad | \quad N_{i+1} = N_i + \Delta Y_{\text{comp}}

Hypothèses

On fait l'hypothèse que les coordonnées du point de départ S1 sont exactes et constituent la référence de notre calcul.

Donnée(s)

Coordonnées de S1 : E=1500.000, N=2500.000.
Déplacements bruts et corrections calculés aux questions 5 et 6.

Astuces

Utilisez un tableau pour organiser vos calculs. Cela limite les risques d'erreur et rend votre travail facile à vérifier. Calculez d'abord toutes les colonnes des \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) compensés, puis dans un second temps, calculez les coordonnées E et N ligne par ligne.

Calcul(s)

Pt	\( \Delta X \) comp. (m)	\( \Delta Y \) comp. (m)	E (m)	N (m)
S1			1500.000	2500.000
S2	-200.003+21.130 = -178.873	-100.001-19.324 = -119.325	1500.000-178.873 = 1321.127	2500.000-119.325 = 2380.675
S3	119.998+18.899 = 138.897	-160.008-17.284 = -177.292	1321.127+138.897 = 1460.024	2380.675-177.292 = 2203.383
S4	33.496+19.157 = 52.653	199.996-17.502 = 182.494	1460.024+52.653 = 1512.677	2203.383+182.494 = 2385.877
S1'	-129.995+17.371 = -112.624	130.001-15.878 = 114.123	1512.677-112.624 = 1400.053	2385.877+114.123 = 2500.000

Schéma (Après les calculs)

Cheminement Brut vs. Compensé

Réflexions

L'objectif est d'obtenir un ensemble de coordonnées finales qui sont géométriquement cohérentes. Chaque point est maintenant défini par des coordonnées uniques et fiables, prêtes à être utilisées pour la création d'un plan topographique, l'implantation d'un projet ou des calculs de surface.

Points de vigilance

L'erreur la plus courante est une erreur d'inattention dans l'addition ou la soustraction des coordonnées. Une simple faute de frappe sur une coordonnée intermédiaire faussera toutes les coordonnées suivantes. La vérification finale en recalculant le point de départ est le seul garde-fou.

Points à retenir

Les coordonnées d'un point sont égales aux coordonnées du point précédent, augmentées du déplacement compensé entre les deux points. C'est un processus cumulatif qui construit la géométrie du levé pas à pas.

Le saviez-vous ?

Le système GPS fonctionne sur des principes similaires, mais en 3D et à l'échelle mondiale. La position d'un récepteur est calculée en résolvant un système d'équations basé sur les distances à plusieurs satellites dont les positions sont connues très précisément. Les calculs incluent des corrections complexes dues aux effets de la relativité d'Einstein !

FAQ

Résultat Final

Les coordonnées compensées finales des points du levé ont été calculées et forment un polygone géométriquement cohérent.

A vous de jouer

Un point A a pour coordonnées (100.00, 200.00). Le déplacement compensé pour aller à B est \(\Delta X = +25.50\) m et \(\Delta Y = -10.25\) m. Quelles sont les coordonnées de B ?

Outil Interactif : Impact des Erreurs

Utilisez les curseurs pour simuler une erreur de fermeture en X et en Y et observez comment cela impacte la position finale du point de retour (S1'). Le graphique montre l'écart entre le point de départ S1 (en bleu) et le point d'arrivée calculé S1' (en rouge).

Paramètres d'Erreur

Erreur de fermeture en X (fx) (mm) 12 mm

Erreur de fermeture en Y (fy) (mm) -19 mm

Résultats Clés

Fermeture Linéaire (mm) -

Précision Relative -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la somme théorique des angles internes pour un polygone à 6 côtés ?

600 gon
800 gon
1000 gon

2. Si l'erreur de fermeture angulaire \( f_{\alpha} \) est positive, la correction à appliquer sur chaque angle sera :

Positive
Nulle
Négative

3. La compensation planimétrique est dite "proportionnelle aux longueurs" car :

Les côtés les plus longs reçoivent une plus grande correction.
Tous les côtés reçoivent la même correction.
Les côtés les plus courts reçoivent une plus grande correction.

Gisement: Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (axe Y) vers une direction donnée.
Fermeture Planimétrique: Vecteur représentant l'écart entre les coordonnées du point de départ et celles du même point calculées après avoir parcouru un cheminement fermé.
Compensation: Processus mathématique de répartition des erreurs de fermeture (angulaire et planimétrique) sur l'ensemble des mesures pour assurer la cohérence géométrique du levé.