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1. Introduction : Sollicitations Internes

1.1 Notion de Torseur de Cohésion

Lorsqu'une structure (poutre, par exemple) est soumise à des charges externes (forces, moments), des efforts internes se développent en chaque section droite pour assurer l'équilibre global et local de la structure. Ces efforts internes sont appelés sollicitations.

En un point G d'une section droite S, l'ensemble des actions mécaniques exercées par la partie droite de la poutre (partie II) sur la partie gauche (partie I) peut être représenté par un torseur de cohésion. Ce torseur est composé de :

• Une résultante des forces, \(\vec{R}\), qui se décompose en :
  • Un effort normal \(N\) (axial, le long de l'axe de la poutre).
  • Un effort tranchant \(T\) (ou \(V\)), contenu dans le plan de la section. Il peut avoir deux composantes \(T_y\) et \(T_z\).
• Un moment résultant au point G, \(\vec{M_G}\), qui se décompose en :
  • Un moment de torsion \(M_t\) (autour de l'axe de la poutre).
  • Un moment fléchissant \(M_f\) (ou \(M\)), dont le vecteur est contenu dans le plan de la section. Il peut avoir deux composantes \(M_{fy}\) et \(M_{fz}\).

Dans ce cours, nous nous concentrerons sur l'effort tranchant et le moment fléchissant dans le cas de la flexion plane (charges et géométrie dans un plan).

1.2 Définition de l'Effort Tranchant (T ou V)

L'effort tranchant \(T(x)\) en une section d'abscisse \(x\) est la composante, dans le plan de la section et perpendiculaire à l'axe de la poutre, de la résultante des forces exercées par la partie de la poutre située d'un côté de la coupure sur la partie située de l'autre côté.

Physiquement, l'effort tranchant représente la tendance des forces externes à faire "cisailler" ou "glisser" verticalement une section par rapport à la section voisine.

Effort tranchant \(T(x)\) dans une section S d'une poutre.

1.3 Définition du Moment Fléchissant (M)

Le moment fléchissant \(M(x)\) en une section d'abscisse \(x\) est la composante, dont le vecteur est contenu dans le plan de la section et perpendiculaire à l'axe de la poutre, du moment résultant des forces exercées par la partie de la poutre située d'un côté de la coupure sur la partie située de l'autre côté, par rapport au centre de gravité de la section.

Physiquement, le moment fléchissant représente la tendance des forces externes à faire "fléchir" ou "courber" la poutre.

Moment fléchissant \(M(x)\) provoquant la flexion.

1.4 Conventions de Signes

Des conventions de signes sont nécessaires pour définir T et M. Une convention courante est :

• Effort Tranchant (T) : Positif s'il tend à faire tourner le tronçon isolé dans le sens horaire (forces vers le haut à gauche de la coupure).
• Moment Fléchissant (M) : Positif s'il tend à courber la poutre de manière à rendre les fibres inférieures tendues (et les fibres supérieures comprimées - "sourire" de la poutre).

2. Relations Différentielles Fondamentales

Il existe des relations mathématiques directes entre les charges appliquées, l'effort tranchant et le moment fléchissant, obtenues par l'équilibre d'un tronçon infinitésimal de poutre.

2.1 Équilibre d'un Tronçon Infinitésimal

Considérons un petit élément de poutre de longueur \(dx\), soumis à une charge répartie \(q(x)\), un effort tranchant \(T(x)\) et un moment \(M(x)\).

Équilibre d'un tronçon infinitésimal de poutre.

2.2 Relation entre Charge Répartie et Effort Tranchant

L'équilibre des forces verticales sur le tronçon \(dx\) mène à : \[ \frac{dT}{dx} = -q(x) \]

Cela signifie que la pente de la tangente au diagramme de l'effort tranchant est égale à l'opposé de l'intensité de la charge répartie. Si la charge est nulle, la pente est nulle (effort tranchant constant). Si la charge est constante (uniformément répartie), la pente est constante (effort tranchant linéaire).

2.3 Relation entre Effort Tranchant et Moment Fléchissant

L'équilibre des moments mène à : \[ \frac{dM}{dx} = T(x) \]

Cela signifie que la dérivée du moment fléchissant par rapport à \(x\) est égale à l'effort tranchant.
Conséquence majeure : Le moment est maximal ou minimal lorsque sa dérivée s'annule, c'est-à-dire lorsque l'effort tranchant \(T(x) = 0\). C'est un point de contrôle essentiel pour le dimensionnement.

2.4 Interprétation Intégrale (Calculs d'aires)

En intégrant les relations précédentes, on obtient une méthode très pratique pour le calcul :

• La variation de l'effort tranchant entre deux points A et B est égale à l'opposé de l'aire sous la courbe de charge : \[ T_B - T_A = - \int_{A}^{B} q(x) dx \]
• La variation du moment fléchissant entre deux points A et B est égale à l'aire sous le diagramme de l'effort tranchant : \[ M_B - M_A = \int_{A}^{B} T(x) dx \]

3. Calcul et Tracé des Diagrammes (DET et DMF)

Il existe deux approches principales pour tracer les diagrammes : la méthode analytique (coupures) et la méthode graphique (aires).

3.1 Méthode des Coupures (Analytique)

1. Réactions d'appuis : Calculer les réactions globales (\(\sum F = 0, \sum M = 0\)).
2. Zones de coupure : Identifier les intervalles délimités par les forces concentrées ou les changements de charge répartie.
3. Coupure : Pour chaque intervalle, faire une coupure à une abscisse \(x\).
4. Équilibre : Isoler le tronçon de gauche et écrire \(T(x) = \sum F_{vert}\) et \(M(x) = \sum M_{coupure}\).

3.2 Méthode Graphique (des Aires)

Cette méthode est souvent plus rapide pour les cas simples :

• Tracez \(T(x)\) en suivant les charges : une force P vers le bas fait descendre le diagramme de P. Entre les forces, la pente est donnée par -q.
• Calculez l'aire sous \(T(x)\) pour chaque tronçon.
• Ajoutez cette aire à la valeur du moment précédent pour trouver le moment suivant.

3.3 Allure des Diagrammes

• Charge ponctuelle P : Saut de P sur T, point anguleux sur M.
• Charge répartie q : T est linéaire (pente -q), M est parabolique.
• Moment ponctuel C : Pas d'effet sur T, saut de C sur M.

3.4 Principe de Superposition

Dans le domaine élastique (petites déformations, loi de Hooke), les effets sont cumulatifs. Si une poutre est soumise à plusieurs charges complexes (ex: une charge répartie \(q\) + une charge ponctuelle \(P\)), on peut :

1. Calculer \(M_1(x)\) pour la charge \(q\) seule.
2. Calculer \(M_2(x)\) pour la charge \(P\) seule.
3. Le moment total est simplement \(M_{total}(x) = M_1(x) + M_2(x)\).

Cela simplifie grandement les calculs en utilisant des formules standardisées (voir section 6).

4. Exemples d'Application

4.1 Poutre sur Deux Appuis Simples avec Charge Concentrée

Poutre de longueur \(L\) sur appuis A et B, charge \(P\) en \(x=a\).

Poutre sur deux appuis simples avec charge concentrée P.

Réactions : \(R_A = P(L-a)/L\), \(R_B = Pa/L\).

• Pour \(0 \le x < a\) : \(T(x) = R_A\), \(M(x) = R_A x\).
• Pour \(a < x \le L\) : \(T(x) = R_A - P\), \(M(x) = R_A x - P(x-a)\).

4.2 Poutre sur Deux Appuis Simples avec Charge Uniformément Répartie

Poutre soumise à une charge répartie q.

\(T(x)\) est linéaire et s'annule à mi-travée (\(x=L/2\)). C'est là que le moment est maximal : \(M_{max} = qL^2/8\). C'est une valeur classique à retenir par cœur.

4.3 Poutre en Porte-à-Faux (Console)

Poutre encastrée en A (\(x=0\)) et libre en B (\(x=L\)), avec une charge \(P\) en B.

Console chargée à l'extrémité.

Le moment est négatif sur toute la poutre (fibres supérieures tendues) et maximal en valeur absolue à l'encastrement : \(|M(0)| = PL\).

5. Dimensionnement et Contraintes

Le but ultime du calcul des efforts internes est de vérifier que la structure ne rompt pas. Pour cela, on transforme ces efforts en contraintes (exprimées en Pascal ou MPa).

5.1 Relation avec les Contraintes de Cisaillement (\(\tau\))

L'effort tranchant \(T\) génère des contraintes de cisaillement \(\tau\). Pour une section rectangulaire, la contrainte n'est pas uniforme ; elle est maximale au centre (fibre neutre) : \[ \tau_{max} = \frac{3}{2} \frac{T}{A} \] où \(A\) est l'aire de la section. Pour les poutres en I, c'est l'âme qui reprend l'essentiel du cisaillement.

5.2 Relation avec les Contraintes Normales de Flexion (\(\sigma\))

Le moment fléchissant \(M\) génère des contraintes normales \(\sigma\) (compression ou traction). La distribution est linéaire sur la hauteur de la section selon la formule de Navier-Bernoulli : \[ \sigma(y) = - \frac{M \cdot y}{I_{gz}} \]

• \(M\) : Moment fléchissant (N.m)
• \(y\) : Distance algébrique par rapport à la fibre neutre (m)
• \(I_{gz}\) : Moment quadratique (ou inertie) de la section (m\textsuperscript{4})

5.3 Le Module de Flexion

Pour dimensionner, on s'intéresse à la contrainte maximale, située à la fibre la plus éloignée (\(y = v\)). On définit le module de flexion élastique \(W_{el}\) : \[ W_{el} = \frac{I_{gz}}{v} \] La condition de résistance s'écrit alors simplement : \[ \sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W_{el}} \le \sigma_{admissible} \]

5.4 Calcul des Flèches (Déformation)

Le moment fléchissant est aussi directement lié à la courbure de la poutre. L'équation différentielle de la déformée \(v(x)\) est : \[ E \cdot I_{gz} \cdot v''(x) = M(x) \] En intégrant cette équation deux fois (avec les conditions aux limites des appuis), on peut calculer la flèche maximale et vérifier qu'elle reste acceptable (critère ELS).

5.5 Propriétés Géométriques des Sections

Pour appliquer les formules de contrainte, il faut connaître les propriétés de la section transversale.

6. Formulaire : Tableau Récapitulatif des Cas Usuels

Ce tableau résume les formules indispensables pour le dimensionnement rapide des structures isostatiques courantes.

Note : \(E\) est le module de Young du matériau et \(I\) le moment d'inertie de la section.

7. Glossaire Technique