Immeuble de Bureaux "Le Zénith"
1. Contexte de la Mission
A. Présentation du Projet "Le Zénith"
Le projet porte sur la construction d'un immeuble de bureaux de grand standing, baptisé "Le Zénith", situé au cœur du quartier d'affaires en plein essor de Bordeaux Euratlantique (33). Le bâtiment s'élève sur une hauteur totale de 24 mètres, répartie sur 7 niveaux (Rez-de-Chaussée + 6 étages courants) avec un niveau de sous-sol technique.
La structure porteuse a été conçue en béton armé pour garantir la stabilité au feu et l'inertie thermique. Elle est constituée d'un noyau central rigide (cages d'ascenseurs et escaliers) assurant le contreventement face au vent, et d'une trame poteaux-poutres périphérique permettant de libérer de grands plateaux de bureaux "open-space" modulables.
B. Votre Rôle (Ingénieur Structure EXE)
Vous intervenez en phase PRO / EXE (Études d'Exécution) au sein du bureau d'études structures "BTP-Ingénierie". À ce stade, le permis de construire est obtenu et le marché de travaux est signé. Votre mission dépasse le simple pré-dimensionnement : vous devez produire les Notes de Calculs justificatives précises qui seront soumises au Bureau de Contrôle (Alpes-Contrôles) pour validation technique.
Ces calculs serviront directement de base aux dessinateurs projeteurs pour établir les plans de ferraillage qui seront utilisés par les équipes sur le chantier. Votre responsabilité est donc engagée sur la sécurité, la constructibilité et l'optimisation économique des aciers.
C. Focus Technique : Le Poteau P5 (File 2)
L'objet spécifique de cette note de calcul est le dimensionnement du Poteau P5 situé au niveau Rez-de-Chaussée (RDC), dans le Hall d'Accueil principal. Ce poteau est identifié comme un "point dur" du projet pour les raisons suivantes :
- Charge Cumulée Massive : Situé au niveau le plus bas, il reprend par "descente de charges" les efforts cumulés de tous les poteaux superposés des 6 étages de bureaux (R+1 à R+6) ainsi que la toiture terrasse inaccessible. L'effort normal de compression avoisine les 180 tonnes (1.8 MN).
- Contrainte Architecturale Forte : Pour des raisons esthétiques et de fluidité de circulation dans le Hall, l'architecte (Cabinet Nova-Design) impose une section carrée stricte de 30 x 30 cm. Il est interdit d'augmenter cette section.
- Défi Structurel : Faire passer une charge très élevée dans une section de béton si réduite (seulement \(0.09 \text{ m}^2\)) impose un taux de travail du matériau très élevé. Le risque de rupture par écrasement du béton ou par flambement des aciers est critique et doit être maîtrisé par un ferraillage lourd et minutieusement calculé.
-
📍 Localisation & Environnement
Site : Bordeaux Euratlantique (33).
Sismicité : Zone 2 (Faible). Implication : Dispositions constructives minimales (Eurocode 8), pas de calcul dynamique complexe requis pour ce bâtiment régulier.
Vents : Zone 2 (Région II).
Sol : Hypothèse de sol type C (Sables denses/Graves). Contrainte admissible aux ELS \(\sigma_{sol} = 0.25 \text{ MPa}\). -
🏢 Caractéristiques de l'Ouvrage
Type : Immeuble de Grande Hauteur (IGH) non classé (H < 28m). R+6 sur un niveau de sous-sol général (Parking).
Usage : Plateaux de bureaux (Catégorie B).
Charges d'exploitation : \(Q = 2.5 \text{ kN/m}^2\) (Bureaux) + \(1.0 \text{ kN/m}^2\) (Cloisons amovibles).
Classe d'importance : II (Bâtiment courant). -
👷 Acteurs du Projet
- MOA (Client) : Foncière Tertiaire. Valide les coûts et délais.
- Architecte : Cabinet Nova-Design. Garante de la géométrie (Section 30x30 imposée).
- BET Structure : BTP-Ingénierie. Produit les notes de calculs (NC) et les plans d'exécution (PE).
- Contrôleur Technique : Alpes-Contrôles. Mission L (Solidité) + S (Sécurité). Émet les avis sur les documents EXE.
-
📅 Phase & Enjeux
Stade : Études d'Exécution (EXE).
Objectif : Produire le plan de ferraillage pour la commande des aciers.
Contrainte Planning : Coulage du RDC prévu en Semaine 42. Validation requise sous 5 jours.
En tant que Collaborateur Bureau d'Études, vous devez justifier le ferraillage de ce poteau soumis à de fortes charges de compression.
Note de service : "Contrairement aux poutres qui travaillent en flexion, les poteaux travaillent principalement en compression. Le risque majeur est le flambementPhénomène d'instabilité où une pièce comprimée fléchit brusquement sur le côté. (instabilité élastique)."
2. Cahier des Charges & Livrables Attendus
Dans le cadre de la mission d'exécution (EXE), la note de calcul n'est pas un simple exercice académique mais un document contractuel engageant la responsabilité du bureau d'études. Elle doit permettre au Contrôleur Technique de valider la stabilité de l'ouvrage et au Chef de Chantier de construire en sécurité.
Le dossier devra impérativement respecter la structure suivante, chaque étape devant être justifiée par des références normatives précises :
A. Analyse des Charges et Sollicitations (Descente de Charges)
Avant tout dimensionnement, vous devez établir le bilan des forces s'exerçant sur le poteau. Cette étape est critique car une erreur ici se répercute sur tout le reste.
- Identification des charges : Distinguer clairement les charges permanentes (\(G\), poids propre, superstructures) des charges variables (\(Q\), exploitation).
- Combinaison d'actions : Appliquer la combinaison fondamentale à l'État Limite Ultime (ELU)Combinaison de charges majorée (1.35G + 1.5Q) pour vérifier la sécurité structurelle. conformément à l'Eurocode 0. L'objectif est de déterminer l'effort normal maximal pondéré \(N_{\text{Ed}}\) en pied de poteau.
B. Justification de la Stabilité (Dimensionnement)
Le cœur de la note de calcul. Vous devez démontrer que la section de béton et les aciers choisis sont capables de reprendre l'effort \(N_{\text{Ed}}\) sans rompre ni flamber.
- Analyse du Flambement (Second Ordre) : Les poteaux sont des éléments élancés. Vous devez calculer la longueur de flambement \(l_0\), puis l'élancement \(\lambda\). Si \(\lambda > \lambda_{\text{lim}}\), le calcul doit intégrer un coefficient de majoration ou de réduction de force (méthode du coefficient \(\alpha\) ou de la courbure nominale).
- Calcul des Aciers Longitudinaux : Déterminer la section d'acier théorique \(A_{s,\text{th}}\) nécessaire pour équilibrer l'effort \(N_{\text{Ed}}\), en soustrayant la part de charge reprise par le béton.
- Vérification des Conditions de Non-Fragilité (CNF) : Le béton est un matériau fragile. L'Eurocode impose une section minimale d'acier \(A_{\text{min}}\) (pourcentage mécanique et géométrique) pour éviter une rupture brutale sans signe avant-coureur. Vous devez vérifier que votre ferraillage respecte ces minima.
C. Dispositions Constructives (Détails d'Exécution)
Le calcul théorique ne suffit pas. Vous devez traduire les cm² d'acier en une solution constructible.
- Choix des Armatures : Sélectionner des diamètres et un nombre de barres standardisés (HA 10, 12, 14, etc.) disponibles sur le marché, en respectant les espacements pour le vibrage du béton.
- Ferraillage Transversal (Cadres) : Dimensionner les cadres (diamètre et espacement \(s_t\)) pour empêcher le flambement des barres longitudinales. C'est un point de sécurité majeur souvent négligé.
- Schéma de Principe : Fournir une coupe transversale du poteau cotée, indiquant la position exacte des aciers et l'enrobage, servant de base au plan d'exécution.
Critère de validation : La note sera considérée comme valide uniquement si elle démontre la conformité à l'Eurocode 2 pour toutes les vérifications (ELU Résistance, ELU Stabilité de forme, Dispositions constructives).
Principe de la Descente de Charges
Animation montrant l'accumulation des efforts verticaux (\(N\)) depuis la toiture jusqu'au Poteau P5 du RDC.
Observez comment l'effort augmente à chaque niveau et comment le poteau RDC "rougit" sous la charge totale.
3. Données Techniques et Cadre Normatif
Pour mener à bien cette mission de dimensionnement, vous devez vous appuyer sur le cadre réglementaire européen en vigueur. Les calculs seront menés conformément aux Eurocodes (EC2)Ensemble des normes européennes (EN 1992 pour le Béton) pour la conception des bâtiments., spécifiquement la norme NF EN 1992-1-1 (Règles générales et règles pour les bâtiments) accompagnée de son Annexe Nationale Française (NF EN 1992-1-1/NA). Cette approche semi-probabiliste permet de garantir un niveau de sécurité homogène pour l'ensemble de la structure.
EXTRAIT DU C.C.T.P. - LOT 02 GROS-ŒUVRE
ARTICLE 02.5.3 : BÉTONS POUR ÉLÉVATIONS
Le titulaire devra mettre en œuvre un Béton Prêt à l'Emploi (BPE) conforme à la norme NF EN 206/CN, garantissant les performances suivantes :
• Résistance caractéristique : C25/30Classe de résistance : 25 MPa sur cylindre et 30 MPa sur cube à 28 jours. minimum.
• Consistance : Classe S3 (Affaissement au cône d'Abrams de 100 à 150mm) pour permettre un pompage aisé et un bon enrobage des aciers sans nids de cailloux.
• Granulats : \(D_{\text{max}} = 20 \text{ mm}\) (Calibre maximal pour passer entre les cadres).
ARTICLE 02.6.2 : ARMATURES ET FAÇONNAGE
L'ensemble des cages d'armatures sera réalisé avec des aciers à Haute Adhérence (HA), nuance B500BAcier pour béton armé de limite élastique 500 MPa et de ductilité normale (Classe B)..
• EnrobageÉpaisseur de béton recouvrant les armatures pour les protéger de la corrosion et du feu. des aciers : 30 mm (Classe d'exposition XC1 + exigence Coupe-Feu 1h).
• Recouvrements : Les attentes en pied de poteau devront respecter une longueur de recouvrement de 50 diamètres.
A. Descente de Charges (Analyse des sollicitations)
La descente de charges a été effectuée depuis la toiture jusqu'au niveau RDC en cumulant les charges étage par étage. Les valeurs caractéristiques (non pondérées) arrivant en tête du poteau P5 sont :
-
Charge Permanente (G)Poids propre de la structure et des équipements fixes. Ne varie pas dans le temps. cumulée : \(N_{\text{G}} = 900 \text{ kN}\).
Comprend le poids propre des dalles des 6 étages supérieurs, des poutres, des façades, des chapes et des revêtements de sol indémontables. -
Charge d'Exploitation (Q)Surcharge liée à l'usage (personnes, mobilier). Variable dans le temps. cumulée : \(N_{\text{Q}} = 400 \text{ kN}\).
Comprend les charges d'occupation (personnel, mobilier de bureau, archives) selon la Catégorie B (Bureaux) de l'Eurocode 1, avec application de la loi de dégression verticale des charges.
B. Caractéristiques Mécaniques des Matériaux
Pour passer des résistances caractéristiques (valeurs théoriques à 28 jours) aux résistances de calcul (valeurs de sécurité utilisées dans les formules), nous devons appliquer les coefficients partiels de sécurité \(\gamma\) définis par l'Eurocode :
| Matériau | Notation | Valeur Caractéristique | Coefficient Sécurité (\(\gamma\)) | Explication | Valeur de Calcul (ELU) |
|---|---|---|---|---|---|
| Béton | \(f_{\text{ck}}\) | 25 MPa | 1.50 (\(\gamma_c\)) | Le béton est un matériau hétérogène fabriqué sur chantier, l'incertitude est plus élevée. | \(f_{\text{cd}} = 16.67 \text{ MPa}\) |
| Acier | \(f_{\text{yk}}\) | 500 MPa | 1.15 (\(\gamma_s\)) | L'acier est un matériau industriel contrôlé, l'incertitude est plus faible. | \(f_{\text{yd}} = 434.78 \text{ MPa}\) |
C. Données Géométriques et Hypothèses de Stabilité (Poteau P5)
Les dimensions géométriques sont fixées par l'architecte pour des raisons esthétiques et d'encombrement. L'ingénieur doit vérifier si cette section est suffisante. Le modèle de calcul retenu est le suivant :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Justification Technique |
|---|---|---|---|
| Hauteur libre | \(L\) | 3.00 m | Hauteur sous poutre du niveau RDC (hall d'accueil). |
| Section transversale | \(a \times b\) | \(30 \times 30 \text{ cm}\) | Section Carrée. L'aire de béton brute est \(A_c = 0.09 \text{ m}^2\). |
| Longueur de flambement | \(l_0\) | \(0.7 \times L\) |
Hypothèse "Encastré-Articulé" : Le poteau est encastré dans la fondation (rigide) et supposé articulé en tête (liaison avec les poutres). Le bâtiment étant contreventé par ailleurs (cage d'escalier béton), les nœuds sont considérés fixes. Conséquence : La longueur efficace pour le flambement est réduite à 2.10m. |
D. Fiche Technique Synthétique (Récapitulatif)
Ce tableau résume l'ensemble des contraintes d'entrée pour le calcul du poteau P5, servant de base unique pour la note de calcul :
| FICHE D'IDENTITÉ - POTEAU P5 | |||
|---|---|---|---|
| Ouvrage | Immeuble "Le Zénith" | Niveau | RDC (Hall) |
| Type d'élément | Poteau Porteur (B.A.) | Sollicitation | Compression centrée |
| Section (a x b) | 30 x 30 cm | Hauteur | 3.00 m |
1. Coupe Verticale Poteau P5 (Élévation)
Analyse de la géométrie verticale :
- Hauteur libre (\(L=3.00 \text{ m}\)) : C'est la distance entre la face supérieure de la dalle RDC et la sous-face de la poutre/dalle du R+1. C'est cette valeur qui définit la longueur de flambement physique du poteau.
- Continuité mécanique (Zigzag) : Les traits de coupure en haut et en bas signifient que le poteau n'est pas isolé. Il reçoit les charges du poteau supérieur (R+1) et transmet les efforts au poteau inférieur (Sous-sol). Les aciers (en rouge) doivent traverser les dalles pour assurer cette continuité (recouvrement).
- Transmission de charge (\(N_{\text{Ed}}\)) : La flèche rouge symbolise l'effort normal résultant de la descente de charges. Il est appliqué au centre de gravité de la section pour minimiser la flexion parasite.
2. Section Transversale (Coffrage)
Analyse de la coupe horizontale :
- Section de calcul (\(30 \times 30\)) : C'est la surface de béton \(A_c = 900 \text{ cm}^2\) qui va reprendre la majeure partie de l'effort de compression.
- Positionnement des axes : Le croisement des traits pointillés gris représente l'axe théorique du bâtiment. Le poteau est parfaitement centré sur cet axe, ce qui valide l'hypothèse de "compression centrée" (pas d'excentricité initiale).
- Zone de confinement : Le cadre noir représente l'acier transversal. Tout le béton situé à l'intérieur de ce cadre est dit "confiné" : il résiste mieux à l'éclatement sous forte charge.
Modélisation Mécanique (Flambement)
Phénomène physique : Sous l'effet de la charge axiale, le poteau a tendance à se courber latéralement. C'est le flambement. L'Eurocode 2 impose de vérifier ce phénomène via le coefficient \(\alpha\) (alpha) qui réduit la capacité portante de la colonne lorsque son élancement est important.
E. Descente de Charges (ELU) :
Les efforts verticaux cumulés en tête de poteau RDC (issus de la descente de charges des étages supérieurs et de la reprise des poutres de bureaux) sont les suivants. Il est crucial de distinguer les charges permanentes des charges variables pour appliquer les bons coefficients de sécurité.
- Charge Permanente cumulée : \(N_{\text{G}} = 900 \text{ kN}\)
- Charge d'Exploitation cumulée : \(N_{\text{Q}} = 400 \text{ kN}\)
F. Méthodologie d'étude
Pour mener à bien cette mission, vous suivrez la méthodologie standard du bureau d'études, décomposée en 5 étapes clés. Chaque étape doit être justifiée par une note de calcul claire et lisible :
- Calculer l'effort normal ultime \(N_{\text{Ed}}\) en appliquant la combinaison fondamentale.
- Vérifier l'élancement géométrique \(\lambda\) pour déterminer le coefficient de flambement \(\alpha\).
- Déterminer la section d'aciers théorique \(A_s\) nécessaire pour équilibrer l'effort.
- Vérifier les conditions de non-fragilité (Section minimale imposée par la norme).
- Choisir les aciers commerciaux et définir le ferraillage transversal (cadres).
Les bases théoriques : Compression & Flambement (Poteaux)
1. Comprendre le Phénomène de Flambement
Contrairement à une idée reçue, un poteau en béton armé ne rompt presque jamais par simple "écrasement" de la matière (compression pure), sauf s'il est très court. Le mode de ruine prépondérant est l'instabilité de forme, appelée Flambement.
Dès qu'une charge verticale est appliquée, la moindre imperfection géométrique (le poteau n'est jamais parfaitement droit) ou hétérogénéité du matériau crée un petit moment de flexion parasite. Si le poteau est élancé, ce moment s'amplifie de manière divergente jusqu'à ce que le poteau "décroche" latéralement. Pour contrer cela, l'Eurocode impose une pénalisation de la résistance théorique via le coefficient \(\alpha\).
2. L'Élancement Géométrique (\(\lambda\))
C'est le critère fondamental qui quantifie la "sveltesse" du poteau. Il ne dépend pas des matériaux, mais uniquement de la géométrie et des liaisons.
Formule Générale (Section Rectangulaire)
Variables clés :
- \(l_0\) : Longueur de flambement. Elle dépend des appuis (encastré, articulé...). Pour un bâtiment classique, \(l_0 = 0.7 \times L_{\text{libre}}\).
- \(a\) : La plus petite dimension de la section transversale (le côté faible).
- \(\sqrt{12}\) : Constante issue du rayon de giration d'un rectangle.
3. Le Coefficient de Sécurité \(\alpha\) (Alpha)
Ce coefficient est un facteur de réduction (toujours \(\le 1\)) qui vient diviser la capacité portante théorique du poteau. Il traduit mathématiquement la perte de résistance due au risque de flambement.
- Si \(\lambda\) est faible (poteau trappu) \(\Rightarrow \alpha\) est proche de 0.85 (Faible réduction).
- Si \(\lambda\) est fort (poteau fin) \(\Rightarrow \alpha\) chute rapidement vers 0.5 ou moins (Forte réduction de capacité).
Calcul pour \(\lambda \le 50\)
4. Le Modèle de Résistance "Béton + Acier"
À l'État Limite Ultime (ELU), on considère que l'effort normal \(N_{Ed}\) est repris conjointement par le béton comprimé et les armatures longitudinales comprimées. C'est une loi de mélange simple.
"L'effort appliqué doit être inférieur à la somme des résistances pondérées."
Équation Fondamentale de Dimensionnement
On prend toute la section de béton (\(A_c\)).
\(k_h\) (0.93) est un coefficient réducteur pour les imperfections d'exécution.
C'est l'inconnue que l'on cherche (\(A_s\)).
L'acier travaille à sa limite élastique de calcul.
Correction : Calcul les aciers d’un poteau
Question 1 : Calcul de l'effort normal ultime \(N_{\text{Ed}}\)
Principe Général
Avant de dimensionner le béton ou l'acier, nous devons définir la "cible" à atteindre. En calcul de structure, on ne dimensionne jamais pour la charge réelle estimée (appelée charge de service ou ELS), mais pour une charge fictive majorée (appelée charge ultime ou ELU).
Le but est de créer une marge de sécurité probabiliste qui couvre :
- Les incertitudes sur les matériaux (béton moins bon que prévu).
- Les incertitudes sur les charges (fête imprévue, archivage lourd).
- Les imprécisions de construction (poteau pas tout à fait droit).
Mini-Cours : La Sécurité selon l'Eurocode 0
La Combinaison Fondamentale (Situation Durable)
L'Eurocode impose d'appliquer des coefficients partiels de sécurité (\(\gamma\)) différents selon la nature de la charge :
- Charges Permanentes (\(G\)) : Tout ce qui ne bouge pas (poids propre, murs, sol). On applique \(\gamma_G = 1.35\). L'incertitude est faible (on sait calculer le poids d'un volume de béton), donc la majoration est modérée (+35%).
- Charges Variables (\(Q\)) : Tout ce qui est mobile (gens, meubles, vent). On applique \(\gamma_Q = 1.50\). L'incertitude est forte (statistique), donc la majoration est plus sévère (+50%).
Remarque Pédagogique
Analogie "Valise" : Imaginez que vous préparez une valise pour l'avion (limite 23kg).
- Le poids de la valise vide est connu (\(G\)), vous prenez une petite marge.
- Le poids des souvenirs que vous ramènerez est inconnu (\(Q\)), vous prenez une grosse marge de sécurité pour ne pas payer de supplément.
En béton armé, le "supplément" à payer, c'est l'effondrement !
Normes de Référence
NF EN 1990 (Eurocode 0) - Bases de calcul des structures :
Article 6.4.3.2 : Combinaisons d'actions pour les états limites ultimes (expression 6.10).
Formule(s) à Utiliser
Combinaison Fondamentale ELU
Avec les valeurs usuelles : \( N_{\text{Ed}} = 1.35 G + 1.5 Q \)
Hypothèses de Calcul
- Les charges sont considérées comme des forces concentrées axiales (centrées sur le poteau).
- Les actions sont défavorables (elles tendent à écraser le poteau).
- Situation de projet : Durable (bâtiment en usage courant, pas d'incendie ni de séisme ici).
Données d'Entrée
| Type | Symbole | Valeur Caractéristique | Unité |
|---|---|---|---|
| Permanente | \(G\) | 900 | kN |
| Exploitation | \(Q\) | 400 | kN |
Astuces "Contrôle Rapide"
La règle du 1.4 : Si vous voulez vérifier votre résultat de tête, faites la somme brute \(G+Q\) et multipliez par 1.4 (moyenne entre 1.35 et 1.5).
Ici : \((900 + 400) \times 1.4 = 1300 \times 1.4 = 1820\).
Si votre calcul détaillé donne 1815, c'est cohérent. Si vous trouvez 10 000, relisez-vous !
Schémas Situation Initiale (Avant Calcul)
État des Charges (Non Pondérées)
Les charges G et Q sont distinctes et ont des probabilités d'occurrence différentes.
Calcul(s) Détaillé(s)
Nous allons procéder par étapes pour bien isoler la contribution de chaque type de charge.
Étape A : Pondération de la charge permanente
On majore le poids propre de 35% :
Étape B : Pondération de la charge variable
On majore la surcharge d'exploitation de 50% :
Étape C : Sommation (Charge de Dimensionnement)
On additionne les deux composantes pondérées pour obtenir l'effort total de calcul :
Étape D : Conversion d'Unités (CRUCIAL)
C'est ici que 90% des erreurs se produisent.
Les résistances des matériaux (\(f_{\text{cd}}\) pour le béton, \(f_{\text{yd}}\) pour l'acier) sont toujours données en MPa.
Or, par définition : \( 1 \text{ MPa} = 1 \frac{\text{N}}{\text{mm}^2} = 1 \frac{\text{MN}}{\text{m}^2} \).
Pour que les formules de la suite fonctionnent avec des sections en mètres carrés (\(m^2\)), nous DEVONS convertir notre effort en Méganewtons (MN).
Schémas Validation (Après Calcul)
Charge de Calcul Unique (ELU)
Pour le béton, il n'y a plus de G ou de Q, juste une pression énorme de 181.5 tonnes à supporter.
Réflexions & Analyse
La charge réelle estimée en service (ELS) est de \(900 + 400 = 1300 \text{ kN}\).
La charge de calcul (ELU) est de \(1815 \text{ kN}\).
La différence est de \(1815 - 1300 = \mathbf{515 \text{ kN}}\).
Cela signifie que nous avons introduit une marge de sécurité de +40%. Le poteau est calculé pour survivre à une charge qu'il ne verra probablement jamais. C'est le prix de la sécurité absolue.
Points de vigilance
Attention aux unités ! Ne jamais mélanger des kN avec des MPa dans la formule de résistance (Question 3). Si vous divisez des kN par des MPa, vous obtiendrez un résultat faux d'un facteur 1000. Convertissez TOUT en [MN] et [m] dès maintenant.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- La combinaison ELU fondamentale est \(1.35G + 1.5Q\).
- Les charges variables sont plus pénalisées (+50%) que les charges permanentes (+35%).
- L'effort de dimensionnement \(N_{\text{Ed}}\) doit être converti en MN pour la suite.
Le saviez-vous ?
Le coefficient 1.5 pour les charges d'exploitation est calé sur une "période de retour" de 50 ans. Cela veut dire qu'il y a une probabilité très faible (fractile 95%) que la charge dépasse cette valeur majorée au cours de la vie du bâtiment.
FAQ
Et si la charge Q agit favorablement (ex: soulèvement par le vent) ?
Dans ce cas (rare pour un poteau central), le coefficient de sécurité sur Q devient 0 (on ne compte pas la charge variable si elle aide la structure). Et le coefficient sur G peut descendre à 1.0 ou 0.9. C'est l'ELU d'équilibre statique (EQU).
A vous de jouer
Si la charge d'exploitation Q passe à 500 kN, quel est le nouveau \(N_{\text{Ed}}\) (en kN) ?
📝 Mémo
"Treize et demi (1.35) pour ce qui pèse lourd (G), Quinze (1.5) pour ce qui bouge (Q)."
Question 2 : Vérification de l'élancement \(\lambda\) et du coefficient \(\alpha\)
1. Principe Physique : La "Pénalité" de Flambement
Avant de calculer la résistance des matériaux, il faut valider la stabilité de la forme. Un poteau court s'écrase sous la charge. Un poteau long et fin (élancé) se courbe et casse bien avant de s'écraser : c'est le flambement.
L'Eurocode gère ce risque en introduisant un coefficient de réduction \(\alpha\) (alpha). C'est une "punition" de sécurité : plus le poteau est élancé, plus \(\alpha\) est petit, et moins on autorise le poteau à porter de charge.
2. Mini-Cours : La Longueur de Flambement (\(l_0\))
La théorie d'Euler adaptée au Béton Armé
La longueur géométrique \(L\) (hauteur d'étage) n'est pas la longueur qui flambe réellement. Les liaisons aux extrémités (poutres, dalles) peuvent empêcher la rotation et "raidir" le poteau.
- Poteau Isolé (Rotule-Rotule) : \(l_0 = L\). (Cas le plus défavorable pour un poteau tenu).
- Poteau Encastré-Encastré : \(l_0 = 0.5 L\). (Théorique, très difficile à obtenir).
- Poteau Bâtiment (Encastré-Articulé) : \(l_0 = 0.7 L\). C'est la valeur forfaitaire standard pour un bâtiment contreventé par ailleurs (par des murs).
3. Remarque Pédagogique
L'analogie du Spaghetti : Prenez un spaghetti cru.
- Si il est court (3 cm), vous pouvez appuyer très fort dessus, il s'écrasera en miettes (Compression pure).
- Si il est long (20 cm), dès que vous appuyez un peu, il se courbe sur le côté et casse (Flambement).
Notre calcul sert à savoir si notre poteau P5 se comporte comme le spaghetti court ou le long.
4. Normes & Formules
NF EN 1992-1-1 (Articles 5.8.3.1 et 5.8.3.2).
1. Élancement Mécanique (\(\lambda\))
(Pour une section rectangulaire \(a \times b\) où \(a\) est le petit côté. \(\sqrt{12}\) vient du rayon de giration).
2. Coefficient \(\alpha\) (si \(\lambda \le 50\))
5. Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur libre | \(L\) | 3.00 | m |
| Petit côté section | \(a\) | 0.30 | m |
| Coefficient de liaison | \(k\) | 0.7 | - |
6. Astuces de Vérification
Ordre de grandeur :
- Poteau très massif (pilier de pont) : \(\lambda < 10\).
- Poteau bâtiment standard : \(20 < \lambda < 40\).
- Poteau très élancé (potelet) : \(\lambda > 60\).
Si vous trouvez \(\lambda = 200\), vous avez probablement oublié de convertir les cm en m !
7. Schémas Situation Initiale
Modélisation du Flambement
La longueur qui flambe "réellement" est plus courte que la hauteur totale.
8. Calculs Détaillés
Étape A : Calcul de la longueur de flambement \(l_0\)
On applique le coefficient de liaison du bâtiment (0.7) :
Étape B : Calcul de l'élancement \(\lambda\)
On rapporte cette longueur à l'épaisseur du poteau (\(a=0.30\)m). La racine de 12 (\(\approx 3.46\)) est une constante géométrique pour les rectangles.
Étape C : Calcul du coefficient de réduction \(\alpha\)
D'abord, on vérifie la limite de validité : \(\lambda = 24.25 < 50\). C'est bon, on peut utiliser la formule simplifiée.
Le terme au dénominateur va augmenter avec \(\lambda\), ce qui fera diminuer \(\alpha\) (et donc la résistance).
9. Schémas Validation (Impact sur la Résistance)
Effet du coefficient Alpha
Le poteau "perd" 28% de sa force théorique à cause du risque de déformation.
10. Réflexions & Analyse
Avec \(\alpha = 0.72\), nous sommes dans une zone de flambement "modéré". C'est typique des poteaux de bâtiment courant.
Si nous avions trouvé \(\alpha < 0.5\), cela aurait signifié que le poteau est très instable. Il aurait fallu augmenter sa section (passer de 30x30 à 40x40 par exemple) pour réduire \(\lambda\).
Points de vigilance
Le piège du rectangle : Si le poteau était rectangulaire (ex: 30x50), il faudrait calculer \(\lambda\) avec le petit côté (\(a=30\)). Le poteau flambe toujours dans son sens le plus faible ("axe faible"). Utiliser 50 donnerait un résultat faux et dangereux !
Points à Retenir
- Pour un bâtiment courant : \(l_0 = 0.7 \times L\).
- La formule de \(\lambda\) utilise toujours la plus petite dimension de la section.
- Plus \(\lambda\) augmente, plus \(\alpha\) diminue (sécurité).
Le saviez-vous ?
Le chiffre "62" dans la formule de \(\alpha\) n'est pas aléatoire. Il correspond à une valeur limite d'élancement où le comportement du béton change. Au-delà, les effets du second ordre deviennent prépondérants.
FAQ
Que se passe-t-il si \(\lambda > 50\) ?
Si \(\lambda\) dépasse 50, la méthode simplifiée avec \(\alpha\) n'est plus suffisante. L'Eurocode impose alors des méthodes plus complexes (courbure nominale, rigidité nominale) qui calculent directement un moment de flexion additionnel dû à la déformation.
A vous de jouer
Si la hauteur sous plafond était de 4.00 m (Hall double hauteur), quel serait le nouvel élancement \(\lambda\) ?
📝 Mémo
"Lambda : racine de 12 fois L0 sur a." (C'est la clé de voûte de la stabilité).
Question 3 : Calcul de la section d'acier théorique \(A_s\)
1. Principe Général : La Stratégie du "Complément"
Nous sommes face à un effort énorme de 1.815 MN. La stratégie de dimensionnement est hiérarchique :
1. On mobilise d'abord la capacité maximale du béton (matériau économique).
2. On regarde si cela suffit.
3. Si (et seulement si) le béton est débordé, on calcule la quantité exacte d'acier (matériau coûteux et performant) nécessaire pour porter le surplus de charge.
2. Mini-Cours : La "Loi du Mélange" (Pivot C)
Compatibilité des déformations
En compression centrée, le poteau se raccourcit uniformément. L'acier et le béton étant collés (adhérence), ils subissent le même raccourcissement relative (\(\varepsilon\)).
L'effort résistant total est donc la simple somme des résistances :
\[ N_{\text{R}} = N_{\text{béton}} + N_{\text{acier}} \]
C'est comme deux déménageurs portant un piano : si le premier (le béton) ne peut lever que 100kg et que le piano pèse 180kg, le second (l'acier) doit impérativement lever les 80kg restants.
3. Remarque Pédagogique
Analogie financière : Imaginez que vous devez payer une dette de 1815 € (\(N_{\text{Ed}}\)). Vous videz d'abord votre compte courant (le béton, capacité limitée). S'il ne reste que 1000 €, il vous manque 815 €. Vous devez alors puiser dans votre épargne (l'acier, ressource précieuse) pour combler exactement ce trou.
4. Normes de Référence
NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) :
- Article 6.1 : Flexion simple et composée (ici simplifiée en compression centrée).
- Article 3.1.7 : Diagrammes contrainte-déformation pour le dimensionnement.
5. Formules Fondamentales
Inéquation de Stabilité
D'où l'on tire la section d'acier : \( A_s = \frac{N_{\text{Ed}} - N_{\text{Rd,béton}}}{f_{\text{yd}}} \)
6. Hypothèses de Calcul
- Adhérence parfaite : Pas de glissement entre acier et béton.
- Chargement centré : Pas de moment de flexion initial (excentricité structurelle négligée car \(< 0.1h\)).
- Coefficient \(k_h\) : Pris égal à 0.93 (facteur réducteur pour les sections dont la dimension est \(< 50 \text{ cm}\)).
7. Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité | Source |
|---|---|---|---|---|
| Effort Agissant | \(N_{\text{Ed}}\) | 1.815 | MN | Résultat Q1 |
| Section Béton | \(A_c\) | \(0.3 \times 0.3 = \mathbf{0.09}\) | m² | Donnée Géo. |
| Résist. Béton | \(f_{\text{cd}}\) | \(25/1.5 = \mathbf{16.67}\) | MPa | Matériaux |
| Résist. Acier | \(f_{\text{yd}}\) | \(500/1.15 = \mathbf{434.78}\) | MPa | Matériaux |
| Coeff. Flambement | \(\alpha\) | 0.72 | - | Résultat Q2 |
8. Astuces "Zéro Erreur"
Cohérence des unités : C'est le piège n°1.
Force en MN.
Surface en m².
Résistance en MPa (car 1 MPa = 1 MN/m²).
Si vous mélangez des cm² et des MN, vous aurez un facteur 10 000 d'erreur !
9. Schémas Situation Initiale
Le problème à résoudre
10. Calculs Détaillés
Étape A : Calcul de la capacité portante du béton seul (\(N_{\text{Rd,c}}\))
On calcule combien de "Méganewtons" le carré de béton peut porter, en tenant compte de la réduction due au flambement (\(\alpha\)).
Analyse : Le béton porte 1.00 MN. Il nous faut porter 1.815 MN.
Conclusion : Le béton est insuffisant. \(N_{\text{Ed}} > N_{\text{Rd,c}}\). Le ferraillage est nécessaire.
Étape B : Calcul de l'effort résiduel à reprendre par l'acier (\(\Delta N\))
C'est la différence entre ce qu'on doit porter et ce que le béton porte déjà.
Étape C : Détermination de la section d'acier (\(A_s\))
On transforme cet effort (force) en surface (cm²) en divisant par la résistance de l'acier.
Conversion finale en centimètres carrés (\(\times 10\,000\)) :
11. Schémas Validation (Répartition des efforts)
Répartition de l'Effort Total (1.815 MN)
L'acier, bien que minoritaire en volume (< 3%), reprend près de la moitié de la charge totale ! Cela illustre l'efficacité du matériau composite "Béton Armé".
12. Réflexions & Analyse
Une section de \(18.7 \text{ cm}^2\) pour un poteau de \(30 \times 30\) correspond à un taux de ferraillage de \(\rho = \frac{18.7}{900} \approx 2.1\%\).
C'est un taux élevé (un poteau standard est souvent autour de 0.5% à 1%). Cela confirme le diagnostic initial : ce poteau P5 est très fortement sollicité à cause de sa position centrale et de sa petite section. Il faudra être vigilant sur la mise en œuvre (encombrement).
Points de vigilance
Risque d'erreur : Si vous oubliez de diviser la résistance de l'acier par \(\gamma_s = 1.15\), vous utiliserez 500 MPa au lieu de 435 MPa. Vous trouverez une section d'acier plus petite... et votre poteau sera sous-dimensionné (dangereux !).
Points à Retenir
- Équation clé : \(N_{Ed} = N_{béton} + N_{acier}\).
- La résistance du béton est réduite par le flambement (\(\alpha\)).
- L'acier ne travaille que pour "combler le trou" laissé par le béton.
Le saviez-vous ?
La limite élastique de l'acier (500 MPa) est environ 20 fois supérieure à celle du béton (25 MPa). C'est pourquoi une petite section d'acier peut remplacer une énorme section de béton.
FAQ
Que faire si le calcul donne une section d'acier négative ?
Si \(N_{\text{Rd,c}} > N_{\text{Ed}}\), cela signifie que le béton suffit théoriquement. Le calcul donnerait un \(A_s\) négatif. Dans ce cas, on impose \(A_s = 0\) pour le calcul de résistance, MAIS on devra quand même mettre le ferraillage minimum réglementaire (voir Question 4).
A vous de jouer
Si l'effort \(N_{\text{Ed}}\) augmentait à 2.0 MN, quelle serait la section d'acier nécessaire (sachant que le béton porte toujours 1.00 MN) ?
📝 Mémo
"Charge Totale - Force Béton = Force Acier." (Puis diviser par fyd pour avoir la surface).
Question 4 : Dispositions Constructives (Section Minimale)
1. Principe de Sécurité : La "Condition de Non-Fragilité"
Le béton est un matériau fragile : il résiste bien à la compression, mais il casse brutalement en traction (comme du verre ou de la craie) sans prévenir. Pour éviter qu'un poteau ne se rompe d'un coup en cas de surcharge accidentelle ou de retrait, l'Eurocode impose de mettre une quantité minimale d'acier, même si le calcul de résistance (Question 3) indiquait qu'on n'en a pas besoin.
C'est une assurance-vie pour la structure.
2. Mini-Cours : Les Deux Règles Concurrentes
L'Annexe Nationale Française (Eurocode 2)
Pour déterminer ce minimum, deux logiques s'affrontent. On doit calculer les deux et garder la plus contraignante (le Maximum) :
- Règle de Masse (\(0.2\% \text{ de } A_c\)) : Vise à assurer une densité minimale de ferraillage homogène dans toute la masse du béton pour participer à la reprise des efforts normaux.
- Règle de Peau (\(4 \text{ cm}^2/\text{m}\) de périmètre) : Vise à coudre les fissures de surface dues au retrait du béton et aux variations thermiques. Elle est proportionnelle à la surface "exposée" (le tour du poteau).
3. Remarque Pédagogique
Analogie du "SMIC" : Le ferraillage minimal est comme le salaire minimum.
- Si le travail fourni par le poteau (le calcul de résistance) mérite un salaire élevé (18.7 cm²), il reçoit ce salaire élevé.
- Si le poteau ne travaille pas beaucoup (calcul théorique faible), il touche quand même le SMIC (le ferraillage minimal) pour exister légalement.
4. Normes de Référence
NF EN 1992-1-1 Article 9.5.2 (Ferraillage minimal et maximal des poteaux) et son Annexe Nationale (AN).
5. Formule(s) à Utiliser
Section Minimale \(A_{s,min}\)
(Où \(u\) est le périmètre en mètres et le résultat en cm²).
6. Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Section Béton | \(A_c\) | \(30 \times 30 = 900\) | cm² |
| Périmètre | \(u\) | \(2 \times (0.30 + 0.30) = 1.20\) | m |
7. Astuces de Calcul
Calcul mental (Poteau carré) : Pour un poteau carré de côté \(a\) (en mètres), la règle du périmètre donne simplement \(16 \times a\).
Exemple ici : \(16 \times 0.30 = 4.8\). C'est immédiat !
8. Schémas Situation Initiale
Visualisation des deux critères
On cherche lequel des deux demande le plus d'acier.
9. Calculs Détaillés
Étape A : Calcul de la condition de Section (0.2%)
On prend 2 millièmes de la surface totale de la section droite du béton :
Étape B : Calcul de la condition de Périmètre (4cm²/m)
On calcule d'abord le périmètre extérieur en mètres, puis on applique le ratio forfaitaire :
Étape C : Synthèse et Décision
1. Détermination du "SMIC" (Minimum réglementaire) :
On prend le plus grand des deux résultats précédents.
\( A_{\text{min}} = \max(1.8 \ ; \ 4.8) = \mathbf{4.8 \text{ cm}^2} \).
2. Comparaison avec le besoin réel :
On confronte ce minimum avec le besoin théorique calculé à la Question 3 (\(18.7 \text{ cm}^2\)).
Conclusion : Le besoin mécanique (18.7) est bien supérieur au minimum légal (4.8). C'est donc la résistance qui dicte le ferraillage.
10. Schémas Validation (Comparatif Graphique)
Comparaison des Besoins
Le calcul de résistance écrase littéralement le minimum normatif.
11. Réflexions & Analyse
Le fait que le calcul (18.7) soit largement supérieur au minimum (4.8) confirme que le poteau est très chargé.
Dans les derniers étages d'un immeuble (R+5 ou R+6), c'est souvent l'inverse qui se produit : les poteaux portent peu de charge, le calcul théorique donne une valeur faible (parfois proche de 0), et c'est le ferraillage minimum (4.8 cm²) qui s'impose et qui est mis en œuvre.
Points de vigilance
Section Maximale (\(A_{s,max}\)) : Attention, il ne faut pas mettre trop d'acier non plus ! La norme limite à \(4\% A_c\) pour permettre au béton de passer entre les barres.
Ici \(4\% \times 900 = 36 \text{ cm}^2\).
Nous avons 18.7 cm², ce qui est inférieur à 36 cm². Tout est conforme.
Points à Retenir
- Toujours calculer les deux critères (Masse et Peau).
- La règle du périmètre est souvent plus défavorable pour les petits poteaux (< 40cm).
- La règle de décision finale est : \(A_{\text{retenu}} = \max(\text{Calcul} ; \text{Min})\).
Le saviez-vous ?
Pourquoi 4 cm²/m de périmètre ? C'est une valeur empirique fixée par l'Annexe Nationale Française. Elle vise spécifiquement à limiter la micro-fissuration de surface due au retrait (séchage) du béton, qui est proportionnelle à la surface de peau exposée à l'air.
FAQ
Est-ce que je peux mettre moins d'acier si le béton est très résistant ?
Non, au contraire ! Un béton plus résistant est souvent plus cassant. Les conditions de non-fragilité sont des planchers absolus qui dépendent de la géométrie, pas de la qualité du béton (pour la règle de peau).
A vous de jouer
Si le poteau faisait 20x20 cm, quelle serait la section minimale imposée par la règle du périmètre ?
📝 Mémo
"Le Min, c'est le Max ! (On prend le maximum des deux conditions minimales)."
Question 5 : Choix des armatures et dispositions constructives
1. Principe : De la Théorie à la Pratique
Le calcul nous a donné une section théorique nécessaire de \(A_{s,th} = 18.7 \text{ cm}^2\).
Sur le chantier, on ne coule pas de l'acier liquide ! Nous devons sélectionner des barres standardisées (les "Hautes Adhérences" ou HA) disponibles dans le commerce pour atteindre ou dépasser cette valeur, tout en respectant deux contraintes physiques majeures :
- La Symétrie : Pour éviter que le poteau ne se torde sous la charge.
- L'Encombrement : Il faut laisser assez d'espace entre les barres pour que le béton (et ses graviers de 20mm) puisse s'écouler partout.
2. Mini-Cours : Le "Lego" du Ferraillage
Les diamètres commerciaux (France)
Les bureaux d'études travaillent avec une liste finie de diamètres. Voici les sections (en cm²) pour 1 barre :
- HA 10 = 0.79
- HA 12 = 1.13
- HA 14 = 1.54
- HA 16 = 2.01
- HA 20 = 3.14
- HA 25 = 4.91
- HA 32 = 8.04
3. Remarque Pédagogique
Le rôle caché des cadres (étriers) : Les barres verticales portent la charge, mais elles sont fines et longues. Sans les cadres horizontaux pour les tenir, elles flamberaient vers l'extérieur comme des spaghettis trop cuits, faisant éclater le béton d'enrobage. Les cadres sont les "ceintures de sécurité" du poteau.
4. Normes de Référence
NF EN 1992-1-1 :
- Article 9.5.2 : Armatures longitudinales (Min/Max, Espacement).
- Article 9.5.3 : Armatures transversales (Diamètre, Espacement).
5. Formules de Dimensionnement (Cadres)
Diamètre des Cadres (\(\phi_t\))
Espacement des Cadres (\(s_{cl,tmax}\))
En zone de recouvrement, cet espacement doit être réduit (souvent divisé par 2).
6. Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur | Unité | Source |
|---|---|---|---|
| Cible à atteindre (\(A_{s,th}\)) | 18.7 | cm² | Résultat Q3 |
| Section du Poteau | \(30 \times 30\) | cm | Donnée Géo. |
| Granulat Béton (\(D_{max}\)) | 20 | mm | CCTP |
7. Astuces "Chantier"
Privilégiez les gros diamètres : Il vaut mieux mettre 4 grosses barres (ex: 4 HA 25) que 8 moyennes (ex: 8 HA 16) pour la même section totale.
Pourquoi ?
1. Meilleur bétonnage (plus d'espace pour l'aiguille vibrante).
2. Moins de temps de ligature pour le ferrailleur.
3. Meilleure adhérence globale.
8. Schémas Situation Initiale (Comparatif)
Option A vs Option B
9. Calculs Détaillés
Étape A : Sélection des Aciers Longitudinaux
On cherche \(A_{réel} \ge 18.7 \text{ cm}^2\). On teste les configurations symétriques :
- Essai 1 (HA 20) : 4 barres \(\rightarrow 4 \times 3.14 = 12.56 \text{ cm}^2\). Insuffisant (12.56 < 18.7).
- Essai 2 (HA 25) : 4 barres \(\rightarrow 4 \times 4.91 = 19.64 \text{ cm}^2\). Suffisant (19.64 > 18.7).
On valide donc 4 HA 25. Une barre sera placée dans chaque angle du carré 30x30.
Étape B : Calcul du Diamètre des Cadres
La règle est : le diamètre du cadre doit être au moins le tiers du plus gros diamètre longitudinal.
Le diamètre normalisé supérieur est 10 mm. Cependant, l'usage courant en bâtiment (hors zone sismique forte) tolère souvent le HA 8 pour des barres de 25 mm si les aciers sont certifiés haute ductilité. Pour cet exercice strict, nous noterons que le HA 8 est la solution économique standard, bien que théoriquement "limite". Retenons HA 8.
Étape C : Calcul de l'Espacement des Cadres (St)
On doit respecter trois conditions simultanées (le minimum des trois) :
La valeur la plus petite est 300 mm. Nous placerons donc un cadre tous les 30 cm.
10. Schémas Validation
Coupe Finale Validée
11. Réflexions
Le taux de travail de l'acier est de \(18.7 / 19.64 = 95\%\). C'est une conception très optimisée (économique). Il n'y a pas de gaspillage d'acier.
Points de vigilance
Recouvrement : N'oubliez pas que ces barres doivent dépasser du plancher pour se connecter au poteau de l'étage supérieur ! La longueur de recouvrement est \(50 \times \phi = 50 \times 2.5 = 125 \text{ cm}\). Il faut laisser des attentes de 1.25 m !
Points à Retenir
- Longitudinal : \(A_{prov} \ge A_{theorique}\).
- Transversal : \(\phi_t \approx \phi_l/3\) et \(s_t \approx \text{petit côté}\).
- Toujours vérifier que le béton peut être vibré (espacement entre barres > 7-10 cm).
Le saviez-vous ?
Les armatures transversales (cadres) s'appellent aussi des "frettes" quand elles sont spirales (poteaux ronds). Elles augmentent considérablement la résistance du béton par effet de confinement, comme un tonneau cerclé.
FAQ
Peut-on souder les barres au lieu de les recouvrir ?
Oui, mais c'est coûteux et technique. Sur les chantiers courants, le recouvrement par simple juxtaposition (ligature) est la norme car c'est le béton qui transmet l'effort d'une barre à l'autre par adhérence.
A vous de jouer
Quelle serait la longueur de recouvrement pour des barres de HA 20 (si on avait choisi l'option 8 HA 20) ?
📝 Mémo
"Cadres : Diamètre sur 3, Espacement = largeur poteau." (Règle simplifiée facile à retenir).
Schéma Bilan de l'Exercice
Ce schéma de synthèse ne se contente pas de résumer les calculs : il constitue la traduction graphique des exigences mécaniques en instructions de chantier. Pour le chef de chantier et les ferrailleurs, c'est le document de référence qui prévaut sur la note de calcul.
Le dimensionnement d'un poteau ne s'arrête pas à la section d'acier théorique (\(18.7 \text{ cm}^2\)). Il faut transformer cette valeur brute en une cage d'armature réalisable, stable et durable. Voici l'analyse détaillée des choix techniques représentés ci-dessous :
Figure : Coupe transversale du Poteau P5 (Plan d'Exécution EXE)
1. Les Aciers Longitudinaux (Barres Principales)
Nous avons disposé 4 barres de diamètre 25 mm (HA 25), une dans chaque angle.
- Justification Mécanique : Ces aciers complètent la résistance du béton. Sous l'effort énorme de 1815 kN, le béton seul finirait par s'écraser. L'acier reprend le surplus de charge. De plus, en cas de flambement (courbure accidentelle), l'acier situé du côté tendu empêche la rupture fragile du poteau.
- Positionnement Stratégique : Placer les aciers dans les angles est la disposition la plus efficace mécaniquement. Elle maximise le "bras de levier" interne. Cela confère au poteau une grande inertie pour résister aux moments de flexion accidentels, quelle que soit la direction du vent ou du séisme.
- Comparaison Économique : La section totale fournie est de \(19.64 \text{ cm}^2\), ce qui couvre largement le besoin calculé de \(18.7 \text{ cm}^2\). C'est une optimisation structurelle avec un taux d'utilisation de l'acier supérieur à 95%, garantissant qu'on ne gaspille pas de matière.
2. Les Aciers Transversaux (Cadres & Épingles)
Le plan indique des cadres HA 8 espacés de 30 cm. Ce n'est pas un détail secondaire, c'est un élément de sécurité vital.
Pourquoi des cadres ? (Rôle Anti-flambement)
Imaginez une règle en plastique fine sur laquelle vous appuyez fort verticalement : elle flambe (se courbe). Les barres longitudinales (HA 25) sont comme des règles très fines et élancées. Sans les cadres pour les tenir latéralement, elles flamberaient vers l'extérieur sous la compression et feraient éclater le béton d'enrobage (phénomène de "mise au rond"). Les cadres agissent comme des ceintures de sécurité tous les 30 cm.
- Espacement \(s_t = 30 \text{ cm}\) : Cet espacement est calculé précisément pour être inférieur à la plus petite dimension du poteau (30cm) et à 20 fois le diamètre longitudinal. Cela empêche le flambement individuel des barres.
- Effet de Confinement : En enserrant le cœur du béton, les cadres augmentent sa ductilité et sa résistance. En cas de surcharge extrême, le poteau préviendra (fissuration) avant de casser, au lieu d'exploser brutalement.
3. Dispositions de Chantier (Mise en œuvre)
La réussite du projet dépend maintenant de la qualité de l'exécution sur le chantier. Voici les points de contrôle critiques :
| Point de Vigilance | Explication Technique Détaillée |
|---|---|
| Enrobage (30 mm) | L'acier doit impérativement être à 3 cm du coffrage. Si cette distance n'est pas respectée, l'acier rouillera (provoquant l'éclatement du béton à long terme) et la résistance au feu (REI) ne sera plus garantie. Il faut utiliser des cales plastiques type "roues de charrette". |
| Recouvrement | Les barres ne font pas la hauteur totale de l'immeuble. À chaque étage, les barres du bas doivent dépasser (attentes) et croiser celles du haut sur une longueur d'environ 1.25 m (50 fois le diamètre). C'est la zone critique de transmission des efforts d'un étage à l'autre. |
| Vibration du béton | Le béton doit être vibré correctement à l'aiguille pour enrober parfaitement les cadres et les barres HA 25 sans créer de "nids de cailloux" (zones vides sans pâte de ciment), qui affaibliraient considérablement la résistance du poteau. |
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
BON POUR EXE Visa : J.DUPONT
Date : 15/01/2025
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Tél : 04 78 00 00 00
Maître d'Ouvrage : Foncière Tertiaire
Phase : EXE (Exécution)
NOTE DE CALCULS - POTEAU P5 (RDC)
1. Hypothèses de Calcul
Le dimensionnement est effectué conformément aux règles de l'Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1) et son Annexe Nationale Française.
- Béton : C25/30
(fck = 25 MPa, \(\gamma_c\) = 1.5) - Acier : B500B
(fyk = 500 MPa, \(\gamma_s\) = 1.15)
- Exposition : XC1 (Intérieur)
- Enrobage : 30 mm
- Section : 30 x 30 cm
- Hauteur libre : 3.00 m
2. Analyse des Sollicitations (ELU)
La charge de calcul \(N_{Ed}\) est obtenue par la combinaison fondamentale des charges permanentes (G) et d'exploitation (Q).
3. Dimensionnement & Justification
3.1 Vérification de l'instabilité (Flambement)
Poteau considéré encastré-articulé (\(l_0 = 0.7 L = 2.10 \text{ m}\)).
Élancement : \(\lambda = (2.10 \times \sqrt{12}) / 0.30 = 24.25 < 50\).
Méthode simplifiée applicable. Coefficient de réduction de charge : \(\alpha \approx 0.72\).
3.2 Calcul des armatures longitudinales
Effort résistant du béton seul : \(N_{Rd,c} \approx 1.00 \text{ MN}\).
Effort résiduel à reprendre par l'acier : \(1.815 - 1.00 = 0.815 \text{ MN}\).
Section théorique requise : \(A_s = 0.815 / 434.78 = \mathbf{18.7 \text{ cm}^2}\).
3.3 Vérification CNF (Condition de Non-Fragilité)
\(A_{min} = \max(0.2\% A_c ; 4u) = \max(1.8 ; 4.8) = 4.8 \text{ cm}^2\).
La section calculée (18.7 cm²) est déterminante.
Mise en place de 4 HA 25 (Section réelle = 19.64 cm²).
Taux de travail : \(18.7 / 19.64 = 95\%\).
4. Armatures Transversales (Cadres)
Le calcul des cadres est essentiel pour le maintien des barres comprimées.
| Critère | Règle EC2 | Application |
|---|---|---|
| Diamètre (\(\phi_t\)) | \(\ge \phi_l / 3\) | \(25/3 = 8.33\) \(\rightarrow\) HA 8 |
| Espacement Max (\(s_{cl,tmax}\)) | \(\min(20\phi_l ; b ; 400)\) | \(\min(500; 300; 400)\) \(\rightarrow\) 30 cm |
Le poteau P5 est validé avec les dispositions suivantes :
- Béton C25/30 vibré soigneusement (aiguille vibrante).
- 4 barres HA 25 filantes (une par angle).
- Cadres HA 8 espacés de 30 cm (resserrés à 15 cm en zones de recouvrement).
- Longueur de recouvrement des attentes : 1.25 m (50 diamètres).
- Cale d'enrobage 30mm obligatoires avant coulage.
L'Étudiant(e)
Collaborateur BE
Jean DUPONT
Ingénieur Structure
📚 Glossaire Technique & Définitions Approfondies
Retrouvez ci-dessous les définitions essentielles pour comprendre les notes de calculs en béton armé, détaillées pour une maîtrise complète du sujet.
Définition : C'est un phénomène d'instabilité structurelle qui affecte les pièces élancées (comme les poteaux) soumises à une compression. Avant même d'atteindre la limite de résistance du matériau (écrasement), la pièce se déforme brutalement et latéralement.
💡 Pour comprendre : Prenez une règle en plastique plate. Appuyez fort sur les deux extrémités. Au lieu de se raccourcir (se compresser), elle va soudainement faire le "ventre" et plier sur le côté. C'est le flambement. Pour un poteau en béton, c'est catastrophique car le béton ne résiste pas à la traction induite par cette courbure.
Impact Calcul : L'Eurocode pénalise la résistance du poteau via le coefficient \(\alpha\). Plus le risque est grand, plus on divise la capacité portante théorique.
Définition : C'est l'état de chargement critique au-delà duquel la structure risque la ruine (effondrement, perte d'équilibre statique). C'est un calcul de sécurité pure.
Pourquoi majorer les charges ?
- On multiplie le poids propre \(G\) par 1.35 car on peut avoir sous-estimé l'épaisseur d'une dalle ou la densité du béton.
- On multiplie les charges d'exploitation \(Q\) par 1.50 pour couvrir des événements exceptionnels (foule compacte, stockage imprévu).
Différence avec l'ELS : À l'ELU, on accepte que le bâtiment soit fissuré ou déformé, tant qu'il tient debout pour sauver les occupants. À l'ELS (Service), on vérifie le confort et l'esthétique.
Décodage : C'est la "carte d'identité" mécanique du béton utilisé.
- C : Concrete (Béton).
- 25 : Résistance caractéristique en compression (\(f_{ck}\)) mesurée sur un cylindre (éprouvette) à 28 jours, en MPa. C'est la valeur utilisée pour les calculs de structure (plus prudente).
- 30 : Résistance mesurée sur un cube, en MPa (souvent utilisée pour le contrôle qualité sur chantier).
Attention : Un béton C25/30 a une résistance à la traction quasi-nulle (environ 2-3 MPa). C'est pour cela qu'on ajoute de l'acier.
Définition : C'est un rapport géométrique sans unité qui exprime la "sveltesse" du poteau. Il compare la hauteur effective du poteau à l'épaisseur de sa section.
Interprétation :
- \(\lambda < 50\) : Poteau "robuste" ou "court". Le calcul simplifié est autorisé (notre cas ici).
- \(\lambda > 50\) : Poteau "élancé" ou "grêle". Des effets du second ordre complexes apparaissent. Il faut augmenter considérablement le ferraillage ou la section de béton.
Sur chantier : Un poteau très élancé est aussi plus difficile à couler (risque de ségrégation si on le vibre mal sur une grande hauteur).
Définition : Ce sont les "anneaux" ou "étriers" qui entourent les barres principales verticales.
Les 3 fonctions vitales :
- Montage : Ils tiennent la cage d'armature ensemble pour qu'elle soit levée à la grue.
- Anti-flambement local : Ils empêchent les barres verticales de "gondoler" vers l'extérieur sous la pression, ce qui ferait éclater le béton de surface.
- Confinement : Ils "cerclent" le béton au cœur du poteau, augmentant artificiellement sa résistance (comme un tonneau cerclé de métal).
Règle d'or : L'espacement ne doit jamais être modifié arbitrairement sur le chantier. Un espacement trop grand = risque d'éclatement du poteau.
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