Études de cas pratique

EGC

Calcul des Réactions d’Appui d’une Ferme Simple

Calcul des Réactions d'Appui d'une Ferme Simple en Bois

Calcul des Réactions d'Appui d'une Ferme Simple

Comprendre les Réactions d'Appui

Le calcul des réactions d'appui est la toute première étape de l'analyse d'une structure, qu'elle soit en bois, en acier ou en béton. Il consiste à déterminer les forces que les appuis (fondations, poteaux, murs) exercent sur la structure pour la maintenir en équilibre sous l'effet des charges qui lui sont appliquées. Sans ces réactions, la structure ne serait pas stable. En appliquant le Principe Fondamental de la Statique (PFS), qui stipule que la somme des forces et la somme des moments agissant sur un corps à l'équilibre sont nulles, on peut calculer ces forces inconnues. Cette étape est indispensable avant de pouvoir calculer les efforts internes (traction, compression, cisaillement) dans les barres de la ferme.

Données de l'étude

On étudie une ferme de charpente triangulaire isocèle, reposant sur deux appuis. L'un est un appui double (articulé) en A, et l'autre un appui simple (à rouleau) en B.

Géométrie et chargement :

  • Portée de la ferme (distance AB) : \(L = 8.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur de la ferme au faîtage (point C) : \(H = 3.0 \, \text{m}\)
  • Une charge ponctuelle verticale est appliquée au faîtage : \(P = 20 \, \text{kN}\)
Schéma : Ferme Simple et son Chargement
A B P = 20 kN C L = 8.0 m H = 3.0 m

Ferme isostatique avec un appui articulé en A et un appui à rouleau en B.

Questions à traiter

  1. Dessiner le diagramme de corps libre (DCL) de la ferme et identifier les réactions d'appui inconnues.
  2. Appliquer les équations de l'équilibre statique pour calculer la valeur de chaque réaction d'appui.
  3. Effectuer une vérification des résultats.

Correction : Calcul des Réactions d'Appui d'une Ferme Simple

Question 1 : Diagramme de Corps Libre (DCL)

Principe :

On isole la structure (la ferme) de ses appuis et on remplace l'action de ces derniers par des forces inconnues : les réactions. Un appui articulé (A) peut créer une réaction horizontale (\(R_{Ax}\)) et une réaction verticale (\(R_{Ay}\)). Un appui à rouleau (B) ne peut créer qu'une réaction perpendiculaire à sa surface de roulement, soit une réaction verticale (\(R_{By}\)) dans ce cas.

Schéma : Diagramme de Corps Libre (DCL)
R_Ay R_Ax A R_By B P
Inconnues :
  • Réaction horizontale en A : \(R_{Ax}\)
  • Réaction verticale en A : \(R_{Ay}\)
  • Réaction verticale en B : \(R_{By}\)

Nous avons donc 3 inconnues à déterminer.

Résultat Question 1 : Le DCL montre la ferme soumise à la force P et aux trois réactions d'appui inconnues : \(R_{Ax}\), \(R_{Ay}\), \(R_{By}\).

Question 2 : Calcul des Réactions

Principe :

On utilise les trois équations du Principe Fondamental de la Statique (PFS) pour un corps à l'équilibre dans le plan : la somme des forces horizontales est nulle, la somme des forces verticales est nulle, et la somme des moments par rapport à n'importe quel point est nulle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sum F_x = 0 \] \[ \sum F_y = 0 \] \[ \sum M_{/A} = 0 \]
Calcul :

1. Somme des forces horizontales (\(\sum F_x = 0\)) :

\[ R_{Ax} = 0 \]

2. Somme des moments par rapport au point A (\(\sum M_{/A} = 0\)), avec le sens anti-horaire positif :

\[ \begin{aligned} (R_{By} \times L) - (P \times \frac{L}{2}) &= 0 \\ R_{By} \times 8 \, \text{m} - 20 \, \text{kN} \times 4 \, \text{m} &= 0 \\ R_{By} \times 8 &= 80 \\ R_{By} &= \frac{80}{8} = 10 \, \text{kN} \end{aligned} \]

3. Somme des forces verticales (\(\sum F_y = 0\)) :

\[ \begin{aligned} R_{Ay} + R_{By} - P &= 0 \\ R_{Ay} + 10 \, \text{kN} - 20 \, \text{kN} &= 0 \\ R_{Ay} &= 10 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Les réactions d'appui sont : \(R_{Ax} = 0 \, \text{kN}\), \(R_{Ay} = 10 \, \text{kN}\), et \(R_{By} = 10 \, \text{kN}\).

Question 3 : Vérification

Principe :

Pour vérifier les calculs, on peut calculer la somme des moments par rapport à un autre point, par exemple le point B. Le résultat doit également être nul.

Calcul de vérification (\(\sum M_{/B} = 0\)) :
\[ \begin{aligned} (P \times \frac{L}{2}) - (R_{Ay} \times L) &= (20 \times 4) - (10 \times 8) \\ &= 80 - 80 \\ &= 0 \end{aligned} \]

La somme des moments par rapport à B est bien nulle, ce qui confirme l'exactitude des résultats.

Résultat Question 3 : La vérification est concluante. L'équilibre de la structure est assuré avec les valeurs de réactions calculées.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Un appui articulé (ou double) empêche :

2. Si la charge P était appliquée à mi-chemin entre A et C (à x = 2m de A), comment évoluerait \(R_{By}\) ?

3. Pourquoi est-il judicieux de calculer la somme des moments par rapport à l'appui double A ?

Glossaire

Ferme
Structure triangulée, généralement utilisée en charpente, conçue pour franchir de grandes portées. Ses barres sont supposées travailler principalement en traction ou en compression.
Appui Double (Articulé ou Rotule)
Liaison qui empêche tout déplacement en translation (horizontal et vertical) mais permet la rotation libre. Elle génère deux composantes de réaction.
Appui Simple (à Rouleau ou à Rotule mobile)
Liaison qui empêche le déplacement dans une seule direction (perpendiculaire à la surface d'appui) et permet la rotation et le déplacement dans l'autre direction. Elle ne génère qu'une seule composante de réaction.
Principe Fondamental de la Statique (PFS)
Principe physique stipulant que pour qu'un corps soit en équilibre, la somme vectorielle de toutes les forces extérieures qui lui sont appliquées et la somme vectorielle de tous les moments extérieurs qui lui sont appliqués doivent être nulles.
Diagramme de Corps Libre (DCL)
Représentation schématique d'un système isolé de son environnement, sur lequel on représente toutes les forces et moments extérieurs qui agissent sur lui (charges appliquées et réactions d'appui).
Calcul des Réactions d'Appui - Exercice d'Application

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