Études de cas pratique

EGC

Calcul des charges concentrées

Calcul des Réactions d'Appui pour Charges Concentrées

Calcul des Réactions d'Appui pour Charges Concentrées

Comprendre le Calcul des Réactions d'Appui

Lorsqu'une structure, comme une poutre, est soumise à des charges externes (par exemple, des charges concentrées), ses appuis exercent des forces et/ou des moments de réaction pour maintenir la structure en équilibre. Le calcul de ces réactions d'appui est une étape fondamentale en Résistance des Matériaux, car il permet ensuite de déterminer les efforts internes (effort normal, effort tranchant, moment de flexion) et les contraintes dans la structure. Pour les structures isostatiques, les réactions peuvent être déterminées en utilisant les équations de l'équilibre statique.

Données de l'étude

Une poutre droite AB, de longueur \(L = 5 \, \text{m}\), repose sur un appui simple articulé en A et un appui simple à rouleau en B. Elle est soumise à deux charges concentrées verticales :

  • \(P_1 = 10 \, \text{kN}\) appliquée à \(x_1 = 1.5 \, \text{m}\) de l'appui A.
  • \(P_2 = 15 \, \text{kN}\) appliquée à \(x_2 = 3.5 \, \text{m}\) de l'appui A.

Objectif : Déterminer les réactions verticales aux appuis A (\(R_{Ay}\)) et B (\(R_{By}\)), ainsi que la réaction horizontale en A (\(R_{Ax}\)).

Schéma : Poutre Simplement Appuyée avec Charges Concentrées
A B P1=10kN P2=15kN RAy RAx RBy L = 5 m x1=1.5m x2=3.5m

Poutre sur appuis simples avec deux charges concentrées.

Questions à traiter

  1. Écrire les équations d'équilibre statique pour la poutre.
  2. Calculer la réaction verticale à l'appui B (\(R_{By}\)).
  3. Calculer les réactions verticale (\(R_{Ay}\)) et horizontale (\(R_{Ax}\)) à l'appui A.
  4. Vérifier l'équilibre vertical global de la poutre.

Correction : Calcul des Réactions d'Appui

Question 1 : Équations d'Équilibre Statique

Principe :

Pour qu'un corps soit en équilibre, la somme des forces dans chaque direction et la somme des moments par rapport à n'importe quel point doivent être nulles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sum F_x = 0\] \[\sum F_y = 0\] \[\sum M_A = 0 \quad \text{(ou par rapport à un autre point, ex: B)}\]

Convention de signe : Forces vers la droite et vers le haut positives. Moments anti-horaires positifs.

Résultat Question 1 : Les équations d'équilibre sont posées.

Question 2 : Calcul de la Réaction Verticale en B (\(R_{By}\))

Principe :

On utilise l'équation de la somme des moments par rapport à l'appui A (\(\sum M_A = 0\)) pour éliminer les inconnues \(R_{Ax}\) et \(R_{Ay}\) de l'équation et résoudre directement \(R_{By}\).

Données spécifiques :
  • \(P_1 = 10 \, \text{kN}\) à \(x_1 = 1.5 \, \text{m}\)
  • \(P_2 = 15 \, \text{kN}\) à \(x_2 = 3.5 \, \text{m}\)
  • Portée \(L = 5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sum M_A = 0 &\Rightarrow -P_1 \cdot x_1 - P_2 \cdot x_2 + R_{By} \cdot L = 0 \\ &\Rightarrow -(10 \, \text{kN} \cdot 1.5 \, \text{m}) - (15 \, \text{kN} \cdot 3.5 \, \text{m}) + R_{By} \cdot 5 \, \text{m} = 0 \\ &\Rightarrow -15 \, \text{kNm} - 52.5 \, \text{kNm} + 5 R_{By} = 0 \\ &\Rightarrow -67.5 \, \text{kNm} + 5 R_{By} = 0 \\ &\Rightarrow 5 R_{By} = 67.5 \, \text{kNm} \\ &\Rightarrow R_{By} = \frac{67.5}{5} \, \text{kN} \\ &\Rightarrow R_{By} = 13.5 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La réaction verticale à l'appui B est \(R_{By} = 13.5 \, \text{kN}\) (vers le haut).

Question 3 : Calcul des Réactions en A (\(R_{Ay}\) et \(R_{Ax}\))

Principe :

On utilise l'équation de la somme des forces verticales (\(\sum F_y = 0\)) pour trouver \(R_{Ay}\) et l'équation de la somme des forces horizontales (\(\sum F_x = 0\)) pour trouver \(R_{Ax}\).

Calcul de \(R_{Ay}\) :
\[ \begin{aligned} \sum F_y = 0 &\Rightarrow R_{Ay} + R_{By} - P_1 - P_2 = 0 \\ &\Rightarrow R_{Ay} + 13.5 \, \text{kN} - 10 \, \text{kN} - 15 \, \text{kN} = 0 \\ &\Rightarrow R_{Ay} + 13.5 \, \text{kN} - 25 \, \text{kN} = 0 \\ &\Rightarrow R_{Ay} - 11.5 \, \text{kN} = 0 \\ &\Rightarrow R_{Ay} = 11.5 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Calcul de \(R_{Ax}\) :
\[ \begin{aligned} \sum F_x = 0 &\Rightarrow R_{Ax} = 0 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Il n'y a pas de forces horizontales appliquées, donc la réaction horizontale en A est nulle.

Résultat Question 3 : Les réactions à l'appui A sont \(R_{Ay} = 11.5 \, \text{kN}\) (vers le haut) et \(R_{Ax} = 0 \, \text{kN}\).

Question 4 : Vérification de l'Équilibre Vertical Global

Principe :

Pour s'assurer de la validité des calculs, on vérifie que la somme de toutes les forces verticales (réactions et charges appliquées) est bien nulle.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \sum F_y &= R_{Ay} + R_{By} - P_1 - P_2 \\ &= 11.5 \, \text{kN} + 13.5 \, \text{kN} - 10 \, \text{kN} - 15 \, \text{kN} \\ &= 25 \, \text{kN} - 25 \, \text{kN} \\ &= 0 \, \text{kN} \end{aligned} \]

L'équilibre vertical est vérifié.

Résultat Question 4 : La vérification de l'équilibre vertical confirme la validité des réactions calculées.

Quiz Intermédiaire 1 : Si la charge \(P_1\) était déplacée vers l'appui A (par exemple, \(x_1 = 0.5 \, \text{m}\)), comment la réaction \(R_{By}\) changerait-elle ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

5. Une charge concentrée est une force qui :

6. Pour une structure isostatique, le nombre d'équations d'équilibre statique disponibles est :

7. Un appui simple à rouleau (ou appui glissant) peut reprendre :

Glossaire

Charge Concentrée (ou Ponctuelle)
Force considérée comme agissant en un seul point d'une structure. En réalité, elle est appliquée sur une surface très petite par rapport aux dimensions de la structure.
Réaction d'Appui
Force ou moment exercé par un appui sur une structure pour la maintenir en équilibre sous l'effet des charges externes.
Équilibre Statique
État d'un corps au repos où la résultante de toutes les forces et la somme de tous les moments agissant sur lui sont nulles.
Moment d'une Force
Tendance d'une force à faire tourner un corps autour d'un point ou d'un axe. Calculé comme le produit de la force par le bras de levier (distance perpendiculaire).
Poutre Simplement Appuyée
Poutre reposant sur deux appuis simples, typiquement un appui articulé (fixe en x et y) et un appui à rouleau (fixe en y, libre en x), qui permettent la rotation aux appuis.
Structure Isostatique
Structure pour laquelle les réactions d'appui et les efforts internes peuvent être déterminés uniquement à l'aide des équations de l'équilibre statique.
Calcul des Réactions d'Appui - Exercice d'Application

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