Calcul de la contrainte de cisaillement
Comprendre le Calcul de la contrainte de cisaillement
Un bureau d’études en génie civil travaille sur la conception d’un pont piétonnier. La structure du pont est simplifiée à une poutre en acier de longueur L posée sur deux appuis simples (A et B) situés respectivement à chaque extrémité de la poutre. La poutre doit supporter une charge uniformément répartie q (en N/m) due au poids des piétons ainsi qu’une charge concentrée P (en Newtons) située à une distance a de l’appui A.
Pour comprendre le calcul du Cisaillement simple d’un axe, cliquez sur le lien.
Données:
- Longueur de la poutre, L = 10 m
- Charge uniformément répartie, q = 5 kN/m
- Charge concentrée, P = 25 kN
- Distance de la charge concentrée de l’appui A, a = 4 m
Hypothèses:
- La poutre est considérée comme un élément linéaire, sans poids propre.
- Les appuis en A et B permettent des rotations libres et n’offrent pas de résistance au moment fléchissant.
- Négligez les effets de flexion dans le calcul de la contrainte de cisaillement.
Questions:
1. Calcul des réactions d’appui en A et B:
- Déterminez les réactions d’appui en A et B en considérant les équilibres verticaux et le moment autour de l’un des appuis.
2. Calcul de la contrainte de cisaillement:
- Calculez la contrainte de cisaillement à une section située à x = 3 m de l’appui A.
- Pour cet exercice, considérez que l’aire de la section transversale de la poutre est de 0.02 m².
Correction : Calcul de la contrainte de cisaillement
1. Calcul des réactions d’appui en A et B
Étape 1 : Déterminer la charge totale sur la poutre
1. Charge uniformément répartie totale :
\[ Q_{\text{uniforme}} = q \times L \] \[ Q_{\text{uniforme}} = 5\,\text{kN/m} \times 10\,\text{m} \] \[ Q_{\text{uniforme}} = 50\,\text{kN} \]
Cette charge s’applique, par effet de la répartition uniforme, en son centre de gravité, soit à \( \frac{L}{2} = 5\,\text{m} \) de A.
2. Charge concentrée :
\( P = 25\,\text{kN} \) à \( a = 4\,\text{m} \) de A.
3. Équilibre vertical :
La somme des réactions doit équilibrer la somme des charges appliquées :
\[ R_A + R_B = Q_{\text{uniforme}} + P \] \[ = 50\,\text{kN} + 25\,\text{kN} \] \[ = 75\,\text{kN} \]
Étape 2 : Prendre le moment par rapport à l’appui A
On prend la convention des moments (sens horaire positif) et on écrit l’équation de moment autour de A.
- Moment dû à la charge uniformément répartie :
La force équivalente de \(50\,\text{kN}\) agit à \(5\,\text{m}\) de A, ce qui donne un moment de :
\[ M_q = 50\,\text{kN} \times 5\,\text{m} \] \[ M_q = 250\,\text{kN}\cdot\text{m} \]
- Moment dû à la charge concentrée :
Agissant à \(4\,\text{m}\) de A, son moment est :
\[ M_P = 25\,\text{kN} \times 4\,\text{m} \] \[ M_P = 100\,\text{kN}\cdot\text{m} \]
- Moment de la réaction en B :
La réaction \(R_B\) est à \(L = 10\,\text{m}\) de A, donnant :
\[ M_{R_B} = R_B \times 10\,\text{m} \]
L’équation d’équilibre des moments autour de A est :
\[ R_B \times 10\,\text{m} – \left(250\,\text{kN}\cdot\text{m} + 100\,\text{kN}\cdot\text{m}\right) = 0 \]
soit,
\[ 10\, R_B = 350\,\text{kN}\cdot\text{m} \]
d’où,
\[ R_B = \frac{350}{10} = 35\,\text{kN} \]
Étape 3 : Déduire la réaction en A
En utilisant l’équilibre vertical :
\[ R_A = 75\,\text{kN} – R_B \] \[ R_A = 75\,\text{kN} – 35\,\text{kN} \] \[ R_A = 40\,\text{kN} \]
Récapitulatif des réactions d’appui :
- \(R_A = 40\,\text{kN}\)
- \(R_B = 35\,\text{kN}\)
2. Calcul de la contrainte de cisaillement à \( x = 3\,\text{m} \) de l’appui A
La contrainte de cisaillement \(\tau\) est définie par :
\[ \tau = \frac{V}{A} \]
où \(V\) est la force de cisaillement à la section considérée et \(A\) l’aire de la section.
Étape 1 : Déterminer la force de cisaillement \(V\) en \( x = 3\,\text{m} \)
Pour une section située à \( x = 3\,\text{m} \) de l’appui A, seules les charges à gauche de cette section interviennent dans le calcul de \(V\).
1. Réaction en A :
- \( R_A = 40\,\text{kN} \)
2. Charge uniformément répartie sur la portion de longueur \( x = 3\,\text{m} \) :
\[ Q_{[0,3]} = q \times 3\,\text{m} \] \[ Q_{[0,3]} = 5\,\text{kN/m} \times 3\,\text{m} \] \[ Q_{[0,3]} = 15\,\text{kN} \]
3. Charge concentrée :
La charge \(P\) est appliquée à \(4\,\text{m}\) de A, ce qui est à droite de la section \( x = 3\,\text{m} \) ; elle \textbf{n’intervient pas} dans le calcul de \(V\) en \( x = 3\,\text{m} \).
\end{enumerate}
Ainsi, la force de cisaillement à \( x = 3\,\text{m} \) est :
\[ V(3\,\text{m}) = R_A – Q_{[0,3]} \] \[ V(3\,\text{m}) = 40\,\text{kN} – 15\,\text{kN} \] \[ V(3\,\text{m}) = 25\,\text{kN} \]
En unités de Newtons :
\[ 25\,\text{kN} = 25000\,\text{N} \]
Étape 2 : Calcul de la contrainte de cisaillement
En substituant dans la formule :
\[ \tau = \frac{V}{A} = \frac{25000\,\text{N}}{0.02\,\text{m}^2} \]
Calculons :
\[ \tau = \frac{25000}{0.02} = 1\,250\,000\,\text{N/m}^2 \]
Ce qui peut s’exprimer aussi en MPa :
\[ \tau = 1.25\,\text{MPa} \]
Calcul de la contrainte de cisaillement
Calcul de la contrainte de cisaillement
D’autres exercices de Rdm:
0 commentaires