Études de cas pratique

EGC

Calcul de la contrainte de cisaillement

Calcul de la Contrainte de Cisaillement dans un Assemblage Boulonné

Calcul de la Contrainte de Cisaillement dans un Assemblage Boulonné

Comprendre la Contrainte de Cisaillement

La contrainte de cisaillement (\(\tau\)) se manifeste lorsqu'une force tend à faire glisser les sections d'un matériau parallèlement les unes aux autres. Dans les assemblages mécaniques, tels que ceux utilisant des boulons, des rivets ou des goupilles, ces éléments de fixation sont souvent soumis à des efforts de cisaillement. Il est crucial de calculer la contrainte de cisaillement pour s'assurer qu'elle ne dépasse pas la résistance admissible du matériau, évitant ainsi une rupture. Cet exercice se concentre sur le calcul de la contrainte de cisaillement dans les boulons d'un assemblage soumis à une traction.

Données de l'étude

Deux plaques d'acier sont assemblées par deux boulons en acier, configurés de manière à ce que chaque boulon travaille en cisaillement double (par exemple, une plaque centrale tirée entre deux plaques extérieures, toutes reliées par les deux boulons).

Caractéristiques de l'assemblage et des matériaux :

  • Force de traction totale appliquée aux plaques (\(F\)) : \(100 \, \text{kN}\)
  • Nombre de boulons (\(n\)) : 2
  • Diamètre de chaque boulon (\(d\)) : \(16 \, \text{mm}\)
  • Contrainte de cisaillement admissible de l'acier des boulons (\(\tau_{adm}\)) : \(150 \, \text{MPa}\)
Schéma : Assemblage Boulonné en Double Cisaillement (Vue de côté simplifiée)
F/2 F/2 F Boulon (d=16mm) Plan 1 Plan 2 Assemblage en Double Cisaillement

Schéma illustrant un boulon travaillant en double cisaillement dans un assemblage à trois plaques.

Questions à traiter

  1. Combien de sections cisaillées y a-t-il par boulon dans cet assemblage ? Quel est le nombre total de sections cisaillées pour l'ensemble des deux boulons ?
  2. Calculer l'aire d'une section cisaillée (\(A_{cis}\)) d'un boulon.
  3. Calculer la force de cisaillement (\(V_{boulon}\)) supportée par chaque boulon.
  4. Calculer la force de cisaillement (\(V_{section}\)) agissant sur chaque section cisaillée d'un boulon.
  5. Calculer la contrainte de cisaillement moyenne (\(\tau\)) dans les boulons.
  6. Vérifier si les boulons résistent à la charge appliquée en comparant \(\tau\) à \(\tau_{adm}\).

Correction : Calcul de la Contrainte de Cisaillement dans un Assemblage Boulonné

Question 1 : Nombre de Sections Cisaillées

Analyse :

Dans cet assemblage, la plaque centrale est tirée entre deux plaques extérieures. Chaque boulon traverse les trois plaques. La force F appliquée à la plaque centrale est transmise aux deux plaques extérieures par l'intermédiaire des boulons. Pour chaque boulon, il y a deux interfaces où le cisaillement se produit : une entre la plaque centrale et la plaque extérieure supérieure, et une autre entre la plaque centrale et la plaque extérieure inférieure.

Résultat Question 1 :
  • Chaque boulon est soumis à un double cisaillement, il y a donc 2 sections cisaillées par boulon.
  • Avec 2 boulons, le nombre total de sections cisaillées pour l'assemblage est \(2 \text{ boulons} \times 2 \text{ sections/boulon} = 4\) sections cisaillées.

Question 2 : Aire d'une Section Cisaillée (\(A_{cis}\)) d'un Boulon

Principe :

L'aire de la section cisaillée d'un boulon est l'aire de sa section transversale circulaire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_{cis} = \frac{\pi d^2}{4} \]
Données spécifiques :
  • Diamètre du boulon (\(d\)) : \(16 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{cis} &= \frac{\pi (16 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 256}{4} \, \text{mm}^2 \\ &= 64\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 201.0619 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Nous utiliserons \(A_{cis} \approx 201.06 \, \text{mm}^2\).

Résultat Question 2 : L'aire d'une section cisaillée d'un boulon est \(A_{cis} \approx 201.06 \, \text{mm}^2\).

Question 3 : Force de Cisaillement (\(V_{boulon}\)) Supportée par Chaque Boulon

Principe :

La force de traction totale \(F\) est répartie équitablement entre les \(n\) boulons.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V_{boulon} = \frac{F}{n} \]
Données spécifiques :
  • Force de traction totale (\(F\)) : \(100 \, \text{kN}\)
  • Nombre de boulons (\(n\)) : 2
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{boulon} &= \frac{100 \, \text{kN}}{2} \\ &= 50 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La force de cisaillement supportée par chaque boulon est \(V_{boulon} = 50 \, \text{kN}\).

Question 4 : Force de Cisaillement (\(V_{section}\)) sur Chaque Section Cisaillée

Principe :

Puisque chaque boulon est en double cisaillement, la force \(V_{boulon}\) est répartie sur deux sections cisaillées pour chaque boulon.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V_{section} = \frac{V_{boulon}}{2} \]
Données spécifiques :
  • Force par boulon (\(V_{boulon}\)) : \(50 \, \text{kN}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{section} &= \frac{50 \, \text{kN}}{2} \\ &= 25 \, \text{kN} = 25000 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La force de cisaillement agissant sur chaque section cisaillée d'un boulon est \(V_{section} = 25 \, \text{kN}\).

Question 5 : Contrainte de Cisaillement Moyenne (\(\tau\)) dans les Boulons

Principe :

La contrainte de cisaillement moyenne (\(\tau\)) dans une section cisaillée est la force de cisaillement agissant sur cette section (\(V_{section}\)) divisée par l'aire de cette section (\(A_{cis}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau = \frac{V_{section}}{A_{cis}} \]
Données spécifiques (unités N, mm\(^2\) pour obtenir des MPa) :
  • Force de cisaillement par section (\(V_{section}\)) : \(25000 \, \text{N}\)
  • Aire d'une section cisaillée (\(A_{cis}\)) : \(201.06 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau &= \frac{25000 \, \text{N}}{201.06 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 124.340 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 124.34 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La contrainte de cisaillement moyenne dans les boulons est \(\tau \approx 124.34 \, \text{MPa}\).

Question 6 : Vérification de la Résistance des Boulons

Principe :

Pour que les boulons résistent en toute sécurité, la contrainte de cisaillement calculée (\(\tau\)) ne doit pas dépasser la contrainte de cisaillement admissible du matériau (\(\tau_{adm}\)).

Condition :
\[ \tau \leq \tau_{adm} \]
Données spécifiques :
  • Contrainte de cisaillement calculée (\(\tau\)) : \(124.34 \, \text{MPa}\)
  • Contrainte de cisaillement admissible (\(\tau_{adm}\)) : \(150 \, \text{MPa}\)
Comparaison :
\[ 124.34 \, \text{MPa} \leq 150 \, \text{MPa} \]

La condition est respectée.

Résultat Question 6 : Les boulons résistent à la charge appliquée car la contrainte de cisaillement calculée (\(124.34 \, \text{MPa}\)) est inférieure à la contrainte de cisaillement admissible (\(150 \, \text{MPa}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le même assemblage utilisait un seul boulon au lieu de deux (toujours en double cisaillement), la contrainte de cisaillement dans ce boulon serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La contrainte de cisaillement est une contrainte qui agit :

2. En double cisaillement, la force appliquée est reprise par :

Glossaire

Contrainte Tangentielle (ou de Cisaillement, \(\tau\))
Contrainte interne qui se développe lorsqu'une force agit parallèlement à la surface d'une section. Elle est calculée comme la force de cisaillement divisée par l'aire de la section cisaillée.
Cisaillement Simple
Situation où un élément est cisaillé selon un seul plan (une seule section transversale résiste à la force de cisaillement).
Cisaillement Double
Situation où un élément est cisaillé selon deux plans distincts (deux sections transversales résistent simultanément à la force de cisaillement), comme dans une articulation à chape typique.
Force de Cisaillement (\(V\))
Force interne agissant tangentiellement (parallèlement) à la section transversale d'un élément.
Aire Cisaillée (\(A_{cis}\))
Aire de la section transversale d'un élément qui résiste directement à la force de cisaillement.
Contrainte Admissible de Cisaillement (\(\tau_{adm}\))
Valeur maximale de la contrainte de cisaillement qu'un matériau est autorisé à supporter en service, en tenant compte des facteurs de sécurité.
Boulon
Élément de fixation fileté, généralement utilisé avec un écrou, pour assembler des pièces.
Calcul de la Contrainte de Cisaillement dans un Assemblage Boulonné - Exercice d'Application

Calcul de la contrainte de cisaillement

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