EGC

Analyse d’un Circuit RLC

Exercice : Analyse d'un Circuit RLC Série

Analyse d’un Circuit RLC en Régime Sinusoïdal Forcé

Contexte : Le Circuit RLC SérieUn circuit électrique composé d'une résistance (R), d'une bobine (L) et d'un condensateur (C) connectés en série, fondamental pour comprendre les phénomènes de filtrage et de résonance..

Les circuits RLC sont au cœur de nombreuses applications en électronique, des filtres dans les radios aux systèmes d'oscillations. Comprendre leur comportement lorsqu'ils sont soumis à une tension alternative est une compétence essentielle pour tout ingénieur ou technicien. Cet exercice vous guidera à travers le calcul des grandeurs clés qui définissent la réponse du circuit : l'impédance, le courant, le déphasage et le phénomène de résonance.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à utiliser les nombres complexes pour simplifier l'analyse des circuits en régime sinusoïdal, une méthode puissante et universelle en électricité.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la pulsation et les réactances d'un circuit.
  • Déterminer l'impédance complexe et le module de l'impédance totale.
  • Appliquer la loi d'Ohm en régime alternatif pour trouver le courant et son déphasage.
  • Comprendre et calculer la fréquence de résonance d'un circuit RLC série.

Données de l'étude

On considère un circuit RLC série alimenté par un générateur de tension sinusoïdale \(e(t)\). Le circuit est composé d'une résistance R, d'une bobine d'inductance L et d'un condensateur de capacité C.

Schéma du Circuit RLC Série
e(t) R L C
Paramètre Symbole Valeur Unité
Tension efficace d'alimentation \(E\) 12 V
Fréquence \(f\) 50 Hz
Résistance \(R\) 100 \(\Omega\)
Inductance \(L\) 0.5 H
Capacité \(C\) 10 \(\mu F\)

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation \(\omega\) du circuit.
  2. Déterminer la réactance inductive \(X_L\) et la réactance capacitive \(X_C\).
  3. Calculer l'impédance totale complexe \(\underline{Z}\) du circuit, puis son module \(Z\).
  4. Déterminer l'intensité efficace \(I\) du courant dans le circuit et le déphasage \(\phi\) du courant par rapport à la tension.
  5. Calculer la fréquence de résonance \(f_0\) de ce circuit.

Les bases sur les circuits RLC

Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons la représentation complexe des grandeurs sinusoïdales. Cette méthode permet de transformer les équations différentielles en simples équations algébriques.

1. L'impédance complexe (\(\underline{Z}\))
En régime sinusoïdal, chaque composant passif (R, L, C) est caractérisé par son impédance complexe, qui représente son opposition au passage du courant.

  • Résistance : \(\underline{Z}_R = R\)
  • Bobine : \(\underline{Z}_L = jL\omega = jX_L\)
  • Condensateur : \(\underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega} = -j\frac{1}{C\omega} = -jX_C\)
Pour des composants en série, l'impédance totale est la somme des impédances : \[ \underline{Z} = \underline{Z}_R + \underline{Z}_L + \underline{Z}_C = R + j(L\omega - \frac{1}{C\omega}) \]

2. La loi d'Ohm en complexe
La loi d'Ohm se généralise aux circuits en régime sinusoïdal en utilisant les grandeurs complexes. La relation entre la tension complexe \(\underline{U}\) et le courant complexe \(\underline{I}\) est : \[ \underline{U} = \underline{Z} \cdot \underline{I} \] Le module de l'impédance \(Z = |\underline{Z}|\) permet de calculer les valeurs efficaces : \(U = Z \cdot I\). L'argument de l'impédance \(\phi = \arg(\underline{Z})\) donne le déphasage entre la tension et le courant.

Correction : Analyse d’un Circuit RLC en Régime Sinusoïdal Forcé

Question 1 : Calculer la pulsation \(\omega\) du circuit.

Principe

La pulsation (ou fréquence angulaire) \(\omega\) est directement liée à la fréquence \(f\) du signal d'alimentation. Elle représente la vitesse de rotation du vecteur de Fresnel associé au signal sinusoïdal et est une grandeur fondamentale pour calculer les réactances.

Mini-Cours

Toute grandeur sinusoïdale, comme la tension \(e(t) = E_{\text{max}} \cos(\omega t + \phi)\), est définie par son amplitude, sa pulsation \(\omega\) et sa phase à l'origine. La pulsation indique la "vitesse" à laquelle le signal oscille. Une pulsation plus élevée signifie des oscillations plus rapides.

Remarque Pédagogique

Pensez à la pulsation \(\omega\) comme la vitesse de rotation d'une roue de vélo et à la fréquence \(f\) comme le nombre de tours complets par seconde. Pour chaque tour (\(2\pi\) radians), vous avez une oscillation. C'est pourquoi la relation \(\omega = 2\pi f\) est si intuitive.

Normes

La relation entre pulsation et fréquence est une définition fondamentale en physique et est standardisée internationalement par le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) et l'ISO. L'unité de la fréquence est le Hertz (Hz) et celle de la pulsation est le radian par seconde (rad/s).

Formule(s)

Relation Fréquence-Pulsation

\[ \omega = 2\pi f \]
Hypothèses

Pour ce calcul, nous faisons l'hypothèse que le générateur délivre une tension parfaitement sinusoïdale et que sa fréquence est stable et précisément égale à 50 Hz.

Donnée(s)

D'après l'énoncé, la seule donnée nécessaire pour cette question est la fréquence du générateur.

ParamètreSymboleValeurUnité
Fréquence\(f\)50Hz
Astuces

Pour les réseaux électriques européens fonctionnant à 50 Hz, la pulsation est toujours proche de 314 rad/s. Pour les réseaux américains à 60 Hz, elle est d'environ 377 rad/s. Ce sont des valeurs utiles à mémoriser pour vérifier rapidement un ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser une période du signal sinusoïdal. La fréquence \(f\) est l'inverse de la période \(T\), et la pulsation \(\omega\) décrit la variation de phase durant cette période.

Représentation d'un signal sinusoïdal
te(t)Période T = 1/f
Calcul(s)

Application Numérique

\[ \begin{aligned} \omega &= 2\pi \times 50 \\ &\approx 314,16 \text{ rad/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une vitesse de rotation, représentée par le vecteur de Fresnel tournant à \(\omega\) rad/s.

Vecteur de Fresnel tournant
ωtω = 314.16 rad/s
Réflexions

Une pulsation de 314,16 rad/s signifie que la phase de la tension d'alimentation change de 314,16 radians chaque seconde. Cela correspond bien à 50 cycles complets par seconde, car \(314,16 / (2\pi) = 50\).

Points de vigilance

Ne pas confondre la fréquence \(f\) en Hertz (cycles par seconde) et la pulsation \(\omega\) en radians par seconde. Toutes les formules de réactance utilisent \(\omega\), il faut donc toujours effectuer cette conversion en premier.

Points à retenir

La pulsation \(\omega\) est la pierre angulaire des calculs en régime sinusoïdal. La formule \(\omega = 2\pi f\) est la première étape indispensable de toute analyse de circuit en courant alternatif.

Le saviez-vous ?

La fréquence de 50 Hz a été choisie en Europe par l'entreprise AEG en Allemagne à la fin du 19ème siècle comme un bon compromis technique entre l'efficacité des transformateurs, des moteurs et la limitation du scintillement des ampoules à incandescence.

FAQ

Pourquoi utilise-t-on la pulsation \(\omega\) plutôt que la fréquence \(f\) dans les calculs ?

La pulsation apparaît naturellement dans la dérivation mathématique des équations de circuits (par exemple, la tension aux bornes d'une bobine est \(u_L(t) = L \frac{di(t)}{dt}\)). La dérivée d'un signal en \(\cos(\omega t)\) fait apparaître un facteur \(\omega\), ce qui rend son utilisation plus directe dans les formules d'impédance.

Résultat Final
La pulsation du circuit est d'environ 314,16 rad/s.
A vous de jouer

Si un circuit est alimenté par le réseau américain dont la pulsation est de 377 rad/s, quelle est sa fréquence ?

Question 2 : Déterminer la réactance inductive \(X_L\) et la réactance capacitive \(X_C\).

Principe

La réactance est l'opposition d'un composant purement réactif (bobine ou condensateur) au passage d'un courant alternatif. La réactance inductive (\(X_L\)) augmente avec la fréquence, tandis que la réactance capacitive (\(X_C\)) diminue lorsque la fréquence augmente. Elles correspondent à la partie imaginaire de l'impédance.

Mini-Cours

Physiquement, la réactance d'une bobine vient de la force contre-électromotrice qu'elle génère pour s'opposer aux variations du courant (loi de Lenz). Pour un condensateur, elle vient du fait qu'il se charge et se décharge, s'opposant à l'établissement de la tension à ses bornes. Ces deux effets dépendent de la vitesse de variation du signal, donc de \(\omega\).

Remarque Pédagogique

Une bonne façon de se souvenir du comportement des réactances est de penser aux cas extrêmes : en courant continu (\(\omega = 0\)), une bobine est un court-circuit (\(X_L=0\)) et un condensateur un circuit ouvert (\(X_C \to \infty\)). À très haute fréquence (\(\omega \to \infty\)), c'est l'inverse.

Normes

Les définitions de la réactance sont basées sur les lois fondamentales de l'électromagnétisme (lois de Faraday et de Gauss). Elles sont universelles et ne dépendent pas d'une norme de construction spécifique, mais sont utilisées dans toutes les normes d'ingénierie électrique comme la série IEC 60000.

Formule(s)

Réactance Inductive

\[ X_L = L\omega \]

Réactance Capacitive

\[ X_C = \frac{1}{C\omega} \]
Hypothèses

Nous supposons que la bobine et le condensateur sont des composants idéaux : la bobine n'a pas de résistance interne et le condensateur n'a pas de courant de fuite.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs de l'énoncé ainsi que la pulsation calculée à la question précédente.

ParamètreSymboleValeurUnité
Inductance\(L\)0.5H
Capacité\(C\)10\(\mu F\)
Pulsation\(\omega\)314,16rad/s
Astuces

Lors du calcul de \(X_C\), pour éviter les erreurs avec les puissances de 10, vous pouvez calculer le produit \(C \times \omega\) d'abord, le mettre en mémoire dans votre calculatrice, puis utiliser la fonction inverse (\(1/x\)).

Schéma (Avant les calculs)

On peut représenter les impédances complexes sur un diagramme. L'impédance de la bobine est un vecteur sur l'axe imaginaire positif, celle du condensateur est sur l'axe imaginaire négatif.

Vecteurs d'impédance de L et C
ReImjXL-jXC
Calcul(s)

Calcul de la réactance inductive \(X_L\)

\[ \begin{aligned} X_L &= 0,5 \times 314,16 \\ &\approx 157,08 \, \Omega \end{aligned} \]

Calcul de la réactance capacitive \(X_C\)

\[ \begin{aligned} X_C &= \frac{1}{10 \times 10^{-6} \times 314,16} \\ &\approx 318,31 \, \Omega \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma montre les vecteurs des réactances à l'échelle, illustrant que l'effet capacitif (vecteur vers le bas) est plus grand que l'effet inductif (vecteur vers le haut).

Vecteurs des réactances calculées
ReImj157.08 Ω-j318.31 Ω
Réflexions

On observe que \(X_C > X_L\) à 50 Hz. Cela signifie que l'effet capacitif est prédominant sur l'effet inductif. Le circuit global se comportera donc comme un circuit RC, avec un courant en avance sur la tension.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente ici est l'oubli de la conversion des unités. La capacité est donnée en microfarads (\(\mu F\)) et doit être convertie en Farads (F) pour le calcul : \(10 \mu F = 10 \times 10^{-6} F\).

Points à retenir
  • La réactance d'une bobine \(X_L\) est proportionnelle à la fréquence.
  • La réactance d'un condensateur \(X_C\) est inversement proportionnelle à la fréquence.
Le saviez-vous ?

Le concept de "réactance" a été introduit par l'ingénieur et mathématicien franco-britannique Oliver Heaviside à la fin du 19e siècle. Il a grandement simplifié l'analyse des circuits en courant alternatif grâce à ses méthodes de calcul symbolique.

FAQ

Pourquoi la réactance se mesure-t-elle en Ohms, comme la résistance ?

Parce qu'elle représente aussi une opposition au passage du courant (\(U=XI\)). La différence est que la résistance dissipe de l'énergie (chaleur), tandis qu'une réactance pure emmagasine et restitue de l'énergie sans en dissiper, créant un déphasage entre tension et courant.

Résultat Final
La réactance inductive est \(X_L \approx 157,08 \, \Omega\) et la réactance capacitive est \(X_C \approx 318,31 \, \Omega\).
A vous de jouer

Recalculez la réactance inductive \(X_L\) si la fréquence était de 100 Hz.

Question 3 : Calculer l'impédance totale complexe \(\underline{Z}\) du circuit, puis son module \(Z\).

Principe

L'impédance totale \(\underline{Z}\) d'un circuit série est la somme vectorielle (en complexe) des impédances de chaque composant. Sa partie réelle est la résistance totale et sa partie imaginaire est la réactance totale. Le module \(Z\) représente l'opposition globale du circuit au passage du courant.

Mini-Cours

L'impédance complexe peut être vue comme un vecteur dans le plan complexe. Sa composante horizontale est la résistance R, et sa composante verticale est la réactance totale \(X = X_L - X_C\). Le module de ce vecteur, calculé par le théorème de Pythagore, est \(Z\). L'angle de ce vecteur avec l'axe réel est le déphasage \(\phi\).

Remarque Pédagogique

Ne faites jamais la somme arithmétique \(R + X_L + X_C\) ! Les effets de la bobine et du condensateur sont opposés (déphasages de +90° et -90°). C'est pourquoi leurs réactances se soustraient dans la partie imaginaire. L'impédance se calcule par une somme vectorielle.

Normes

L'utilisation des nombres complexes et du plan d'Argand-Gauss pour représenter les impédances est une méthode standard enseignée et utilisée internationalement, conforme à la norme IEC 60027 sur les symboles littéraux à utiliser en électrotechnique.

Formule(s)

Impédance Complexe

\[ \underline{Z} = R + j(X_L - X_C) \]

Module de l'Impédance

\[ Z = |\underline{Z}| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \]
Hypothèses

On suppose que les composants sont connectés en série parfaite, sans impédance parasite due aux fils de connexion.

Donnée(s)

On utilise la valeur de R et les réactances calculées précédemment.

ParamètreSymboleValeurUnité
Résistance\(R\)100\(\Omega\)
Réactance Inductive\(X_L\)157,08\(\Omega\)
Réactance Capacitive\(X_C\)318,31\(\Omega\)
Astuces

La plupart des calculatrices scientifiques modernes ont un mode "complexe" qui permet d'entrer directement "100 + i(157.08 - 318.31)" et de convertir le résultat en forme polaire (module et argument) en une seule étape, ce qui est très rapide et évite les erreurs de calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Le triangle de l'impédance est une représentation visuelle très utile pour comprendre la relation entre R, X et Z.

Triangle de l'impédance
RX = XL - XCZφ
Calcul(s)

Calcul de l'impédance complexe \(\underline{Z}\)

\[ \begin{aligned} \underline{Z} &= R + j(X_L - X_C) \\ &= 100 + j(157,08 - 318,31) \\ &= 100 - j161,23 \, \Omega \end{aligned} \]

Calcul du module de l'impédance \(Z\)

\[ \begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \\ &= \sqrt{100^2 + (-161,23)^2} \\ &= \sqrt{10000 + 25995,1} \\ &= \sqrt{35995,1} \\ &\approx 189,72 \, \Omega \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le triangle de l'impédance est maintenant dessiné à l'échelle avec les valeurs calculées, montrant visuellement le module et l'angle.

Triangle de l'impédance avec valeurs
R = 100 ΩX = -161.23 ΩZ = 189.72 Ωφ ≈ -58.2°
Réflexions

La partie imaginaire de l'impédance est négative, ce qui indique que le comportement global du circuit est capacitif à cette fréquence. Le condensateur a plus d' "influence" que la bobine. Le module, 189,72 \(\Omega\), est l'opposition réelle que le courant "verra".

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier le signe "moins" de la réactance totale lors du calcul du module. Même si le carré d'un nombre négatif est positif, il est important de bien poser le calcul pour comprendre la nature capacitive du circuit.

Points à retenir

L'impédance totale d'un circuit série est la somme complexe (vectorielle) des impédances individuelles. Son module est la racine carrée de la somme des carrés de la résistance totale et de la réactance totale.

Le saviez-vous ?

Le "j" utilisé en électricité pour les nombres complexes (au lieu du "i" des mathématiciens) a été popularisé par Charles Proteus Steinmetz, un ingénieur de General Electric, pour éviter la confusion avec le symbole "i" déjà universellement utilisé pour le courant instantané.

FAQ

Quelle est la différence entre résistance et impédance ?

La résistance est une opposition au courant qui dissipe de l'énergie (chaleur) et existe en continu comme en alternatif. L'impédance est un concept plus large pour le régime alternatif, qui inclut la résistance ET la réactance (opposition due au déphasage, sans dissipation d'énergie).

Résultat Final
L'impédance complexe est \(\underline{Z} = 100 - j161,23 \, \Omega\) et son module est \(Z \approx 189,72 \, \Omega\).
A vous de jouer

Si la résistance était de 150 \(\Omega\) (les réactances restant les mêmes), quel serait le nouveau module de l'impédance Z ?

Question 4 : Déterminer l'intensité efficace \(I\) et le déphasage \(\phi\).

Principe

Grâce à la loi d'Ohm en régime sinusoïdal, on peut trouver l'intensité efficace du courant en divisant la tension efficace par le module de l'impédance. Le déphasage \(\phi\) entre la tension et le courant est donné par l'argument de l'impédance complexe.

Mini-Cours

La valeur "efficace" (ou RMS, Root Mean Square) d'un courant alternatif est la valeur qu'un courant continu devrait avoir pour produire le même échauffement dans une résistance. Pour un signal sinusoïdal, \(I_{\text{eff}} = I_{\text{max}} / \sqrt{2}\). Les voltmètres et ampèremètres en mode AC mesurent cette valeur. Le déphasage \(\phi\) indique de combien de temps (exprimé en angle) le signal de courant est décalé par rapport au signal de tension.

Remarque Pédagogique

Le signe du déphasage est crucial : si \(\phi < 0\), le circuit est globalement capacitif (le courant est en AVANCE sur la tension). Si \(\phi > 0\), le circuit est globalement inductif (le courant est en RETARD sur la tension). C'est un moyen mnémotechnique facile à retenir.

Normes

Le calcul des valeurs efficaces et du déphasage est une pratique standard définie par la Commission Électrotechnique Internationale (IEC) pour l'analyse des circuits de puissance et de communication.

Formule(s)

Intensité Efficace

\[ I = \frac{E}{Z} \]

Déphasage

\[ \phi = \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right) \]
Hypothèses

On suppose que la tension de 12V donnée dans l'énoncé est une valeur efficace, ce qui est la convention standard pour les tensions de source en électrotechnique, sauf mention contraire.

Donnée(s)

On utilise la tension efficace de l'énoncé et les résultats des questions précédentes.

ParamètreSymboleValeurUnité
Tension efficace\(E\)12V
Module de l'impédance\(Z\)189,72\(\Omega\)
Réactance totale\(X_L-X_C\)-161,23\(\Omega\)
Résistance\(R\)100\(\Omega\)
Astuces

Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "degrés" (DEG) et non "radians" (RAD) lorsque vous calculez l'arc tangente pour obtenir un résultat en degrés, qui est plus courant pour exprimer le déphasage en ingénierie électrique.

Schéma (Avant les calculs)

On utilise le diagramme de Fresnel pour visualiser la relation entre la tension (généralement prise comme référence sur l'axe horizontal) et le courant (qui sera déphasé de l'angle \(\phi\)).

Diagramme de Fresnel
Tension ECourant Iφ
Calcul(s)

Calcul de l'intensité efficace \(I\)

\[ \begin{aligned} I &= \frac{12}{189,72} \\ &\approx 0,0632 \, \text{A} \\ &= 63,2 \, \text{mA} \end{aligned} \]

Calcul du déphasage \(\phi\)

\[ \begin{aligned} \phi &= \arctan\left(\frac{-161,23}{100}\right) \\ &= \arctan(-1.6123) \\ &\approx -58,2^\circ \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le diagramme de Fresnel montre le vecteur tension de référence \(E\) sur l'axe réel et le vecteur courant \(I\) avec son amplitude et son angle d'avance de 58.2°.

Diagramme de Fresnel avec valeurs
E = 12 VI = 63.2 mAφ=-58.2°
Réflexions

Le déphasage est négatif (\(\phi < 0\)). Cela confirme le caractère capacitif du circuit. Concrètement, cela signifie que le courant atteint son maximum environ 58.2/360 = 16% d'une période avant que la tension n'atteigne son maximum.

Points de vigilance

Faites attention au signe du déphasage. \(\arctan(-x) = -\arctan(x)\). Un signe incorrect inverse complètement l'interprétation du comportement du circuit (inductif au lieu de capacitif).

Points à retenir

La loi d'Ohm généralisée (\(I=E/Z\)) est fondamentale. Le déphasage \(\phi\) est l'argument de l'impédance complexe, et son signe indique si le circuit est inductif (\(\phi>0\)) ou capacitif (\(\phi<0\)).

Le saviez-vous ?

Le cosinus du déphasage, \(\cos(\phi)\), est appelé "Facteur de Puissance". C'est une mesure de l'efficacité avec laquelle l'énergie est transmise. Un facteur de puissance proche de 1 est idéal, c'est ce que les fournisseurs d'électricité cherchent à obtenir sur leur réseau.

FAQ

Qu'est-ce que cela signifie concrètement, "le courant est en avance" ?

Imaginez deux vagues. Si la vague du courant atteint son sommet un peu avant la vague de la tension à chaque cycle, on dit qu'elle est "en avance". Dans un circuit capacitif, le condensateur doit d'abord se charger (le courant circule) avant que la tension maximale n'apparaisse à ses bornes.

Résultat Final
L'intensité efficace est \(I \approx 63,2 \, \text{mA}\) et le courant est en avance de \(58,2^\circ\) sur la tension.
A vous de jouer

Si la tension d'alimentation était de 24 V au lieu de 12 V, quelle serait la nouvelle intensité efficace I ?

Question 5 : Calculer la fréquence de résonance \(f_0\) de ce circuit.

Principe

La résonance dans un circuit RLC série se produit à la fréquence spécifique où la réactance inductive \(X_L\) et la réactance capacitive \(X_C\) s'annulent. À ce point, l'impédance du circuit est minimale et égale à la résistance R. Le courant est alors maximal et en phase avec la tension.

Mini-Cours

La condition de résonance est \(X_L = X_C\). En remplaçant par les expressions, on a \(L\omega_0 = \frac{1}{C\omega_0}\), où \(\omega_0\) est la pulsation de résonance. Cette équation mène directement à la formule de Thomson, qui montre que la fréquence de résonance ne dépend que de L et C, pas de R.

Remarque Pédagogique

La résonance est un concept clé en physique. Pensez à une balançoire : si vous la poussez à la bonne fréquence (sa fréquence de résonance), l'amplitude du mouvement devient maximale avec un minimum d'effort. C'est exactement ce qui se passe pour le courant dans un circuit RLC.

Normes

La formule de Thomson est une loi fondamentale de la physique et n'est pas une norme en soi. Cependant, ses applications sont partout, et les normes de conception des filtres, des oscillateurs et des antennes (normes IEEE, ITU) s'appuient toutes sur ce principe.

Formule(s)

Formule de Thomson

\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \quad \Rightarrow \quad f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]
Hypothèses

Ce calcul suppose un circuit RLC série idéal où L et C sont constants et ne varient pas avec la température ou la fréquence.

Donnée(s)

Seules les valeurs de L et C sont nécessaires.

ParamètreSymboleValeurUnité
Inductance\(L\)0.5H
Capacité\(C\)10\(\mu F\)
Astuces

Le terme \(\sqrt{LC}\) est parfois appelé la "constante de temps" du circuit oscillant. Si vous augmentez L ou C, la constante de temps augmente et la fréquence de résonance diminue, ce qui est logique : le circuit met plus de temps à osciller.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser la résonance en traçant les courbes de \(X_L\) (une droite) et \(X_C\) (une hyperbole) en fonction de la fréquence. Leur point d'intersection donne la fréquence de résonance.

Réactances en fonction de la fréquence
fX (Ω)XLXCf0
Calcul(s)

Calcul de la fréquence de résonance \(f_0\)

\[ \begin{aligned} f_0 &= \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{0,5 \times 10 \times 10^{-6}}} \\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{5 \times 10^{-6}}} \\ &\approx \frac{1}{2\pi \times 0,002236} \\ &\approx 71,18 \text{ Hz} \end{aligned} \]
Réflexions

La fréquence d'alimentation initiale (50 Hz) est inférieure à la fréquence de résonance (71,18 Hz). C'est pourquoi le circuit avait un comportement capacitif (\(X_C > X_L\)). Si la fréquence était supérieure à 71,18 Hz, le circuit deviendrait inductif.

Points de vigilance

Une erreur courante est d'oublier la racine carrée dans la formule de Thomson. Assurez-vous d'appliquer la racine au produit L*C avant de continuer le calcul.

Points à retenir

La fréquence de résonance est la fréquence propre d'oscillation du circuit, déterminée uniquement par L et C. À cette fréquence, les réactances s'annulent (\(X_L=X_C\)) et l'impédance est minimale (\(Z=R\)).

Le saviez-vous ?

C'est ce principe de résonance qui permet de sélectionner une station de radio. Le circuit de votre récepteur est un circuit LC variable. En tournant le bouton, vous changez la capacité C pour que la fréquence de résonance \(f_0\) du circuit corresponde à la fréquence de la station que vous voulez écouter, amplifiant ainsi son signal au maximum.

FAQ

Que se passe-t-il si la résistance R est nulle ?

Si R=0 (circuit LC idéal), à la résonance, l'impédance serait nulle et le courant théoriquement infini. En réalité, il y a toujours une petite résistance qui limite le courant. Ce phénomène de "surtension" ou "surintensité" à la résonance peut être destructeur si le circuit n'est pas conçu pour le supporter.

Résultat Final
La fréquence de résonance du circuit est \(f_0 \approx 71,18 \text{ Hz}\).
A vous de jouer

Si on remplace la bobine par une autre de 0.2 H, quelle serait la nouvelle fréquence de résonance ?

Outil Interactif : Simulateur de Réponse en Fréquence

Utilisez cet outil pour observer comment l'impédance et le déphasage du circuit changent lorsque vous variez la fréquence du générateur ou la capacité du condensateur. Essayez de trouver la fréquence de résonance en observant le graphe !

Paramètres d'Entrée
50 Hz
10 µF
Résultats Clés (à la fréquence choisie)
Impédance Totale (Z) -
Déphasage (φ) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est l'unité de la réactance et de l'impédance ?

2. À la résonance d'un circuit RLC série, quelle affirmation est vraie ?

3. Si la fréquence d'alimentation est supérieure à la fréquence de résonance (\(f > f_0\)), le circuit est...

4. Un déphasage \(\phi\) positif signifie que...

5. Si on double la valeur de l'inductance L et de la capacité C, la fréquence de résonance...

Impédance (\(Z\))
Généralisation de la notion de résistance aux circuits en régime alternatif. C'est une grandeur complexe qui caractérise l'opposition du circuit au passage du courant. Elle se mesure en Ohms (\(\Omega\)).
Réactance (\(X\))
Partie imaginaire de l'impédance, représentant l'opposition des éléments purement réactifs (bobines, condensateurs) au courant. Elle se mesure aussi en Ohms (\(\Omega\)).
Pulsation (\(\omega\))
Aussi appelée fréquence angulaire, elle est proportionnelle à la fréquence (\(\omega = 2\pi f\)) et s'exprime en radians par seconde (rad/s).
Résonance
Phénomène qui se produit dans un circuit RLC à une fréquence particulière où les effets de l'inductance et de la capacité se compensent, conduisant à une impédance minimale et un courant maximal.
Analyse d’un Circuit RLC Série

D’autres exercices d’electricité:

    0 commentaires
    Soumettre un commentaire

    Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *