Descente des charges - Exercice corrigé

Contexte : Le Cheminement des Forces dans une Structure

Chaque élément d'un bâtiment (plancher, murs, toiture) est soumis à son propre poids et aux charges qu'il supporte (mobilier, personnes, neige, etc.). Pour garantir la stabilité de l'ouvrage, ces forces, appelées "charges", doivent être acheminées de manière sécuritaire jusqu'aux fondations, puis au sol. Ce processus est appelé la descente de chargesLe processus de calcul qui consiste à suivre le cheminement des charges (poids propre, charges d'exploitation, etc.) depuis leur point d'application jusqu'aux fondations.. C'est une étape fondamentale du dimensionnement en génie civil.

Remarque Pédagogique : La descente de charges est comme un système de rivières. Les petites charges (affluents) sur le plancher se rejoignent dans les poutres (rivières), qui à leur tour se déversent dans les poteaux (fleuves), pour finalement arriver aux fondations (l'océan).

Objectifs Pédagogiques

Définir et calculer les charges permanentes (G)Charges constantes dans le temps, comme le poids propre des éléments de structure et des éléments non-structuraux. et les charges d'exploitation (Q)Charges variables liées à l'usage du bâtiment (personnes, mobilier, véhicules...)..
Comprendre la notion de surface d'influence pour répartir les charges sur les poutres.
Calculer les charges à l'État Limite Ultime (ELU) et à l'État Limite de Service (ELS).
Déterminer les réactions d'appui d'une poutre sur les poteaux.
Calculer la charge totale reprise par un poteau et une fondation.

Données de l'étude

On étudie un plancher de bureau en béton armé constitué d'une dalle reposant sur des poutres, elles-mêmes appuyées sur des poteaux. La structure est régulière.

Schéma du Plan de Coffrage

Données Techniques

Caractéristique	Valeur	Unité
Épaisseur de la dalle \(h_{\text{d}}\)	20	\(\text{cm}\)
Dimensions des poutres	\(25 \times 50\)	\(\text{cm}\)
Charges perm. additionnelles \(G_{\text{add}}\)	1.5	\(\text{kN/m}^2\)
Charges d'exploitation (Bureaux) \(Q\)	2.5	\(\text{kN/m}^2\)
Poids volumique du béton armé \(\gamma_{\text{BA}}\)	25	\(\text{kN/m}^3\)

Questions à traiter

Calculer les charges permanentes surfaciques (poids propre de la dalle + charges additionnelles).
Déterminer la charge linéaire (en kN/m) supportée par la poutre P1-P2-P3 à l'ELU et à l'ELS.
Calculer la charge totale (en kN) descendant sur le poteau P2.
Vérifier la contrainte de compression dans le poteau P2 à l'ELU (Section \(25 \times 25\) cm).
Prédimensionner la surface de la semelle de fondation sous P2 à l'ELS, pour une contrainte de sol \(\sigma_{sol} = 0.25\) MPa.

Les Bases Théoriques

Avant de se lancer dans les calculs, il est essentiel de maîtriser les concepts fondamentaux de la mécanique des structures appliquée au bâtiment.

1. Classification des Actions (Eurocode 1)
Les forces s'exerçant sur une structure sont classées en deux familles principales :

Charges Permanentes (G) : Poids propre des éléments porteurs (béton, acier) et des équipements fixes (revêtements, cloisons). Elles sont constantes dans le temps.
Charges d'Exploitation (Q) : Liées à l'usage (personnes, meubles) ou au climat (neige, vent). Elles sont variables et statistiques.

2. Combinaisons d'Actions (Eurocode 0)
On ne somme pas simplement G et Q. On applique des coefficients de sécurité selon l'état limite vérifié :

État Limite Ultime (ELU)

Vérification de la résistance (non-effondrement). On majore les charges :

p_{\text{ELU}} = 1.35 G + 1.5 Q

État Limite de Service (ELS)

Vérification du confort (fissuration, flèches). On utilise les charges non pondérées :

p_{\text{ELS}} = G + Q

3. Notion de Surface d'Influence
Pour répartir une charge surfacique (plancher) sur un élément linéaire (poutre), on découpe géométriquement la surface.

Pour une structure régulière, la largeur de reprise correspond à l'entraxe entre deux poutres.

Conversion Surface → Ligne

q_{\text{linéaire}} \ (\text{kN/m}) = q_{\text{surfacique}} \ (\text{kN/m}^2) \times \text{Largeur} \ (\text{m})

Correction : Descente de charges d'un plancher en béton armé

Question 1 : Charges Permanentes Surfaciques (G)

Principe

La charge permanente (G) comprend le poids de la structure elle-même (le béton) et tout ce qui est fixé de manière durable (chape, carrelage, cloisons, faux-plafonds, gaines). Ici, on doit additionner le poids propre de la dalle en béton et les charges additionnelles fournies.

Mini-Cours

Masse volumique vs Charge surfacique : En bâtiment, pour les dalles, on raisonne par mètre carré (\(\text{m}^2\)). Pour obtenir la charge surfacique d'une couche de matériau, on multiplie son poids volumique (\(\gamma\) en \(\text{kN/m}^3\)) par son épaisseur (\(h\) en \(\text{m}\)).

Exemple : 10 cm de béton (\(25 \text{kN/m}^3\)) pèsent \(0.10 \times 25 = 2.5 \text{kN/m}^2\).

Remarque Pédagogique

Il est crucial de bien lister toutes les couches. Dans un projet réel, un plancher n'est jamais juste une dalle brute : il y a souvent une chape de ravoirage, un isolant acoustique, un revêtement de sol et un enduit sous-face. Oublier ces couches conduit à sous-dimensionner la structure.

Normes

Les poids volumiques des matériaux de construction sont définis dans la norme NF EN 1991-1-1 (Eurocode 1 - Actions sur les structures). Par exemple, le béton armé courant est normalisé à \(25 \text{kN/m}^3\).

Formule(s)

Formules utilisées

Poids propre de la dalle

G_{\text{dalle}} = h_{\text{d}} \times \gamma_{\text{BA}}

Charge totale surfacique

G_{\text{total\_surfacique}} = G_{\text{dalle}} + G_{\text{add}}

Hypothèses

On suppose que :

L'épaisseur de la dalle est constante sur toute la surface (dalle pleine).
Le béton armé est un matériau homogène de densité uniforme (\(25 \text{kN/m}^3\)).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Épaisseur dalle	\(h_{\text{d}}\)	0.20	\(\text{m}\)
Poids vol. Béton	\(\gamma_{\text{BA}}\)	25	\(\text{kN/m}^3\)
Charges add.	\(G_{\text{add}}\)	1.5	\(\text{kN/m}^2\)

Astuces

Convertissez systématiquement toutes vos dimensions (cm, mm) en mètres (m) dès le début du calcul pour éviter les erreurs de puissance de 10. Un résultat de charge surfacique doit généralement se situer entre 3 et 10 \(\text{kN/m}^2\) pour du bâtiment courant.

Schéma (Coupe Dalle)

Calcul(s)

Conversion(s)

Tout d'abord, pour garantir l'homogénéité des unités avec le poids volumique donné en \(\text{kN/m}^3\), il est impératif de convertir l'épaisseur de la dalle de centimètres en mètres.

\begin{aligned} h_{\text{d}} &= 20 \text{ cm} \\ &= 0.20 \text{ m} \end{aligned}

Nous utiliserons donc la valeur de 0.20 m pour la suite.

Calcul Intermédiaire

Ensuite, nous calculons le poids propre surfacique de la dalle en béton armé. Cela s'obtient en multipliant l'épaisseur de la dalle par le poids volumique du matériau :

\begin{aligned} G_{\text{dalle}} &= 0.20 \, \text{m} \times 25 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 5.0 \, \text{kN/m}^2 \end{aligned}

Cela signifie que le béton seul pèse 5.0 \(\text{kN}\) sur chaque mètre carré. Notez que \( \text{m} \times (\text{kN/m}^3) = \text{kN/m}^2 \).

Calcul Principal

Enfin, pour obtenir la charge permanente totale (G), nous additionnons ce poids propre aux charges permanentes additionnelles (revêtements, cloisons, etc.) fournies dans l'énoncé :

\begin{aligned} G_{\text{total}} &= 5.0 \, \text{kN/m}^2 + 1.5 \, \text{kN/m}^2 \\ &= 6.5 \, \text{kN/m}^2 \end{aligned}

C'est cette valeur de 6.5 \(\text{kN/m}^2\) qui sera utilisée pour dimensionner les éléments porteurs.

Réflexions

Ce résultat de 6.5 \(\text{kN/m}^2\) signifie que chaque mètre carré de plancher pèse environ 650 kg. C'est une valeur cohérente pour un plancher en béton armé traditionnel.

Points de vigilance

Attention aux unités ! Ne confondez pas masse (kg) et force (Newton). En génie civil, on calcule les forces en kN (1 kN ≈ 100 kg). Si vous calculez en kg, vous devrez multiplier par \(g \approx 10 \text{m/s}^2\) à la fin.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

G désigne les charges permanentes (mortes, constantes).
Le poids surfacique s'obtient par \( \gamma \times h \).
L'acier alourdit le béton : \(2500 \text{kg/m}^3\) pour le BA contre \(2400 \text{kg/m}^3\) pour le béton non armé.

Le saviez-vous ?

Le béton a une densité d'environ 2.4, alors que l'acier a une densité de 7.85 ! C'est l'ajout des barres d'acier (environ 100-150 kg par m³ de béton) qui fait passer le poids volumique moyen à 25 \(\text{kN/m}^3\).

FAQ

Les cloisons sont-elles toujours une charge permanente ?

Les cloisons lourdes (maçonnerie, briques) sont des charges permanentes localisées (G). Les cloisons légères (placo, amovibles) de moins de 250 kg/m linéaire sont souvent considérées comme une charge répartie additionnelle uniformément distribuée sur toute la surface (incluse dans G ou Q selon les normes nationales, ici dans G_add pour simplifier).

Résultat : G = 6.5 \(\text{kN/m}^2\)

A vous de jouer
Calculez G total si l'épaisseur de la dalle passe à 25 cm (G_add reste inchangé à 1.5 \(\text{kN/m}^2\)).

📝 Mémo
G = (Poids volumique x Épaisseur) + Charges Additionnelles.

Question 2 : Charge Linéaire sur la Poutre

Principe

Les poutres reprennent les charges du plancher. Pour calculer la charge que la poutre doit supporter par mètre de longueur, on multiplie la charge surfacique du plancher par la largeur de la "bande" de plancher qu'elle soutient. Cette largeur s'appelle la surface d'influence (ou largeur tributaire).

Mini-Cours

Surface d'influence : Dans une structure régulière avec des poutres parallèles, chaque poutre supporte la moitié de la dalle située à sa gauche et la moitié de la dalle située à sa droite. La largeur tributaire est donc égale à \((L_{\text{gauche}}/2) + (L_{\text{droite}}/2)\). Si les portées sont égales, cela revient exactement à l'entraxe entre poutres.

Cheminement : Charge Surfacique (\(\text{kN/m}^2\)) \(\rightarrow\) x Largeur (\(\text{m}\)) \(\rightarrow\) Charge Linéaire (\(\text{kN/m}\)).

Remarque Pédagogique

On simplifie ici le problème en considérant que la descente de charge est purement géométrique. En réalité, la continuité de la dalle peut créer des effets hyperstatiques qui modifient légèrement la répartition, mais la méthode des surfaces d'influence est suffisante pour un pré-dimensionnement.

Normes

Les combinaisons d'actions à utiliser pour dimensionner les éléments porteurs vis-à-vis de la rupture sont définies dans l'Eurocode 0 (NF EN 1990).

ELU (État Limite Ultime) : \(1.35 G + 1.5 Q\). Coefficients de sécurité pour éviter l'effondrement.
ELS (État Limite de Service) : \(G + Q\). Combinaison caractéristique pour limiter les flèches et la fissuration.

Formule(s)

Charge linéaire due à la dalle

p_{\text{dalle}} = q_{\text{surfacique}} \times \text{Largeur Tributaire}

Poids propre linéaire de la poutre

p_{\text{poutre}} = b \times h \times \gamma_{\text{BA}}

Combinaison ELU

p_{\text{ELU}} = 1.35 G_{\text{total\_lin}} + 1.5 Q_{\text{total\_lin}}

Hypothèses

On considère que la poutre repose sur des appuis simples pour ce calcul de charge linéaire. La poutre a une section rectangulaire constante.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Entraxe (Largeur Trib.)	\(L_{\text{inf}}\)	5.0	\(\text{m}\)
Section Poutre	\(b \times h\)	\(0.25 \times 0.50\)	\(\text{m}\)
Charge Exploit.	\(Q_{\text{surf}}\)	2.5	\(\text{kN/m}^2\)
Charge Perm. Dalle	\(G_{\text{surf}}\)	6.5	\(\text{kN/m}^2\)

Astuces

N'oubliez jamais le poids propre de la poutre ! La dalle pèse sur la poutre, mais la poutre pèse aussi sur elle-même. C'est un oubli très fréquent chez les étudiants. Il faut calculer son poids linéaire (\(b \times h \times \gamma\)) et l'ajouter aux charges permanentes.

Schéma (Chargement Poutre)

Calcul(s)

1. Calcul des charges linéaires permanentes (G)

Commençons par les charges permanentes. La poutre supporte une bande de dalle de 5.0 m de large. La charge linéaire apportée par la dalle est donc :

\begin{aligned} G_{\text{dalle\_lin}} &= G_{\text{surf}} \times 5.0 \\ &= 6.5 \times 5.0 \\ &= 32.5 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Il ne faut surtout pas oublier le poids de la poutre elle-même. On calcule son volume par mètre linéaire (section) multiplié par sa densité :

\begin{aligned} G_{\text{poutre\_lin}} &= 0.25 \, \text{m} \times 0.50 \, \text{m} \times 25 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 3.125 \, \text{kN/m} \end{aligned}

La charge permanente totale par mètre de poutre est la somme de ces deux composantes :

\begin{aligned} G_{\text{total\_lin}} &= 32.5 + 3.125 \\ &= 35.625 \, \text{kN/m} \end{aligned}

2. Calcul des charges linéaires d'exploitation (Q)

Passons aux charges d'exploitation. De la même manière, on convertit la charge surfacique en charge linéaire en multipliant par l'entraxe :

\begin{aligned} Q_{\text{lin}} &= Q_{\text{surf}} \times 5.0 \\ &= 2.5 \times 5.0 \\ &= 12.5 \, \text{kN/m} \end{aligned}

3. Combinaisons d'actions (ELU et ELS)

Pour la vérification à la rupture (ELU), nous appliquons les coefficients de sécurité réglementaires (1.35 pour les charges permanentes et 1.5 pour les charges variables) :

\begin{aligned} p_{\text{ELU}} &= 1.35 \times G_{\text{lin}} + 1.5 \times Q_{\text{lin}} \\ &= (1.35 \times 35.625) + (1.5 \times 12.5) \\ &= 48.09375 + 18.75 \\ &\approx 66.84 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Cette charge majorée servira au calcul des armatures de résistance. Pour la vérification des déformations (ELS), nous utilisons les charges non pondérées (coefficients égaux à 1) :

\begin{aligned} p_{\text{ELS}} &= G_{\text{lin}} + Q_{\text{lin}} \\ &= 35.625 + 12.5 \\ &= 48.125 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Cette charge sert à vérifier que la poutre ne fléchit pas excessivement.

Schéma (Après Calculs)

Réflexions

On constate que la charge à l'ELU est environ 40% supérieure à celle de l'ELS. Cette marge de sécurité est vitale pour couvrir les incertitudes sur les matériaux, les charges réelles et les modèles de calcul.

Points de vigilance

Unité ! Le résultat est en kN/m (force par unité de longueur), et non en \(\text{kN/m}^2\) ou en \(\text{kN}\). C'est une charge répartie sur une ligne.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Coefficients ELU classiques : 1.35 (G) et 1.5 (Q).
Charge Linéaire = Charge Surfacique x Entraxe.
Ne pas oublier le poids propre de la poutre.

Le saviez-vous ?

Dans certains cas, on utilise des "poutres bandes noyées" qui ont la même épaisseur que la dalle. Elles sont invisibles mais nécessitent beaucoup plus d'acier car leur hauteur utile (h) est faible, ce qui réduit leur efficacité mécanique.

FAQ

Pourquoi 1.35 et 1.5 ?

Ces coefficients découlent d'études probabilistes sur la fiabilité des structures. On est plus sûr de la valeur du poids propre (donc coeff 1.35) que des charges d'exploitation qui sont très variables et aléatoires (donc coeff 1.5 plus fort).

Résultat : p_ELU ≈ 66.84 \(\text{kN/m}\)

A vous de jouer
Quel serait p_ELU si on négligeait le poids propre de la poutre (G_poutre = 0) ?

📝 Mémo
ELU = 1.35G + 1.5Q.

Question 3 : Charge sur le Poteau Central P2

Principe

Le poteau P2 soutient la poutre. Comme pour la poutre qui soutient une surface de plancher, le poteau soutient une longueur de poutre. Le poteau central P2 est un appui intermédiaire : il reçoit la charge venant de la travée de gauche et celle de la travée de droite.

Mini-Cours

Descente de charge verticale : La charge se concentre au fur et à mesure qu'elle descend.
Surface (Dalle) \(\rightarrow\) Ligne (Poutre) \(\rightarrow\) Point (Poteau).
La charge totale sur le poteau correspond à la réaction d'appui de la poutre. Pour un poteau central avec des travées symétriques chargées uniformément, la longueur de chargement est égale à une portée complète (L/2 à gauche + L/2 à droite).

Remarque Pédagogique

Le poteau central est généralement l'élément le plus sollicité d'un niveau courant car sa surface d'influence est la plus grande (environ 4 fois celle d'un poteau d'angle et 2 fois celle d'un poteau de rive).

Normes

Le calcul de la charge est une étape préliminaire au dimensionnement du poteau (section de béton et aciers) qui se fera selon l'Eurocode 2. On vérifiera notamment le risque de flambement.

Formule(s)

Charge axiale approchée sur le poteau (Méthode des aires tributaires)

N_{\text{poteau}} \approx p_{\text{ELU}} \times \text{Portée}

Ou plus précisément : \( N = p \times (L_{\text{gauche}}/2 + L_{\text{droite}}/2) \)

Hypothèses

On utilise ici une méthode statique simplifiée (aires tributaires). Un calcul de résistance des matériaux (RDM) plus poussé sur une poutre continue montrerait que la réaction sur l'appui central est en réalité un peu supérieure (environ \(1.10 \times p \times L\)) à cause de la continuité, mais l'approche simplifiée est standard pour un pré-dimensionnement.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge Linéaire ELU	\(p_{\text{ELU}}\)	66.844	\(\text{kN/m}\)
Portée Poutre	\(L\)	6.0	\(\text{m}\)

Astuces

Pour vérifier votre ordre de grandeur, calculez la surface totale supportée par le poteau (Entraxe x Portée = 5m x 6m = 30\(\text{m}^2\)) et multipliez par une charge moyenne de bâtiment (environ 10-15 \(\text{kN/m}^2\) à l'ELU). Ici \(30 \times 13 = 390 \text{kN}\), ce qui est très proche de notre calcul détaillé.

Schéma (Chargement Poteau)

Calcul(s)

Calcul Principal

Le poteau central P2 reprend la charge de la poutre sur une longueur équivalente à une portée complète (6.0 m). On multiplie donc la charge linéaire à l'ELU par cette longueur :

\begin{aligned} N_{\text{P2}} &= p_{\text{ELU}} \times L \\ &= 66.844 \, \text{kN/m} \times 6.0 \, \text{m} \\ &= 401.064 \, \text{kN} \end{aligned}

Le poteau reçoit donc une force verticale de plus de 400 kN en tête.

Schéma (Après Calculs)

Réflexions

401 kN est une charge importante concentrée sur une petite section (25x25 cm). Cela génère une contrainte de compression de : \( \sigma = \frac{0.401 \text{ MN}}{0.0625 \text{ m}^2} \approx 6.4 \text{ MPa} \). Le béton courant (C25/30) résiste à 25 MPa, donc le poteau tient largement en compression pure (mais attention au flambement !).

Points de vigilance

Ne pas oublier les étages ! Ce calcul ne donne que la charge venant de ce plancher. Pour dimensionner le poteau du rez-de-chaussée ou la fondation, il faut cumuler les charges de tous les étages supérieurs !

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

La charge s'exprime en kN (force) ou Tonnes.
Poteau Central > Poteau de Rive > Poteau d'Angle.
La surface d'influence d'un poteau central est \(Entraxe \times Portée\).

Le saviez-vous ?

401 kN correspond environ au poids de 40 tonnes, soit l'équivalent de 40 petites citadines empilées sur ce seul poteau de 25cm de côté !

FAQ

Et pour les poteaux de rive P1 et P3 ?

Ils ne reprennent la charge que d'un seul côté (une demi-travée). Ils supportent donc environ la moitié de la charge de P2, soit \( \approx 200 \text{ kN} \) (plus le poids de la façade éventuelle).

Résultat : N ≈ 401 kN

A vous de jouer
Si la portée passe à 10 m (en gardant la même charge linéaire de 66.844 kN/m), quelle est la charge N sur le poteau ?

📝 Mémo
N = Charge Linéaire x Portée.

Question 4 : Vérification du Poteau P2 (Compression)

Principe

Nous allons vérifier si la section de béton de 25x25 cm est suffisante pour résister à la force de compression simple \(N_{\text{ELU}}\). On compare la contrainte appliquée (\(\sigma\)) à la résistance de calcul du béton (\(f_{cd}\)).

Mini-Cours

Contrainte normale : C'est la force divisée par la surface (\(\sigma = N/A\)).

Résistance de calcul : La résistance caractéristique du béton (\(f_{ck}\), ici 25 MPa) est divisée par un coefficient de sécurité partiel (\(\gamma_c = 1.5\)) pour obtenir la résistance de calcul \(f_{cd}\).

Normes

Vérification selon l'Eurocode 2. Le coefficient de sécurité partiel pour le béton est \(\gamma_c = 1.5\).

Formule(s)

Résistance de calcul du béton

f_{cd} = \frac{f_{ck}}{\gamma_c}

Vérification de la contrainte

\sigma_{Ed} = \frac{N_{Ed}}{A_c} \le f_{cd}

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge Poteau ELU	\(N_{Ed}\)	0.401	\(\text{MN}\)
Section Poteau	\(A_c\)	\(0.25 \times 0.25\)	\(\text{m}^2\)
Résistance béton	\(f_{ck}\)	25	\(\text{MPa}\)

Astuces

Le plus simple pour les calculs de contrainte est de tout convertir en MN (Méga Newton) et m². Le résultat sera directement en MPa (Méga Pascal).

Schéma (Section Poteau)

Calcul(s)

1. Calcul de la résistance de design

On réduit la résistance caractéristique du matériau par le coefficient de sécurité :

\begin{aligned} f_{cd} &= \frac{25 \text{ MPa}}{1.5} \\ &\approx 16.67 \text{ MPa} \end{aligned}

2. Calcul de la contrainte appliquée

On calcule d'abord l'aire de la section, puis on divise la force par cette aire :

\begin{aligned} A_c &= 0.25 \times 0.25 = 0.0625 \text{ m}^2 \\ \sigma_{Ed} &= \frac{0.401 \text{ MN}}{0.0625 \text{ m}^2} \\ &= 6.42 \text{ MPa} \end{aligned}

3. Comparaison

On compare la contrainte réelle à la résistance maximale autorisée :

6.42 \text{ MPa} < 16.67 \text{ MPa} \quad \Rightarrow \text{ OK}

Réflexions

Le taux de travail est de \( \frac{6.42}{16.67} \approx 38\% \). Le poteau est donc très largement dimensionné vis-à-vis de la compression pure. Cependant, il faudra vérifier le flambement, qui est souvent le critère dimensionnant pour les poteaux élancés.

Points de vigilance

Cette vérification est simplifiée. Dans un vrai projet, il faut aussi vérifier que le poteau peut reprendre les moments de flexion parasites et s'assurer que le ferraillage minimum est respecté.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Contrainte = Force / Surface.
Coefficient sécurité béton = 1.5.
Toujours comparer la sollicitation (S) à la résistance (R). S < R.

FAQ

Pourquoi diviser la résistance par 1.5 ?

Le béton est un matériau hétérogène fabriqué sur chantier. Sa résistance réelle peut varier. Le coefficient 1.5 couvre ces incertitudes de fabrication et de mise en œuvre.

Vérification OK (Taux de travail \(\approx\) 38%)

A vous de jouer
Quelle serait la contrainte si la section du poteau était réduite à 20x20 cm ? (Force = 0.401 MN)

📝 Mémo
\(\sigma \le f_{cd}\).

Question 5 : Surface de la Semelle (Fondation)

Principe

La fondation doit répartir la charge du poteau sur le sol de manière à ce que la pression exercée ne dépasse pas la capacité portante du sol (\(\sigma_{sol}\)). On utilise généralement les charges à l'ELS pour ce dimensionnement géométrique afin de limiter les tassements.

Mini-Cours

Transmission des charges : La semelle agit comme une "raquette à neige". Elle augmente la surface de contact pour éviter que le bâtiment ne s'enfonce dans le sol (poinçonnement du sol).

ELS vs ELU : En géotechnique traditionnelle (DTU 13.12), on dimensionne la surface au sol à l'ELS. Les Eurocodes géotechniques (EC7) introduisent des calculs à l'ELU plus complexes, mais l'approche ELS reste très utilisée pour le pré-dimensionnement.

Normes

La contrainte admissible du sol est donnée par le rapport de sol (géotechnicien). Ici, 0.25 MPa correspond à un bon sol (type grave compacte ou argile raide).

Formule(s)

Condition de portance

\frac{N_{ELS}}{S_{semelle}} \le \sigma_{sol}

Surface minimale

S_{min} = \frac{N_{ELS}}{\sigma_{sol}}

Côté pour une semelle carrée

B = \sqrt{S_{min}}

Hypothèses

On néglige le poids propre de la semelle dans un premier temps (ou on considère qu'il est inclus dans la marge de sécurité). La charge est centrée.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge Linéaire ELS	\(p_{\text{ELS}}\)	48.125	\(\text{kN/m}\)
Contrainte Sol	\(\sigma_{sol}\)	0.25	\(\text{MPa}\)

Astuces

1 MPa = 1000 kN/m². C'est une conversion très utile à retenir ! Donc 0.25 MPa = 250 kN/m².

Schéma (Semelle isolée)

Calcul(s)

1. Calcul de la charge ELS sur le poteau

On recalcule la charge totale sur le poteau, mais cette fois avec la charge linéaire ELS calculée à la question 2 :

\begin{aligned} N_{\text{ELS}} &= p_{\text{ELS}} \times L \\ &= 48.125 \text{ kN/m} \times 6.0 \text{ m} \\ &= 288.75 \text{ kN} = 0.289 \text{ MN} \end{aligned}

2. Calcul de la surface requise

On divise la force (en MN) par la contrainte admissible (en MPa) pour obtenir des m² :

\begin{aligned} S_{min} &= \frac{N_{\text{ELS}}}{\sigma_{sol}} \\ &= \frac{0.289 \text{ MN}}{0.25 \text{ MPa}} \\ &= 1.156 \text{ m}^2 \end{aligned}

3. Côté de la semelle carrée

Pour une semelle carrée (\(S = B \times B\)), on prend la racine carrée de la surface :

\begin{aligned} B &= \sqrt{S_{min}} \\ &= \sqrt{1.156} \\ &\approx 1.08 \text{ m} \end{aligned}

On arrondit toujours à la dimension constructible supérieure (par pas de 5 cm).

Réflexions

Une semelle de 1.10m de côté est une dimension très standard pour un bâtiment de bureaux courant. Si la contrainte du sol avait été plus faible (sol mou), la semelle aurait dû être beaucoup plus grande.

Points de vigilance

Ne jamais utiliser la charge ELU pour vérifier une contrainte de sol à l'ELS (sauf indication contraire de la norme utilisée). Cela conduirait à des fondations surdimensionnées inutilement.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Dimensionnement géométrique = Charge ELS / Contrainte Sol.
La semelle répartit la charge ponctuelle sur une grande surface.

Le saviez-vous ?

La tour Burj Khalifa repose sur un radier (énorme semelle générale) de 3.7 mètres d'épaisseur ! Ici, notre semelle isolée fera probablement 30 à 40 cm d'épaisseur.

FAQ

Pourquoi une semelle carrée ?

C'est la forme la plus économique (périmètre minimal pour une surface donnée) et la plus simple à ferrailler pour un poteau carré.

Il faut une semelle carrée d'au moins 1.10 x 1.10 m.

A vous de jouer
Si le sol était deux fois moins résistant (\(\sigma_{sol} = 0.125\) MPa), quelle serait la surface requise ?

📝 Mémo
\(S \ge N / \sigma_{sol}\).

Schéma Bilan de l'Exercice

Résumé du cheminement des charges : de la surface (m²) à la ligne (m) puis au point.

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument

Synthèse de la méthodologie de descente de charges :

🔑
Point Clé 1 : Surface d'Influence
C'est la clé de voûte. Identifiez bien quelle surface charge quel élément (Dalle \(\rightarrow\) Poutre \(\rightarrow\) Poteau).
📐
Point Clé 2 : Unités
Toujours convertir en mètres (m) et Newtons (kN) avant de calculer. 100 kg \(\approx\) 1 kN.
⚠️
Point Clé 3 : Poids Propre
N'oubliez jamais le poids propre de l'élément porteur (poutre, poteau) en plus de ce qu'il supporte.
💡
Point Clé 4 : ELU vs ELS
ELU pour la sécurité (1.35G + 1.5Q), ELS pour le service (G + Q).

"La charge descend toujours par le chemin le plus raide jusqu'aux fondations."

🎛️ Simulateur de Charge Poteau

Modifiez l'entraxe et la portée pour voir l'évolution de la charge ELU sur le poteau central.

Paramètres Géométriques

Entraxe des poutres (m) : 5

Portée des poutres (m) : 6

Charge Linéaire (ELU) : - kN/m

Charge Poteau (ELU) : - kN

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente l'entraxe entre les poutres, la charge linéaire sur chaque poutre :

Diminue
Augmente
Reste la même

2. Laquelle de ces charges est une charge d'exploitation (Q) ?

Le poids des personnes
Le poids d'un mur en briques
Le poids de la dalle

📚 Glossaire

Charges Permanentes (G): Charges qui agissent de façon continue (poids propre, murs, équipements fixes).
Charges d'Exploitation (Q): Charges variables liées à l'utilisation (personnes, meubles, vent).
ELU (État Limite Ultime): Vérification de la résistance et stabilité (sécurité structurelle).
ELS (État Limite de Service): Vérification du confort (fissures, flèches).
Surface d'influence: Zone de plancher dont les charges sont reprises par un élément porteur donné.

Titre de l'article...

AUTRES SUJETS GÉNIE CIVIL

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Plan de Coffrage

Données Techniques

Questions à traiter

Les Bases Théoriques

Correction : Descente de charges d'un plancher en béton armé

Question 1 : Charges Permanentes Surfaciques (G)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Coupe Dalle)

Calcul(s)

Conversion(s)

Calcul Intermédiaire

Calcul Principal

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Charge Linéaire sur la Poutre

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Chargement Poutre)

Calcul(s)

1. Calcul des charges linéaires permanentes (G)

2. Calcul des charges linéaires d'exploitation (Q)

3. Combinaisons d'actions (ELU et ELS)

Schéma (Après Calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Charge sur le Poteau Central P2

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Chargement Poteau)

Calcul(s)

Calcul Principal

Schéma (Après Calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Vérification du Poteau P2 (Compression)

Principe

Mini-Cours

Normes

Formule(s)

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Section Poteau)

Calcul(s)

1. Calcul de la résistance de design

2. Calcul de la contrainte appliquée

3. Comparaison

Réflexions

Points de vigilance