Descente des charges

Comprendre la descente des charges

Vous êtes ingénieur en structure et vous travaillez sur la conception d’un bâtiment de bureaux de trois étages (R+2) plus une toiture-terrasse. La structure principale est en béton armé. Votre tâche est de calculer la descente des charges verticales à travers les poutres et les colonnes jusqu'à la fondation d'un poteau du premier étage (RDC).

Données

Géométrie et Structure :
- Nombre d’étages : 3 (RDC, N1, N2)
- Toiture-terrasse (Niveau 3)
- Hauteur de chaque étage : 3 m
- Poteau étudié : Poteau central au RDC (Niveau 0)
- Dimensions du poteau (section carrée) : 400 mm x 400 mm
- Poutres principales (retombant sur le poteau) : 300 mm x 500 mm (largeur x hauteur)
- Portée de la poutre étudiée : 6 m
- Largeur influencée par la poutre étudiée : 5 m
Charges (surfaciques) :
- Charge permanente (G) sur les planchers : 500 kg/m² (inclut poids propre dalle, revêtements, cloisons légères, faux-plafond)
- Charge d’exploitation (Q) sur les planchers (bureaux) : 300 kg/m²
- Charge permanente (G) sur la toiture-terrasse : (à calculer)
- Charge d'exploitation (Q) sur la toiture-terrasse : 100 kg/m² (inaccessible)
Matériaux :
- Poids volumique du béton armé : \(\gamma_{\text{béton}} = 25 \, \text{kN/m}^3\)
Coefficients (Eurocode) :
- ELU : \(\gamma_G = 1.35\), \(\gamma_Q = 1.5\)

Schéma Simplifié (Coupe et Plan)

Questions

Convertir les charges surfaciques (G et Q) en kN/m².
Calculer le poids propre de la poutre étudiée par mètre linéaire.
Calculer la charge linéique totale (permanente et exploitation) supportée par la poutre étudiée à l'ELS et à l'ELU.
Calculer la charge totale (permanente et exploitation) transmise par le poteau étudié à sa base (niveau fondation) à l'ELU (\(N_{Ed}\)).

Correction : Calcul de Descente de Charge

Question 1 : Conversion des Charges Surfaciques en kN/m²

Principe :

Les charges sont données en kg/m². Pour les utiliser dans les calculs de structure (normes Eurocodes), il faut les convertir en kN/m² en multipliant par l'accélération de la gravité \(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\) et en divisant par 1000.

Approximation courante : \(g \approx 10 \, \text{m/s}^2\), donc 1 kg/m² ≈ 0.01 kN/m².

Calculs (avec \(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\)) :

Charge permanente plancher courant :

G_{\text{plancher}} = 500 \, \text{kg/m}^2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 / 1000 \] \[ G_{\text{plancher}} \approx 4.91 \, \text{kN/m}^2

Charge d'exploitation plancher courant :

Q_{\text{plancher}} = 300 \, \text{kg/m}^2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 / 1000 \] \[ Q_{\text{plancher}} \approx 2.94 \, \text{kN/m}^2

Charge d'exploitation toiture :

Q_{\text{toiture}} = 100 \, \text{kg/m}^2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 / 1000 \] \[ Q_{\text{toiture}} \approx 0.98 \, \text{kN/m}^2

Note : La charge permanente de toiture n'est pas donnée en kg/m², on la calculera à l'étape suivante.

Résultat Question 1 : Les charges surfaciques converties sont :

Plancher courant : \(G \approx 4.91 \, \text{kN/m}^2\), \(Q \approx 2.94 \, \text{kN/m}^2\)
Toiture : \(Q \approx 0.98 \, \text{kN/m}^2\)

Pour simplifier les calculs suivants, nous utiliserons les approximations courantes : \(G_{\text{plancher}} = 5.0 \, \text{kN/m}^2\), \(Q_{\text{plancher}} = 3.0 \, \text{kN/m}^2\), \(Q_{\text{toiture}} = 1.0 \, \text{kN/m}^2\).

Question 2 : Poids Propre Linéique de la Poutre

Principe :

Le poids propre linéique d'une poutre est son poids volumique multiplié par sa section transversale.

Données :

Section poutre : \(0.30 \, \text{m} \times 0.50 \, \text{m} \)\(= 0.15 \, \text{m}^2\)
\(\gamma_{\text{béton}} = 25 \, \text{kN/m}^3\)

Calcul :

\begin{aligned} g_{k, \text{poutre}} &= \text{Section} \times \gamma_{\text{béton}} \\ &= 0.15 \, \text{m}^2 \times 25 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 3.75 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Résultat Question 2 : Le poids propre linéique de la poutre est \(g_{k, \text{poutre}} = 3.75 \, \text{kN/m}\).

Question 3 : Charge Linéique sur la Poutre (ELS et ELU)

Principe :

La poutre supporte son propre poids plus les charges surfaciques du plancher (G et Q) appliquées sur sa largeur d'influence.

Calcul Charge Linéique ELS (\(p_{ser}\)) :

\(G_{\text{plancher}} \approx 5.0 \, \text{kN/m}^2\) (simplifié)
\(Q_{\text{plancher}} \approx 3.0 \, \text{kN/m}^2\) (simplifié)
\(g_{k, \text{poutre}} = 3.75 \, \text{kN/m}\)
Largeur influencée = 5 \(\text{m}\)

p_{ser} = (G_{\text{plancher}} + Q_{\text{plancher}}) \times \text{Largeur influencée} + g_{k, \text{poutre}}

p_{ser} = (5.0 + 3.0) \, \text{kN/m}^2 \times 5 \, \text{m} + 3.75 \, \text{kN/m}

p_{ser} = 8.0 \times 5 + 3.75 \] \[ p_{ser} = 40 + 3.75 \] \[ p_{ser} = 43.75 \, \text{kN/m}

Calcul Charge Linéique ELU (\(p_{Ed}\)) :

On pondère séparément les charges G et Q avant de les additionner.

p_{Ed} = \gamma_G (G_{\text{plancher}} \times \text{Largeur influencée} + g_{k, \text{poutre}}) + \gamma_Q (Q_{\text{plancher}} \times \text{Largeur influencée})

\(\gamma_G = 1.35\)
\(\gamma_Q = 1.5\)

\begin{aligned} p_{Ed} &= 1.35 \times (5.0 \times 5 + 3.75) + 1.5 \times (3.0 \times 5) \\ &= 1.35 \times (25 + 3.75) + 1.5 \times 15 \\ &= 1.35 \times 28.75 + 22.5 \\ &= 38.81 + 22.5 \\ &= 61.31 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Résultat Question 3 : La charge linéique sur la poutre est :

ELS : \(p_{ser} \approx 43.8 \, \text{kN/m}\)
ELU : \(p_{Ed} \approx 61.3 \, \text{kN/m}\)

Question 4 : Charge totale ultime (\(N_{\text{Ed}}\)) sur la fondation

Principe :

On cumule les charges ELU de chaque niveau (Toiture, N2, N1, N0) reprises par le poteau, en ajoutant le poids propre du poteau sur toute sa hauteur (RDC + 2 étages).

Charges ELU par niveau reprises par le poteau :

On utilise les charges surfaciques (simplifiées) et les coefficients ELU.

G_{\text{Ed, Toiture}} = \gamma_G G_{\text{toiture}} \times A_{\text{inf}}

Calcul G Toiture : \(G_{\text{toiture}} = 5.0 \, \text{kN/m}^2\) (donnée)

G_{\text{Ed, Toiture}} = 1.35 \times 5.0 \, \text{kN/m}^2 \times 30 \, \text{m}^2 \] \[ G_{\text{Ed, Toiture}} = 202.5 \, \text{kN}

Q_{\text{Ed, Toiture}} = \gamma_Q Q_{\text{toiture}} \times A_{\text{inf}} \] \[ Q_{\text{Ed, Toiture}} = 1.5 \times 1.0 \, \text{kN/m}^2 \times 30 \, \text{m}^2 \] \[ Q_{\text{Ed, Toiture}} = 45 \, \text{kN}

G_{\text{Ed, Etage}} = \gamma_G G_{\text{etage}} \times A_{\text{inf}} \] \[ G_{\text{Ed, Etage}} = 1.35 \times 6.0 \, \text{kN/m}^2 \times 30 \, \text{m}^2 \] \[ G_{\text{Ed, Etage}} = 243 \, \text{kN}

Q_{\text{Ed, Etage}} = \gamma_Q Q_{\text{etage}} \times A_{\text{inf}} \] \[ Q_{\text{Ed, Etage}} = 1.5 \times 2.5 \, \text{kN/m}^2 \times 30 \, \text{m}^2 \] \[ Q_{\text{Ed, Etage}} = 112.5 \, \text{kN}

Poids propre ultime du poteau :

Hauteur totale = 3 étages x 3 m/étage = 9 m.

G_{\text{Ed, poteau}} = \gamma_G \times g_{k, \text{poteau, lin}} \times H

G_{\text{Ed, poteau}} = 1.35 \times (4.0 \, \text{kN/m}) \times (3 \times 3.0 \, \text{m}) \] \[ G_{\text{Ed, poteau}} = 1.35 \times 4.0 \times 9.0 \] \[ G_{\text{Ed, poteau}} = 48.6 \, \text{kN}

Calcul de la Charge Cumulative Ultime (\(N_{Ed}\)) :

\(N_{Ed}\) = Charges ELU (Toiture + N2 + N1) + Poids propre ELU du poteau (N0 à N2)

N_{\text{Ed}} = (G_{\text{Ed, Toiture}} + Q_{\text{Ed, Toiture}}) + 2 \times (G_{\text{Ed, Etage}} + Q_{\text{Ed, Etage}}) + G_{\text{Ed, poteau}}

\begin{aligned} N_{\text{Ed}} &= (202.5 + 45) + 2 \times (243 + 112.5) + 48.6 \\ &= 247.5 + 2 \times 355.5 + 48.6 \\ &= 247.5 + 711 + 48.6 \\ &= 1007.1 \, \text{kN} \end{aligned}

Alternative (plus directe en utilisant les charges G et Q cumulées de la Q3 et en appliquant \(\gamma_G\) et \(\gamma_Q\)) :

\(G_{\text{cumul}} = 546 \, \text{kN}\) (calculé avec G=6.0 pour plancher)
\(Q_{\text{cumul}} = 180 \, \text{kN}\) (calculé avec Q=2.5 pour plancher)

\begin{aligned} N_{\text{Ed}} &= \gamma_G G_{\text{cumul}} + \gamma_Q Q_{\text{cumul}} \\ &= (1.35 \times 546 \, \text{kN}) + (1.5 \times 180 \, \text{kN}) \\ &= 737.1 \, \text{kN} + 270 \, \text{kN} \\ &= 1007.1 \, \text{kN} \end{aligned}

Les deux méthodes donnent le même résultat.

Résultat Question 4 : La charge totale ultime transmise par le poteau central à sa fondation est \(N_{\text{Ed}} \approx 1007 \, \text{kN}\).