Comprendre l’Effort Tranchant et le Moment

1. Introduction : Sollicitations Internes

1.1 Notion de Torseur de Cohésion

Lorsqu'une structure (poutre, par exemple) est soumise à des charges externes (forces, moments), des efforts internes se développent en chaque section droite pour assurer l'équilibre global et local de la structure. Ces efforts internes sont appelés sollicitations.

En un point G d'une section droite S, l'ensemble des actions mécaniques exercées par la partie droite de la poutre (partie II) sur la partie gauche (partie I) peut être représenté par un torseur de cohésion. Ce torseur est composé de :

• Une résultante des forces, \(\vec{R}\), qui se décompose en :
  • Un effort normal \(N\) (axial, le long de l'axe de la poutre).
  • Un effort tranchant \(T\) (ou \(V\)), contenu dans le plan de la section. Il peut avoir deux composantes \(T_y\) et \(T_z\).
• Un moment résultant au point G, \(\vec{M_G}\), qui se décompose en :
  • Un moment de torsion \(M_t\) (autour de l'axe de la poutre).
  • Un moment fléchissant \(M_f\) (ou \(M\)), dont le vecteur est contenu dans le plan de la section. Il peut avoir deux composantes \(M_{fy}\) et \(M_{fz}\).

Dans ce cours, nous nous concentrerons sur l'effort tranchant et le moment fléchissant dans le cas de la flexion plane (charges et géométrie dans un plan).

1.2 Définition de l'Effort Tranchant (T ou V)

L'effort tranchant \(T(x)\) en une section d'abscisse \(x\) est la composante, dans le plan de la section et perpendiculaire à l'axe de la poutre, de la résultante des forces exercées par la partie de la poutre située d'un côté de la coupure sur la partie située de l'autre côté.

Physiquement, l'effort tranchant représente la tendance des forces externes à faire "cisailler" ou "glisser" verticalement une section par rapport à la section voisine.

Effort tranchant \(T(x)\) dans une section S d'une poutre.

1.3 Définition du Moment Fléchissant (M)

Le moment fléchissant \(M(x)\) en une section d'abscisse \(x\) est la composante, dont le vecteur est contenu dans le plan de la section et perpendiculaire à l'axe de la poutre, du moment résultant des forces exercées par la partie de la poutre située d'un côté de la coupure sur la partie située de l'autre côté, par rapport au centre de gravité de la section.

Physiquement, le moment fléchissant représente la tendance des forces externes à faire "fléchir" ou "courber" la poutre.

Moment fléchissant \(M(x)\) dans une section S d'une poutre.

1.4 Conventions de Signes

Des conventions de signes sont nécessaires pour définir T et M. Une convention courante est :

• Effort Tranchant (T) : Positif s'il tend à faire tourner le tronçon isolé dans le sens horaire. Pour une poutre horizontale et des charges verticales, si on isole la partie gauche, T est positif si la résultante des forces à gauche de la coupure est vers le haut (ou si la résultante des forces à droite est vers le bas).
• Moment Fléchissant (M) : Positif s'il tend à courber la poutre de manière à rendre les fibres inférieures tendues (et les fibres supérieures comprimées - "sourire" de la poutre). Pour une poutre horizontale, si on isole la partie gauche, M est positif si le moment des forces à gauche de la coupure est dans le sens anti-horaire.

Il est crucial d'être cohérent avec la convention choisie tout au long d'un calcul.

2. Relations Différentielles Fondamentales

Il existe des relations mathématiques directes entre les charges appliquées, l'effort tranchant et le moment fléchissant, obtenues par l'équilibre d'un tronçon infinitésimal de poutre.

2.1 Équilibre d'un Tronçon Infinitésimal

Considérons un petit élément de poutre de longueur \(dx\), soumis à une charge répartie \(q(x)\) (positive vers le bas), un effort tranchant \(T(x)\) et un moment \(M(x)\) à son extrémité gauche, et \(T(x)+dT\) et \(M(x)+dM\) à son extrémité droite.

Équilibre d'un tronçon infinitésimal de poutre.

2.2 Relation entre Charge Répartie et Effort Tranchant

L'équilibre des forces verticales sur le tronçon \(dx\) s'écrit : \[ T(x) - (T(x)+dT) - q(x)dx = 0 \] \[ -dT - q(x)dx = 0 \] D'où : \[ \frac{dT}{dx} = -q(x) \] (Ou \(\frac{dV}{dx} = -q(x)\) si on note V l'effort tranchant)

Cela signifie que la dérivée de l'effort tranchant par rapport à \(x\) est égale à l'opposé de l'intensité de la charge répartie. Autrement dit, la pente de la tangente au diagramme de l'effort tranchant en un point est égale à \(-q(x)\) en ce point.

Si \(q(x) = 0\) (pas de charge répartie), alors \(dT/dx = 0\), donc \(T(x)\) est constant.

2.3 Relation entre Effort Tranchant et Moment Fléchissant

L'équilibre des moments par rapport à l'extrémité droite du tronçon (point d'abscisse \(x+dx\)) s'écrit (en négligeant les termes d'ordre supérieur comme \(T(x)dx^2/2\)) : \[ -M(x) + (M(x)+dM) - T(x)dx + q(x)dx \frac{dx}{2} = 0 \] En simplifiant et en négligeant le terme \(q(x)dx^2/2\) (infiniment petit d'ordre 2) : \[ dM - T(x)dx = 0 \] D'où : \[ \frac{dM}{dx} = T(x) \] (Ou \(\frac{dM}{dx} = V(x)\))

Cela signifie que la dérivée du moment fléchissant par rapport à \(x\) est égale à l'effort tranchant. Autrement dit, la pente de la tangente au diagramme du moment fléchissant en un point est égale à \(T(x)\) en ce point.

Une conséquence importante est que le moment fléchissant est maximal ou minimal lorsque sa dérivée est nulle, c'est-à-dire lorsque l'effort tranchant \(T(x) = 0\).

2.4 Implications pour le Tracé des Diagrammes

• Si \(q(x)\) est constant (charge uniformément répartie), \(T(x)\) est linéaire (pente \(-q\)), et \(M(x)\) est parabolique.
• Si \(q(x)\) est nul, \(T(x)\) est constant, et \(M(x)\) est linéaire (pente \(T\)).
• Une charge concentrée \(P\) vers le bas provoque un saut de \(+P\) sur le diagramme de \(T(x)\) (si on parcourt la poutre de gauche à droite et que T est la résultante à gauche). La pente de \(M(x)\) change brusquement.
• Un moment concentré \(M_0\) (sens anti-horaire) provoque un saut de \(-M_0\) sur le diagramme de \(M(x)\) (si on parcourt de gauche à droite).

3. Calcul et Tracé des Diagrammes (DET et DMF)

La méthode fondamentale pour déterminer \(T(x)\) et \(M(x)\) est la méthode des coupures. Pour en savoir plus sur le calcul de l'effort tranchant et du moment fléchissant, vous pouvez consulter des ressources complémentaires. Elle consiste à :

3.1 Méthode des Coupures (Sections)

1. Calculer les réactions d'appuis : En appliquant les équations de la statique à l'ensemble de la poutre.
2. Faire une coupure imaginaire : À une abscisse \(x\) quelconque dans un intervalle où les charges sont continues.
3. Isoler l'un des tronçons : Généralement le tronçon de gauche.
4. Écrire les équations d'équilibre de ce tronçon isolé, en faisant apparaître \(T(x)\) et \(M(x)\) au niveau de la coupure (avec les conventions de signe choisies).
   • \(\sum F_z = 0 \Rightarrow T(x)\)
   • \(\sum M_{/coupure} = 0 \Rightarrow M(x)\)
5. Répéter l'opération pour chaque intervalle de la poutre où la nature ou l'intensité des charges change.

Les expressions de \(T(x)\) et \(M(x)\) obtenues sont ensuite utilisées pour tracer les diagrammes.

3.2 Cas de Charges Discontinues (Concentrées)

Lorsqu'une charge concentrée \(P\) est appliquée en un point :

• Le diagramme de l'effort tranchant \(T(x)\) présente une discontinuité (saut) d'amplitude égale à \(P\) à l'abscisse de la charge.
• Le diagramme du moment fléchissant \(M(x)\) est continu mais présente un point anguleux (changement de pente) à l'abscisse de la charge. La variation de pente est égale à la valeur de la charge concentrée (car \(dT = -P \Rightarrow \Delta(dM/dx) = -P\)).

3.3 Cas des Charges Réparties

Pour une charge répartie \(q(x)\) :

• La variation de l'effort tranchant entre deux sections \(x_1\) et \(x_2\) est : \(\Delta T = T(x_2) - T(x_1) = - \int_{x_1}^{x_2} q(x) dx\). C'est l'opposé de l'aire sous la courbe de charge entre \(x_1\) et \(x_2\).
• La variation du moment fléchissant entre deux sections \(x_1\) et \(x_2\) est : \(\Delta M = M(x_2) - M(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} T(x) dx\). C'est l'aire sous la courbe de l'effort tranchant entre \(x_1\) et \(x_2\).

3.4 Cas des Moments Concentrés

Lorsqu'un moment concentré \(M_0\) est appliqué en un point :

• Le diagramme de l'effort tranchant \(T(x)\) n'est pas affecté par le moment concentré.
• Le diagramme du moment fléchissant \(M(x)\) présente une discontinuité (saut) d'amplitude égale à \(M_0\) à l'abscisse du moment.

3.5 Points Particuliers et Allure des Diagrammes

• Aux extrémités libres d'une poutre (sans charge ni moment ponctuel), \(T=0\) et \(M=0\).
• Sur un appui simple, \(M=0\) (sauf si un moment y est appliqué).
• Sur un encastrement, \(T\) et \(M\) sont généralement non nuls (réactions d'encastrement).
• Le moment fléchissant est extrémal (maximum ou minimum local) lorsque l'effort tranchant \(T(x) = 0\). Ces points sont cruciaux pour le dimensionnement.

4. Exemples d'Application

4.1 Poutre sur Deux Appuis Simples avec Charge Concentrée

Soit une poutre de longueur \(L\) sur deux appuis simples A (en \(x=0\)) et B (en \(x=L\)), soumise à une charge \(P\) en \(x=a\).

Poutre sur deux appuis simples avec charge concentrée P.

Réactions : \(R_A = P(L-a)/L\), \(R_B = Pa/L\).

• Pour \(0 \le x < a\) : \(T(x) = R_A\), \(M(x) = R_A x\).
• Pour \(a < x \le L\) : \(T(x) = R_A - P\), \(M(x) = R_A x - P(x-a)\).

\(M_{max}\) se produit en \(x=a\) et vaut \(M(a) = P a (L-a) / L\).

4.2 Poutre sur Deux Appuis Simples avec Charge Uniformément Répartie

Soit une poutre de longueur \(L\) sur deux appuis simples, soumise à une charge \(q\) uniformément répartie sur toute sa longueur.

Poutre sur deux appuis simples avec charge uniformément répartie q.

Réactions : \(R_A = R_B = qL/2\).

Pour \(0 \le x \le L\) :

• \(T(x) = R_A - qx = qL/2 - qx\)
• \(M(x) = R_A x - qx^2/2 = (qx/2)(L-x)\)

\(T(x) = 0\) pour \(x = L/2\). \(M_{max} = M(L/2) = qL^2/8\).

4.3 Poutre en Porte-à-Faux (Console) avec Charge à l'Extrémité

Poutre encastrée en A (\(x=0\)) et libre en B (\(x=L\)), avec une charge \(P\) en B.

Poutre en porte-à-faux avec charge P à l'extrémité.

Réactions en A : \(T_A = P\), \(M_A = -PL\) (moment d'encastrement, négatif selon la convention si P est vers le bas).

Pour \(0 \le x \le L\) (coupure depuis l'extrémité libre B, \(x'\) distance de B) :

• \(T(x') = P\)
• \(M(x') = -Px'\)

Si on mesure \(x\) depuis l'encastrement A : \(T(x) = P\), \(M(x) = -PL + Px = -P(L-x)\).

\(M_{max}\) (en valeur absolue) est à l'encastrement : \(|M(0)| = PL\).

4.4 Poutre en Porte-à-Faux avec Charge Uniformément Répartie

Poutre encastrée en A (\(x=0\)) et libre en B (\(x=L\)), avec une charge \(q\) sur toute sa longueur.

Réactions en A : \(T_A = qL\), \(M_A = -qL^2/2\).

Pour \(0 \le x \le L\) (coupure depuis l'extrémité libre B, \(x'\) distance de B) :

• \(T(x') = qx'\)
• \(M(x') = -qx'^2/2\)

Si on mesure \(x\) depuis l'encastrement A : \(T(x) = q(L-x)\), \(M(x) = -q(L-x)^2/2\).

\(M_{max}\) (en valeur absolue) est à l'encastrement : \(|M(0)| = qL^2/2\).

5. Importance pour le Dimensionnement des Structures

Les diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant sont fondamentaux car ils permettent de déterminer les sollicitations maximales que doit supporter la structure, et donc de dimensionner les sections des éléments.

5.1 Relation avec les Contraintes de Cisaillement (\(\tau\))

L'effort tranchant \(T\) est directement lié aux contraintes de cisaillement \(\tau\) dans la section. Pour une section rectangulaire, la contrainte de cisaillement maximale est \(\tau_{max} = 1.5 \cdot T/A\). La vérification de la résistance au cisaillement est essentielle, notamment pour le béton armé (dimensionnement des armatures transversales) et l'acier.

5.2 Relation avec les Contraintes Normales de Flexion (\(\sigma\))

Le moment fléchissant \(M\) est directement lié aux contraintes normales \(\sigma\) (de traction et de compression) dues à la flexion. La formule de Navier pour les matériaux élastiques est \(\sigma = (M/I) \cdot y\). La contrainte maximale de flexion se produit aux fibres les plus éloignées de l'axe neutre. C'est souvent cette contrainte qui dimensionne la section en flexion.

5.3 Utilisation pour la Vérification de la Résistance

En comparant les contraintes maximales (\(\sigma_{max}, \tau_{max}\)) calculées à partir de \(M_{max}\) et \(T_{max}\) aux résistances admissibles ou de calcul du matériau, on s'assure que la structure ne rompra pas sous l'effet des charges.

5.4 Utilisation pour le Calcul des Déformées (Flèches)

L'équation de la déformée d'une poutre (\(y(x)\)) est liée au moment fléchissant par la relation différentielle \(EI \cdot y''(x) = -M(x)\) (pour les petites déformations, avec la convention de M positif "sourire"). L'intégration de cette équation permet de calculer les flèches, dont la limitation est un critère important à l'ELS.

6. Conclusion

L'effort tranchant et le moment fléchissant sont des concepts centraux en Résistance des Matériaux et dans la conception des structures. Leur détermination précise par la méthode des coupures et le tracé de leurs diagrammes (DET et DMF) permettent d'identifier les sections les plus sollicitées d'un élément.

Ces diagrammes sont ensuite indispensables pour calculer les contraintes internes (normales et de cisaillement) et vérifier que celles-ci restent inférieures aux capacités du matériau choisi, assurant ainsi la sécurité et la fonctionnalité de l'ouvrage. La maîtrise de ces outils d'analyse est donc une compétence fondamentale pour tout ingénieur ou technicien en génie civil.