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Résistance au poinçonnement d’une semelle en bois

Résistance au poinçonnement d’une semelle en bois

Résistance au poinçonnement d’une semelle en bois

Contexte : La descente de charge, un point crucial des structures bois.

Dans les structures à ossature bois, les charges verticales des poteaux doivent être transmises en toute sécurité aux éléments inférieurs, comme les lisses basses ou les fondations. Cette transmission se fait via une semellePièce de bois horizontale placée sous un poteau ou un mur pour répartir la charge sur une plus grande surface. Aussi appelée lisse basse. d'assise. Un mode de rupture critique à vérifier est le poinçonnement, où le poteau, sous l'effet d'une charge concentrée, risque d'écraser localement les fibres de la semelle. Ce phénomène est régi par la résistance du bois à la compression perpendiculaire au grainRésistance du bois lorsque la force est appliquée perpendiculairement à la direction des fibres. Le bois est beaucoup moins résistant dans cette direction que parallèlement aux fibres.. Cet exercice, basé sur l'Eurocode 5, vous guide dans la vérification de cet assemblage fondamental.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un calcul de vérification typique en ingénierie bois. Contrairement à l'acier qui est isotrope (mêmes propriétés dans toutes les directions), le bois est anisotrope. Sa résistance varie énormément selon que la charge est appliquée parallèlement ou perpendiculairement aux fibres. Comprendre et calculer cette résistance à la compression perpendiculaire est donc essentiel pour la sécurité des assemblages.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la résistance de calcul du bois en compression perpendiculaire au grain.
  • Déterminer l'aire de contact efficace en tenant compte de la diffusion de la charge.
  • Calculer la contrainte de compression appliquée sur cette aire efficace.
  • Appliquer le coefficient \(k_{\text{c},90}\) qui majore la résistance locale.
  • Effectuer la vérification réglementaire au poinçonnement selon l'Eurocode 5.

Données de l'étude

On étudie l'appui d'un poteau carré en bois lamellé-collé sur une semelle en bois massif. La semelle repose sur un support considéré comme indéformable (dalle en béton). On cherche à vérifier que la semelle ne s'endommage pas par poinçonnement sous l'effet de la charge du poteau.

Schéma de l'assemblage Poteau/Semelle
F 45° h = 60 b_p = 120
Paramètre Symbole Valeur Unité
Charge de calcul appliquée \(F_{\text{c,d}}\) 80 \(\text{kN}\)
Largeur du poteau / semelle \(b_p = b_s\) 120 \(\text{mm}\)
Longueur du poteau \(l_p\) 120 \(\text{mm}\)
Hauteur de la semelle \(h_s\) 60 \(\text{mm}\)
Classe du bois de la semelle - C24 -
Résistance carac. \( \perp \) au grain (C24) \(f_{\text{c},90,\text{k}}\) 2.5 \(\text{MPa}\)
Coefficient de modification \(k_{\text{mod}}\) 0.8 -
Coefficient partiel de sécurité \(\gamma_M\) 1.3 -

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance de calcul en compression perpendiculaire au grain, \(f_{\text{c},90,\text{d}}\).
  2. Déterminer l'aire de contact efficace \(A_{\text{ef}}\) sous le poteau.
  3. Calculer la contrainte de compression de calcul \(\sigma_{\text{c},90,\text{d}}\) sur l'aire efficace.
  4. Vérifier la sécurité au poinçonnement en comparant la contrainte à la résistance, en utilisant un coefficient \(k_{\text{c},90}\) de 1.5.

Les bases de la Compression Perpendiculaire

Avant de commencer la correction, voici les concepts clés de l'Eurocode 5 pour ce type de vérification.

1. Résistance de Calcul (\(f_{\text{c},90,\text{d}}\)) :
La résistance de calcul est obtenue à partir de la résistance caractéristique (\(f_{\text{c},90,\text{k}}\)), donnée pour chaque classe de bois. On l'ajuste avec le coefficient \(k_{\text{mod}}\) (qui dépend de la durée de la charge et de l'humidité) et on la divise par le coefficient de sécurité \(\gamma_M\). \[ f_{\text{c},90,\text{d}} = \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{c},90,\text{k}}}{\gamma_M} \]

2. Diffusion de la Charge et Aire Efficace (\(A_{\text{ef}}\)) :
La charge ne reste pas confinée à l'aplomb du poteau. Elle se diffuse dans l'épaisseur de la semelle. L'Eurocode 5 admet une diffusion à 45°. La surface de contact initiale \(A_{\text{contact}} = b_p \cdot l_p\) s'agrandit pour devenir une aire efficace \(A_{\text{ef}}\) plus grande, ce qui diminue la contrainte. \[ A_{\text{ef}} = b_p \cdot (l_p + 2h_s) \]

3. Le Coefficient \(k_{\text{c},90}\) :
Ce coefficient majeur (souvent > 1) reconnaît que le bois non chargé autour de la zone d'appui empêche les fibres comprimées de "s'échapper" latéralement. Cet effet de confinement augmente localement la résistance. Sa valeur dépend de la géométrie de l'appui. Pour un appui non situé en extrémité, une valeur de 1.5 est souvent utilisée en première approche. La vérification finale est donc : \[ \sigma_{\text{c},90,\text{d}} = \frac{F_{\text{c,d}}}{A_{\text{ef}}} \le k_{\text{c},90} \cdot f_{\text{c},90,\text{d}} \]

Correction : Résistance au poinçonnement d’une semelle en bois

Question 1 : Calculer la résistance de calcul (\(f_{\text{c},90,\text{d}}\))

Principe (le concept physique)

La résistance d'un matériau n'est pas une valeur absolue. En ingénierie, on part d'une valeur "caractéristique" (\(f_k\)), obtenue en laboratoire, et on l'adapte aux conditions réelles du projet. On la réduit pour tenir compte de la durée des charges et de l'humidité (\(k_{\text{mod}}\)) et on applique un coefficient de sécurité (\(\gamma_M\)) pour couvrir les incertitudes. On obtient ainsi la résistance de "calcul" (\(f_d\)), la seule utilisée pour les vérifications.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le \(k_{\text{mod}}\) est crucial en structure bois. Une charge permanente (ex: poids propre) aura un \(k_{\text{mod}}\) plus faible (ex: 0.6) qu'une charge de neige (moyen terme, \(k_{\text{mod}}\)=0.8) ou de vent (court terme, \(k_{\text{mod}}\)=1.0). Le bois peut supporter des charges plus importantes si elles sont de courte durée. Ce calcul transforme une propriété de base du matériau en une valeur de conception fiable.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La philosophie du "calcul aux états limites" (base des Eurocodes) consiste à s'assurer qu'une action défavorable (la charge) reste inférieure à une résistance favorable (la capacité du matériau). Les coefficients \(\gamma_M\) et \(k_{\text{mod}}\) sont au cœur de cette approche sécuritaire, garantissant une marge de sécurité face aux aléas.

Normes (la référence réglementaire)

Cette méthode de calcul est définie dans l'Eurocode 5 (EN 1995-1-1). La valeur de \(f_{\text{c},90,\text{k}}\) est tirée du tableau des propriétés des bois massifs (Tableau 1 de la NF EN 338). Les valeurs de \(k_{\text{mod}}\) et \(\gamma_M\) sont également spécifiées dans la norme en fonction de la classe de service et du type de charge.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule de base pour la résistance de calcul est :

\[ f_{\text{c},90,\text{d}} = \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{\text{c},90,\text{k}}}{\gamma_M} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le bois est en classe de service 2 (humidité modérée, ex: charpente abritée non chauffée), ce qui justifie le \(k_{\text{mod}}\) de 0.8 pour une charge de moyen terme comme la neige. Le matériau est supposé homogène et conforme à sa classe de résistance C24.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Résistance caractéristique, \(f_{\text{c},90,\text{k}} = 2.5 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient de modification, \(k_{\text{mod}} = 0.8\)
  • Coefficient de sécurité, \(\gamma_M = 1.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Les unités sont déjà cohérentes. Le résultat sera directement en MPa (N/mm²). Notez que \(f_{\text{c},90,\text{d}}\) est souvent de l'ordre de 1 à 2 MPa, une valeur très faible comparée à la résistance du bois en compression parallèle au grain (environ 10 fois plus) ou à celle de l'acier.

Schéma (Avant les calculs)
Obtention de la Résistance de Calcul
f_k = 2.5 MPa/ γ_M, * k_modf_d = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique directement la formule.

\[ \begin{aligned} f_{\text{c},90,\text{d}} &= \frac{0.8 \cdot 2.5 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &= \frac{2.0}{1.3} \, \text{MPa} \\ &\approx 1.54 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur de la Résistance de Calcul
f_c,90,d ≈ 1.54 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La résistance de calcul de notre semelle en bois C24, pour ces conditions de charge et d'humidité, est de 1.54 MPa. C'est la valeur de contrainte maximale admissible que le matériau peut supporter (avant application du facteur \(k_{\text{c},90}\)). Toute contrainte appliquée supérieure à cette valeur mènerait à un écrasement irréversible des fibres.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de choisir un mauvais coefficient \(k_{\text{mod}}\). Il faut bien identifier la classe de service (1, 2 ou 3) et la durée de la charge la plus contraignante (permanente, moyen terme, court terme, instantanée) pour sélectionner la bonne valeur dans les tableaux de l'Eurocode 5.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance de calcul \(f_d\) est toujours inférieure à la résistance caractéristique \(f_k\).
  • Elle intègre les conditions d'usage (\(k_{\text{mod}}\)) et une marge de sécurité (\(\gamma_M\)).
  • C'est la seule valeur de résistance à utiliser dans les vérifications finales.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le coefficient de sécurité \(\gamma_M\) pour le bois (1.3) est plus élevé que pour l'acier (1.0). Cela reflète la plus grande variabilité du bois, qui est un matériau naturel, par rapport à l'acier, qui est un produit industriel très contrôlé.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi k_mod est-il parfois inférieur à 1 ?

Le bois est un matériau viscoélastique, ce qui signifie qu'il peut se déformer lentement sous une charge constante, un phénomène appelé fluage. Le coefficient \(k_{\text{mod}}\) réduit la résistance pour les charges de longue durée pour tenir compte de cet effet et garantir la sécurité sur le long terme.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance de calcul en compression perpendiculaire au grain est \(f_{\text{c},90,\text{d}} \approx 1.54 \, \text{MPa}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge était permanente (\(k_{\text{mod}} = 0.6\)), quelle serait la nouvelle résistance de calcul \(f_{\text{c},90,\text{d}}\) en MPa ?

Question 2 : Déterminer l'aire de contact efficace (\(A_{\text{ef}}\))

Principe (le concept physique)

Imaginez appuyer avec votre pouce sur une éponge. La pression n'est pas seulement sous votre pouce, elle se répartit plus largement à l'intérieur de l'éponge. C'est le même principe ici. La charge du poteau se diffuse à travers l'épaisseur de la semelle. L'Eurocode 5 modélise cette diffusion par un angle de 45°. L'aire qui supporte réellement la charge à la base de la semelle est donc plus grande que l'aire du poteau, ce qui est favorable à la sécurité.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce concept de diffusion de charge est une simplification d'un phénomène plus complexe de distribution des contraintes (le "bulbe de pression"). Le modèle de diffusion à 45° est une approche simple et sécuritaire adoptée par la norme pour éviter des calculs complexes par éléments finis. La diffusion se fait de chaque côté de la surface de contact, sur une distance égale à l'épaisseur de la pièce traversée.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez aux raquettes à neige : elles répartissent votre poids sur une grande surface pour vous empêcher de vous enfoncer. La semelle joue un rôle similaire, mais en utilisant sa propre épaisseur pour "créer" une surface de contact plus grande à sa base. Plus la semelle est haute, plus les "raquettes" sont grandes et plus la pression diminue.

Normes (la référence réglementaire)

La méthode de calcul de l'aire efficace par diffusion est décrite à la section 6.1.5 de l'Eurocode 5 (EN 1995-1-1). La norme précise que la diffusion peut être prise en compte jusqu'à une distance de \(h_s\) de chaque côté de l'aire chargée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La longueur de contact \(l_p\) est "augmentée" de chaque côté par la hauteur de la semelle \(h_s\). L'aire efficace est la largeur du poteau multipliée par cette longueur efficace.

\[ A_{\text{ef}} = b_p \cdot (l_p + 2 \cdot h_s) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la semelle repose sur un support rigide (béton) qui ne se déforme pas, permettant à la charge de se diffuser. On suppose également que la charge est appliquée suffisamment loin des extrémités de la semelle pour permettre une diffusion des deux côtés.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Largeur du poteau, \(b_p = 120 \, \text{mm}\)
  • Longueur du poteau, \(l_p = 120 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la semelle, \(h_s = 60 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour une diffusion à 45°, la largeur de diffusion de chaque côté est simplement égale à la hauteur de la pièce. Ici, la semelle fait 60 mm de haut, donc on ajoute 60 mm de chaque côté de la longueur du poteau. C'est un calcul très direct.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la Diffusion de Charge
Poteau (lp=120)l_ef = 120 + 2 * 60 = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule d'abord la longueur efficace, puis l'aire efficace.

\[ \begin{aligned} l_{\text{ef}} &= 120 \, \text{mm} + 2 \cdot 60 \, \text{mm} \\ &= 120 \, \text{mm} + 120 \, \text{mm} \\ &= 240 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_{\text{ef}} &= 120 \, \text{mm} \cdot 240 \, \text{mm} \\ &= 28800 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Aire Efficace Calculée
A_ef = 28 800 mm²
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'aire de contact initiale du poteau était de \(120 \times 120 = 14400 \, \text{mm}^2\). Grâce à la diffusion de la charge dans la semelle de 60 mm de haut, l'aire efficace est de \(28800 \, \text{mm}^2\), soit exactement le double. Cela signifie que la contrainte appliquée sera divisée par deux, ce qui améliore considérablement la sécurité de l'assemblage.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention, cette diffusion n'est pas infinie. Si la semelle est courte, la longueur efficace ne peut pas dépasser la longueur totale de la semelle. De plus, si le poteau est au bord de la semelle, la diffusion ne se fait que d'un seul côté. La formule \(l_p + 2h_s\) n'est valable que pour un appui centré.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La charge se diffuse à 45° dans l'épaisseur de la pièce en bois.
  • L'aire efficace \(A_{\text{ef}}\) est plus grande que l'aire de contact initiale.
  • Une pièce d'appui plus haute conduit à une plus grande diffusion et donc une contrainte plus faible.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les assemblages bois traditionnels (tenon-mortaise), les artisans utilisaient intuitivement ce principe. Les "épaulements" d'un tenon augmentent la surface de contact et répartissent la charge, jouant un rôle similaire à celui de la diffusion dans une semelle.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette diffusion à 45° est-elle réaliste ?

Oui, c'est une simplification technique qui s'avère à la fois simple à calculer et sécuritaire. Des analyses plus poussées par éléments finis montrent un "bulbe" de contraintes qui s'étale, et le modèle à 45° enveloppe correctement cette distribution réelle.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'aire de contact efficace est \(A_{\text{ef}} = 28800 \, \text{mm}^2\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la hauteur de la semelle était de 90 mm, quelle serait la nouvelle aire efficace en mm² ?

Question 3 : Calculer la contrainte de calcul (\(\sigma_{\text{c},90,\text{d}}\))

Principe (le concept physique)

La contrainte est simplement la force divisée par la surface sur laquelle elle s'applique. En utilisant l'aire efficace que nous venons de calculer, nous trouvons la contrainte moyenne de compression que les fibres du bois subissent à la base de la semelle. C'est cette valeur que nous allons comparer à la résistance du matériau.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte (\(\sigma\)) est une mesure de l'intensité des efforts internes au sein d'un matériau. Elle est plus pertinente que la force seule car elle permet de comparer l'effet d'une charge sur des pièces de tailles différentes. En la comparant à la résistance du matériau (qui est aussi une contrainte, en MPa), on peut évaluer la sécurité de manière universelle, quelle que soit la taille de la structure.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Il est essentiel de bien distinguer la contrainte "agissante" (celle que l'on calcule, due aux charges) et la contrainte "résistante" (celle que le matériau peut supporter). Le travail de l'ingénieur consiste à s'assurer que la première reste toujours inférieure à la seconde, avec une marge de sécurité suffisante.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de la contrainte agissante est une application directe des principes de la mécanique. L'Eurocode 5 (section 6.1.5) spécifie que c'est bien l'aire efficace \(A_{\text{ef}}\) qui doit être utilisée comme dénominateur dans ce calcul pour la vérification au poinçonnement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule de la contrainte est :

\[ \sigma_{\text{c},90,\text{d}} = \frac{F_{\text{c,d}}}{A_{\text{ef}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge \(F_{\text{c,d}}\) est appliquée au centre de gravité de la section du poteau et qu'elle se répartit uniformément sur l'aire efficace. C'est une simplification acceptable pour les calculs courants.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force de calcul, \(F_{\text{c,d}} = 80 \, \text{kN} = 80000 \, \text{N}\)
  • Aire efficace, \(A_{\text{ef}} = 28800 \, \text{mm}^2\) (du calcul Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)

Il est crucial de convertir les kiloNewtons (kN) en Newtons (N) pour être cohérent avec les mm² et obtenir un résultat en MPa (N/mm²). 1 kN = 1000 N.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul de la Pression (Contrainte)
F = 80 000 NA_ef = 28 800 mm²σ = F / A_ef = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule en veillant à la conversion des unités.

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{c},90,\text{d}} &= \frac{80000 \, \text{N}}{28800 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 2.78 \, \text{N/mm}^2 \\ &= 2.78 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Contrainte Appliquée
σ_c,90,d ≈ 2.78 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte agissant sur la semelle est de 2.78 MPa. En comparant rapidement à la résistance de calcul \(f_{\text{c},90,\text{d}}\) de 1.54 MPa, on voit que la contrainte est supérieure. Si on ne tenait pas compte du facteur \(k_{\text{c},90}\), l'assemblage serait considéré comme non conforme. Cela montre l'importance capitale de ce coefficient dans la vérification.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale erreur est l'oubli de la conversion des unités (kN en N). Une autre erreur serait d'utiliser l'aire du poteau (\(14400 \, \text{mm}^2\)) au lieu de l'aire efficace, ce qui donnerait une contrainte deux fois plus élevée et un résultat faussement pessimiste.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte est la force divisée par l'aire efficace (\(\sigma = F/A_{\text{ef}}\)).
  • Les unités doivent être cohérentes : N et mm² donnent des MPa.
  • Cette contrainte représente la "demande" à laquelle le matériau doit résister.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le principe de Saint-Venant stipule que la manière exacte dont une force est appliquée n'a d'importance que localement. À une distance suffisante, la contrainte se répartit plus uniformément. La diffusion de charge est une application pratique de ce principe fondamental de la mécanique.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utiliser l'aire efficace et non l'aire du poteau ?

Parce que le rôle de la semelle est précisément de répartir la charge. Ignorer cet effet (en utilisant l'aire du poteau) reviendrait à nier la fonction même de la semelle. Le calcul serait alors incorrect et trop pénalisant.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de compression de calcul est \(\sigma_{\text{c},90,\text{d}} \approx 2.78 \, \text{MPa}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle force en kN produirait une contrainte de 2.0 MPa sur cette même aire efficace ?

Question 4 : Vérifier la sécurité au poinçonnement

Principe (le concept physique)

C'est l'étape finale de la vérification. On compare ce que le matériau "subit" (la contrainte de calcul \(\sigma_{\text{c},90,\text{d}}\)) à ce qu'il peut "supporter" (la résistance de calcul \(f_{\text{c},90,\text{d}}\) améliorée par le coefficient de confinement \(k_{\text{c},90}\)). Si la contrainte est inférieure à la résistance, la sécurité est assurée. Le rapport entre les deux est souvent appelé "taux de travail" ou "ratio d'utilisation".

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'effet de confinement capturé par \(k_{\text{c},90}\) est un phénomène triaxial. Les fibres fortement comprimées sous la charge ont tendance à vouloir s'étendre latéralement (effet de Poisson). Les fibres voisines, moins chargées, s'opposent à cette expansion, créant une pression de confinement qui augmente la capacité des fibres chargées. L'Eurocode 5 fournit des formules pour calculer \(k_{\text{c},90}\) en fonction des dimensions et de la position de l'appui.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est un excellent exemple de l'importance de ne pas simplifier à l'excès. Si l'on oubliait le coefficient \(k_{\text{c},90}\), on conclurait à tort que l'assemblage est dangereux. Les normes de calcul sont remplies de ce type de coefficients qui, à première vue, complexifient les formules, mais qui en réalité modélisent plus finement le comportement réel des matériaux pour permettre des conceptions plus optimisées et sécuritaires.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification finale est explicitement formulée à la section 6.1.5 de l'Eurocode 5 (EN 1995-1-1). La norme y présente l'inégalité à vérifier et donne les méthodes pour déterminer tous ses composants, y compris le calcul détaillé de \(k_{\text{c},90}\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La condition de sécurité à vérifier est :

\[ \sigma_{\text{c},90,\text{d}} \le k_{\text{c},90} \cdot f_{\text{c},90,\text{d}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

La valeur de \(k_{\text{c},90} = 1.5\) est une simplification donnée dans l'énoncé. Dans un cas réel, cette valeur serait calculée en fonction de la géométrie exacte de l'appui sur la semelle, notamment sa distance par rapport aux extrémités.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contrainte de calcul, \(\sigma_{\text{c},90,\text{d}} \approx 2.78 \, \text{MPa}\) (du calcul Q3)
  • Résistance de calcul, \(f_{\text{c},90,\text{d}} \approx 1.54 \, \text{MPa}\) (du calcul Q1)
  • Coefficient de confinement, \(k_{\text{c},90} = 1.5\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul du ratio \(\sigma / (k \cdot f)\) est souvent plus parlant que la simple vérification de l'inégalité. Un ratio de 0.85 signifie que l'on utilise 85% de la capacité de l'élément. C'est une information très utile pour l'ingénieur qui cherche à optimiser sa structure.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Contrainte vs Résistance
Contrainte σ = 2.78Résistance k_c,90 * f_d = ??
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la résistance majorée :

\[ \begin{aligned} \text{Résistance} &= k_{\text{c},90} \cdot f_{\text{c},90,\text{d}} \\ &= 1.5 \cdot 1.54 \, \text{MPa} \\ &\approx 2.31 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

2. Comparer la contrainte à la résistance :

\[ 2.78 \, \text{MPa} \le 2.31 \, \text{MPa} \quad \Rightarrow \quad \text{FAUX} \]

3. Calculer le ratio d'utilisation :

\[ \begin{aligned} \text{Ratio} &= \frac{\sigma_{\text{c},90,\text{d}}}{k_{\text{c},90} \cdot f_{\text{c},90,\text{d}}} \\ &= \frac{2.78}{2.31} \\ &\approx 1.20 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification Non Satisfaite
Contrainte σ = 2.78Résistance = 2.31NON OK ❌
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le ratio d'utilisation est de 1.20, soit 120%. Comme ce ratio est supérieur à 1.0 (ou 100%), la vérification n'est pas satisfaite. La contrainte appliquée est 20% plus élevée que ce que la semelle peut supporter. En tant qu'ingénieur, plusieurs solutions sont possibles : augmenter la hauteur de la semelle \(h_s\) pour améliorer la diffusion, utiliser une classe de bois plus résistante (ex: C30), ou élargir la semelle pour bénéficier d'un \(k_{\text{c},90}\) potentiellement plus élevé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier le coefficient \(k_{\text{c},90}\) dans la vérification finale. Une autre erreur serait de mal calculer l'aire efficace, ce qui fausserait complètement la contrainte agissante. La rigueur à chaque étape est la clé d'une vérification correcte.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification finale compare la contrainte agissante à la résistance admissible.
  • La résistance admissible est la résistance de calcul multipliée par le facteur de confinement \(k_{\text{c},90}\).
  • Si \(\sigma_{\text{agissante}} \le R_{\text{admissible}}\), l'assemblage est conforme.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Un concept similaire de majoration de la résistance existe pour les appuis locaux sur le béton (bielles d'about). La pression sous un appui peut dépasser la résistance en compression simple du béton car le béton environnant confine la zone chargée, empêchant l'éclatement.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que k_c,90 est toujours supérieur à 1 ?

Oui, pour un appui sur une surface, il est au minimum de 1.0 (cas d'un appui en extrémité, sans confinement d'un côté) et peut monter jusqu'à 1.75 pour des cas de charge spécifiques loin des bords. Il représente toujours un gain de résistance.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vérification au poinçonnement n'est pas satisfaite. La contrainte de 2.78 MPa est supérieure à la résistance de 2.31 MPa (Ratio = 1.20 > 1.0).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le ratio de travail si on utilisait une semelle en bois de classe C30 (\(f_{\text{c},90,\text{k}} = 2.7 \, \text{MPa}\)) ?

Outil Interactif : Paramètres de Poinçonnement

Modifiez les paramètres de l'assemblage pour voir leur influence sur le ratio de travail.

Paramètres d'Entrée
80 kN
120 mm
60 mm
Résultats Clés (pour C24, k_c,90=1.5)
Contrainte Appliquée (MPa) -
Résistance Admissible (MPa) -
Ratio d'Utilisation (%) -

Le Saviez-Vous ?

Le bois lamellé-croisé (CLT - Cross Laminated Timber) est un produit d'ingénierie innovant qui excelle en résistance au poinçonnement. En collant des couches de bois perpendiculairement les unes aux autres, on obtient un panneau où la charge d'un poteau est toujours supportée par des couches travaillant en compression parallèle au grain (très résistant) et non uniquement en compression perpendiculaire. Cela permet de reprendre des charges beaucoup plus importantes.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la résistance du bois est-elle si faible perpendiculairement au grain ?

Les fibres de bois sont comme un paquet de pailles. Il est très difficile d'écraser les pailles dans leur longueur (compression parallèle). En revanche, il est très facile de les écraser en appuyant sur le côté du paquet (compression perpendiculaire), car on vide simplement l'espace entre elles. Pour le bois, la compression perpendiculaire écrase les lumens (les "trous" des fibres), d'où la faible résistance.

Que se passe-t-il si le poteau est au bord de la semelle ?

Si le poteau est en extrémité de la semelle, la diffusion de charge ne peut se faire que vers l'intérieur de la pièce. De plus, l'effet de confinement est réduit. L'Eurocode 5 en tient compte en modifiant le calcul de l'aire efficace (on ne peut ajouter \(h_s\) que d'un côté) et en donnant une valeur de \(k_{\text{c},90}\) plus faible (typiquement 1.0).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour améliorer significativement la résistance au poinçonnement, la meilleure solution est de...

2. Le coefficient \(k_{\text{c},90}\) est un facteur qui...

Poinçonnement
Mode de rupture où une charge concentrée traverse un élément de surface. En structure bois, il s'agit de l'écrasement local des fibres sous un appui.
Semelle (ou Lisse basse)
Pièce de bois horizontale servant d'assise à des éléments verticaux (poteaux, murs) pour répartir leurs charges sur l'élément porteur inférieur.
Compression Perpendiculaire au Grain
Sollicitation du bois où la force est appliquée perpendiculairement à la direction principale des fibres. C'est un point faible caractéristique du matériau bois.
Eurocode 5
Norme européenne (EN 1995) qui régit la conception, le calcul et la justification des structures en bois.
Résistance au poinçonnement d’une semelle en bois

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