Création d'un Diagramme (PERT/CPM)

Contexte : La construction des fondations d'un petit bâtiment.

En tant que jeune ingénieur en génie civil, vous êtes chargé de planifier la phase de réalisation des fondations pour un nouveau bâtiment résidentiel. Une planification précise est cruciale pour respecter les délais et le budget. La méthode PERTProgram Evaluation and Review Technique. Un outil de gestion de projet utilisé pour planifier, organiser et coordonner les tâches au sein d'un projet. est l'outil idéal pour visualiser les dépendances entre les tâches et identifier le chemin critiqueLa séquence de tâches qui détermine la durée totale du projet. Tout retard sur une tâche du chemin critique entraîne un retard de l'ensemble du projet..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un projet simple en tâches, à définir leurs interdépendances et à utiliser la méthode PERT pour calculer la durée minimale du projet et identifier les tâches les plus critiques.

Objectifs Pédagogiques

Construire un réseau PERT à partir d'une liste de tâches.
Calculer les dates au plus tôt et au plus tard pour chaque tâche.
Déterminer le chemin critique et la durée totale du projet.
Comprendre la notion de marge (marge totale et marge libre).

Données de l'étude

Le projet consiste à réaliser les fondations superficielles (semelles filantes) d'une maison individuelle.

Liste des Tâches du Projet

ID	Description de la Tâche	Durée (jours)	Tâche(s) Précédente(s)
A	Préparation du site et traçage	2	-
B	Excavation des fouilles	3	A
C	Mise en place du béton de propreté	1	B
D	Ferraillage des semelles	3	C
E	Coffrage des murs de soubassement	2	C
F	Coulage du béton (semelles et murs)	1	D, E
G	Temps de séchage (décoffrage)	4	F
H	Remblaiement	2	G

Questions à traiter

Dessiner le diagramme PERT du projet.
Calculer les dates de début et de fin au plus tôt pour chaque tâche.
Calculer les dates de début et de fin au plus tard pour chaque tâche.
Déterminer les marges totales et les marges libres pour chaque tâche.
Identifier le chemin critique et la durée totale du projet.

Les bases de la méthode PERT

La méthode PERT (Program Evaluation and Review Technique) est un outil d'ordonnancement qui représente un projet sous forme de graphe de dépendances. Les tâches sont des "nœuds" et les liens entre elles sont des "arcs".

1. Calcul des dates au plus tôt (Passe Avant)
On parcourt le graphe du début à la fin. La date de début au plus tôt d'une tâche est la date de fin au plus tôt maximale de ses prédécesseurs. \[ \text{DTO} = \max(\text{FTO}_{\text{prédécesseurs}}) \] \[ \text{FTO} = \text{DTO} + \text{Durée} \]

2. Calcul des dates au plus tard (Passe Arrière)
On parcourt le graphe de la fin vers le début. La date de fin au plus tard d'une tâche est la date de début au plus tard minimale de ses successeurs. \[ \text{FTA} = \min(\text{DTA}_{\text{successeurs}}) \] \[ \text{DTA} = \text{FTA} - \text{Durée} \]

Correction : Création d’un Diagramme (PERT/CPM)

Question 1 : Dessiner le diagramme PERT du projet

Principe

Le diagramme PERT est une carte visuelle du projet. Il montre l'enchaînement logique des tâches, qui doit faire quoi et dans quel ordre. C'est le squelette de notre planification, nous permettant de voir les connexions et les dépendances entre chaque étape du chantier.

Mini-Cours

La méthode PERT utilise un graphe "tâches-nœuds". Chaque tâche est un nœud (un cercle). Chaque dépendance est un arc (une flèche). Une flèche allant de A vers B signifie que la tâche A doit être terminée avant que la tâche B ne puisse commencer. Le diagramme doit avoir un point de départ unique ("Début") et un point d'arrivée unique ("Fin").

Remarque Pédagogique

Pour ne pas vous tromper, lisez attentivement la colonne "Tâche(s) Précédente(s)". C'est elle qui dicte comment tracer les flèches. Commencez par placer les tâches sans prédécesseur (ici, la tâche A) juste après le "Début", puis construisez le reste du réseau pas à pas.

Donnée(s)

ID	Description de la Tâche	Durée (jours)	Tâche(s) Précédente(s)
A	Préparation du site et traçage	2	-
B	Excavation des fouilles	3	A
C	Mise en place du béton de propreté	1	B
D	Ferraillage des semelles	3	C
E	Coffrage des murs de soubassement	2	C
F	Coulage du béton (semelles et murs)	1	D, E
G	Temps de séchage (décoffrage)	4	F
H	Remblaiement	2	G

Schéma du Diagramme PERT

Réseau PERT du Projet de Fondations

Résultat Final

Le diagramme PERT du projet a été tracé avec succès, montrant l'enchaînement des 8 tâches depuis le début jusqu'à la fin du projet.

Question 2 : Calculer les dates de début et de fin au plus tôt

Principe

Le calcul des dates "au plus tôt" (aussi appelé "passe avant") consiste à déterminer le calendrier le plus optimiste. On calcule pour chaque tâche la date à laquelle elle peut commencer au plus tôt (DTO) et se terminer au plus tôt (FTO), en supposant qu'il n'y ait aucun retard.

Mini-Cours

On parcourt le réseau de gauche à droite. La première tâche (A) commence au temps 0. Pour toute autre tâche, sa date de début au plus tôt (DTO) est égale à la date de fin au plus tôt (FTO) la plus élevée parmi toutes ses tâches précédentes. Si une tâche n'a qu'un prédécesseur, sa DTO est simplement la FTO de ce dernier.

Remarque Pédagogique

Soyez particulièrement attentif aux tâches qui ont plusieurs prédécesseurs, comme la tâche F. Elle ne peut commencer que lorsque D ET E sont terminées. Vous devez donc prendre la date de fin la plus tardive entre D et E pour déterminer le début de F. C'est la règle du "maillon le plus faible" : on attend le dernier arrivé.

Formule(s)

Formule de la Date de Fin au plus Tôt

\text{FTO} = \text{DTO} + \text{Durée}

Formule de la Date de Début au plus Tôt

\text{DTO}_{\text{tâche}} = \max(\text{FTO}_{\text{prédécesseurs}})

Donnée(s)

ID	Durée (jours)	Tâche(s) Précédente(s)
A	2	-
B	3	A
C	1	B
D	3	C
E	2	C
F	1	D, E
G	4	F
H	2	G

Schéma (Avant les calculs)

Réseau PERT Initial

Calcul(s)

Tâche	Calcul DTO	DTO	Calcul FTO	FTO
A	Début du projet	0	0 + 2	2
B	FTO(A)	2	2 + 3	5
C	FTO(B)	5	5 + 1	6
D	FTO(C)	6	6 + 3	9
E	FTO(C)	6	6 + 2	8
F	max(FTO(D), FTO(E))	max(9, 8) = 9	9 + 1	10
G	FTO(F)	10	10 + 4	14
H	FTO(G)	14	14 + 2	16

Schéma (Après les calculs)

Réseau PERT avec Dates au plus Tôt

Réflexions

Le résultat le plus important ici est la FTO de la dernière tâche (H), qui est de 16 jours. Cela nous donne la durée minimale théorique pour réaliser l'ensemble des travaux de fondation. On remarque aussi que la tâche F ne peut commencer qu'au jour 9, car elle doit attendre la fin de la tâche D, même si la tâche E est terminée dès le jour 8.

Points de vigilance

L'erreur classique est de mal appliquer la règle du "max" pour les tâches convergentes. Si pour la tâche F vous aviez pris 8 (la FTO de E) au lieu de 9 (la FTO de D), tout le reste du calcul aurait été faussé.

Points à retenir

La passe avant (calcul des dates au plus tôt) est la première étape de calcul du PERT. Elle permet de définir la durée minimale du projet et sert de base au calcul des dates au plus tard.

Résultat Final

Les dates de début et de fin au plus tôt ont été calculées pour toutes les tâches. La durée minimale du projet est de 16 jours.

Question 3 : Calculer les dates de début et de fin au plus tard

Principe

Le calcul des dates "au plus tard" (ou "passe arrière") détermine le calendrier le plus pessimiste. On calcule pour chaque tâche la date à laquelle elle doit commencer au plus tard (DTA) et se terminer au plus tard (FTA) pour ne pas retarder la date de fin de projet, que nous avons fixée à 16 jours.

Mini-Cours

On parcourt le réseau de droite à gauche, en partant de la fin. La date de fin au plus tard (FTA) de la dernière tâche (H) est égale à sa date de fin au plus tôt (FTO). Pour toute autre tâche, sa FTA est égale à la date de début au plus tard (DTA) la plus basse parmi toutes ses tâches suivantes (successeurs).

Remarque Pédagogique

Ici, la logique est inversée par rapport à la passe avant. Pour les tâches qui ont plusieurs successeurs (comme la tâche C, qui est suivie par D et E), on doit prendre la date de début la plus précoce entre D et E pour définir la date de fin de C. On ne peut pas se permettre de finir C plus tard, sinon on retarderait l'un de ses successeurs.

Formule(s)

Formule de la Date de Début au plus Tard

\text{DTA} = \text{FTA} - \text{Durée}

Formule de la Date de Fin au plus Tard

\text{FTA}_{\text{tâche}} = \min(\text{DTA}_{\text{successeurs}})

Donnée(s)

ID	Durée (jours)	Tâche(s) Précédente(s)
A	2	-
B	3	A
C	1	B
D	3	C
E	2	C
F	1	D, E
G	4	F
H	2	G

Schéma (Avant les calculs)

Réseau PERT avec Dates au plus Tôt

Calcul(s)

Tâche	Durée	Calcul FTA	FTA	Calcul DTA	DTA
H	2	Fin du projet	16	16 - 2	14
G	4	DTA(H)	14	14 - 4	10
F	1	DTA(G)	10	10 - 1	9
E	2	DTA(F)	9	9 - 2	7
D	3	DTA(F)	9	9 - 3	6
C	1	min(DTA(D), DTA(E))	min(6, 7) = 6	6 - 1	5
B	3	DTA(C)	5	5 - 3	2
A	2	DTA(B)	2	2 - 2	0

Schéma (Après les calculs)

Réseau PERT avec Dates Complètes

Réflexions

En comparant les dates au plus tôt et au plus tard, on commence à voir quelles tâches ont de la flexibilité. Par exemple, la tâche E peut se terminer au plus tôt au jour 8, mais elle a jusqu'au jour 9 au plus tard. Elle a donc une journée de "marge", ce que nous quantifierons à la prochaine question.

Points de vigilance

L'erreur commune ici est d'appliquer un "max" au lieu d'un "min" pour les tâches divergentes comme la tâche C. Si pour la FTA de C vous aviez pris 7 (le DTA de E) au lieu de 6 (le DTA de D), vous auriez incorrectement donné une marge à la tâche C.

Points à retenir

La passe arrière est l'étape qui permet de définir le calendrier "limite" à ne pas dépasser. La comparaison entre les dates au plus tôt et au plus tard est ce qui va nous permettre de calculer les marges et d'identifier le chemin critique.

Résultat Final

Les dates de début et de fin au plus tard ont été calculées pour toutes les tâches, en partant de la fin du projet.

Question 4 : Déterminer les marges totales et les marges libres

Principe

Les marges sont la "graisse" du planning. Elles représentent la flexibilité ou le temps de flottement disponible pour une tâche. Une tâche sans marge est dite "critique". La marge totale est le retard qu'une tâche peut prendre sans affecter la date de fin du projet, tandis que la marge libre est le retard possible sans affecter la tâche qui la suit immédiatement.

Mini-Cours

La Marge Totale (MT) est la différence entre la date de début au plus tard et la date de début au plus tôt (DTA - DTO). C'est la flexibilité globale de la tâche. La Marge Libre (ML) est la différence entre la date de début au plus tôt de la tâche suivante et la date de fin au plus tôt de la tâche actuelle. C'est la flexibilité locale, sans impacter les autres.

Formule(s)

Formule de la Marge Totale

\text{MT} = \text{DTA} - \text{DTO}

Formule de la Marge Libre

\text{ML} = \min(\text{DTO}_{\text{successeurs}}) - \text{FTO}_{\text{tâche}}

Donnée(s)

Tâche	DTO	FTO	DTA	FTA
A	0	2	0	2
B	2	5	2	5
C	5	6	5	6
D	6	9	6	9
E	6	8	7	9
F	9	10	9	10
G	10	14	10	14
H	14	16	14	16

Schéma (Avant les calculs)

Réseau PERT avec Dates Complètes

Calcul(s)

Calcul de la Marge Totale pour la tâche E

\begin{aligned} \text{MT}_{\text{E}} &= \text{DTA}_{\text{E}} - \text{DTO}_{\text{E}} \\ &= 7 - 6 \\ &= 1 \text{ jour} \end{aligned}

Calcul de la Marge Libre pour la tâche E

\begin{aligned} \text{ML}_{\text{E}} &= \text{DTO}_{\text{F}} - \text{FTO}_{\text{E}} \\ &= 9 - 8 \\ &= 1 \text{ jour} \end{aligned}

Le tableau suivant résume les marges pour toutes les tâches :

Tâche	Marge Totale (MT)	Marge Libre (ML)
A	0	0
B	0	0
C	0	0
D	0	0
E	1	1
F	0	0
G	0	0
H	0	0

Schéma (Après les calculs)

Le schéma reste le même que le précédent, mais notre compréhension s'enrichit. Nous savons maintenant que la différence entre les dates au plus tôt et au plus tard pour la tâche E est de 1 jour, ce qui correspond à sa marge.

Réseau PERT avec Dates Complètes (visualisant la marge de E)

Réflexions

L'analyse des marges est très parlante. Toutes les tâches, sauf une, ont une marge totale de 0. Cela signifie que le planning est très tendu. La tâche E (Coffrage) est la seule à posséder une flexibilité d'un jour. On pourrait donc, en cas de besoin, réaffecter une partie de l'équipe du coffrage pendant une journée à une autre tâche sans retarder le projet.

Points de vigilance

Ne confondez pas marge totale et marge libre. Une tâche peut avoir une marge totale mais une marge libre de zéro. Cela signifie que si elle prend du retard, elle ne retardera pas la fin du projet, mais elle retardera immédiatement le début de la tâche suivante.

Résultat Final

La tâche E a une marge totale et libre de 1 jour. Toutes les autres tâches ont des marges nulles.

Question 5 : Identifier le chemin critique et la durée totale du projet

Principe

Le chemin critique est la séquence de tâches qui ne possèdent aucune marge de manœuvre (marge totale = 0). C'est l'épine dorsale du projet : toute tâche sur ce chemin qui prend du retard entraînera un retard équivalent sur la date de fin du projet. C'est sur ces tâches que le chef de projet doit concentrer sa surveillance.

Mini-Cours

Le chemin critique est le plus long chemin en termes de durée dans le diagramme PERT, de "Début" à "Fin". Il est constitué de toutes les tâches pour lesquelles DTO = DTA et FTO = FTA, ce qui équivaut à une marge totale de zéro. Il peut y avoir plusieurs chemins critiques dans des projets plus complexes.

Remarque Pédagogique

Pour identifier le chemin critique, il suffit de surligner dans votre tableau ou votre graphe toutes les tâches dont la marge totale est 0. Reliez-les ensuite dans l'ordre de leur exécution pour visualiser le chemin complet.

Donnée(s)

Tâche	Marge Totale (MT)
A	0
B	0
C	0
D	0
E	1
F	0
G	0
H	0

Schéma (Avant les calculs)

Réseau PERT avec Marges

Calcul(s)

L'identification du chemin critique ne nécessite pas de calcul supplémentaire, mais une analyse des résultats de la question 4. On regroupe toutes les tâches dont la marge totale est égale à zéro.

Schéma (Après les calculs)

Réseau PERT avec Chemin Critique Surligné

Réflexions

Connaître le chemin critique (A-B-C-D-F-G-H) est fondamental. Cela signifie que le chef de chantier doit s'assurer que le traçage, l'excavation, le béton de propreté, le ferraillage, le coulage, le séchage et le remblaiement se déroulent sans aucun accroc. La tâche de coffrage (E) est moins prioritaire car elle dispose d'un jour de flexibilité.

Points à retenir

Le chemin critique n'est pas figé. Si une tâche non critique prend plus de retard que sa marge, elle peut devenir critique et créer un nouveau chemin critique. La planification est un processus dynamique.

Le saviez-vous ?

La méthode du chemin critique (Critical Path Method - CPM) est une technique sœur du PERT. Alors que le PERT était initialement conçu pour des durées de tâches incertaines (en utilisant des estimations optimistes, pessimistes et probables), le CPM suppose des durées de tâches déterministes, comme dans notre exercice.

FAQ

Résultat Final

Le chemin critique est : A - B - C - D - F - G - H.
La durée totale du projet est de 16 jours.

A vous de jouer

Si la tâche de séchage (G) prenait finalement 5 jours au lieu de 4 à cause de la météo, quelle serait la nouvelle durée totale du projet ?

Outil Interactif : Analyse de sensibilité

Utilisez les curseurs pour voir comment un retard sur la tâche de ferraillage (D) ou de coffrage (E) impacterait la durée totale du projet.

Paramètres d'Entrée

Durée Tâche D (Ferraillage) 3 jours

Durée Tâche E (Coffrage) 2 jours

Résultats Clés

Durée totale du projet -

Nouveau chemin critique -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que le chemin critique ?

Le chemin le plus court pour terminer le projet.
L'ensemble des tâches les plus coûteuses.
La séquence de tâches qui détermine la durée minimale du projet.

2. Une tâche avec une marge totale de 3 jours signifie :

Qu'elle doit commencer 3 jours plus tôt.
Qu'elle peut prendre 3 jours de retard sans retarder le projet.
Qu'elle durera 3 jours de plus que prévu.

3. Dans notre exercice, quelle tâche n'est PAS sur le chemin critique ?

E (Coffrage)
D (Ferraillage)
G (Séchage)

Diagramme PERT: Program Evaluation and Review Technique. Un outil de gestion de projet utilisé pour planifier, organiser et coordonner les tâches au sein d'un projet.
Chemin Critique: La séquence de tâches qui détermine la durée totale du projet. Tout retard sur une tâche du chemin critique entraîne un retard de l'ensemble du projet.
Marge Totale: Le temps de retard maximum qu'une tâche peut accumuler sans affecter la date de fin du projet.
Marge Libre: Le temps de retard maximum qu'une tâche peut accumuler sans affecter la date de début au plus tôt de la tâche qui la suit.