Interaction Sol-Structure en Zone Sismique

Contexte : L'Interaction Sol-Structure (ISS)Phénomène par lequel la réponse du sol à un mouvement sismique est influencée par la structure qui y est fondée, et vice-versa..

En génie parasismique, l'hypothèse d'une base parfaitement encastrée et rigide est souvent utilisée pour simplifier les calculs. Cependant, cette simplification n'est pas toujours réaliste, surtout pour les structures fondées sur des sols souples. L'Interaction Sol-Structure (ISS) prend en compte la flexibilité du sol de fondation, qui peut modifier de manière significative la réponse dynamique d'un bâtiment. Ignorer l'ISS peut conduire à une mauvaise estimation de la période fondamentale de la structure, et donc à un calcul erroné des efforts sismiques.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à quantifier l'effet de l'ISS sur la période d'un bâtiment et à évaluer son impact sur le dimensionnement sismique selon les principes de l'Eurocode 8La norme européenne pour le calcul des structures pour leur résistance aux séismes..

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et définir le phénomène d'Interaction Sol-Structure.
Calculer la raideur d'un système de fondation superficielle.
Déterminer la période fondamentale d'une structure en considérant la flexibilité du sol.
Évaluer l'impact de l'allongement de la période sur l'effort tranchant sismique à la base.

Données de l'étude

On étudie un bâtiment de bureaux en béton armé de 4 étages (R+3), situé en zone de sismicité modérée. La structure peut être modélisée comme un oscillateur à un degré de liberté.

Caractéristiques de la structure et du site

Caractéristique	Symbole	Valeur
Masse totale de la structure	\(M\)	800 tonnes
Raideur latérale (base encastrée)	\(K_{\text{fixe}}\)	160 000 kN/m
Hauteur effective	\(h_{\text{eff}}\)	10 m
Fondation superficielle carrée	B	10 m
Vitesse des ondes de cisaillement du sol	\(V_s\)	150 m/s
Masse volumique du sol	\(\rho\)	1.8 t/m³
Coefficient de Poisson du sol	\(\nu\)	0.35

Modèle du Système Sol-Structure

Questions à traiter

Calculer le module de cisaillement du sol \(G\).
Déterminer la période fondamentale de la structure sur base fixe, \(T_{\text{fixe}}\).
Calculer les raideurs statiques de la fondation en translation horizontale (\(K_h\)) et en rotation (\(K_r\)).
Estimer la période effective du système sol-structure, \(T_{\text{eff}}\).
Comparer les efforts sismiques à la base (avec et sans ISS) en utilisant le spectre de réponse de l'Eurocode 8 pour un sol de type C et une accélération de pic au rocher \(a_g = 0.2g\).

Les bases de l'Interaction Sol-Structure

L'Interaction Sol-Structure (ISS) modélise le système couplé sol-fondation-structure. La flexibilité du sol ajoute des degrés de liberté au système (translation et rotation de la base), ce qui modifie ses propriétés dynamiques.

1. Allongement de la période
La flexibilité du sol allonge la période fondamentale de la structure. La période effective \(T_{\text{eff}}\) est toujours supérieure à la période sur base fixe \(T_{\text{fixe}}\). \[ T_{\text{eff}} = T_{\text{fixe}} \sqrt{1 + \frac{K_{\text{fixe}}}{K_h} + \frac{K_{\text{fixe}} h_{\text{eff}}^2}{K_r}} \]

2. Impédances de fondation
La "raideur" du sol sous la fondation est représentée par des fonctions d'impédance. Pour une analyse statique ou pseudo-statique simplifiée, on utilise les raideurs statiques. Pour une fondation carrée en surface, les formules de Gazetas (1991) sont souvent utilisées : \[ K_h = \frac{G \cdot B}{2-\nu} (2 + 2.50 (\frac{A_f}{B^2})^{0.85}) \] \[ K_r = \frac{G \cdot B^3}{1-\nu} (0.40 + 0.10 (\frac{A_f}{B^2})^{2.45}) \] Avec \(A_f = B^2\) pour une semelle carrée, les formules se simplifient grandement.

Correction : Interaction Sol-Structure en Zone Sismique

Question 1 : Calculer le module de cisaillement du sol \(G\)

Principe (le concept physique)

Le module de cisaillement \(G\) est une propriété fondamentale du sol qui décrit sa rigidité face aux déformations de cisaillement. Il est directement lié à la vitesse de propagation des ondes de cisaillement (\(V_s\)) et à la masse volumique du sol (\(\rho\)), qui sont des paramètres mesurables sur site.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En mécanique des milieux continus, le module de cisaillement \(G\) (ou module de Coulomb) et le module de Young \(E\) sont liés par le coefficient de Poisson \(\nu\). La relation est \(E = 2G(1+\nu)\). Alors que \(E\) décrit la rigidité en traction/compression, \(G\) est spécifique au cisaillement, qui est le mode de déformation prédominant dans le sol lors du passage des ondes sismiques S (secondaires).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Retenez que la vitesse \(V_s\) est un paramètre mesuré pour de très faibles déformations. Lors d'un séisme fort, les déformations augmentent et le sol se "ramollit" : son module \(G\) effectif diminue. Pour un calcul de dimensionnement précis, il faudrait utiliser un module \(G\) dégradé, mais pour cet exercice, nous utiliserons la valeur élastique initiale.

Normes (la référence réglementaire)

La classification des sites sismiques dans l'Eurocode 8 (EN 1998-5) est principalement basée sur la valeur de \(V_{s,30}\), la vitesse moyenne des ondes de cisaillement dans les 30 premiers mètres de sol. La valeur de \(V_s = 150\) m/s place ce site en classe de sol D ("Dépôts de sols mous-à-fermes").

Formule(s) (l'outil mathématique)

Relation Vitesse-Module

G = \rho \cdot V_s^2

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le sol est considéré comme un milieu continu, homogène et isotrope.
On se place dans le cadre de l'élasticité linéaire pour ce calcul.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse volumique du sol	\(\rho\)	1.8	t/m³
Vitesse des ondes de cisaillement	\(V_s\)	150	m/s

Astuces (Pour aller plus vite)

La relation est quadratique. Mémorisez que si vous doublez \(V_s\), vous quadruplez la valeur de \(G\). Cela vous donne un sens rapide de la sensibilité du calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Déformation en cisaillement pur d'un élément de sol

Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion des unités de masse volumique

\rho = 1.8 \; \text{t/m}^3 = 1800 \; \text{kg/m}^3

Calcul du module de cisaillement

\begin{aligned} G &= 1800 \; \text{kg/m}^3 \times (150 \; \text{m/s})^2 \\ &= 1800 \times 22500 \; \text{N/m}^2 \\ &= 40,500,000 \; \text{Pa} \\ &\Rightarrow 40.5 \; \text{MPa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat du calcul du module de cisaillement

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une valeur de \(G\) de 40.5 MPa est typique d'un sol argileux ou sableux moyennement dense. Ce n'est pas un rocher, ce qui justifie la nécessité d'une étude d'interaction sol-structure.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est l'oubli de la conversion des unités pour la masse volumique (t/m³ vers kg/m³). Une autre est d'oublier de mettre au carré la vitesse \(V_s\). Vérifiez toujours la cohérence de vos unités pour obtenir des Pascals (N/m²).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La formule clé : \(G = \rho V_s^2\).
\(G\) est la rigidité du sol au cisaillement.
La qualité de l'estimation de \(G\) dépend directement de la qualité de la mesure de \(V_s\) sur le terrain.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La vitesse \(V_s\) est mesurée in-situ à l'aide de méthodes géophysiques non-destructives comme les essais "cross-hole" (mesure entre deux forages) ou "down-hole" (source en surface, capteurs en forage), qui chronomètrent le temps de parcours d'une onde sur une distance connue.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le module de cisaillement du sol est \(G = 40.5 \; \text{MPa}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le module G si le sol était un sable dense avec une vitesse \(V_s\) de 250 m/s ?

Question 2 : Déterminer la période fondamentale de la structure sur base fixe, \(T_{\text{fixe}}\)

Principe (le concept physique)

La période fondamentale d'une structure est sa tendance naturelle à osciller à une certaine fréquence lorsqu'elle est sollicitée. Pour un système simple, elle dépend uniquement de sa masse \(M\) et de sa raideur \(K\). Une structure plus massive ou plus souple aura une période plus longue.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Tout système dynamique possède une pulsation propre \(\omega_n = \sqrt{K/M}\). La période \(T\) est le temps nécessaire pour un cycle complet et est inversement proportionnelle à la pulsation : \(T = 2\pi / \omega_n\). Pour un bâtiment réel, il existe plusieurs modes de vibration (flexion, torsion), chacun avec sa propre période. La période fondamentale (\(T_1\)) correspond au premier mode, qui est généralement le plus important en termes de participation de masse.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour une première estimation rapide, l'Eurocode 8 propose une formule simplifiée : \(T_1 \approx C_t \cdot H^{3/4}\), où H est la hauteur du bâtiment. Pour un portique en béton, \(C_t = 0.075\). Avec H ≈ 4 x 3.2m = 12.8m, on aurait \(T_1 \approx 0.075 \cdot (12.8)^{0.75} \approx 0.51\)s. Notre valeur calculée de 0.44s est du même ordre de grandeur, ce qui est rassurant.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 8 (§4.3.3.2) autorise l'utilisation de la formule fondamentale \(T=2\pi\sqrt{M/K}\) dans le cadre d'une modélisation simplifiée (oscillateur à un degré de liberté) ou de méthodes d'analyse plus complexes comme l'analyse modale spectrale.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Période d'un oscillateur simple

T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{K}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

La structure est modélisée comme un système à un seul degré de liberté (SDOF).
Toute la masse est considérée comme concentrée à la hauteur effective.
La raideur latérale \(K_{\text{fixe}}\) représente adéquatement le comportement de l'ensemble de la structure.
La base est considérée comme parfaitement encastrée dans un rocher indéformable.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse totale	\(M\)	800	t
Raideur latérale	\(K_{\text{fixe}}\)	160 000	kN/m

Astuces (Pour aller plus vite)

Rappelez-vous de l'analogie avec une règle que vous faites vibrer au bord d'une table. Plus la règle est longue (plus souple, \(K\) faible) ou si vous ajoutez une masse au bout ( \(M\) élevée), plus les oscillations sont lentes (la période \(T\) augmente).

Schéma (Avant les calculs)

Modèle SDOF sur Base Fixe

Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion de la masse

M = 800 \; \text{t} = 800,000 \; \text{kg}

Conversion de la raideur

K_{\text{fixe}} = 160,000 \; \text{kN/m} = 160,000,000 \; \text{N/m}

Calcul de la période

\begin{aligned} T_{\text{fixe}} &= 2\pi \sqrt{\frac{800,000 \; \text{kg}}{160,000,000 \; \text{N/m}}} \\ &= 2\pi \sqrt{0.005 \; \text{s}^2} \\ &= 2\pi \times 0.0707 \; \text{s} \\ &\approx 0.444 \; \text{s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Représentation de la période

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une période de 0.44s est cohérente pour un bâtiment en béton de 4 étages. C'est une structure relativement rigide. Cette valeur sera notre référence pour évaluer l'impact de l'ISS.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que la masse et la raideur sont exprimées dans des unités de base du Système International (kg, N, m, s) avant d'appliquer la formule. Une erreur de facteur 1000 est très fréquente lors de la conversion des tonnes en kg ou des kN en N.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La période est la caractéristique dynamique la plus importante d'une structure.
Elle est proportionnelle à la racine carrée de la masse et inversement proportionnelle à la racine carrée de la raideur.
Structure lourde/souple = période longue. Structure légère/rigide = période courte.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La période d'un bâtiment n'est pas une constante absolue. Elle peut s'allonger légèrement avec le vieillissement de la structure ou après un séisme ayant causé des micro-fissurations, ce qui diminue la raideur globale.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La période fondamentale de la structure sur base fixe est \(T_{\text{fixe}} \approx 0.44 \; \text{s}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la période si le bâtiment était deux fois plus rigide (\(K_{\text{fixe}} = 320,000\) kN/m) ?

Question 3 : Calculer les raideurs statiques de la fondation (\(K_h\) et \(K_r\))

Principe (le concept physique)

La flexibilité du sol sous la fondation est représentée par des "ressorts" équivalents dont les raideurs (ou impédances) dépendent des propriétés du sol (\(G, \nu\)) et de la géométrie de la fondation (\(B\)). Un sol plus rigide ou une fondation plus large donneront des ressorts plus raides.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ces raideurs sont issues de solutions analytiques ou numériques basées sur la théorie de l'élasticité pour une plaque rigide reposant sur un demi-espace élastique. \(K_h\) représente la force horizontale nécessaire pour causer un déplacement unitaire. \(K_r\) (raideur en "rocking" ou basculement) représente le moment nécessaire pour causer une rotation unitaire.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Notez bien que ces formules sont valables pour une fondation en surface. Si la fondation était enterrée (encastrée dans le sol), les raideurs seraient nettement plus élevées car le sol sur les flancs de la fondation participerait à la rigidité.

Normes (la référence réglementaire)

L'Annexe B de l'Eurocode 8-5 fournit des expressions pour les impédances dynamiques des fondations. Les formules de Gazetas (1991) utilisées ici sont une référence largement acceptée dans la littérature scientifique et sont compatibles avec l'esprit de la norme.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Raideur en translation horizontale

K_h = \frac{4.5 G B}{2-\nu}

Raideur en rotation

K_r = \frac{0.5 G B^3}{1-\nu}

Hypothèses (le cadre du calcul)

La fondation est considérée comme parfaitement rigide.
Le sol est un demi-espace élastique, homogène et isotrope.
Il y a un contact parfait (pas de glissement ou de décollement) entre la fondation et le sol.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Module de cisaillement	\(G\)	40.5 x 10⁶	Pa (N/m²)
Dimension de la fondation	\(B\)	10	m
Coefficient de Poisson	\(\nu\)	0.35	-

Astuces (Pour aller plus vite)

Observez les exposants de B. La raideur horizontale \(K_h\) est proportionnelle à \(B\), tandis que la raideur en rotation \(K_r\) est proportionnelle à \(B^3\). Cela signifie que doubler la taille de la fondation double \(K_h\) mais multiplie \(K_r\) par 8 ! La raideur en rotation est extrêmement sensible à la géométrie.

Schéma (Avant les calculs)

Raideurs d'une fondation superficielle

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la raideur horizontale \(K_h\)

\begin{aligned} K_h &= \frac{4.5 \times (40.5 \times 10^6 \; \text{N/m}^2) \times 10 \; \text{m}}{2-0.35} \\ &= \frac{1822.5 \times 10^6}{1.65} \; \text{N/m} \\ &\approx 1104.5 \times 10^6 \; \text{N/m} \\ &\Rightarrow 1,104,500 \; \text{kN/m} \end{aligned}

Calcul de la raideur en rotation \(K_r\)

\begin{aligned} K_r &= \frac{0.5 \times (40.5 \times 10^6 \; \text{N/m}^2) \times (10 \; \text{m})^3}{1-0.35} \\ &= \frac{20.25 \times 10^9}{0.65} \; \text{N} \cdot \text{m} \\ &\approx 31.15 \times 10^9 \; \text{N} \cdot \text{m} \\ &\Rightarrow 31,150,000 \; \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Valeurs des Raideurs Equivalentes du Sol

Réflexions (l'interprétation du résultat)

On obtient des valeurs de raideur très élevées. Il est important de les comparer à la raideur de la structure (\(K_{\text{fixe}} = 160,000\) kN/m). La raideur horizontale du sol (\(K_h\)) est environ 7 fois plus grande que celle de la structure, ce qui montre que le sol est bien plus rigide que le bâtiment en translation. La raideur en rotation est encore plus grande.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à bien utiliser les formules correspondant à la bonne géométrie (carrée, circulaire, rectangulaire) et aux bonnes conditions (en surface, encastrée). L'utilisation d'une mauvaise formule est une erreur fréquente. De plus, les unités doivent être cohérentes (G en Pa ou N/m², B en m).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La raideur du sol sous une fondation peut être modélisée par des ressorts (translation et rotation).
Ces raideurs dépendent des propriétés du sol (G, ν) et de la géométrie de la fondation (B).
La raideur en rotation est très sensible à la taille de la fondation (\(\propto B^3\)).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour une analyse dynamique complète, ces raideurs deviennent des "fonctions d'impédance" complexes qui dépendent de la fréquence de l'excitation. Elles incluent aussi un terme d'amortissement ("amortissement par radiation") qui représente l'énergie dissipée par les ondes se propageant dans le sol loin de la fondation.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les raideurs de la fondation sont \(K_h \approx 1,104,500 \; \text{kN/m}\) et \(K_r \approx 31,150,000 \; \text{kN} \cdot \text{m}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la fondation était deux fois plus large (B=20m), par quel facteur la raideur en rotation \(K_r\) serait-elle multipliée ?

Question 4 : Estimer la période effective du système sol-structure, \(T_{\text{eff}}\)

Principe (le concept physique)

La période du système flexible est obtenue en considérant la flexibilité additionnelle apportée par le sol. C'est comme ajouter des ressorts en série : la flexibilité totale est la somme des flexibilités (l'inverse de la raideur), ce qui conduit à un système global plus souple, et donc à une période plus longue.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule utilisée est une application de la méthode de Dunkerley, qui permet d'estimer la fréquence fondamentale d'un système complexe en combinant les fréquences des sous-systèmes. En termes de périodes, cela se traduit par \(T_{\text{eff}}^2 \approx T_{\text{fixe}}^2 + T_{\text{translation}}^2 + T_{\text{rotation}}^2\). La formule de l'énoncé est une réécriture directe de ce principe.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette formule est une approximation très utile pour les études préliminaires. Une analyse plus rigoureuse nécessiterait un modèle numérique (par éléments finis, par exemple) qui couple explicitement les degrés de liberté de la structure et du sol.

Normes (la référence réglementaire)

Cette approche est reconnue par de nombreux guides de conception sismique, comme les documents FEMA (FEMA 440) aux États-Unis, comme méthode simplifiée pour évaluer les effets de l'ISS.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la période effective

T_{\text{eff}} = T_{\text{fixe}} \sqrt{1 + \frac{K_{\text{fixe}}}{K_h} + \frac{K_{\text{fixe}} h_{\text{eff}}^2}{K_r}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les modes de déformation (flexion de la structure, translation du sol, rotation du sol) sont supposés non couplés.
L'amortissement du sol est négligé dans le calcul de la période.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Période sur base fixe	\(T_{\text{fixe}}\)	0.444	s
Raideur de la structure	\(K_{\text{fixe}}\)	160,000	kN/m
Raideur horizontale du sol	\(K_h\)	1,104,500	kN/m
Raideur en rotation du sol	\(K_r\)	31,150,000	kN·m
Hauteur effective	\(h_{\text{eff}}\)	10	m

Astuces (Pour aller plus vite)

Les rapports \(K_{\text{fixe}}/K_h\) et \(K_{\text{fixe}}h^2/K_r\) sont des indicateurs directs de l'importance de l'ISS. Si ces termes sont très petits par rapport à 1 (par exemple, inférieurs à 0.10), les effets de l'ISS peuvent souvent être négligés.

Schéma (Avant les calculs)

Modèle SDOF avec ISS

Calcul(s) (l'application numérique)

Rapport de flexibilité en translation

\frac{K_{\text{fixe}}}{K_h} = \frac{160,000 \; \text{kN/m}}{1,104,500 \; \text{kN/m}} \approx 0.145

Rapport de flexibilité en rotation

\begin{aligned} \frac{K_{\text{fixe}} h_{\text{eff}}^2}{K_r} &= \frac{160,000 \; \text{kN/m} \times (10 \; \text{m})^2}{31,150,000 \; \text{kN} \cdot \text{m}} \\ &= \frac{16,000,000}{31,150,000} \\ &\approx 0.514 \end{aligned}

Calcul de la période effective

\begin{aligned} T_{\text{eff}} &= 0.444 \; \text{s} \times \sqrt{1 + 0.145 + 0.514} \\ &= 0.444 \; \text{s} \times \sqrt{1.659} \\ &= 0.444 \; \text{s} \times 1.288 \\ &\approx 0.572 \; \text{s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des Périodes

Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'Interaction Sol-Structure a provoqué un allongement de la période de 0.44 s à 0.57 s, soit une augmentation de près de 30%. C'est un changement significatif qui aura un impact sur la réponse sismique. On note que la contribution de la rotation (0.514) est bien plus importante que celle de la translation (0.145).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est d'oublier le terme \(h_{\text{eff}}^2\) dans le calcul du terme de rotation. La hauteur d'application des forces sismiques est un paramètre clé qui amplifie l'effet de la flexibilité en rotation de la fondation (effet de levier).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La flexibilité du sol allonge toujours la période.
La période effective est calculée en combinant la flexibilité de la structure, de la translation du sol, et de la rotation du sol.
L'effet de la rotation est souvent prédominant pour les bâtiments élancés.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En plus d'allonger la période, l'ISS introduit un amortissement supplémentaire, principalement par "radiation" (énergie dissipée par les ondes s'éloignant de la fondation). Cet amortissement peut parfois réduire la réponse sismique, compensant l'effet d'une potentielle augmentation de l'accélération spectrale.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La période effective du système sol-structure est \(T_{\text{eff}} \approx 0.57 \; \text{s}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le bâtiment était deux fois plus haut (\(h_{\text{eff}}=20\) m), quelle serait la nouvelle période effective \(T_{\text{eff}}\) (en supposant K_fixe inchangée) ?

Question 5 : Comparer les efforts sismiques à la base (avec et sans ISS)

Principe (le concept physique)

L'effort sismique à la base est déterminé à l'aide d'un spectre de réponse, qui donne l'accélération maximale subie par un oscillateur en fonction de sa période. En changeant la période de la structure, l'ISS modifie l'accélération spectrale de calcul et donc l'effort sismique.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Un spectre de réponse est l'enveloppe des réponses maximales de toute une famille d'oscillateurs simples (de périodes variées) soumis à un même accélérogramme sismique. Les spectres réglementaires (comme celui de l'Eurocode 8) sont des spectres lissés et moyennés, conçus pour représenter le danger sismique d'une région donnée pour une certaine classe de sol.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour cet exercice, nous utilisons le spectre élastique (\(q=1\)). Dans un projet de dimensionnement réel, on utiliserait un "spectre de calcul" où les ordonnées sont divisées par un "facteur de comportement" q (>1) pour tenir compte de la capacité de la structure à se déformer dans le domaine plastique (ductilité) et à dissiper de l'énergie.

Normes (la référence réglementaire)

Nous utilisons le spectre de réponse élastique de l'Eurocode 8 (EN 1998-1) pour un sol de type C (sol meuble, \(180 \; \text{m/s} \le V_{s,30} < 360 \; \text{m/s}\)), ce qui est cohérent avec une Vs de 150 m/s (proche de la limite C/D).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Effort tranchant à la base

V_b = S_d(T) \cdot M \cdot \lambda

Accélération spectrale élastique (EC8, Sol C)

S_d(T) = a_g \cdot S \cdot \begin{cases} 2.5 & \text{si } T_B \le T \le T_C \\ 2.5 \frac{T_C}{T} & \text{si } T_C < T \le T_D \end{cases}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le facteur de comportement est \(q=1\) (comportement élastique).
Le facteur de correction d'amortissement est \(\eta=1\) (amortissement de 5%).
Le coefficient de masse modale effective \(\lambda\) est pris égal à 1.0 (modèle SDOF).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Période sur base fixe	\(T_{\text{fixe}}\)	0.44	s
Période effective	\(T_{\text{eff}}\)	0.57	s
Masse totale	\(M\)	800,000	kg
Accélération au rocher	\(a_g\)	1.962	m/s²
Paramètre de sol	\(S\)	1.5	-
Périodes du spectre	\(T_B, T_C\)	0.2, 0.6	s

Astuces (Pour aller plus vite)

Identifiez toujours en premier lieu sur quelle branche du spectre se trouve votre période. Si \(T_B \le T \le T_C\), vous êtes sur le plateau et le calcul de l'accélération est direct. Si \(T > T_C\), vous êtes sur la branche de déplacement constant et l'accélération diminue.

Schéma (Avant les calculs)

Spectre de Réponse EC8 - Sol C

Calcul(s) (l'application numérique)

Cas 1 : Accélération spectrale pour la base fixe (\(T_{\text{fixe}} = 0.44\) s)

Puisque \(T_B(0.2\;\text{s}) \le T_{\text{fixe}}(0.44\;\text{s}) \le T_C(0.6\;\text{s})\), la structure est sur le plateau du spectre.

\begin{aligned} S_d(0.44\;\text{s}) &= a_g \cdot S \cdot 2.5 \\ &= (0.2 \times 9.81 \; \text{m/s}^2) \times 1.5 \times 2.5 \\ &= 7.36 \; \text{m/s}^2 \end{aligned}

Cas 1 : Effort tranchant pour la base fixe

\begin{aligned} V_{b, \text{fixe}} &= S_d(T_{\text{fixe}}) \cdot M \\ &= 7.36 \; \text{m/s}^2 \times 800,000 \; \text{kg} \\ &= 5,888,000 \; \text{N} \\ &\Rightarrow 5888 \; \text{kN} \end{aligned}

Cas 2 : Accélération spectrale pour la base flexible (\(T_{\text{eff}} = 0.57\) s)

Puisque \(T_B(0.2\;\text{s}) \le T_{\text{eff}}(0.57\;\text{s}) \le T_C(0.6\;\text{s})\), la structure reste sur le plateau du spectre.

S_d(0.57\;\text{s}) = a_g \cdot S \cdot 2.5 = 7.36 \; \text{m/s}^2

Cas 2 : Effort tranchant pour la base flexible

\begin{aligned} V_{b, \text{eff}} &= S_d(T_{\text{eff}}) \cdot M \\ &= 7.36 \; \text{m/s}^2 \times 800,000 \; \text{kg} \\ &= 5,888,000 \; \text{N} \\ &\Rightarrow 5888 \; \text{kN} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des Efforts à la Base

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Dans ce cas précis, bien que l'ISS allonge significativement la période (de 30%), cela n'a aucun impact sur l'effort sismique de calcul. La raison est que la période initiale et la période effective se trouvent toutes les deux sur le plateau du spectre de réponse, où l'accélération est constante. L'effet de l'ISS n'est donc ni bénéfique, ni défavorable en termes d'effort. Cependant, elle augmentera les déplacements.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne concluez jamais trop vite que l'allongement de la période est bénéfique. Il faut systématiquement vérifier où se situent les deux périodes (fixe et effective) sur le spectre de réponse. Un déplacement vers une zone de plus forte accélération est tout à fait possible pour des structures initialement très rigides.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'effort sismique dépend crucialement de la position de la période sur le spectre de réponse.
L'ISS peut augmenter, diminuer ou ne pas changer l'effort sismique à la base.
L'analyse de l'ISS est indispensable pour ne pas tirer de conclusion erronée sur la sécurité de la structure.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le célèbre effondrement du pont de Tacoma Narrows en 1940 n'était pas un phénomène sismique, mais un phénomène de résonance aéroélastique. Cependant, il illustre parfaitement le concept de fréquence propre : lorsque la fréquence d'une excitation externe (ici, le vent) coïncide avec l'une des fréquences propres de la structure, des oscillations de très grande amplitude peuvent se développer et mener à la ruine.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'effort sismique calculé est de 5888 kN pour la base fixe et reste à 5888 kN en considérant l'ISS.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le sol était plus meuble et que la période effective passait à \(T_{\text{eff}}=0.80\) s, quel serait le nouvel effort sismique à la base ?

Outil Interactif : Simulateur d'ISS

Utilisez les curseurs pour faire varier la raideur du sol (via Vs) et la taille de la fondation (B) et observez en temps réel leur impact sur la période effective et l'effort sismique à la base.

Paramètres d'Entrée

Vitesse des ondes de cisaillement, Vs (m/s) 150 m/s

Largeur de la fondation, B (m) 10 m

Résultats Clés

Période Effective, T_eff (s) -

Effort Tranchant à la Base, Vb (kN) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel est l'effet principal de l'Interaction Sol-Structure (ISS) sur la période fondamentale d'un bâtiment ?

Elle l'allonge (augmente).
Elle la raccourcit (diminue).
Elle n'a aucun effet sur la période.

2. Quelle propriété du sol a l'influence la plus directe sur la raideur de la fondation ?

Le coefficient de Poisson (\(\nu\))
La masse volumique (\(\rho\))
Le module de cisaillement (\(G\)) ou la vitesse des ondes de cisaillement (\(V_s\))

3. Négliger l'ISS pour un bâtiment sur un sol très souple est généralement :

Conservateur (sur-estime les efforts)
Non-conservateur (sous-estime la réponse réelle et peut être dangereux)
Sans importance pour le calcul

Glossaire

Interaction Sol-Structure (ISS): Phénomène par lequel la réponse du sol à un mouvement sismique est influencée par la structure qui y est fondée, et inversement. Il prend en compte la flexibilité et l'amortissement du sol.
Période Fondamentale (T): Le temps que met une structure pour effectuer une oscillation complète. C'est la propriété dynamique la plus importante d'un bâtiment en analyse sismique.
Vitesse des ondes de cisaillement (Vs): Vitesse à laquelle les ondes de cisaillement se propagent dans un milieu. C'est un indicateur clé de la rigidité d'un sol. Plus Vs est élevée, plus le sol est rigide.
Module de cisaillement (G): Propriété mécanique d'un matériau qui mesure sa résistance à la déformation due à une contrainte de cisaillement. Pour les sols, \(G = \rho V_s^2\).
Eurocode 8: La norme européenne (EN 1998) qui établit les règles pour la conception et le dimensionnement des bâtiments et des ouvrages de génie civil en zone sismique.