Évaluation de la masse sismique effective
Comprendre l’Évaluation de la masse sismique effective
Dans le cadre de l’analyse dynamique d’une structure en réponse à un séisme, il est essentiel de calculer la masse sismique effective pour prédire le comportement de la structure sous l’action sismique. Cet exercice vise à appliquer les principes de dynamique des structures pour évaluer la masse sismique effective d’un bâtiment modélisé par un système à un degré de liberté (SDOF).
Données fournies:
- Hauteur du bâtiment (H): 15 m
- Nombre d’étages (n): 5
- Masse par étage (m): 5000 kg
- Rigidité de l’ensemble du bâtiment (k): 3000 kN/m
- Amortissement (ξ): 5%
Question:
Calculer la masse sismique effective du bâtiment en considérant que la première fréquence propre est dominante dans la réponse sismique. Utiliser l’approche modale pour estimer cette masse, sachant que la masse totale participe de manière non uniforme à la réponse dynamique.
Correction : Évaluation de la masse sismique effective
Nous allons déterminer la masse sismique effective d’un bâtiment modélisé par un système à un degré de liberté (SDOF) en utilisant l’approche modale, c’est-à-dire en considérant que la réponse sismique est dominée par la première fréquence propre. Dans ce contexte, la masse effective est calculée à partir de la répartition de la masse et de la forme modale adoptée par le bâtiment.
Remarque : Pour ce type de problème, on suppose souvent que la forme modale de la première vibration est linéaire (i.e. la déformation augmente linéairement avec la hauteur). Ainsi, le déplacement d’un étage à l’autre est proportionnel à la hauteur accumulée. Nous prendrons pour hypothèse que les coefficients modaux (notés φ₍ᵢ₎) sont proportionnels à l’indice de l’étage.
1. Récapitulatif des données
(En unités de base, k = 3000 × 103 N/m = 3 000 000 N/m)
Calcul complémentaire (non sollicité) :
La masse totale du bâtiment est donnée par :
\[ m_{\text{total}} = n \times m = 5 \times 5000 \] \[ m_{\text{total}} = 25000 \; \text{kg} \]
2. Formulation du calcul de la masse sismique effective
Pour un système multi-degrés de liberté dont la réponse est dominée par la première forme modale, la masse sismique effective \( m_{\text{eff}} \) est donnée par la formule :
\[ m_{\text{eff}} = \frac{\left( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \varphi_i \, m_i \right)^2}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \varphi_i^2\, m_i} \]
où :
- \( \varphi_i \) représente le coefficient du mode de la i-ème masse (ou étage)
- \( m_i \) est la masse de l’étage i
Hypothèse retenue sur la forme modale :
Pour un bâtiment de type cantilever ou avec une déformation progressive, on choisit souvent :
\[ \varphi_i = i \quad \text{pour } i = 1, 2, \dots, n. \]
Ceci est compatible avec une montée linéaire (c’est-à-dire que plus l’étage est haut, plus la déformation est grande).
3. Application numérique
3.1 Calcul du numérateur
Le numérateur de la formule est :
\[ \left( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \varphi_i \, m_i \right)^2 \]
Pour chaque étage, la masse est constante : \( m_i = 5000 \) kg et \( \varphi_i = i \).
Somme des \( \varphi_i \) pondérée par la masse :
\[ \sum_{i=1}^{5} \varphi_i \, m_i = m \times \sum_{i=1}^{5} i = 5000 \times (1+2+3+4+5) \]
Calcul de la somme des indices :
\[ 1+2+3+4+5 = 15 \]
Donc :
\[ \sum_{i=1}^{5} \varphi_i \, m_i = 5000 \times 15 = 75000 \; \text{kg} \]
En élevant ce résultat au carré :
\[ (75000)^2 = 75000 \times 75000 = 5\,625\,000\,000 \; \text{kg}^2 \]
3.2 Calcul du dénominateur
Le dénominateur est :
\[ \sum_{i=1}^{n} \varphi_i^2\, m_i \]
Ici,
\[ \sum_{i=1}^{5} \varphi_i^2\, m_i = m \times \sum_{i=1}^{5} i^2 = 5000 \times (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2) \]
Calcul des carrés :
\( 1^2 = 1,\quad 2^2 = 4,\quad 3^2 = 9,\quad 4^2 = 16,\quad 5^2 = 25 \)
La somme est :
\[ 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 \]
Donc :
\[ \sum_{i=1}^{5} \varphi_i^2\, m_i = 5000 \times 55 = 275000 \; \text{kg} \]
3.3 Calcul de la masse effective
Maintenant, nous pouvons appliquer la formule :
\[ m_{\text{eff}} = \frac{5\,625\,000\,000}{275000} \]
Effectuons la division :
\[ m_{\text{eff}} \approx 20454.55 \; \text{kg} \]
4. Conclusion et interprétation
Masse totale du bâtiment : 25 000 kg
Masse sismique effective : Environ 20 455 kg
Interprétation :
La masse effective est inférieure à la masse totale du bâtiment. Ce résultat traduit le fait que la contribution de certains étages à la réponse sismique (notamment les étages inférieurs dont le déplacement modal est moindre) est réduite par rapport aux étages supérieurs qui se déplacent plus fortement lors d’un séisme. Ce rapport (ici environ 82 % de la masse totale) est typique pour ce type de structures où la réponse dynamique est non uniforme et dominée par la première forme modale.
Évaluation de la masse sismique effective
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