Calcul de l’Accélération Sismique au Sommet

Comprendre le Calcul de l’Accélération Sismique au Sommet

Vous êtes un ingénieur en structures chargé de concevoir un bâtiment de bureaux de 10 étages dans une zone à forte activité sismique. La structure, d’une hauteur totale de 30 mètres, est construite principalement en cadres d’acier et planchers de béton. Votre tâche est d’estimer l’accélération maximale que pourrait subir le sommet de cette structure lors d’un séisme majeur.

Pour comprendre l’Analyse de la Réponse Sismique d’un Bâtiment, cliquez sur le lien.

Données Fournies:

Masse par étage : 80 tonnes par étage.
Hauteur totale de la structure : 30 mètres.
Nombre d’étages : 10.
Type de sol : Sol de type II (sols fermes, tels que graviers denses, sables denses et argiles dures).
Zone sismique : Zone 3 (accélération maximale du sol de 0,3g, où \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \)).
Damping (amortissement) : 5% de l’amortissement critique.
Période de plateau : \(T_B = 0,5\) s.
Période fondamentale de la structure : À estimer en utilisant la formule empirique.

Calcul de l'Accélération Sismique au Sommet

Questions:

1. Calculer la période fondamentale de la structure en utilisant la formule empirique.

2. Estimer l’accélération maximale au sol pour la zone sismique donnée.

3. Utiliser la méthode de l’analyse modale spectrale (sous forme simplifiée) pour estimer l’accélération maximale au sommet de la structure.

4. Discuter l’influence du type de sol et de l’amortissement sur les résultats.

Correction : Calcul de l’Accélération Sismique au Sommet

1. Calcul de la période fondamentale de la structure

Pour estimer la période fondamentale d’un bâtiment, il est courant d’utiliser une formule empirique de la forme :

\[ T = C_T \times H^{\alpha} \]

où :

\(T\) est la période fondamentale (en secondes),
\(H\) est la hauteur totale de la structure (en mètres),
\(C_T\) et \(\alpha\) sont des constantes dépendant du type de structure.

Pour une structure à armatures d’acier, une formule fréquemment utilisée est :

\[ T = 0,085 \times H^{3/4} \]

Données

Hauteur totale \(H = 30\) m

Calcul

1. Calcul de \(H^{3/4}\) :

\[ H^{3/4} = 30^{0,75} = \exp(0,75 \times \ln(30)) \]

\(\ln(30) \approx 3,4012\)
\(0,75 \times 3,4012 \approx 2,5509\)
\(\exp(2,5509) \approx 12,82\)

2. Calcul de \(T\) :

\[ T = 0,085 \times 12,82 \] \[ T \approx 1,09 \, \text{s} \]

Résultat : La période fondamentale estimée de la structure est d’environ 1,09 secondes.

2. Estimation de l’accélération maximale au sol

La donnée fournie pour la zone sismique (Zone 3) indique une accélération maximale du sol de 0,3g, où \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\). Il suffit donc de multiplier cette valeur par \(g\) pour obtenir l’accélération en unités SI.

Données

\(a_{sol, max} = 0,3 \, g\)
\(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)

Calcul

\[ a_{sol, max} = 0,3 \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \] \[ a_{sol, max} \approx 2,943 \, \text{m/s}^2 \]

Résultat : L’accélération maximale au sol est d’environ 2,94 m/s².

3. Estimation de l’accélération maximale au sommet par analyse modale spectrale

En analyse modale spectrale simplifiée, on considère la structure comme un système à un degré de liberté (SDOF) dont la réponse est donnée par la valeur spectrale d’accélération \(S_a(T, \xi)\) pour la période \(T\) et un taux d’amortissement \(\xi\) (ici 5%). Le response spectrum, qui caractérise la réponse dynamique, est défini par des courbes dont la valeur maximale varie en fonction de la période.

Pour de nombreux schémas spectraux (notamment ceux adoptés en sismique), il existe une « période de plateau » \(T_B\). Pour \(T \leq T_B\), la valeur spectrale est constante (égale à la valeur maximale, ici 0,3g). Pour \(T > T_B\), la valeur spectrale décroît généralement de manière inversement proportionnelle à \(T\).

Pour cet exercice, nous avons :

\(T_B = 0,5\) s.
Pour \(T > T_B\), on utilise l’expression :

\[ S_a(T) = a_{sol, max} \times \frac{T_B}{T} \]

Données

\(a_{sol, max} = 2,943 \, \text{m/s}^2\)
\(T_B = 0,5 \, \text{s}\)
\(T \approx 1,09 \, \text{s}\)
Amortissement : \(\xi = 5\%\) (déjà pris en compte dans la définition du spectre)

Calcul

Calcul de la valeur spectrale pour \(T = 1,09\) s :

\[ S_a(1,09) = 2,943 \times \frac{0,5}{1,09} \] \[ S_a(1,09) \approx 2,943 \times 0,4587 \] \[ S_a(1,09) \approx 1,35 \, \text{m/s}^2 \]

Dans le cadre d’un système SDOF, la réponse au sommet (pour lequel la valeur de la fonction modale est 1) sera égale à \(S_a\).

Résultat : L’accélération maximale estimée au sommet de la structure est d’environ 1,35 m/s².

4. Discussion de l’influence du type de sol et de l’amortissement

Influence du type de sol

Type de sol II (sols fermes) :
Ce type de sol se caractérise par une rigidité relativement élevée.
- Un sol plus ferme tend à avoir une fréquence de vibration plus élevée et une réponse sismique concentrée sur des périodes courtes.
- Si le sol était plus souple (par exemple, sol de type III), le spectre de réponse présenterait un pic déplacé vers des périodes plus longues, ce qui pourrait augmenter ou diminuer l’amplification en fonction de la période de la structure.
- Ainsi, pour notre structure dont la période est de 1,09 s, un sol plus souple pourrait modifier la valeur spectrale \(S_a\) et par conséquent l’accélération au sommet.

Influence de l’amortissement

Amortissement à 5% de l’amortissement critique :
L’amortissement permet de réduire les amplitudes dynamiques en dissipant l’énergie.
- Un taux d’amortissement plus élevé entraînerait une réduction de la réponse spectrale, ce qui diminue l’accélération maximale.
- Inversement, un amortissement plus faible conduirait à une réponse dynamique plus élevée (plus de résonance) et donc à une accélération plus importante au sommet.
- Dans notre méthode simplifiée, le taux de 5% est typique pour les structures modernes, ce qui aboutit à la valeur spectrale utilisée. Un changement dans ce taux influencerait directement la courbe du spectre de réponse.

Calcul de l’Accélération Sismique au Sommet

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