Interaction Sol-Structure en Zone Sismique

→ Masse par étage = 80 000 kg

→ Nombre d’étages = 10

→ Masse totale ≈ m = 10 × 80 000 = 800 000 kg

→ k = 7000 × 10³ = 7.0 × 10⁶ N/m

Propriétés du sol :

→ G = 75 × 10⁶ Pa

→ ρ = 2000 kg/m³

Spectre de réponse sismique :

→ g = 9.81 m/s², ainsi PGA = 0.35 × 9.81 ≈ 3.43 m/s²

1. Calcul de la période propre de la structure

Dans un modèle à un degré de liberté, la période propre T est donnée par :

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

où :

Application numérique

1. Calcul de \(\sqrt{\frac{m}{k}}\) :
\[ \sqrt{\frac{m}{k}} = \sqrt{\frac{800\,000 \, \text{kg}}{7.0 \times 10^6 \, \text{N/m}}} = \sqrt{0.1143} \approx 0.3380 \, \text{s} \]

2. Donc, la période propre :
\[ T = 2\pi \times 0.3380 \] \[ T \approx 2.124 \, \text{s} \]

Résultat Q1 : La période propre de la structure est d’environ 2.12 secondes.

2. Effet du sol sur la période propre de la structure

Lorsque la structure repose sur un sol flexible, l’effet de la compliance (flexibilité) du sol allonge la période propre du système. On peut représenter ce couplage par un modèle à deux ressorts en série (un ressort structurel de raideur k et un ressort fondation/sol de raideur ksol).
Une approche simplifiée consiste à calculer une raideur effective en série :

\[ \frac{1}{k_{\text{eff}}} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k_{\text{sol}}} \]

Toutefois, afin d’introduire l’effet de la flexibilité du sol, on peut adopter une formule souvent utilisée en sismologie pour tenir compte de la contribution "souple" du sol :

\[ T_{\text{mod}} = \sqrt{T^2 + T_s^2} \]

où \(T\) est la période propre de la structure et \(T_s\) la période caractéristique du sol.

Application numérique

En substituant : \[ T_{\text{mod}} = \sqrt{(2.124)^2 + (0.5)^2} \] \[ T_{\text{mod}} = \sqrt{4.512 + 0.25} \] \[ T_{\text{mod}} = \sqrt{4.762} \] \[ T_{\text{mod}} \approx 2.182 \, \text{s} \]

Résultat Q2 : La période modifiée, tenant compte de la compliance du sol, est d’environ 2.18 secondes.

3. Détermination de la réponse de la structure

Hypothèses et explications

Nous utilisons le spectre de réponse sismique donné. Pour un spectre linéaire, si l’on suppose que l’accélération maximale \(a_{\text{max}}\) décroît proportionnellement à l’augmentation de la période par rapport à la période dominante \(T_s\), une approche consiste à écrire :

\[ a_{\text{max}} = \text{PGA} \times \frac{T_s}{T_{\text{mod}}} \]

Cette relation est souvent utilisée lorsque la réponse sismique décroît dans la branche linéaire du spectre pour \(T > T_s\).

Application numérique

Sachant que :

Calcul de \(a_{\text{max}}\) :
\[ a_{\text{max}} = 3.43 \times \frac{0.5}{2.18} \] \[ a_{\text{max}} \approx 3.43 \times 0.2294 \] \[ a_{\text{max}} \approx 0.787 \, \text{m/s}^2 \]

Résultat Q3 : L’accélération maximale estimée que la structure pourrait subir est d’environ 0.79 m/s².

4. Analyse de l’effet de l’amortissement total

Explications

Le système global dispose de deux sources d’amortissement :

Lors du couplage de deux systèmes en série, l’amortissement effectif \(\xi_{\text{total}}\) peut être approché par une contribution pondérée. Une méthode simplifiée consiste à écrire :

\[ \xi_{\text{total}} = \xi_{\text{structure}} + \left(\frac{T}{T_{\text{mod}}}\right) \times \xi_{\text{sol}} \]

Ici, le facteur \(\frac{T}{T_{\text{mod}}}\) représente la part de la réponse associée à la flexibilité structurelle par rapport à l’ensemble du système.

Application numérique

1. Avec \(T \approx 2.124 \, \text{s}\) et \(T_{\text{mod}} \approx 2.182 \, \text{s}\), le facteur est :
\[ \frac{T}{T_{\text{mod}}} \approx \frac{2.124}{2.182} \approx 0.972 \]

2. On a donc :
\[ \xi_{\text{total}} = 5\% + 0.972 \times 10\% \] \[ \xi_{\text{total}} \approx 5\% + 9.72\% \] \[ \xi_{\text{total}} \approx 14.72\% \]

Discussion
Un amortissement total d’environ 14.7% indique une dissipation d’énergie significative. Cet amortissement accru, par rapport à la seule contribution structurelle, contribue à réduire la réponse dynamique (la réponse en termes d’accélération et de déplacement) de la structure.

Résultat Q4 : Le taux d’amortissement effectif est d’environ 14.7%, ce qui tend à réduire l’intensité de la réponse sismique.

5. Rapport écrit

Synthèse du rapport

Introduction
Ce rapport présente l’analyse de l’interaction sol-structure pour un bâtiment de bureaux de 10 étages en région sismique. La démarche consiste en :
1. La détermination de la période propre de la structure,
2. La prise en compte de la compliance du sol pour obtenir une période modifiée,
3. L’estimation de la réponse dynamique via le spectre de réponse,
4. L’analyse de l’impact combiné de l’amortissement structurel et du sol.

1. Période propre de la structure
En considérant la structure comme un système à un degré de liberté, la période propre est calculée à partir de la masse totale \(m = 800\,000\) kg et d’une raideur \(k = 7.0 \times 10^6\) N/m. Le calcul suivant a été réalisé :

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{800\,000}{7.0 \times 10^6}} \] \[ T \approx 2.12 \, \text{s} \]

Cette période caractérise l’inertie du bâtiment face aux forces sismiques.

2. Impact de la compliance du sol
La flexibilité du sol, caractérisée par une période dominante \(T_s = 0.5\) s, vient légèrement allonger la période effective. En utilisant la relation :

\[ T_{\text{mod}} = \sqrt{T^2 + T_s^2} \] \[ T_{\text{mod}} \approx \sqrt{(2.12)^2 + (0.5)^2} \] \[ T_{\text{mod}} \approx 2.18 \, \text{s} \]

Cette légère augmentation traduit l’effet de la flexibilité additionnelle du système fondation-sol.

3. Réponse dynamique de la structure
Le spectre de réponse sismique (PGA = 3.43 m/s² au roc) est ici supposé décroître linéairement pour des périodes supérieures à \(T_s\). Ainsi, l’accélération maximale est estimée par :

\[ a_{\text{max}} = 3.43 \times \frac{0.5}{2.18} \] \[ a_{\text{max}} \approx 0.79 \, \text{m/s}^2 \]

Cette valeur représente l’accélération que la structure pourrait subir lors d’un séisme.

4. Effet combiné de l’amortissement
L’amortissement se répartit entre la structure (5%) et le sol (10%). En tenant compte d’un facteur de répartition basé sur la contribution relative des périodes, le taux effectif est :

\[ \xi_{\text{total}} \approx 5\% + 0.972 \times 10\% \] \[ \xi_{\text{total}}\approx 14.7\% \]

Un tel niveau d’amortissement, supérieur à celui de la seule structure, contribue significativement à dissiper l’énergie sismique et à réduire la réponse dynamique du bâtiment.

5. Graphiques et implications pour la conception sismique
Graphique du spectre de réponse (schématique) :

Remarque : Dans un environnement réel, le graphique serait obtenu à partir des courbes normalisées du spectre de réponse et pourrait être utilisé pour vérifier que la conception structurelle tient compte des amplifications et de la dissipation d’énergie liées à l’interaction sol-structure.

Implications de la conception :