Études de cas pratique

EGC

Descente des charges sur une poutre

Descente de Charges sur une Poutre

Introduction à la Descente de Charges sur Poutre

Les poutres sont des éléments structuraux essentiels qui reprennent les charges des planchers (dalles) et les transmettent aux appuis (poteaux, murs). Le calcul précis des charges appliquées sur une poutre (poids propre, charges permanentes et d'exploitation issues de la dalle) est nécessaire pour déterminer les sollicitations internes (effort tranchant, moment fléchissant) et dimensionner correctement la poutre.

Données de l'étude

On étudie une poutre intérieure simplement appuyée (P1) supportant une dalle pleine en béton armé.

Caractéristiques géométriques :

  • Portée de la poutre P1 (entre nus d'appuis) : \(L = 6.50 \, \text{m}\)
  • Largeur de la bande de dalle reprise par la poutre (demi-portées des dalles adjacentes) : \(B = 5.50 \, \text{m}\)
  • Section de la poutre P1 : base \(b_p = 30 \, \text{cm}\), hauteur \(h_p = 50 \, \text{cm}\)

Charges surfaciques sur la dalle (transmises à la poutre) :

  • Charges permanentes (G) hors poids propre de la dalle et de la poutre : \(G'_{surf} = 2.00 \, \text{kN/m}^2\)
  • Charges d'exploitation (Q) : \(Q_{surf} = 3.00 \, \text{kN/m}^2\)
  • Épaisseur de la dalle : \(h_{dalle} = 20 \, \text{cm}\)

Matériaux :

  • Poids volumique du béton armé : \(\gamma_{BA} = 25 \, \text{kN/m}^3\)

Hypothèse : On calcule les charges linéiques sur la poutre et les sollicitations maximales à l'État Limite Ultime (ELU) avec la combinaison \(1.35G + 1.5Q\).

Schéma : Poutre et charges reprises
\(p_{u}\) (G+Q) Portée L = 6.50 m Poutre sur appuis simples

Schéma illustrant la poutre simplement appuyée avec la charge répartie totale.

Questions à traiter

  1. Calculer la charge permanente linéique (\(g_{poutre}\)) due au poids propre de la poutre P1.
  2. Calculer la charge permanente linéique (\(g_{dalle}\)) transmise par la dalle à la poutre P1.
  3. Calculer la charge d'exploitation linéique (\(q_{poutre}\)) transmise par la dalle à la poutre P1.
  4. Calculer la charge totale linéique pondérée à l'ELU (\(p_u\)) sur la poutre P1.
  5. Calculer l'effort tranchant maximal (\(V_{Ed,max}\)) et le moment fléchissant maximal (\(M_{Ed,max}\)) dans la poutre à l'ELU.

Correction : Descente de Charges sur une Poutre

Question 1 : Poids Propre Linéique de la Poutre (\(g_{poutre}\))

Principe :

Le poids propre linéique de la poutre est calculé en multipliant sa section transversale par le poids volumique du béton armé.

Formule(s) utilisée(s) :

Section de la poutre (\(S_{poutre}\)) :

\[S_{poutre} = b_p \times h_p\]

Poids propre linéique (\(g_{poutre}\)) :

\[g_{poutre} = S_{poutre} \times \gamma_{BA}\]
Données spécifiques :
  • Base poutre (\(b_p\)) : \(0.30 \, \text{m}\)
  • Hauteur poutre (\(h_p\)) : \(0.50 \, \text{m}\)
  • Poids volumique béton armé (\(\gamma_{BA}\)) : \(25 \, \text{kN/m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_{poutre} &= 0.30 \, \text{m} \times 0.50 \, \text{m} \\ &= 0.15 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} g_{poutre} &= 0.15 \, \text{m}^2 \times 25 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 3.75 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le poids propre linéique de la poutre est \(g_{poutre} = 3.75 \, \text{kN/m}\).

Question 2 : Charge Permanente Linéique de la Dalle (\(g_{dalle}\))

Principe :

La charge permanente linéique transmise par la dalle à la poutre est obtenue en multipliant la charge permanente surfacique totale de la dalle (poids propre + charges G') par la largeur de la bande de dalle reprise par la poutre.

Formule(s) utilisée(s) :

Poids propre dalle (\(g_{pp,dalle}\)) :

\[g_{pp,dalle} = h_{dalle} \times \gamma_{BA}\]

Charge permanente surfacique totale dalle (\(G_{dalle,surf}\)) :

\[G_{dalle,surf} = g_{pp,dalle} + G'_{surf}\]

Charge permanente linéique dalle (\(g_{dalle}\)) :

\[g_{dalle} = G_{dalle,surf} \times B\]
Données spécifiques :
  • \(h_{dalle} = 0.20 \, \text{m}\)
  • \(\gamma_{BA} = 25 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(G'_{surf} = 2.00 \, \text{kN/m}^2\)
  • Largeur reprise (\(B\)) : \(5.50 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} g_{pp,dalle} &= 0.20 \, \text{m} \times 25 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 5.00 \, \text{kN/m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G_{dalle,surf} &= 5.00 \, \text{kN/m}^2 + 2.00 \, \text{kN/m}^2 \\ &= 7.00 \, \text{kN/m}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} g_{dalle} &= 7.00 \, \text{kN/m}^2 \times 5.50 \, \text{m} \\ &= 38.50 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La charge permanente linéique transmise par la dalle est \(g_{dalle} = 38.50 \, \text{kN/m}\).

Question 3 : Charge d'Exploitation Linéique (\(q_{poutre}\))

Principe :

La charge d'exploitation linéique transmise par la dalle à la poutre est obtenue en multipliant la charge d'exploitation surfacique (\(Q_{surf}\)) par la largeur de la bande de dalle reprise (\(B\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[q_{poutre} = Q_{surf} \times B\]
Données spécifiques :
  • \(Q_{surf} = 3.00 \, \text{kN/m}^2\)
  • Largeur reprise (\(B\)) : \(5.50 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} q_{poutre} &= 3.00 \, \text{kN/m}^2 \times 5.50 \, \text{m} \\ &= 16.50 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La charge d'exploitation linéique transmise par la dalle est \(q_{poutre} = 16.50 \, \text{kN/m}\).

Question 4 : Charge Totale Linéique Pondérée à l'ELU (\(p_u\))

Principe :

La charge totale linéique à l'ELU est obtenue en additionnant toutes les charges permanentes linéiques (poids propre poutre + dalle) et les charges d'exploitation linéiques, pondérées par les coefficients de sécurité réglementaires (ici, \(1.35\) pour G et \(1.5\) pour Q).

Formule(s) utilisée(s) :

Charge permanente linéique totale (\(g_{tot}\)) :

\[g_{tot} = g_{poutre} + g_{dalle}\]

Charge ELU (\(p_u\)) :

\[p_u = 1.35 \times g_{tot} + 1.5 \times q_{poutre}\]
Données spécifiques :
  • \(g_{poutre} = 3.75 \, \text{kN/m}\) (calculée)
  • \(g_{dalle} = 38.50 \, \text{kN/m}\) (calculée)
  • \(q_{poutre} = 16.50 \, \text{kN/m}\) (calculée)
Calcul :
\[ \begin{aligned} g_{tot} &= 3.75 \, \text{kN/m} + 38.50 \, \text{kN/m} \\ &= 42.25 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} p_u &= (1.35 \times 42.25 \, \text{kN/m}) + (1.5 \times 16.50 \, \text{kN/m}) \\ &= 57.0375 \, \text{kN/m} + 24.75 \, \text{kN/m} \\ &= 81.7875 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

On arrondit : \(p_u \approx 81.79 \, \text{kN/m}\).

Résultat Question 4 : La charge totale linéique pondérée à l'ELU est \(p_u \approx 81.79 \, \text{kN/m}\).

Question 5 : Sollicitations Maximales à l'ELU (\(V_{Ed,max}, M_{Ed,max}\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée de portée L soumise à une charge uniformément répartie \(p_u\), l'effort tranchant maximal se produit aux appuis et le moment fléchissant maximal se produit à mi-portée.

Formule(s) utilisée(s) :

Effort tranchant maximal :

\[V_{Ed,max} = \frac{p_u \times L}{2}\]

Moment fléchissant maximal :

\[M_{Ed,max} = \frac{p_u \times L^2}{8}\]
Données spécifiques :
  • \(p_u \approx 81.79 \, \text{kN/m}\) (calculée)
  • Portée (\(L\)) : \(6.50 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{Ed,max} &= \frac{81.79 \, \text{kN/m} \times 6.50 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{531.635 \, \text{kN}}{2} \\ &\approx 265.82 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} M_{Ed,max} &= \frac{81.79 \, \text{kN/m} \times (6.50 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{81.79 \times 42.25 \, \text{kN} \cdot \text{m}}{8} \\ &= \frac{3455.6275 \, \text{kN} \cdot \text{m}}{8} \\ &\approx 431.95 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Les sollicitations maximales à l'ELU sont \(V_{Ed,max} \approx 265.82 \, \text{kN}\) et \(M_{Ed,max} \approx 431.95 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Quelle charge la poutre P1 reprend-elle DIRECTEMENT ?

2. Pourquoi utilise-t-on des coefficients de pondération (1.35 et 1.5) pour calculer \(p_u\) à l'ELU ?

3. Pour une poutre sur appuis simples avec charge uniforme \(p_u\), où se situe le moment fléchissant maximal ?

Glossaire

Poutre
Élément structural linéaire, généralement horizontal, conçu pour reprendre des charges (principalement de flexion et d'effort tranchant) et les transmettre à ses appuis.
Dalle
Élément structural plan supportant les charges sur une surface et les transmettant aux poutres ou aux murs.
Descente de Charges
Calcul du cheminement des charges à travers la structure jusqu'aux fondations.
Charge Permanente (G ou Gk)
Charge constante dans le temps (poids propre, revêtements...).
Charge d'Exploitation (Q ou Qk)
Charge variable liée à l'usage du bâtiment.
Charge Linéique
Charge répartie le long d'une ligne (exprimée en kN/m).
Charge Surfacique
Charge répartie sur une surface (exprimée en kN/m²).
Portée (L)
Distance entre les appuis d'une poutre ou d'une dalle.
Appuis Simples
Type d'appui qui permet la rotation mais empêche la translation verticale (et parfois horizontale).
État Limite Ultime (ELU)
État limite correspondant à la capacité portante maximale de la structure ou d'un de ses éléments.
État Limite de Service (ELS)
État limite relatif aux conditions normales d'utilisation (déformations, fissuration...).
Combinaison de Charges
Combinaison pondérée des différentes actions (G, Q, vent, neige...) pour définir une situation de chargement à vérifier (ELU ou ELS).
Effort Tranchant (V ou VEd)
Effort interne dans une section de poutre, tendant à faire glisser une partie par rapport à l'autre perpendiculairement à l'axe de la poutre.
Moment Fléchissant (M ou MEd)
Moment interne dans une section de poutre, tendant à la faire fléchir (courber).
Descente de Charges sur une Poutre - Exercice d'Application

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