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Calcul des coefficients d’échange par convection

Calcul des Coefficients d’Échange par Convection en Thermique des Bâtiments

Calcul des Coefficients d’Échange par Convection

Comprendre l'Échange Thermique par Convection

L'échange thermique par convection est l'un des principaux modes de transfert de chaleur entre une surface solide (comme un mur de bâtiment) et un fluide en mouvement (comme l'air). Le coefficient d'échange thermique par convection (\(h_c\)) quantifie l'efficacité de ce transfert. Une valeur de \(h_c\) élevée signifie que la chaleur est transférée plus facilement entre la surface et le fluide. Ce coefficient dépend de nombreux facteurs, notamment la vitesse du fluide, ses propriétés (viscosité, conductivité thermique, masse volumique, chaleur spécifique), la géométrie de la surface et la différence de température. Le calcul précis de \(h_c\) est crucial pour évaluer les déperditions thermiques d'un bâtiment et dimensionner les systèmes de chauffage ou de refroidissement.

Données de l'étude

On étudie l'échange thermique par convection sur la surface extérieure d'un mur plat exposé à un vent.

Caractéristiques de la surface et de l'air :

  • Longueur caractéristique de la surface (mur) (\(L\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
  • Vitesse de l'air (\(v\)) : \(3 \, \text{m/s}\)
  • Température de la surface du mur (\(T_s\)) : \(15 \, ^\circ\text{C}\)
  • Température de l'air ambiant extérieur (\(T_{\text{air}}\)) : \(0 \, ^\circ\text{C}\)
  • Propriétés de l'air (évaluées à la température moyenne du film \(T_f = (T_s + T_{\text{air}})/2 = 7.5 \, ^\circ\text{C}\)) :
    • Viscosité cinématique (\(\nu\)) : \(1.40 \times 10^{-5} \, \text{m}^2/\text{s}\)
    • Conductivité thermique de l'air (\(k_{\text{air}}\)) : \(0.0245 \, \text{W/(mK)}\)
    • Nombre de Prandtl (\(Pr\)) : \(0.71\)

Hypothèse : L'écoulement de l'air est parallèle à la surface plane du mur. On utilisera les corrélations pour une plaque plane.

Schéma : Convection sur une Surface Plane
Surface (Ts) Air (T_air, v) Φc Échange par Convection

Illustration de l'écoulement d'air sur une surface plane et du transfert de chaleur par convection.

Questions à traiter

  1. Calculer le nombre de Reynolds (\(Re_L\)) pour l'écoulement de l'air sur la surface.
  2. En supposant que l'écoulement devient turbulent pour \(Re_L > 5 \times 10^5\), déterminer la nature de l'écoulement (laminaire ou turbulent).
  3. Calculer le nombre de Nusselt moyen (\(Nu_L\)) en utilisant la corrélation appropriée pour une plaque plane (si laminaire : \(Nu_L = 0.664 Re_L^{1/2} Pr^{1/3}\) ; si turbulent : \(Nu_L = (0.037 Re_L^{0.8} - 871) Pr^{1/3}\) pour \(5 \times 10^5 < Re_L < 10^7\) et \(0.6 < Pr < 60\)).
  4. Calculer le coefficient d'échange thermique par convection moyen (\(h_c\)).
  5. Calculer le flux de chaleur par convection (\(\phi_c\)) par unité de surface du mur.

Correction : Calcul des Coefficients d’Échange par Convection

Question 1 : Nombre de Reynolds (\(Re_L\))

Principe :

Le nombre de Reynolds (\(Re_L\)) est un nombre sans dimension crucial en mécanique des fluides. Il permet de caractériser le régime d'un écoulement (laminaire, transitoire ou turbulent). Il représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses dans le fluide. Pour un écoulement sur une plaque plane, il est calculé en utilisant la vitesse du fluide (\(v\)), la longueur caractéristique de la plaque dans la direction de l'écoulement (\(L\)), et la viscosité cinématique du fluide (\(\nu\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Re_L = \frac{v \cdot L}{\nu}\]
Données spécifiques :
  • Vitesse de l'air (\(v\)) : \(3 \, \text{m/s}\)
  • Longueur caractéristique (\(L\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
  • Viscosité cinématique de l'air (\(\nu\)) : \(1.40 \times 10^{-5} \, \text{m}^2/\text{s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Re_L &= \frac{3 \, \text{m/s} \times 5.0 \, \text{m}}{1.40 \times 10^{-5} \, \text{m}^2/\text{s}} \\ &= \frac{15 \, \text{m}^2/\text{s}}{1.40 \times 10^{-5} \, \text{m}^2/\text{s}} \\ &\approx 1071428.57 \\ &\approx 1.07 \times 10^6 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le nombre de Reynolds est \(Re_L \approx 1.07 \times 10^6\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la vitesse de l'air double, le nombre de Reynolds :

Question 2 : Nature de l'écoulement

Principe :

La valeur du nombre de Reynolds (\(Re_L\)) nous permet de déterminer si l'écoulement du fluide est principalement laminaire (régulier, en couches parallèles) ou turbulent (chaotique, avec des tourbillons). Pour un écoulement sur une plaque plane, la transition d'un régime laminaire à un régime turbulent se produit généralement autour d'une valeur critique du nombre de Reynolds. Dans cet exercice, on nous donne une valeur critique de \(5 \times 10^5\).

Comparaison :

Nous avons calculé \(Re_L \approx 1.07 \times 10^6\).
La valeur critique pour la transition vers un écoulement turbulent est donnée comme \(5 \times 10^5 = 500000\).
Puisque \(1.07 \times 10^6 > 5 \times 10^5\), l'écoulement est considéré comme turbulent sur la majorité de la plaque.

Résultat Question 2 : L'écoulement est turbulent car \(Re_L \approx 1.07 \times 10^6 > 5 \times 10^5\).

Question 3 : Nombre de Nusselt moyen (\(Nu_L\))

Principe :

Le nombre de Nusselt (\(Nu_L\)) est un nombre sans dimension qui caractérise le transfert de chaleur par convection. Il représente le rapport entre le transfert de chaleur par convection et le transfert de chaleur par conduction pure à travers la même couche de fluide. Pour un écoulement turbulent sur une plaque plane, et dans la gamme de Reynolds et Prandtl spécifiée, on utilise souvent une corrélation empirique. Celle donnée est \(Nu_L = (0.037 Re_L^{0.8} - 871) Pr^{1/3}\).

Formule(s) utilisée(s) (écoulement turbulent sur plaque plane) :
\[Nu_L = (0.037 Re_L^{0.8} - 871) Pr^{1/3}\]

Valable pour \(5 \times 10^5 < Re_L < 10^7\) et \(0.6 < Pr < 60\).

Données spécifiques :
  • Nombre de Reynolds (\(Re_L\)) : \(1.07 \times 10^6\)
  • Nombre de Prandtl (\(Pr\)) : \(0.71\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Re_L^{0.8} &= (1.07 \times 10^6)^{0.8} \approx (1070000)^{0.8} \approx 67026.5 \\ Pr^{1/3} &= (0.71)^{1/3} \approx 0.892 \\ Nu_L &= (0.037 \times 67026.5 - 871) \times 0.892 \\ &= (2479.98 - 871) \times 0.892 \\ &= 1608.98 \times 0.892 \\ &\approx 1435.2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le nombre de Nusselt moyen est \(Nu_L \approx 1435.2\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le nombre de Nusselt représente :

Question 4 : Coefficient d'échange thermique par convection moyen (\(h_c\))

Principe :

Le coefficient d'échange thermique par convection (\(h_c\)) est la grandeur qui nous intéresse directement pour calculer les pertes de chaleur. Il est défini à partir du nombre de Nusselt, de la conductivité thermique du fluide (\(k_{\text{air}}\)), et de la longueur caractéristique (\(L\)) de la surface. Une fois \(Nu_L\) connu, \(h_c\) peut être facilement calculé.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Nu_L = \frac{h_c \cdot L}{k_{\text{air}}}\]

Donc :

\[h_c = \frac{Nu_L \cdot k_{\text{air}}}{L}\]
Données spécifiques :
  • Nombre de Nusselt (\(Nu_L\)) : \(\approx 1435.2\)
  • Conductivité thermique de l'air (\(k_{\text{air}}\)) : \(0.0245 \, \text{W/(mK)}\)
  • Longueur caractéristique (\(L\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} h_c &= \frac{1435.2 \times 0.0245 \, \text{W/(mK)}}{5.0 \, \text{m}} \\ &= \frac{35.1624 \, \text{W/K}}{5.0 \, \text{m}} \\ &\approx 7.03 \, \text{W/(m}^2\text{K)} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le coefficient d'échange thermique par convection moyen est \(h_c \approx 7.03 \, \text{W/(m}^2\text{K)}\).

Question 5 : Flux de chaleur par convection (\(\phi_c\)) par unité de surface

Principe :

Le flux de chaleur par convection (\(\phi_c\)) par unité de surface (souvent noté \(q_c\)) est la quantité de chaleur transférée par convection par mètre carré de surface. Il est calculé en utilisant la loi de Newton du refroidissement (ou du réchauffement), qui stipule que ce flux est proportionnel au coefficient d'échange thermique par convection (\(h_c\)) et à la différence de température entre la surface (\(T_s\)) et le fluide environnant (\(T_{\text{air}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\phi_c = h_c \times (T_s - T_{\text{air}})\]

L'unité de \(\phi_c\) est le \(\text{W/m}^2\).

Données spécifiques :
  • Coefficient de convection (\(h_c\)) : \(\approx 7.03 \, \text{W/(m}^2\text{K)}\)
  • Température de la surface (\(T_s\)) : \(15 \, ^\circ\text{C}\)
  • Température de l'air (\(T_{\text{air}}\)) : \(0 \, ^\circ\text{C}\)
Calcul :

Différence de température \(\Delta T = T_s - T_{\text{air}} = 15 \, ^\circ\text{C} - 0 \, ^\circ\text{C} = 15 \, \text{K}\).

\[ \begin{aligned} \phi_c &= 7.03 \, \text{W/(m}^2\text{K)} \times 15 \, \text{K} \\ &\approx 105.45 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le flux de chaleur par convection par unité de surface est \(\phi_c \approx 105.45 \, \text{W/m}^2\).

Quiz Q5 : Si \(h_c = 10 \, \text{W/(m}^2\text{K)}\) et \(\Delta T = 5 \, \text{K}\), le flux de chaleur \(\phi_c\) est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le nombre de Reynolds permet de caractériser :

2. Le coefficient d'échange thermique par convection \(h_c\) est dérivé à partir du :

3. Un écoulement est considéré turbulent sur une plaque plane si le nombre de Reynolds \(Re_L\) est typiquement :

Glossaire

Convection
Mode de transfert de chaleur qui se produit par le mouvement macroscopique d'un fluide (liquide ou gaz). Il combine les effets de la conduction thermique et du transport de matière.
Coefficient d'Échange Thermique par Convection (\(h_c\))
Mesure de l'efficacité du transfert de chaleur par convection entre une surface et un fluide. Unité : \(\text{W/(m}^2\text{K)}\).
Nombre de Reynolds (\(Re\))
Nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement d'un fluide (laminaire ou turbulent). Il compare les forces d'inertie aux forces de viscosité.
Nombre de Nusselt (\(Nu\))
Nombre sans dimension qui représente le rapport entre le transfert de chaleur par convection et le transfert de chaleur par conduction pure à travers une couche de fluide. Il est utilisé pour déterminer \(h_c\).
Nombre de Prandtl (\(Pr\))
Nombre sans dimension qui compare la diffusivité de quantité de mouvement (viscosité cinématique) à la diffusivité thermique. Il caractérise les propriétés thermophysiques du fluide.
Écoulement Laminaire
Régime d'écoulement d'un fluide où les particules se déplacent en couches parallèles, sans mélange transversal important. Typique à faible nombre de Reynolds.
Écoulement Turbulent
Régime d'écoulement d'un fluide caractérisé par des mouvements chaotiques, des tourbillons et un mélange intense. Typique à nombre de Reynolds élevé.
Viscosité Cinématique (\(\nu\))
Rapport de la viscosité dynamique à la masse volumique du fluide (\(\nu = \mu / \rho\)). Unité : \(\text{m}^2/\text{s}\).
Conductivité Thermique (\(k\) ou \(\lambda\))
Propriété d'un matériau à conduire la chaleur. Unité : \(\text{W/(mK)}\).
Flux de Chaleur par Convection (\(\phi_c\))
Quantité de chaleur transférée par convection par unité de surface et par unité de temps. Unité : \(\text{W/m}^2\).
Calcul des Coefficients d’Échange par Convection - Exercice d'Application

Calcul des coefficients d’échange par convection

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