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Charge à l’ELU d’une fondation

Calcul de la Charge à l’ELU d’une Fondation en Béton Armé

Charge à l’ELU d’une Fondation en Béton Armé

Contexte : Qu'est-ce que la "descente de charges" ?

La "descente de charges" est le processus par lequel les ingénieurs suivent le cheminement des forces à travers une structure, depuis leur point d'application (comme le toit) jusqu'à leur destination finale : les fondations. Chaque élément porteur (dalle, poutre, poteau) collecte les charges des éléments qu'il supporte et les transmet à l'élément inférieur. La fondation est l'aboutissement de ce processus ; elle reçoit la somme de toutes les charges accumulées sur sa zone d'influence. Le calcul de cette charge totale, en utilisant les combinaisons réglementaires, est l'étape la plus critique pour assurer la stabilité de l'ensemble du bâtiment.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la charge de calcul ultime (\(N_{Ed}\)) transmise par un poteau de rive à sa fondation. Nous prendrons en compte la surface d'influence du poteau sur les planchers qu'il supporte pour déterminer les charges de service, puis nous appliquerons les combinaisons de l'Eurocode pour trouver la charge de calcul finale.

Objectifs Pédagogiques

  • Définir et calculer la surface d'influence d'un poteau.
  • Calculer les charges de service (Gk et Qk) transmises par plusieurs niveaux à un poteau.
  • Inclure le poids propre du poteau dans les charges permanentes.
  • Appliquer la combinaison de charges fondamentale à l'ELU.
  • Déterminer la charge de calcul ultime totale (\(N_{Ed}\)) à la base du poteau.

Données de l'étude

On s'intéresse à un poteau de rive (sur la façade) d'un bâtiment de bureaux de 4 niveaux. Le poteau supporte les charges des planchers et son propre poids. La trame des poteaux est régulière.

Vue en plan de la trame et surface d'influence
Poteau étudié L_x = 6.0 m L_y = 5.0 m

Caractéristiques et charges :

  • Nombre de niveaux de plancher : 4
  • Portée des poutres dans le sens x : \(L_x = 6.0 \, \text{m}\)
  • Portée des poutres dans le sens y : \(L_y = 5.0 \, \text{m}\)
  • Section du poteau : \(30 \times 40 \, \text{cm}\)
  • Hauteur totale du poteau (4 étages) : \(H = 12.0 \, \text{m}\)
  • Masse volumique du béton armé : \(\rho_{ba} = 25 \, \text{kN/m}^3\)
  • Charges surfaciques sur les planchers :
    • Charges permanentes (hors poids propre poteau) : \(g_k = 5.0 \, \text{kN/m}^2\)
    • Charges d'exploitation (bureaux) : \(q_k = 2.5 \, \text{kN/m}^2\)
  • Coefficients de sécurité : \(\gamma_G=1.35\), \(\gamma_Q=1.5\).

Questions à traiter

  1. Calculer la surface d'influence (\(S_{inf}\)) du poteau de rive.
  2. Calculer la charge permanente de service totale (\(G_k\)) à la base du poteau (planchers + poids propre du poteau).
  3. Calculer la charge d'exploitation de service totale (\(Q_k\)) à la base du poteau.
  4. Appliquer la combinaison à l'ELU pour déterminer l'effort normal de calcul ultime, \(N_{Ed}\).

Correction : Charge à l’ELU d’une Fondation

Question 1 : Calculer la surface d'influence (\(S_{inf}\)) du poteau de rive

Principe avec image animée (le concept physique)
Chaque poteau reprend la charge sur sa zone.

La surface d'influence d'un poteau est la portion du plancher dont les charges sont reprises par ce poteau. Pour une trame régulière, on considère que chaque poteau reprend les charges jusqu'à mi-portée des poutres qui l'entourent. Un poteau central reprendra une surface complète (\(L_x \times L_y\)). Un poteau de rive, comme dans notre cas, ne reprend que la moitié de la charge dans une direction. Un poteau de coin ne reprend qu'un quart de la surface.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La notion de surface d'influence est une simplification de la "ligne de rupture" ou "ligne de partage des eaux" des charges. Elle est très précise pour les dalles portant dans deux directions et reste une excellente approximation pour les systèmes poutres-poteaux. C'est la première étape indispensable de toute descente de charges.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Visualisez bien le schéma. Le poteau de rive est sur le bord de la façade. Il reprend la moitié de la portée \(L_x\) (soit \(L_x/2\)) et la moitié de la portée \(L_y\) de chaque côté (soit \(L_y/2 + L_y/2 = L_y\)).

Normes (la référence réglementaire)

La détermination des surfaces d'influence est une application directe des principes de la statique et de la Résistance des Matériaux, qui sont à la base des méthodes de calcul de l'Eurocode.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la trame des poteaux est régulière et que les charges se répartissent équitablement jusqu'à mi-distance entre les poteaux.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Surface d'influence pour un poteau de rive

\[ S_{\text{inf}} = \left( \frac{L_x}{2} \right) \times \left( \frac{L_y}{2} + \frac{L_y}{2} \right) = \frac{L_x \cdot L_y}{2} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(L_x = 6.0 \, \text{m}\)
  • \(L_y = 5.0 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la surface d'influence

\[ \begin{aligned} S_{\text{inf}} &= \frac{6.0 \, \text{m} \times 5.0 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{30.0 \, \text{m}^2}{2} \\ &= 15.0 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Chaque plancher apporte les charges correspondant à 15 m² sur notre poteau. Cette surface sera la base pour calculer les charges totales transmises par les 4 niveaux.

Point à retenir : La surface d'influence d'un poteau est la surface de plancher qu'il supporte, déterminée en allant jusqu'à mi-portée des poutres environnantes.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Sans la surface d'influence, il est impossible de convertir les charges surfaciques des planchers (en kN/m²) en une force ponctuelle (en kN) agissant sur le poteau.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Se tromper dans le type de poteau. Un poteau de coin aurait une surface d'influence de \( (L_x/2) \times (L_y/2) = 7.5 \, \text{m}^2 \), soit deux fois moins.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les trames irrégulières ou les dalles sans poutres (dalles champignons), la détermination des surfaces d'influence est plus complexe et se fait souvent à l'aide de logiciels de calcul par éléments finis, qui modélisent précisément la manière dont la dalle se déforme et répartit les charges.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette surface est-elle la même pour tous les étages ?

Oui, dans un bâtiment à étages réguliers, la trame des poteaux est la même à chaque niveau, donc la surface d'influence reprise par le poteau est identique pour chaque plancher qu'il supporte.

Résultat Final : La surface d'influence du poteau est \(S_{\text{inf}} = 15.0 \, \text{m}^2\).

À vous de jouer : Quelle serait la surface d'influence (en m²) pour un poteau central dans la même trame ?

Question 2 : Calculer la charge permanente de service totale (\(G_k\))

Principe avec image animée (le concept physique)
Plancher 1 Plancher 2 Plancher 3 Plancher 4 Poids Poteau G_k total

La charge permanente totale (\(G_k\)) à la base du poteau est la somme de toutes les charges permanentes qui s'accumulent de haut en bas. Cela inclut la charge de chaque plancher (calculée en multipliant la charge surfacique \(g_k\) par la surface d'influence) et le poids propre du poteau lui-même sur toute sa hauteur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le poids propre est une charge permanente qui ne doit jamais être oubliée. Pour un poteau, il est simple à calculer : volume (\(b \times h \times H\)) multiplié par la masse volumique du béton armé (généralement prise à 25 kN/m³). Pour les poutres et dalles, il est souvent inclus dans la charge surfacique \(g_k\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La descente de charge est une simple addition. Il faut être méthodique et ne pas oublier de multiplier la charge surfacique par le nombre de niveaux supportés.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 1 (EN 1991-1-1) fournit les valeurs des masses volumiques des matériaux de construction et les valeurs des charges d'exploitation pour différents types de bâtiments.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que tous les niveaux ont les mêmes charges permanentes. Le poids propre du poteau est calculé sur sa hauteur totale.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Poids propre du poteau

\[ G_{pp} = (b \cdot h) \cdot H \cdot \rho_{ba} \]

Charge permanente totale

\[ G_k = (N_{\text{niveaux}} \times S_{\text{inf}} \times g_k) + G_{pp} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(N_{\text{niveaux}} = 4\)
  • \(S_{\text{inf}} = 15.0 \, \text{m}^2\)
  • \(g_k = 5.0 \, \text{kN/m}^2\)
  • \(b=0.30\,\text{m}\), \(h=0.40\,\text{m}\), \(H=12.0\,\text{m}\)
  • \(\rho_{ba} = 25 \, \text{kN/m}^3\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du poids propre du poteau

\[ \begin{aligned} G_{pp} &= (0.30 \, \text{m} \times 0.40 \, \text{m}) \times 12.0 \, \text{m} \times 25 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 0.12 \, \text{m}^2 \times 12.0 \, \text{m} \times 25 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 36 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Calcul de la charge permanente totale

\[ \begin{aligned} G_k &= (4 \times 15.0 \, \text{m}^2 \times 5.0 \, \text{kN/m}^2) + 36 \, \text{kN} \\ &= 300 \, \text{kN} + 36 \, \text{kN} \\ &= 336 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge permanente totale de service est de 336 kN. On note que le poids propre du poteau (36 kN) représente environ 10% de cette charge totale, ce qui est un ordre de grandeur classique.

Point à retenir : La charge permanente totale est la somme des charges des planchers et du poids propre de l'élément porteur.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape permet d'isoler la composante permanente des charges, qui sera ensuite majorée par son propre coefficient de sécurité dans la combinaison d'actions.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Oublier le poids propre du poteau. C'est une erreur fréquente qui conduit à sous-estimer les charges et donc à un sous-dimensionnement.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les bâtiments de grande hauteur, le poids propre des poteaux des niveaux inférieurs devient une part très importante de la charge totale. Les ingénieurs utilisent alors des bétons à haute performance (plus résistants) pour les poteaux du bas, afin de réduire leur section et de gagner de l'espace utile.

FAQ (pour lever les doutes)
Le poids de la fondation est-il inclus ?

Non. La charge calculée ici est celle qui arrive à la base du poteau, au-dessus de la fondation. Le poids propre de la fondation elle-même sera ajouté séparément lors du calcul de la contrainte sur le sol.

Résultat Final : La charge permanente de service totale est \(G_k = 336 \, \text{kN}\).

À vous de jouer : Quelle serait la charge \(G_k\) (en kN) si le bâtiment avait 5 niveaux (hauteur 15m) ?

Question 3 : Calculer la charge d'exploitation de service totale (\(Q_k\))

Principe (le concept physique)

De la même manière que pour les charges permanentes, la charge d'exploitation totale (\(Q_k\)) à la base du poteau est la somme des charges d'exploitation de tous les niveaux qu'il supporte. On multiplie la charge d'exploitation surfacique (\(q_k\)) par la surface d'influence et par le nombre de niveaux.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour les bâtiments à plusieurs étages, les normes autorisent parfois à appliquer un coefficient de minoration sur la somme des charges d'exploitation. Cela tient compte de la très faible probabilité que tous les étages soient chargés à leur maximum simultanément. Pour cet exercice, nous n'appliquerons pas cette minoration pour rester du côté de la sécurité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le calcul est identique à celui des charges permanentes des planchers, mais en utilisant la valeur de la charge d'exploitation \(q_k\).

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 1 (EN 1991-1-1) fournit les valeurs des charges d'exploitation à utiliser en fonction de la catégorie d'usage des locaux (logement, bureaux, commerces, stockage, etc.).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que tous les niveaux sont des bureaux et ont donc la même charge d'exploitation. On ne tient pas compte des coefficients de minoration pour le nombre d'étages.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge d'exploitation totale

\[ Q_k = N_{\text{niveaux}} \times S_{\text{inf}} \times q_k \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(N_{\text{niveaux}} = 4\)
  • \(S_{\text{inf}} = 15.0 \, \text{m}^2\)
  • \(q_k = 2.5 \, \text{kN/m}^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la charge d'exploitation totale

\[ \begin{aligned} Q_k &= 4 \times 15.0 \, \text{m}^2 \times 2.5 \, \text{kN/m}^2 \\ &= 150 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge d'exploitation totale de service est de 150 kN. Cette valeur, ajoutée à la charge permanente, nous donne la charge totale de service qui sera utilisée pour les vérifications à l'ELS.

Point à retenir : La charge d'exploitation totale est la somme des charges d'exploitation de tous les niveaux supportés.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape permet d'isoler la composante variable des charges, qui sera ensuite majorée par son propre coefficient de sécurité dans la combinaison d'actions à l'ELU.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Additionner des charges de natures différentes sans les pondérer. Il est essentiel de bien séparer les charges permanentes (Gk) et les charges variables (Qk) car elles n'ont pas les mêmes coefficients de sécurité.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Lors de la construction, les charges peuvent être très différentes des charges en service. Par exemple, le stockage temporaire de matériaux lourds sur une dalle peut créer une charge d'exploitation de chantier supérieure à la charge d'exploitation finale. L'ingénieur doit prévoir et vérifier ces phases transitoires.

FAQ (pour lever les doutes)
Le poids propre du poteau n'est-il pas une charge d'exploitation ?

Non, le poids propre d'un élément structurel est toujours une charge permanente (catégorie G). Il est présent dès la construction et ne varie pas dans le temps. Les charges d'exploitation (catégorie Q) sont, par définition, variables (présence de personnes, mobilier, etc.).

Résultat Final : La charge d'exploitation de service totale est \(Q_k = 150 \, \text{kN}\).

À vous de jouer : Quelle serait la charge \(Q_k\) (en kN) si la surface d'influence était de 20 m² ?

Question 4 : Appliquer la combinaison à l'ELU pour déterminer \(N_{Ed}\)

Principe (le concept physique)
G_k Q_k = N_Ed

C'est l'étape finale du calcul de la charge pour le dimensionnement de la résistance. On applique la formule de combinaison fondamentale de l'ELU aux charges de service totales (\(G_k\) et \(Q_k\)) que nous venons de calculer. On majore la charge permanente par \(\gamma_G = 1.35\) et la charge d'exploitation par \(\gamma_Q = 1.5\). La somme de ces deux valeurs pondérées nous donne l'effort normal de calcul ultime, \(N_{Ed}\), qui sera utilisé pour calculer le ferraillage du poteau et de la fondation.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette combinaison simple (\(1.35 G_k + 1.5 Q_k\)) est le cas le plus courant pour les bâtiments standards où il n'y a qu'une seule charge variable significative. Si d'autres charges variables (neige, vent) étaient présentes et importantes, on utiliserait la formule complète avec les actions de base et d'accompagnement, comme vu dans l'exercice précédent.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : C'est la valeur de \(N_{Ed}\) qui sert à calculer les aciers. C'est la charge maximale que la fondation doit être capable de supporter sans rompre.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de combinaison fondamentale à l'ELU est la formule (6.10) de l'Eurocode 0 (EN 1990).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose qu'il n'y a pas d'autres charges variables (neige, vent) à considérer dans la combinaison, ce qui est une simplification courante pour les poteaux intérieurs de bâtiments situés dans des zones peu exposées.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Effort normal de calcul ultime

\[ N_{Ed} = 1.35 \cdot G_k + 1.5 \cdot Q_k \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(G_k = 336 \, \text{kN}\)
  • \(Q_k = 150 \, \text{kN}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'effort ultime \(N_{Ed}\)

\[ \begin{aligned} N_{Ed} &= (1.35 \times 336 \, \text{kN}) + (1.5 \times 150 \, \text{kN}) \\ &= 453.6 \, \text{kN} + 225 \, \text{kN} \\ &= 678.6 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'effort normal ultime que la fondation devra supporter est de 678.6 kN. C'est cette valeur qui sera utilisée pour calculer la section d'acier de la semelle et pour vérifier le poinçonnement du sol à l'ELU.

Point à retenir : L'effort de calcul ultime \(N_{Ed}\) est la somme pondérée des charges de service permanentes et variables.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est la conclusion de la descente de charges. Elle fournit la valeur d'entrée essentielle pour tous les calculs de résistance de la fondation (flexion, effort tranchant, poinçonnement).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Inverser les coefficients 1.35 et 1.5. La charge permanente est toujours associée au coefficient le plus faible.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Avant les Eurocodes, les réglementations françaises (règles BAEL) utilisaient une approche légèrement différente, avec une combinaison unique de \(1.35 G + 1.5 Q\). L'approche de l'Eurocode avec actions de base et d'accompagnement est plus probabiliste et permet souvent d'optimiser le dimensionnement lorsque plusieurs charges variables sont en jeu.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette valeur de \(N_{Ed}\) est-elle la seule à considérer ?

Pour la résistance de la fondation, oui. Mais pour le dimensionnement de sa surface au sol, on doit utiliser une charge de service (ELS), qui est plus faible car elle n'inclut pas les coefficients de sécurité \(\gamma\).

Résultat Final : L'effort normal de calcul ultime à la base du poteau est \(N_{Ed} = 678.6 \, \text{kN}\).

À vous de jouer : Quelle serait la valeur de \(N_{Ed}\) (en kN) si la charge permanente \(G_k\) était de 400 kN ?

Mini Fiche Mémo : Descente de Charges sur Fondation

Étape Formule Clé & Objectif
1. Surface d'Influence \( S_{\text{inf}} = (\frac{L_x}{2}) \times (\frac{L_y}{2}) \dots \)
Déterminer la surface de plancher reprise par le poteau.
2. Charges de Service \( G_k = \sum (g_k S_{inf}) + G_{pp} \) & \( Q_k = \sum (q_k S_{inf}) \)
Calculer les charges totales non pondérées à la base du poteau.
3. Charge Ultime ELU \( N_{Ed} = 1.35 G_k + 1.5 Q_k \)
Calculer la charge de calcul pour le dimensionnement du ferraillage.
4. Charge de Service ELS \( N_{ser,car} = G_k + Q_k \)
Calculer la charge pour le dimensionnement de la surface de la semelle.

Outil Interactif : Calculateur de Descente de Charges

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur la charge à la fondation.

Paramètres
4 niveaux
2.5 kN/m²
Résultats
Charge permanente Gk -
Charge d'exploitation Qk -
Charge ultime N_Ed -

Le Saviez-Vous ?

Pour les très grandes portées, comme dans les ponts, on utilise du "béton précontraint". Avant de mettre la poutre en service, on tend des câbles d'acier à l'intérieur, ce qui la comprime. Cette compression initiale compense la traction qui apparaîtra sous l'effet des charges, permettant de franchir des distances beaucoup plus grandes avec moins de matière.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi calcule-t-on la poutre à l'ELU et pas à l'ELS ?

On calcule principalement les armatures à l'ELU pour garantir que la poutre ne se rompra pas sous des charges extrêmes (sécurité des personnes). On effectue ensuite des vérifications à l'ELS (fissuration, déformation) pour s'assurer que la poutre reste en bon état et confortable en conditions d'utilisation normales (confort des usagers).

Que se passe-t-il si on ne met pas assez d'étriers ?

Un manque d'étriers peut conduire à une rupture fragile et soudaine par effort tranchant. Des fissures inclinées apparaissent près des appuis et se propagent rapidement, menant à l'effondrement de la poutre sans signes avant-coureurs. C'est l'un des modes de rupture les plus dangereux en béton armé.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La charge de calcul \(N_{Ed}\) est utilisée pour :

  • Calculer le ferraillage de la semelle.
  • Calculer les tassements à long terme.

2. La surface d'influence d'un poteau de coin est :

Descente de Charges
Processus d'analyse qui consiste à suivre le cheminement des forces à travers les éléments porteurs d'une structure, du haut vers le bas, jusqu'aux fondations.
Surface d'Influence
Zone d'un plancher dont les charges sont considérées comme étant supportées par un poteau ou un mur porteur spécifique.
Charge Permanente (Gk)
Charge qui agit de manière continue sur la structure et dont la variation est faible dans le temps. Comprend le poids propre des éléments et les équipements fixes.
Charge d'Exploitation (Qk)
Charge variable due à l'usage du bâtiment (personnes, mobilier, stockage...). Sa valeur est définie par les normes en fonction de la destination du local.
Fondamentaux du Génie Civil : Charge à l’ELU d’une Fondation

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