Charge à l’ELU d’une fondation en beton armé
📝 Situation du Projet et Enjeux
Le projet concerne la construction de la Résidence "Les Cèdres Bleus", un complexe immobilier R+4 situé en périphérie de Lyon, dans une zone où le foncier est sous tension. La structure porteuse est conçue en système poteaux-poutres en béton armé, optimisé pour libérer de grands espaces vitrés.
Cependant, l'étude de sol géotechnique (Mission G2) a révélé une complexité inattendue : le terrain d'assise présente une hétérogénéité marquée avec des zones compressibles en surface. Pour garantir la pérennité de l'ouvrage sans exploser le budget avec des fondations profondes (pieux), le choix s'est porté sur des fondations superficielles de type "semelles isolées", ancrées soigneusement à 80 cm de profondeur pour atteindre le "bon sol" hors-gel.
Votre rôle est crucial : Vous devez valider le dimensionnement de la semelle la plus sollicitée du bâtiment, la Semelle S1, située sous le poteau central P5. Une erreur de calcul à ce stade aurait des conséquences désastreuses : un sous-dimensionnement entraînerait un poinçonnement du sol et des fissures structurelles majeures, tandis qu'un sur-dimensionnement inutile grèverait la rentabilité du lot Gros Œuvre.
En tant qu'Ingénieur Structure Confirmé, vous avez la responsabilité de calculer la charge ultime (ELU) transmise au sol par la semelle S1. Contrairement aux approches simplifiées, vous devrez calculer précisément le poids propre de la fondation et appliquer les coefficients de sécurité normatifs pour valider la contrainte exercée sur le sol.
- Localisation
Lyon (69) - Zone sismique 2 - Maître d'Ouvrage
SCI Horizon Immobilier - Élément Étudié
Semelle Isolée S1 (Sous Poteau P5)
"Attention, l'erreur classique du débutant est d'oublier le poids propre de la semelle en béton armé. N'oubliez pas que la semelle doit se 'porter elle-même' en plus des charges qu'elle reçoit du bâtiment !"
L'étude s'appuie strictement sur les Eurocodes structuraux, qui constituent le cadre réglementaire européen obligatoire pour ce type d'ouvrage.
📚 Référentiel Normatif : Pourquoi les Eurocodes ?
Nous utilisons les Eurocodes car ils offrent une approche de sécurité "semi-probabiliste" bien plus fine que les anciennes règles (BAEL). Ils permettent d'optimiser les matériaux tout en garantissant un niveau de sécurité homogène dans toute l'Europe.
NF EN 1990 (Eurocode 0) : Bases de calcul NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) : Béton Armé[Art. 3.1] CHOIX DU BÉTON
Le choix s'est porté sur un béton C25/30. Pourquoi ? C'est le standard économique pour des fondations courantes. Il offre une résistance caractéristique de \(25\,\text{MPa}\) en cylindre, ce qui est largement suffisant pour répartir les charges d'un R+4 sur le sol sans nécessiter de formulations coûteuses à haute performance.
[Art. 3.2] CHOIX DES ACIERS
Nous imposons la nuance B500B (haute adhérence, limite élastique \(500\,\text{MPa}\)). L'utilisation d'aciers doux (E235) est aujourd'hui obsolète pour ce type de structure car elle demanderait des sections d'acier beaucoup trop importantes pour reprendre les mêmes efforts de traction.
[Art. 3.3] HYPOTHÈSE DE POIDS
Pour les calculs de charge permanente, la masse volumique du béton armé est fixée normativement à \(25\,\text{kN/m}^3\) (environ \(2500\,\text{kg/m}^3\)), intégrant le poids du béton et celui des armatures.
1. Analyse des Charges Descendantes :
Les charges qui arrivent en pied de poteau P5 proviennent de la descente de charges cumulée des 4 étages et de la toiture. On distingue :
- La Charge Permanente \(G_k\) (\(650\,\text{kN}\)) : Elle inclut le poids des dalles, des poutres, des poteaux, des façades et des revêtements de sol. C'est une charge "certaine" et constante.
- La Charge d'Exploitation \(Q_k\) (\(150\,\text{kN}\)) : Elle correspond au poids des habitants et des meubles, estimé statistiquement selon l'usage "Habitation" (catégorie A).
2. Justification de la Géométrie (\(1,80\,\text{m} \times 1,80\,\text{m}\)) :
Les dimensions de la semelle (\(A=B=1,80\,\text{m}\)) ont été prédéfinies pour que la semelle soit "homothétique" au poteau carré (\(0,40\,\text{m} \times 0,40\,\text{m}\)), ce qui optimise la répartition des contraintes. La hauteur \(h=0,45\,\text{m}\) n'est pas choisie au hasard : elle respecte la condition de rigidité pour éviter le cisaillement excessif.
| RÉCAPITULATIF DES DONNÉES | |
| Charge Permanente (Structure) | \(G_k = 650\,\text{kN}\) |
| Charge d'Exploitation (Habitation) | \(Q_k = 150\,\text{kN}\) |
| Largeur de la semelle | \(A = 1,80\,\text{m}\) |
| Longueur de la semelle | \(B = 1,80\,\text{m}\) |
| Hauteur de la semelle | \(h = 0,45\,\text{m}\) |
E. Protocole de Résolution
Pour garantir la sécurité de l'ouvrage, nous allons suivre une démarche rigoureuse, étape par étape, conforme aux pratiques d'ingénierie.
Inventaire des Charges Totales
Calcul du poids propre de la fondation et addition avec les charges structurelles.
Combinaison Fondamentale (ELU)
Application des coefficients de pondération (Eurocode 0) pour déterminer l'effort ultime.
Vérification de la Contrainte Sol
Calcul de la pression exercée sur le sol et validation de la stabilité.
Vérification de la Rigidité
Validation de la hauteur de la semelle (condition des bielles).
Charge à l’ELU d’une fondation en beton armé
🎯 Objectif
L'objectif primordial de cette première étape est de quantifier la charge gravitaire morte générée par la masse volumique de la semelle en béton armé elle-même. Trop souvent négligée dans les prédimensionnements rapides, cette charge représente une force verticale permanente qui s'ajoute vectoriellement aux charges descendantes du poteau. Dans un calcul d'exécution rigoureux, son omission constituerait une faute technique majeure, réduisant artificiellement la sécurité de l'ouvrage.
📚 Référentiel
NF EN 1991-1-1 (Eurocode 1 : Poids volumiques)Avant de se lancer dans les calculs complexes de l'Eurocode, l'ingénieur doit avoir une vision claire des forces en présence. Ici, nous avons une semelle massive de près de 2 mètres de côté sur un demi-mètre d'épaisseur. Intuitivement, cela représente un volume de béton considérable. Sachant que le béton est un matériau dense (environ 2,5 fois la densité de l'eau), nous devons nous attendre à une charge propre significative, de l'ordre de plusieurs tonnes. Cette charge est "permanente" (elle ne disparaîtra jamais) et doit donc être traitée avec le même coefficient de sécurité que le poids propre de la structure du bâtiment.
📘 Rappel Théorique
Le poids propre (\(G\)) d'un élément de structure homogène est déterminé par la relation fondamentale de la statique reliant le volume et la masse volumique. Pour un solide prismatique (comme notre semelle), le poids est le produit de son volume géométrique (\(V\)) par le poids volumique du matériau (\(\gamma\)).
Le poids volumique du béton armé (\(\gamma_{\text{ba}}\)) diffère de celui du béton non armé (\(\gamma_{\text{bna}}\)) car il intègre la masse des armatures en acier (densité \(\approx 7850\,\text{kg/m}^3\)). La norme fixe conventionnellement cette valeur à \(25\,\text{kN/m}^3\).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Largeur de la semelle | \(A\) | \(1,80\,\text{m}\) |
| Longueur de la semelle | \(B\) | \(1,80\,\text{m}\) |
| Hauteur de la semelle | \(h\) | \(0,45\,\text{m}\) |
| Poids volumique béton armé | \(\gamma_{\text{ba}}\) | \(25\,\text{kN/m}^3\) |
Pour des estimations rapides sur chantier : retenez qu'un mètre cube de béton armé pèse 2,5 tonnes. Si vous devez convertir des kN en tonnes (pour parler au grutier par exemple), divisez par 10 (approximativement, car \(g \approx 9,81\,\text{m/s}^2\)). Donc \(25\,\text{kN} \approx 2,5\,\text{t}\).
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
1. Calcul du Volume de la semelle (V) :
Nous commençons par déterminer le volume géométrique de la fondation. Ce calcul est purement dimensionnel.
Résultat Intermédiaire : La semelle occupe un volume de \(1,458\,\text{m}^3\).
2. Calcul du Poids Propre (\(G_{\text{semelle}}\)) :
Nous convertissons maintenant ce volume en force (poids) en utilisant la masse volumique normalisée du béton armé.
Résultat Final : La force verticale ajoutée par le poids de la semelle est de \(36,45\,\text{kN}\).
\(36,45\,\text{kN}\) correspond à une masse d'environ 3,6 tonnes. Pour une semelle de cette taille (\(\approx 3,2\,\text{m}^2\)), c'est un ordre de grandeur tout à fait cohérent. Si vous aviez trouvé 300 kN ou 3 kN, il y aurait eu une erreur d'unité ou de virgule.
Veillez à toujours utiliser la masse volumique du béton armé (\(25\,\text{kN/m}^3\)) et non celle du béton non armé (\(24\,\text{kN/m}^3\)). La différence de 4% peut sembler faible, mais en calcul de structure, la précision et la sécurité sont non négociables.
🎯 Objectif
L'objectif de cette étape est de calculer la charge de dimensionnement ultime (\(N_{\text{Ed}}\)). Nous ne dimensionnons pas un ouvrage pour qu'il résiste "juste" aux charges réelles, mais pour qu'il résiste avec une marge de sécurité confortable face à des événements extrêmes ou imprévus. Nous allons donc "majorer" (augmenter artificiellement) les charges pour couvrir les incertitudes.
📚 Référentiel
NF EN 1990 (Eurocode 0) - Article 6.4.3.2 : Combinaisons d'actionsEn ingénierie structurelle moderne, nous appliquons le principe de la sécurité semi-probabiliste. Pourquoi ? Parce que nous ne sommes jamais sûrs à 100% de la valeur des charges.
- Le poids propre (\(G\)) est assez bien connu (on connaît le volume de béton), donc on le majore "peu" (35%).
- La charge d'exploitation (\(Q\)) est très aléatoire (fête, stockage, changement d'usage), donc on la majore "beaucoup" (50%).
Notre but est de trouver le scénario le plus défavorable possible pour le sol.
📘 Rappel Théorique
La combinaison fondamentale à l'État Limite Ultime (ELU) pour des situations durables ou transitoires consiste à additionner les charges permanentes et variables en les pondérant par des coefficients partiels de sécurité (\(\gamma\)).
Avec :
\(\gamma_G = 1,35\) : Coefficient de sécurité pour les charges permanentes défavorables.
\(\gamma_Q = 1,50\) : Coefficient de sécurité pour les charges variables.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Charge Permanente Structure (\(G_{\text{structure}}\)) | \(650\,\text{kN}\) |
| Charge Permanente Semelle (\(G_{\text{semelle}}\)) | \(36,45\,\text{kN}\) |
| Total Charges Variables (\(Q\)) | \(150\,\text{kN}\) |
Assurez-vous de bien regrouper TOUTES les charges permanentes ensemble avant d'appliquer le coefficient. Il est mathématiquement équivalent de faire \(1,35 \times G1 + 1,35 \times G2\) ou \(1,35 \times (G1+G2)\), mais la deuxième méthode est plus propre et réduit les risques d'oubli.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
1. Sommation des Charges Permanentes (\(G_{\text{total}}\)) :
Nous additionnons d'abord la charge descendant du bâtiment et le poids propre de la fondation calculé à la question précédente.
Résultat : La charge permanente totale non pondérée est de \(686,45\,\text{kN}\).
2. Application de la Combinaison ELU (\(N_{\text{Ed}}\)) :
Nous appliquons maintenant les coefficients de sécurité réglementaires pour obtenir la charge de calcul.
Résultat : La charge ultime de dimensionnement est de \(1151,71\,\text{kN}\).
La charge totale pondérée (\(1152\,\text{kN}\)) est environ 37% supérieure à la charge de service brute (\(686+150 = 836\,\text{kN}\)). Cette augmentation est normale et reflète la marge de sécurité imposée par les normes pour couvrir les risques d'effondrement.
Une erreur fréquente est d'appliquer le coefficient 1,35 aux charges variables ou 1,50 aux charges permanentes. Rappelez-vous : \(G\) (Permanent) = 1,35 et \(Q\) (Variable) = 1,50. Pensez "Variable = Plus de Variation = Plus de Sécurité".
🎯 Objectif
L'objectif crucial de cette étape est de vérifier la stabilité géotechnique de la fondation. Nous devons prouver que la pression exercée par la semelle sur le sol (Action) ne dépasse pas la capacité de résistance du terrain (Résistance). Si cette condition n'est pas vérifiée, le sol risque de se rompre (poinçonnement) ou de subir des tassements excessifs, mettant en péril la structure.
📚 Référentiel
NF EN 1997-1 (Eurocode 7 : Calcul géotechnique)Visualisez la semelle comme une raquette à neige. Pour ne pas s'enfoncer dans la poudreuse (le sol), il faut répartir le poids du corps (la charge du bâtiment) sur une surface suffisamment grande.
Ici, nous connaissons :
1. La Force d'appui : \(N_{\text{Ed}}\) calculé précédemment.
2. La Surface de contact : \(A \times B\).
En divisant la force par la surface, nous obtenons une pression (contrainte). Cette pression doit impérativement être inférieure à la "résistance de pointe" du sol fournie par le géotechnicien.
📘 Rappel Théorique
Pour une semelle rigide chargée de manière centrée, on admet que la distribution des contraintes sous la semelle est uniforme (rectangulaire). La contrainte de calcul (\(q_{\text{Ed}}\)) se calcule donc simplement comme le ratio Force/Surface.
📐 Formules Clés
1. Formule de la Contrainte de Sol (Pression)Cette formule convertit une force ponctuelle en pression surfacique.
2. Critère de Vérification (Inéquation GEO)La contrainte appliquée (\(q_{\text{Ed}}\)) doit être inférieure ou égale à la contrainte résistante du sol (\(q_{\text{Rd,max}}\)).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Force à l'ELU (\(N_{\text{Ed}}\)) | \(1151,71\,\text{kN}\) |
| Dimensions Semelle (\(A \times B\)) | \(1,80\,\text{m} \times 1,80\,\text{m}\) |
| Capacité portante Sol (\(q_{\text{Rd}}\)) | \(0,40\,\text{MPa}\) |
Le piège classique est le mélange des unités (kN, m, MPa).
Rappel : \(1\,\text{MPa} = 1\,\text{N/mm}^2\) mais aussi \(1\,\text{MPa} = 1000\,\text{kN/m}^2\).
La méthode la plus sûre pour les calculs de fondation est de tout convertir en MégaNewton (MN) et Mètre (m).
Car \(1\,\text{MN/m}^2 = 1\,\text{MPa}\). C'est direct et sans erreur de zéros.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
1. Conversion de la charge en MégaNewton :
Pour simplifier le calcul de la contrainte en MPa, nous convertissons la force de KiloNewtons (kN) vers MégaNewtons (MN).
2. Calcul de la surface de la semelle (S) :
Calcul de la surface d'appui au sol.
3. Calcul de la contrainte exercée sur le sol (\(q_{\text{Ed}}\)) :
Nous divisons la charge ultime (en MN) par la surface de contact (en m²).
Résultat : La pression exercée par la semelle sur le sol est de \(0,355\,\text{MPa}\).
4. Vérification finale de stabilité :
Nous comparons la pression calculée (Action) à la capacité du sol (Résistance).
Interprétation : La condition de stabilité géotechnique est vérifiée. Le sol ne rompra pas.
Nous obtenons un taux de travail du sol de \( \frac{0,355}{0,40} = 89\% \). C'est un excellent résultat. Cela signifie que la conception est très bien optimisée : la semelle n'est ni trop petite (dangereux), ni trop grande (gaspillage d'argent et de béton).
Cette vérification suppose que la charge est centrée. Si le poteau transmet un moment de flexion (M), la pression sous la semelle ne sera plus uniforme (diagramme trapézoïdal) et la contrainte maximale (\(q_{\text{max}}\)) sera plus élevée. Dans ce cas, le calcul simple \(N/S\) n'est plus suffisant !
🎯 Objectif
L'objectif de cette dernière étape est de valider la hauteur de la semelle (\(h\)). Nous devons nous assurer que la semelle est suffisamment épaisse pour être considérée comme "rigide". Cela garantit que la charge se transmet au sol par des bielles de compression rectilignes (méthode des bielles) et que la pression sous la semelle reste uniforme.
📚 Référentiel
DTU 13.11 / Eurocode 2 (Principe des bielles)Si une semelle est trop fine (trop plate), elle risque de se courber comme une feuille de papier sous la charge du poteau. Dans ce cas, seuls les bords du poteau poinçonneraient le sol, et les extrémités de la semelle ne serviraient à rien. Pour que toute la surface \(A \times B\) travaille efficacement, la semelle doit être un bloc rigide indeformable. Cette rigidité est dictée par sa hauteur utile \(d\).
📘 Rappel Théorique
Pour qu'une semelle isolée soit considérée comme rigide et permette l'application de la méthode des bielles pour le calcul des armatures, sa hauteur doit respecter une condition géométrique stricte liant le débord (\(B-b\)) à la hauteur utile (\(d\)).
Avec \(d\) la hauteur utile (hauteur statique), \(B\) la largeur de la semelle et \(b\) la largeur du poteau.
📐 Relation Hauteur Totale / UtileOn ajoute généralement 5 cm pour l'enrobage des aciers (protection contre la corrosion).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Largeur Semelle (\(B\)) | \(1,80\,\text{m}\) |
| Largeur Poteau (\(b\)) | \(0,40\,\text{m}\) |
| Hauteur prévue (\(h\)) | \(0,45\,\text{m}\) |
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
1. Calcul de la hauteur utile minimale (\(d_{\text{min}}\)) :
Nous appliquons la règle du "quart du débord".
2. Calcul de la hauteur totale minimale (\(h_{\text{min}}\)) :
Nous ajoutons l'enrobage forfaitaire de 5 cm (0,05 m).
3. Vérification :
Nous comparons la hauteur minimale requise à la hauteur prévue dans le projet.
Interprétation : La semelle est suffisamment rigide.
La hauteur choisie de 45 cm est légèrement supérieure au minimum requis de 40 cm. C'est une bonne pratique de garder cette marge de 5 cm pour compenser d'éventuelles imprécisions de terrassement ou de ferraillage sur chantier.
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