Loi des Mailles et Loi d’Ohm
Comprendre la Loi des Mailles et Loi d’Ohm
Dans un petit atelier, un électricien assemble un circuit pour tester des composants électroniques. Le circuit est composé de trois résistances en série, connectées à une source de tension. L’électricien souhaite calculer la tension aux bornes de chaque résistance pour s’assurer que le circuit fonctionne correctement.
Données
- Tension totale de la source : \(V_{\text{source}} = 12\,V\).
- Valeurs des résistances : \(R_1 = 100\,\Omega\), \(R_2 = 150\,\Omega\), \(R_3 = 200\,\Omega\).
Questions:
1. Calculer le courant total dans le circuit en utilisant la loi d’Ohm pour un circuit en série.
2. Utiliser la loi des mailles pour déterminer la tension aux bornes de chaque résistance.
3. Vérifier que la somme des tensions aux bornes de chaque résistance est égale à la tension totale de la source.
Correction : Loi des Mailles et Loi d’Ohm
Schema du circuit
1. Calcul du courant total dans le circuit (Loi d’Ohm en série)
1.1. Calcul de la Résistance Totale
Dans un circuit en série, la résistance totale \( R_{total} \) est la somme des résistances individuelles.
Formule :
\[ R_{total} = R_1 + R_2 + R_3 \]
Données :
Calcul :
\[ R_{total} = 100\ \Omega + 150\ \Omega + 200\ \Omega \] \[ R_{total} = 450\ \Omega \]
1.2. Calcul du Courant Total
La loi d’Ohm pour un circuit est donnée par \( V = IR \). On peut calculer le courant total \( I \) en réarrangeant la formule :
\[ I = \frac{V}{R} \]
Formule :
\[ I = \frac{V_{source}}{R_{total}} \]
Données :
Calcul :
\[ I = \frac{12\text{ V}}{450\ \Omega} = \frac{12}{450}\ \text{A} \]
Pour garder tous les calculs sans simplification :
\[ \frac{12}{450} = \frac{12 \div 6}{450 \div 6} = \frac{2}{75}\ \text{A} \]
En valeur décimale (sans arrondir en cours de calcul) :
\[ I = 0,02666666... \text{ A} \]
Nous pouvons noter :
\[ I \approx 0,02667\ \text{A} \]
2. Calcul de la tension aux bornes de chaque résistance (Loi des Mailles)
La loi des mailles stipule que la somme des tensions dans une boucle fermée est égale à la tension fournie par la source. Dans un circuit en série, la même intensité \( I \) traverse chaque résistance et la tension aux bornes de chaque résistance peut être calculée avec la loi d’Ohm, \( V = IR \).
2.1. Tension aux Bornes de \( R_1 \)
Formule :
\[ V_{R_1} = I \times R_1 \]
Données :
Calcul :
\[ V_{R_1} = \frac{12}{450}\ \text{A} \times 100\ \Omega = \frac{12 \times 100}{450}\ \text{V} \]
\[ V_{R_1} = \frac{1200}{450}\ \text{V} \]
Pour une expression exacte sans simplification prématurée, nous laissons sous forme de fraction. Si on effectue une simplification :
\[ \frac{1200}{450} = \frac{1200 \div 150}{450 \div 150} = \frac{8}{3}\ \text{V} \approx 2,66667\ \text{V} \]
2.2. Tension aux Bornes de \( R_2 \)
Formule :
\[ V_{R_2} = I \times R_2 \]
Données :
Calcul :
\[ V_{R_2} = \frac{12}{450}\ \text{A} \times 150\ \Omega = \frac{12 \times 150}{450}\ \text{V} \]
\[ V_{R_2} = \frac{1800}{450}\ \text{V} \]
En simplifiant :
\[ \frac{1800}{450} = \frac{1800 \div 450}{450 \div 450} = \frac{4}{1}\ \text{V} = 4\ \text{V} \]
2.3. Tension aux Bornes de \( R_3 \)
Formule :
\[ V_{R_3} = I \times R_3 \]
Données :
Calcul :
\[ V_{R_3} = \frac{12}{450}\ \text{A} \times 200\ \Omega = \frac{12 \times 200}{450}\ \text{V} \]
\[ V_{R_3} = \frac{2400}{450}\ \text{V} \]
En simplifiant la fraction :
\[ \frac{2400}{450} = \frac{2400 \div 150}{450 \div 150} = \frac{16}{3}\ \text{V} \approx 5,33333\ \text{V} \]
3. Vérification de la Somme des Tensions
Selon la loi des mailles, la somme des tensions aux bornes de chaque composant dans un circuit fermé doit être égale à la tension totale fournie par la source.
Formule :
\[ V_{source} = V_{R_1} + V_{R_2} + V_{R_3} \]
Données obtenues :
Calcul :
Additionnons les tensions aux bornes des trois résistances en utilisant les fractions pour conserver la précision :
\[ V_{total} = \frac{8}{3} + 4 + \frac{16}{3} \]
Pour additionner, exprimons 4 sous forme fractionnaire avec dénominateur 3 :
\[ 4 = \frac{12}{3} \]
Ainsi,
\[ V_{total} = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} + \frac{16}{3} \] \[ V_{total} = \frac{8 + 12 + 16}{3} \] \[ V_{total} = \frac{36}{3} = 12\ \text{V} \]
La somme obtenue est bien égale à la tension de la source.
Loi des Mailles et Loi d’Ohm
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