Études de cas pratique

EGC

Théorie de la plasticité

Théorie de la Plasticité et Calcul à la Rupture

Comprendre la Plasticité et le Calcul à la Rupture

La plupart des analyses en Résistance des Matériaux se basent sur un comportement élastique linéaire du matériau (loi de Hooke). Cependant, de nombreux matériaux, notamment les aciers de construction, présentent un comportement ductile, c'est-à-dire qu'ils peuvent subir des déformations permanentes (plastiques) importantes au-delà de leur limite d'élasticité avant d'atteindre la rupture. La théorie de la plasticité permet d'analyser ce comportement et de déterminer la capacité ultime d'une structure, souvent caractérisée par la formation de "rotules plastiques" dans les poutres en flexion. Le moment fléchissant qui provoque la plastification complète d'une section est appelé moment plastique (\(M_p\)). Le calcul à la rupture (ou calcul plastique) utilise ces concepts pour évaluer la charge maximale qu'une structure peut supporter avant de devenir un mécanisme.

Données de l'étude

On considère une poutre en acier de section rectangulaire, simplement appuyée à ses extrémités, et soumise à une charge ponctuelle \(P\) appliquée en son milieu.

Caractéristiques de la poutre et du matériau :

  • Longueur de la poutre (\(L\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
  • Base de la section rectangulaire (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la section rectangulaire (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)
  • Limite d'élasticité de l'acier (\(\sigma_y\)) : \(240 \, \text{MPa}\)

On suppose un comportement élastique parfaitement plastique du matériau.

Schéma : Poutre Simplement Appuyée et Section
A B RA RB P L/2 L/2 L = 5 m b=100mm h=200mm Section

Poutre simplement appuyée avec charge ponctuelle au milieu et sa section rectangulaire.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment d'inertie (\(I\)) de la section rectangulaire par rapport à son axe neutre.
  2. Calculer le module de flexion élastique (\(Z_e\)) de la section.
  3. Déterminer le moment fléchissant maximal élastique (\(M_y\)) que la poutre peut supporter avant que les fibres extrêmes n'atteignent la limite d'élasticité \(\sigma_y\).
  4. Calculer le module de flexion plastique (\(Z_p\)) de la section rectangulaire.
  5. Déterminer le moment plastique (\(M_p\)) de la section.
  6. Calculer le facteur de forme (\(S\)) de la section.
  7. Déterminer la charge ponctuelle \(P_y\) qui provoque l'apparition de la première plastification (moment \(M_y\)) dans la poutre.
  8. Déterminer la charge ponctuelle de ruine plastique \(P_u\) (ou \(P_p\)) qui provoque la formation d'une rotule plastique et la transformation de la poutre en mécanisme.

Correction : Théorie de la Plasticité et Calcul à la Rupture

Question 1 : Moment d'Inertie (\(I\))

Principe :

Le moment d'inertie d'une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\) par rapport à son axe neutre principal (passant par le centre de gravité et parallèle à la base) est donné par \(I = \frac{bh^3}{12}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ I = \frac{bh^3}{12} \]
Données spécifiques (en mm pour obtenir mm\(^4\)) :
  • Base (\(b\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (\(h\)) : \(200 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I &= \frac{(100 \, \text{mm}) \cdot (200 \, \text{mm})^3}{12} \\ &= \frac{100 \cdot 8000000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &= \frac{800000000}{12} \, \text{mm}^4 \\ &\approx 66666666.67 \, \text{mm}^4 \\ &= 6.667 \times 10^7 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le moment d'inertie est \(I \approx 6.667 \times 10^7 \, \text{mm}^4\).

Question 2 : Module de Flexion Élastique (\(Z_e\))

Principe :

Le module de flexion élastique (\(Z_e\), aussi noté \(W_{el}\) ou \(S\)) pour une section symétrique est \(I / y_{max}\), où \(y_{max}\) est la distance de l'axe neutre à la fibre la plus éloignée. Pour une section rectangulaire, \(y_{max} = h/2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Z_e = \frac{I}{y_{max}} = \frac{I}{h/2} = \frac{bh^2}{6} \]
Données spécifiques (en mm) :
  • \(b = 100 \, \text{mm}\)
  • \(h = 200 \, \text{mm}\)
  • \(I \approx 6.667 \times 10^7 \, \text{mm}^4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_e &= \frac{(100 \, \text{mm}) \cdot (200 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= \frac{100 \cdot 40000}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= \frac{4000000}{6} \, \text{mm}^3 \\ &\approx 666666.67 \, \text{mm}^3 \\ &= 6.667 \times 10^5 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

Alternativement avec I : \(Z_e = \frac{6.667 \times 10^7 \, \text{mm}^4}{200 \, \text{mm} / 2} = \frac{6.667 \times 10^7}{100} = 6.667 \times 10^5 \, \text{mm}^3\).

Résultat Question 2 : Le module de flexion élastique est \(Z_e \approx 6.667 \times 10^5 \, \text{mm}^3\).

Question 3 : Moment Fléchissant Maximal Élastique (\(M_y\))

Principe :

Le moment fléchissant maximal élastique (\(M_y\)), ou moment de première plastification, est le moment qui provoque l'atteinte de la limite d'élasticité \(\sigma_y\) dans les fibres extrêmes de la section.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ M_y = \sigma_y \cdot Z_e \]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • Limite d'élasticité (\(\sigma_y\)) : \(240 \, \text{MPa} = 240 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(Z_e \approx 6.667 \times 10^5 \, \text{mm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_y &= (240 \, \text{N/mm}^2) \cdot (6.667 \times 10^5 \, \text{mm}^3) \\ &= 160008000 \, \text{N.mm} \\ &= 160.008 \times 10^6 \, \text{N.mm} \\ &\approx 160.01 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le moment fléchissant maximal élastique est \(M_y \approx 160.01 \, \text{kN.m}\).

Question 4 : Module de Flexion Plastique (\(Z_p\))

Principe :

Le module de flexion plastique (\(Z_p\), aussi noté \(W_{pl}\)) pour une section rectangulaire est le premier moment d'aire des parties tendues et comprimées de la section (lorsque toute la section est plastifiée) par rapport à l'axe neutre plastique (qui coïncide avec l'axe neutre élastique pour les sections symétriques). Pour une section rectangulaire, l'axe neutre plastique divise la section en deux aires égales.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Z_p = \frac{A}{2} (\bar{y}_t + \bar{y}_c) \]

où \(A\) est l'aire totale, \(\bar{y}_t\) est la distance du centroïde de l'aire tendue à l'axe neutre plastique, et \(\bar{y}_c\) est la distance du centroïde de l'aire comprimée à l'axe neutre plastique. Pour une section rectangulaire :

\[ Z_p = \frac{bh^2}{4} \]
Données spécifiques (en mm) :
  • \(b = 100 \, \text{mm}\)
  • \(h = 200 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_p &= \frac{(100 \, \text{mm}) \cdot (200 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{100 \cdot 40000}{4} \, \text{mm}^3 \\ &= \frac{4000000}{4} \, \text{mm}^3 \\ &= 1000000 \, \text{mm}^3 \\ &= 1.0 \times 10^6 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le module de flexion plastique est \(Z_p = 1.0 \times 10^6 \, \text{mm}^3\).

Question 5 : Moment Plastique (\(M_p\))

Principe :

Le moment plastique (\(M_p\)) est le moment fléchissant maximal qu'une section peut supporter lorsque toutes les fibres de la section ont atteint la limite d'élasticité \(\sigma_y\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ M_p = \sigma_y \cdot Z_p \]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • Limite d'élasticité (\(\sigma_y\)) : \(240 \, \text{MPa} = 240 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(Z_p = 1.0 \times 10^6 \, \text{mm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_p &= (240 \, \text{N/mm}^2) \cdot (1.0 \times 10^6 \, \text{mm}^3) \\ &= 240 \times 10^6 \, \text{N.mm} \\ &= 240 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le moment plastique est \(M_p = 240 \, \text{kN.m}\).

Question 6 : Facteur de Forme (\(S\))

Principe :

Le facteur de forme (\(S\)) est le rapport du moment plastique au moment de première plastification. Il indique la réserve de capacité de la section au-delà de la limite élastique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ S = \frac{M_p}{M_y} = \frac{Z_p}{Z_e} \]
Données spécifiques :
  • \(M_p = 240 \, \text{kN.m}\)
  • \(M_y \approx 160.01 \, \text{kN.m}\)
  • Ou \(Z_p = 1.0 \times 10^6 \, \text{mm}^3\), \(Z_e \approx 6.667 \times 10^5 \, \text{mm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S &= \frac{240 \, \text{kN.m}}{160.01 \, \text{kN.m}} \\ &\approx 1.4999 \approx 1.5 \end{aligned} \]

Alternativement avec les modules :

\[ S = \frac{1.0 \times 10^6 \, \text{mm}^3}{6.667 \times 10^5 \, \text{mm}^3} = \frac{10}{6.667} \approx 1.5 \]

Pour une section rectangulaire, le facteur de forme théorique est de 1.5.

Résultat Question 6 : Le facteur de forme est \(S \approx 1.5\).

Question 7 : Charge de Première Plastification (\(P_y\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge ponctuelle \(P\) en son milieu, le moment fléchissant maximal est \(M_{max} = PL/4\). La première plastification se produit lorsque \(M_{max} = M_y\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_y = \frac{4 M_y}{L} \]
Données spécifiques (unités kN, m) :
  • \(M_y \approx 160.01 \, \text{kN.m}\)
  • \(L = 5.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_y &= \frac{4 \cdot (160.01 \, \text{kN.m})}{5.0 \, \text{m}} \\ &= \frac{640.04}{5} \, \text{kN} \\ &\approx 128.01 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La charge de première plastification est \(P_y \approx 128.01 \, \text{kN}\).

Question 8 : Charge de Ruine Plastique (\(P_u\))

Principe :

La ruine plastique se produit lorsque le moment fléchissant maximal atteint le moment plastique \(M_p\), formant une rotule plastique. Pour ce cas de chargement, \(M_{max} = P_u L/4 = M_p\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_u = \frac{4 M_p}{L} \]
Données spécifiques (unités kN, m) :
  • \(M_p = 240 \, \text{kN.m}\)
  • \(L = 5.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_u &= \frac{4 \cdot (240 \, \text{kN.m})}{5.0 \, \text{m}} \\ &= \frac{960}{5} \, \text{kN} \\ &= 192 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Le rapport \(P_u / P_y = 192 / 128.01 \approx 1.5\), ce qui correspond au facteur de forme.

Résultat Question 8 : La charge de ruine plastique est \(P_u = 192 \, \text{kN}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Le moment plastique \(M_p\) d'une section est toujours :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Une rotule plastique se forme dans une poutre lorsque :

2. Le facteur de forme d'une section :

Glossaire

Plasticité
Capacité d'un matériau à subir des déformations permanentes (non réversibles) lorsqu'il est soumis à des contraintes dépassant sa limite d'élasticité.
Limite d'Élasticité (\(\sigma_y\))
Contrainte au-delà de laquelle un matériau commence à se déformer plastiquement.
Moment de Première Plastification (\(M_y\))
Moment fléchissant qui provoque l'atteinte de la limite d'élasticité dans les fibres les plus éloignées de l'axe neutre d'une section.
Moment Plastique (\(M_p\))
Moment fléchissant maximal qu'une section peut supporter, correspondant à la plastification complète de la section (toutes les fibres ont atteint \(\sigma_y\)).
Rotule Plastique
Zone d'une poutre où la section est entièrement plastifiée et peut subir une rotation importante sous un moment constant égal à \(M_p\).
Module de Flexion Élastique (\(Z_e\))
Propriété géométrique d'une section égale à \(I/y_{max}\), utilisée pour calculer la contrainte maximale en flexion élastique.
Module de Flexion Plastique (\(Z_p\))
Propriété géométrique d'une section utilisée pour calculer le moment plastique (\(M_p = \sigma_y Z_p\)).
Facteur de Forme (\(S\))
Rapport du moment plastique au moment de première plastification (\(S = M_p/M_y = Z_p/Z_e\)). Il indique la réserve de résistance de la section au-delà de la limite élastique.
Calcul à la Rupture (Calcul Plastique)
Méthode d'analyse structurale qui considère le comportement plastique des matériaux pour déterminer la charge ultime qu'une structure peut supporter avant de former un mécanisme de ruine.
Théorie de la Plasticité et Calcul à la Rupture - Exercice d'Application

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