Vérifier le non-écrasement des bielles de béton en béton armé
Contexte : Comment une poutre résiste-t-elle à l'effort tranchant ?
Lorsqu'une poutre est chargée, elle subit non seulement de la flexion, mais aussi un effort tranchant. Pour comprendre comment le béton armé y résiste, on utilise une analogie : le modèle en treillisModèle de calcul où une poutre en béton armé est idéalisée comme une structure en treillis, avec des bielles de béton comprimées, des tirants d'acier tendus et des montants d'acier.. Dans ce modèle, l'effort tranchant est décomposé : les armatures transversales (étriers) agissent comme des "tirants" verticaux tendus, tandis que le béton entre les fissures inclinées agit comme des "bielles" diagonales comprimées. La sécurité de la poutre dépend de la résistance de ces deux éléments. Si l'effort tranchant est trop élevé, les bielles de béton peuvent s'écraser avant même que les aciers n'atteignent leur limite, provoquant une rupture brutale.
Remarque Pédagogique : Cet exercice se concentre sur une vérification fondamentale : s'assurer que la section de béton elle-même est suffisamment robuste pour ne pas s'écraser sous l'effet de l'effort tranchant. C'est une vérification préalable au calcul des armatures d'effort tranchant. Si cette condition n'est pas respectée, il faut impérativement redimensionner la poutre.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le modèle en treillis pour la résistance à l'effort tranchant.
- Identifier le risque d'écrasement des bielles de béton.
- Calculer la résistance maximale à l'effort tranchant d'une section de béton (\(V_{Rd,max}\)).
- Comparer l'effort tranchant agissant (\(V_{Ed}\)) à cette résistance maximale.
- Conclure sur la validité des dimensions de la section de la poutre.
Données de l'étude
Modèle en treillis et section de la poutre
- Poutre : section rectangulaire \(b_w \times h = 40 \, \text{cm} \times 80 \, \text{cm}\)
- Béton : Classe C35/45 (\(f_{\text{ck}} = 35 \, \text{MPa}\))
- Acier : nuance S500 B (\(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\))
- Hauteur utile : \(d = 72 \, \text{cm}\)
- Bras de levier (supposé) : \(z = 0.9 \cdot d\)
- Effort tranchant à l'ELU : \(V_{Ed} = 850 \, \text{kN}\)
- Armatures d'effort tranchant : supposées droites (\(\alpha = 90^\circ\))
- Inclinaison des bielles choisie : \(\cot(\theta) = 2.0\) (soit \(\theta \approx 26.6^\circ\))
- Coefficients de sécurité (ELU) : \(\gamma_c = 1.5\)
Questions à traiter
- Calculer la résistance maximale à l'effort tranchant de la section, \(V_{Rd,max}\).
- Comparer l'effort tranchant agissant \(V_{Ed}\) à la résistance \(V_{Rd,max}\) et conclure.
Correction : Vérifier le non-écrasement des bielles de béton en béton armé
Question 1 : Calculer la résistance maximale à l'effort tranchant, \(V_{Rd,max}\)
Principe avec image animée (le concept physique)
La résistance maximale à l'effort tranchant, \(V_{Rd,max}\), représente la capacité ultime du béton à résister à la compression dans les bielles inclinées. Cette valeur est une limite absolue pour la section. Peu importe la quantité d'armatures d'effort tranchant que l'on ajoute, si l'effort agissant \(V_{Ed}\) dépasse \(V_{Rd,max}\), la poutre se rompra par écrasement du béton. Cette vérification est donc primordiale pour valider les dimensions de la poutre.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule de \(V_{Rd,max}\) dépend de la résistance en compression du béton (\(f_{cd}\)), de la géométrie de la section (\(b_w, z\)) et de l'angle \(\theta\) des bielles. Un angle \(\theta\) plus grand (bielles plus "raides") augmente la composante verticale de la force de compression et sollicite donc davantage le béton, ce qui réduit \(V_{Rd,max}\). À l'inverse, un angle plus faible (bielles plus "plates") augmente la traction dans les aciers longitudinaux mais est plus favorable pour la compression du béton.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Pensez à cette vérification comme à un "fusible" pour la section de béton. Si elle ne passe pas, inutile d'aller plus loin dans le calcul des aciers : il faut augmenter la largeur \(b_w\), la hauteur \(h\), ou la classe de résistance du béton.
Normes (la référence réglementaire)
La formule de calcul de \(V_{Rd,max}\) est donnée dans l'Eurocode 2, section 6.2.3 (3), formule (6.9). La norme limite également l'inclinaison des bielles, généralement \(1 \le \cot(\theta) \le 2.5\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On utilise le bras de levier \(z = 0.9d\) qui est une approximation standard et sécuritaire. On considère des armatures d'effort tranchant droites (\(\alpha = 90^\circ\)), ce qui est le cas le plus courant.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Résistance maximale à l'effort tranchant :
Avec, pour des armatures droites, \(\alpha_{cw} = 1.0\) et \(\nu_1 = 0.6 \left(1 - \frac{f_{ck}}{250}\right)\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(b_w = 400 \, \text{mm}\)
- \(d = 720 \, \text{mm}\)
- \(f_{ck} = 35 \, \text{MPa}\)
- \(\cot(\theta) = 2.0\)
- \(\gamma_c = 1.5\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul du bras de levier \(z\) :
Calcul des paramètres de la formule :
Calcul de la résistance maximale :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La capacité maximale absolue de la section de béton à l'effort tranchant est de 1246.2 kN. C'est la "limite de vitesse" de la poutre. Tout effort agissant supérieur à cette valeur mènera inévitablement à une rupture par écrasement du béton.
Point à retenir : La résistance maximale à l'effort tranchant, \(V_{Rd,max}\), est une limite infranchissable pour une section de béton donnée.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Cette vérification est la première à effectuer dans un calcul d'effort tranchant. Elle permet de valider que les dimensions de la poutre sont suffisantes. Si cette vérification passe, on peut alors procéder au calcul des armatures transversales nécessaires.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Erreur sur \(\nu_1\) : Le coefficient réducteur \(\nu_1\) est crucial et dépend de la résistance du béton. Oublier de l'appliquer conduit à une surestimation dangereuse de la résistance.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Quelle serait la valeur de \(V_{Rd,max}\) (en kN) si on choisissait un angle de bielle plus raide, avec \(\cot(\theta) = 1.5\) ?
Question 2 : Comparer l'effort tranchant agissant \(V_{Ed}\) à la résistance \(V_{Rd,max}\) et conclure
Principe avec image animée (le concept physique)
La conclusion de l'exercice est une simple comparaison entre l'action (l'effort tranchant de calcul, \(V_{Ed}\)) et la résistance (la capacité maximale de la section, \(V_{Rd,max}\)). Pour que la conception soit valide, il est impératif que l'action soit inférieure ou égale à la résistance. Cette vérification confirme que les dimensions de la poutre sont adéquates pour résister à l'effort tranchant sans risque d'écrasement du béton.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le format de vérification "Action \(\le\) Résistance" est la base de la philosophie de conception aux états limites. L'action (\(E_d\)) est calculée à partir des charges caractéristiques pondérées par des coefficients de sécurité. La résistance (\(R_d\)) est calculée à partir des propriétés caractéristiques des matériaux, minorées par des coefficients de sécurité. Le but est de s'assurer qu'il existe une marge de sécurité suffisante entre ce que la structure subit et ce qu'elle peut supporter.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Une vérification réussie (\(V_{Ed} \le V_{Rd,max}\)) ne signifie pas que la poutre n'a pas besoin d'armatures d'effort tranchant ! Cela signifie simplement que les dimensions du béton sont suffisantes. Il faudra ensuite calculer les aciers (tirants) pour reprendre la composante de traction du treillis.
Normes (la référence réglementaire)
Cette vérification est explicitement requise par l'Eurocode 2, section 6.2.3 (3), qui stipule que l'on doit toujours vérifier \(V_{Ed} \le V_{Rd,max}\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les valeurs de \(V_{Ed}\) et \(V_{Rd,max}\) ont été calculées correctement selon les règles normatives.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Condition de non-écrasement des bielles :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Effort tranchant agissant \(V_{Ed} = 850 \, \text{kN}\)
- Résistance maximale calculée \(V_{Rd,max} = 1246.2 \, \text{kN}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Comparaison des valeurs :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La condition est largement vérifiée. L'effort agissant ne représente que \(850 / 1246.2 \approx 68\%\) de la capacité maximale du béton. Cela indique que les dimensions de la poutre sont confortables vis-à-vis du risque d'écrasement des bielles. On peut donc procéder en toute sécurité au calcul des armatures d'effort tranchant.
Point à retenir : La première vérification à l'effort tranchant est de s'assurer que \(V_{Ed} \le V_{Rd,max}\).
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Cette étape conclut la vérification de la géométrie de la section. Elle confirme que le choix des dimensions initiales de la poutre est viable avant d'engager des calculs plus détaillés sur le ferraillage.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas conclure en cas de non-vérification : Si \(V_{Ed}\) est supérieur à \(V_{Rd,max}\), la seule conclusion est que la section doit être redimensionnée. Il est incorrect et dangereux de penser qu'on peut compenser ce déficit en ajoutant plus d'armatures.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : La section serait-elle toujours valable si l'effort tranchant \(V_{Ed}\) était de 1300 kN ?
Mini Fiche Mémo : Vérification des Bielles de Béton
| Étape | Formule Clé & Objectif |
|---|---|
| 1. Calcul de \(V_{Rd,max}\) | \( V_{Rd,max} = \alpha_{cw} b_w z \nu_1 f_{cd} / (\cot\theta + \tan\theta) \) Déterminer la résistance ultime du béton à l'effort tranchant. |
| 2. Vérification | \( V_{Ed} \le V_{Rd,max} \) S'assurer que l'effort agissant ne provoque pas l'écrasement du béton. |
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si la vérification \(V_{Ed} \le V_{Rd,max}\) n'est pas satisfaite, que doit faire l'ingénieur ?
2. Le modèle en treillis modélise le béton comme :
- Bielle de Béton
- Dans le modèle en treillis, chemin de compression diagonal dans l'âme d'une poutre qui transmet l'effort tranchant.
- Effort Tranchant (\(V_{Ed}\))
- Effort interne dans une poutre qui tend à faire glisser verticalement les sections les unes par rapport aux autres.
- Modèle en Treillis
- Modèle de calcul où une poutre en béton armé est idéalisée comme une structure en treillis, avec des bielles de béton comprimées, des tirants d'acier tendus (armatures longitudinales) et des montants d'acier (étriers).
- Rupture Fragile
- Type de rupture qui se produit soudainement, sans déformation plastique préalable significative. L'écrasement du béton est une rupture fragile.
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