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Treillis triangulaire simple

Treillis triangulaire simple

Treillis triangulaire simple

Contexte : Comment une charge horizontale est-elle répartie ?

Alors que les charges de gravité (verticales) sont les plus courantes, les structures doivent aussi résister à des forces horizontales comme le vent, les séismes ou des poussées. Cet exercice se concentre sur un treillis en équerre, une configuration très commune pour les potences ou les supports muraux, soumis à une charge horizontale. Nous utiliserons la méthode des nœudsTechnique d'analyse qui consiste à isoler chaque "nœud" (ou articulation) du treillis et à appliquer les équations de l'équilibre des forces (\(\sum F_x=0, \sum F_y=0\)) pour trouver les efforts dans les barres qui s'y connectent. pour comprendre comment les efforts se distribuent dans les barres pour équilibrer cette force latérale.

Remarque Pédagogique : La présence d'une charge horizontale rend le calcul des réactions d'appuis plus complet, car la réaction horizontale de l'articulation ne sera pas nulle. Cet exercice vous montrera comment un simple changement de direction de la charge modifie complètement la distribution des efforts de traction et de compression dans la structure.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les trois composantes de réaction (Ax, Ay, By) pour un treillis sous charge horizontale.
  • Analyser un nœud où les barres sont orthogonales (angle de 90°).
  • Décomposer les forces d'une barre inclinée sur les axes X et Y.
  • Comprendre comment une charge horizontale génère des efforts de traction et de compression.
  • Vérifier la cohérence des calculs en analysant plusieurs nœuds.

Données de l'étude

On étudie le treillis en équerre (triangle rectangle) ci-dessous. Il est supporté par une articulation en A (à l'angle droit) et un appui simple en B. La base AB mesure 4 m et la hauteur AC mesure 3 m. Une charge horizontale de 12 kN, dirigée vers la droite, est appliquée au nœud C.

Schéma du treillis en équerre
A B C Ph=12 kN 4 m 3 m

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appuis en A et B.
  2. En isolant le nœud A, déterminer les efforts dans les barres AB et AC.
  3. En isolant le nœud B, déterminer l'effort dans la barre BC.
  4. Vérifier l'équilibre du nœud C avec les efforts calculés.

Correction : Treillis triangulaire simple

Question 1 : Calculer les réactions d'appuis

Principe (le concept physique)

Pour que le treillis soit stable, il doit être en équilibre global. On applique le Principe Fondamental de la Statique (PFS) à la structure entière, considérée comme un seul corps rigide, pour trouver les forces externes exercées par les appuis.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le PFS stipule que pour un corps à l'équilibre, la somme vectorielle des forces externes est nulle (\(\sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0}\)) et la somme des moments de ces forces par rapport à n'importe quel point est nulle (\(\sum \vec{M}_{/P}(\vec{F}_{\text{ext}}) = \vec{0}\)). En 2D, cela nous donne trois équations scalaires : \(\sum F_{\text{x}} = 0\), \(\sum F_{\text{y}} = 0\), et \(\sum M_{\text{z}} = 0\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le choix du point pour le calcul des moments est stratégique. En choisissant le point A (l'articulation), les deux réactions inconnues \(A_{\text{x}}\) et \(A_{\text{y}}\) ont un bras de levier nul et disparaissent de l'équation des moments, ce qui permet de trouver directement la troisième inconnue, \(B_{\text{y}}\).

Astuces (Pour aller plus vite)

Astuce : Avant de calculer, observez les forces. La seule force horizontale externe est \(P_{\text{h}}\). Elle doit obligatoirement être équilibrée par la seule réaction horizontale possible, \(A_{\text{x}}\). On peut donc dire sans calcul que \(A_{\text{x}}\) s'opposera directement à \(P_{\text{h}}\).

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des réactions d'appuis est la première étape fondamentale de toute note de calcul de structure, comme l'exige l'Eurocode. Ces réactions sont cruciales car elles définissent les charges que la structure transmet à ses fondations.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le poids propre du treillis est négligé. Les liaisons aux nœuds sont des articulations parfaites (pas de frottement). Les charges sont appliquées uniquement aux nœuds. La structure est supposée indéformable pour le calcul statique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équilibre des forces horizontales :

\[\sum F_{\text{x}} = 0\]

Équilibre des forces verticales :

\[\sum F_{\text{y}} = 0\]

Équilibre des moments par rapport au point A :

\[\sum M_{/\text{A}} = 0\]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge horizontale : \(P_{\text{h}} = 12 \, \text{kN}\)
  • Distance AB (bras de levier de \(B_{\text{y}}\)) : \(4 \, \text{m}\)
  • Distance AC (bras de levier de \(P_{\text{h}}\)) : \(3 \, \text{m}\)
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de corps libre du treillis complet
Ph=12 Ay Ax By
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la réaction horizontale \(A_{\text{x}}\) :

\begin{aligned} \sum F_{\text{x}} &= A_{\text{x}} + P_{\text{h}} = 0 \\ \Rightarrow A_{\text{x}} &= -12 \, \text{kN} \end{aligned}

Calcul de la réaction verticale \(B_{\text{y}}\) :

\begin{aligned} \sum M_{/\text{A}} &= (B_{\text{y}} \times 4) - (P_{\text{h}} \times 3) = 0 \\ \Rightarrow 4 B_{\text{y}} &= 12 \times 3 \\ &= 36 \\ \Rightarrow B_{\text{y}} &= \frac{36}{4} \\ &= 9 \, \text{kN} \end{aligned}

Calcul de la réaction verticale \(A_{\text{y}}\) :

\begin{aligned} \sum F_{\text{y}} &= A_{\text{y}} + B_{\text{y}} = 0 \\ \Rightarrow A_{\text{y}} &= -B_{\text{y}} \\ &= -9 \, \text{kN} \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)
Réactions d'appuis calculées
12 kN 9 kN 12 kN 9 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La force horizontale de 12 kN est entièrement reprise par l'articulation en A. Le moment de "basculement" créé par cette force (12 kN x 3 m) est contré par un couple de forces verticales : l'appui B pousse vers le haut et l'appui A tire vers le bas pour maintenir l'équilibre.

Point à retenir : Une charge horizontale sur un treillis génère non seulement des réactions horizontales, mais aussi un couple de réactions verticales pour contrer le moment de renversement.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est indispensable. Sans connaître les forces externes que les appuis appliquent à la structure, il est impossible d'analyser les forces internes dans les barres, car les équations d'équilibre des nœuds contiendraient trop d'inconnues.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur de signe : Une erreur fréquente est de se tromper dans le signe d'un moment. Définissez une convention (ex: anti-horaire positif) et appliquez-la rigoureusement. Ici, le moment de \(P_{\text{h}}\) par rapport à A est horaire (négatif), et celui de \(B_{\text{y}}\) est anti-horaire (positif).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La combinaison d'une articulation et d'un appui simple est la configuration minimale pour rendre une structure "isostatique" en 2D : stable, mais sans contraintes superflues. Si on ajoutait un rouleau vertical en A, la structure deviendrait un mécanisme instable.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la réaction Ay est-elle dirigée vers le bas ?

La force horizontale Ph crée un moment qui tend à faire "basculer" le treillis autour de l'appui A. Pour contrer ce basculement, l'appui B doit pousser vers le haut (By > 0). Pour que la somme des forces verticales reste nulle (\(\sum F_y = 0\)), l'appui A doit donc "retenir" la structure en tirant vers le bas (Ay < 0).

Résultat Final : Les réactions sont \(A_{\text{x}} = -12 \, \text{kN}\) (vers la gauche), \(A_{\text{y}} = -9 \, \text{kN}\) (vers le bas) et \(B_{\text{y}} = 9 \, \text{kN}\) (vers le haut).

À vous de jouer : Quelle serait la valeur de \(B_{\text{y}}\) (en kN) si la hauteur AC était de 4 m au lieu de 3 m ?

Question 2 : Isoler le nœud A et calculer N_AB et N_AC

Principe (le concept physique)

La méthode des nœuds consiste à s'assurer que chaque nœud est en équilibre. On l'isole et on trace toutes les forces qui s'y appliquent : les forces externes connues (réactions) et les efforts internes inconnus des barres. Le nœud A est idéal pour commencer car les barres AB et AC sont orthogonales, ce qui simplifie les équations.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Chaque nœud est un point matériel à l'équilibre. La somme des vecteurs forces qui y concourent doit être nulle. En projetant cette équation vectorielle sur deux axes (généralement horizontal et vertical), on obtient deux équations scalaires. C'est pourquoi on ne peut résoudre un nœud que s'il a au maximum deux efforts de barre inconnus.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Toujours supposer que les efforts inconnus sont des tractions (ils "tirent" sur le nœud, s'éloignent de lui). Si le résultat du calcul est positif, l'hypothèse était bonne (traction). Si le résultat est négatif, cela signifie que la force est dans le sens opposé, et que la barre est en compression.

Astuces (Pour aller plus vite)

Astuce : Au nœud A, la réaction verticale \(A_{\text{y}}\) ne peut être équilibrée que par la barre verticale AC. De même, la réaction horizontale \(A_{\text{x}}\) ne peut être équilibrée que par la barre horizontale AB. On peut donc déduire les efforts presque instantanément, sans poser formellement les équations.

Normes (la référence réglementaire)

L'analyse des efforts aux nœuds est la base du dimensionnement des assemblages (boulons, soudures, goussets). L'Eurocode 3 fournit des règles détaillées pour s'assurer que ces connexions peuvent transmettre les efforts calculés entre les barres.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le nœud A est isolé du reste de la structure. Les efforts \(N_{\text{AB}}\) et \(N_{\text{AC}}\) sont supposés être des tractions.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équilibre des forces horizontales sur le nœud A :

\[\sum F_{\text{x}} = 0\]

Équilibre des forces verticales sur le nœud A :

\[\sum F_{\text{y}} = 0\]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Réaction horizontale : \(A_{\text{x}} = -12 \, \text{kN}\)
  • Réaction verticale : \(A_{\text{y}} = -9 \, \text{kN}\)
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de corps libre du Nœud A
A Ax=12 Ay=9 N_AB N_AC
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'effort \(N_{\text{AC}}\) :

\begin{aligned} \sum F_{\text{y}} &= A_{\text{y}} + N_{\text{AC}} = 0 \\ \Rightarrow -9 + N_{\text{AC}} &= 0 \\ \Rightarrow N_{\text{AC}} &= 9 \, \text{kN} \end{aligned}

Calcul de l'effort \(N_{\text{AB}}\) :

\begin{aligned} \sum F_{\text{x}} &= A_{\text{x}} + N_{\text{AB}} = 0 \\ \Rightarrow -12 + N_{\text{AB}} &= 0 \\ \Rightarrow N_{\text{AB}} &= 12 \, \text{kN} \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)
Équilibre du Nœud A avec efforts calculés
A 12 kN 9 kN 12 kN 9 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les deux résultats sont positifs, ce qui signifie que notre hypothèse de traction était correcte. La barre verticale AC est tendue pour contrer la réaction \(A_{\text{y}}\) qui tire le nœud vers le bas. La barre horizontale AB est tendue pour contrer la réaction \(A_{\text{x}}\) qui pousse le nœud vers la gauche.

Point à retenir : Un résultat positif signifie que la barre est en traction. Un résultat négatif signifie qu'elle est en compression.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est le cœur de la méthode des nœuds. Elle transforme les réactions externes en efforts internes, nous permettant de "rentrer" dans la structure et de comprendre comment elle fonctionne de l'intérieur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Confusion des signes : Faites bien la distinction entre le signe de la réaction (qui dépend de son orientation) et le signe de l'effort calculé (qui dépend de l'hypothèse de traction/compression). Ici, \(A_{\text{y}} = -9\) (force vers le bas), mais \(N_{\text{AC}} = +9\) (effort de traction).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Cette configuration de treillis en équerre est un exemple de "console" ou "cantilever". Les barres attachées au support (le mur, ici représenté par les appuis) sont souvent les plus sollicitées. La barre supérieure (BC) travaille en compression et la barre inférieure (AB) en traction, comme pour une poutre en console classique.

FAQ (pour lever les doutes)
Aurais-je pu commencer par le nœud C ?

Non, car au début de l'analyse, le nœud C a trois barres connectées, donc trois efforts inconnus. Avec seulement deux équations d'équilibre par nœud, il aurait été impossible de le résoudre.

Résultat Final : L'effort dans la barre AB est \(N_{\text{AB}} = +12 \, \text{kN}\) (Traction) et l'effort dans la barre AC est \(N_{\text{AC}} = +9 \, \text{kN}\) (Traction).

À vous de jouer : Si la réaction \(A_{\text{x}}\) était de -20 kN, quelle serait la valeur de \(N_{\text{AB}}\) (en kN) ?

Question 3 : Isoler le nœud B et calculer N_BC

Principe (le concept physique)

Nous passons au nœud B. Nous connaissons la réaction \(B_{\text{y}}\) et l'effort dans la barre AB, \(N_{\text{AB}}\). La seule inconnue restante est l'effort dans la barre inclinée, \(N_{\text{BC}}\). En appliquant l'équilibre des forces, nous pouvons la déterminer.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour une barre inclinée, son effort doit être décomposé en une composante horizontale (\(N_{\text{x}} = N \cos\theta\)) et une composante verticale (\(N_{\text{y}} = N \sin\theta\)). Ces composantes sont ensuite utilisées dans les équations d'équilibre \(\sum F_{\text{x}} = 0\) et \(\sum F_{\text{y}} = 0\). La trigonométrie est donc essentielle.

Astuces (Pour aller plus vite)

Astuce du triangle 3-4-5 : Notre treillis a des côtés de 3m et 4m. L'hypoténuse BC mesure \(\sqrt{3^2+4^2} = 5\) m. C'est un triangle rectangle remarquable. On n'a même pas besoin de calculer l'angle : \(\cos(\theta) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = 4/5\) et \(\sin(\theta) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} = 3/5\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équilibre des forces verticales sur le nœud B :

\[\sum F_{\text{y}} = 0\]
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de corps libre du Nœud B
B By=9 N_AB=12 N_BC θ
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'effort \(N_{\text{BC}}\) :

\begin{aligned} \sum F_{\text{y}} &= B_{\text{y}} + N_{\text{BC}} \sin(\theta) = 0 \\ \Rightarrow 9 + N_{\text{BC}} \times (3/5) &= 0 \\ \Rightarrow N_{\text{BC}} \times 0.6 &= -9 \\ \Rightarrow N_{\text{BC}} &= - \frac{9}{0.6} \\ &= -15 \, \text{kN} \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)
Équilibre du Nœud B avec efforts calculés
B 9 kN 12 kN 15 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat est négatif, donc la barre BC est en compression. C'est logique : la charge \(P_{\text{h}}\) pousse la structure vers la droite, et la barre BC agit comme un "contrefort" pour l'empêcher de s'effondrer, elle est donc comprimée.

Point à retenir : L'équilibre vertical d'un nœud d'appui permet souvent de trouver directement l'effort dans la barre inclinée qui y arrive.

Résultat Final : L'effort dans la barre BC est \(N_{\text{BC}} = -15 \, \text{kN}\) (Compression).

À vous de jouer : Si la réaction \(B_{\text{y}}\) était de 12 kN, quelle serait la valeur de \(N_{\text{BC}}\) (en kN) ?

Question 4 : Vérification de l'équilibre du nœud C

Principe (le concept physique)

Cette étape finale n'est pas nécessaire pour trouver les efforts, mais elle est cruciale pour valider nos calculs. Si le nœud C, sur lequel nous n'avons pas encore travaillé directement (sauf pour la charge appliquée), est en équilibre avec les efforts que nous avons trouvés, alors notre solution est très probablement correcte.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équilibre des forces horizontales sur le nœud C :

\[\sum F_{\text{x}} = 0\]

Équilibre des forces verticales sur le nœud C :

\[\sum F_{\text{y}} = 0\]
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de corps libre du Nœud C
C Ph=12 N_AC=9 N_BC=15
Calcul(s) (l'application numérique)

Forces sur C : \(P_{\text{h}}\) (droite), \(N_{\text{AC}}\) (Traction, tire C vers le bas), \(N_{\text{BC}}\) (Compression, pousse C vers le haut et la gauche).

Vérification de l'équilibre horizontal :

\begin{aligned} \sum F_{\text{x}} &= P_{\text{h}} - |N_{\text{BC}}| \cos(\theta) \\ &= 12 - 15 \times (4/5) \\ &= 12 - 12 \\ &= 0 \quad (\text{OK!}) \end{aligned}

Vérification de l'équilibre vertical :

\begin{aligned} \sum F_{\text{y}} &= -|N_{\text{AC}}| + |N_{\text{BC}}| \sin(\theta) \\ &= -9 + 15 \times (3/5) \\ &= -9 + 9 \\ &= 0 \quad (\text{OK!}) \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)
Équilibre du Nœud C avec efforts calculés
C 12 kN 9 kN 15 kN
Résultat Final : Le nœud C est bien en équilibre, ce qui valide l'ensemble de nos calculs.

Mini Fiche Mémo : Méthode des Nœuds

ÉtapeActionObjectif
1. Réactions Appliquer le PFS à la structure entière. Trouver les réactions aux appuis.
2. Choix du Nœud Choisir un nœud avec au maximum 2 inconnues. Commencer la résolution.
3. Isoler & DCL Isoler le nœud et dessiner son Diagramme de Corps Libre (DCL). Visualiser toutes les forces agissant sur le nœud.
4. Équilibre Appliquer \(\sum F_{\text{x}} = 0\) et \(\sum F_{\text{y}} = 0\). Trouver les efforts dans les barres.
5. Itérer Passer au nœud suivant et répéter les étapes 3 et 4. Résoudre l'ensemble du treillis.

Outil Interactif : Simulateur de Treillis en Équerre

Modifiez la charge horizontale Ph pour voir son influence sur les efforts dans les barres.

Paramètres d'Entrée
12 kN
Résultats des Efforts
Effort \(N_{\text{AC}}\) (kN) -
Effort \(N_{\text{AB}}\) (kN) -
Effort \(N_{\text{BC}}\) (kN) -

Le Saviez-Vous ?

Le triangle rectangle 3-4-5 est appelé "triangle pythagoricien" et était utilisé par les anciens Égyptiens pour construire des angles droits parfaits. Ils utilisaient une corde à 13 nœuds (formant 12 segments égaux) pour former un triangle de côtés 3, 4 et 5, garantissant un angle droit précis pour la construction des pyramides.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la réaction Ay est-elle dirigée vers le bas ?

La force horizontale Ph crée un moment qui tend à faire "basculer" le treillis autour de l'appui A. Pour contrer ce basculement, l'appui B doit pousser vers le haut (By > 0). Pour que la somme des forces verticales reste nulle (\(\sum F_y = 0\)), l'appui A doit donc "retenir" la structure en tirant vers le bas (Ay < 0).

Et si l'appui en B était une articulation et celui en A un appui simple ?

La structure serait "hyperstatique" (trop de réactions inconnues pour les équations de la statique) si les deux étaient des articulations. Si A était un appui simple et B une articulation, la structure serait instable sous une charge horizontale, car rien ne l'empêcherait de glisser horizontalement.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans cet exercice, la barre la plus sollicitée (plus grand effort en valeur absolue) est :

2. Si la charge Ph était appliquée vers la gauche au lieu de la droite, que deviendrait l'effort dans la barre AB ?

Diagramme de Corps Libre (DCL)
Un schéma qui isole un corps (un nœud, une section, ou la structure entière) et représente toutes les forces et moments externes qui agissent sur lui. C'est un outil essentiel en statique.
Appui Articulé (ou Pivot)
Un type de support qui empêche toute translation (mouvement en x et y) mais permet la rotation. Il génère deux composantes de réaction (Rx et Ry).
Appui Simple (ou à Rouleau)
Un type de support qui n'empêche la translation que dans une seule direction (généralement verticale) et permet la translation dans l'autre direction ainsi que la rotation. Il ne génère qu'une seule composante de réaction.
Treillis triangulaire simple

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