Études de cas pratique

EGC

Poinçonnement d’une dalle plate

Calcul du Poinçonnement d’une Dalle Plate

Comprendre le Poinçonnement d’une Dalle Plate

Le poinçonnement est un mode de rupture par cisaillement qui peut se produire dans les dalles en béton armé au voisinage de charges concentrées, typiquement au droit des appuis de poteaux. La dalle tend à être "poinçonnée" par le poteau. La vérification au poinçonnement consiste à s'assurer que la contrainte de cisaillement agissante est inférieure à la résistance au cisaillement du béton, éventuellement augmentée par des armatures de poinçonnement.

Données de l'étude

On étudie le poinçonnement d'une dalle plate en béton armé au droit d'un poteau intérieur carré.

Caractéristiques géométriques :

  • Dimensions du poteau carré : \(c_1 = c_2 = 350 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur de la dalle : \(h = 250 \, \text{mm}\)
  • Enrobage des armatures : \(c_{nom} = 30 \, \text{mm}\)
  • Diamètre moyen supposé des armatures de flexion (pour calculer d) : \(\phi_m = 12 \, \text{mm}\)

Sollicitations et Matériaux :

  • Effort tranchant de calcul à l'ELU transmis par le poteau (\(V_{Ed}\)) : \(600 \, \text{kN}\)
  • Béton : C30/37 (\(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\))
  • Acier : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Coefficients partiels de sécurité (ELU) : \(\gamma_c = 1.5\)
  • Pourcentage d'armatures de flexion longitudinales (\(\rho_l\)) : \(1.0\%\) (supposé, pour \(v_{Rd,c}\))

Hypothèse : Le poteau est intérieur et la charge est centrée (pas de moments significatifs transmis par le poteau). On vérifie la nécessité d'armatures de poinçonnement.

Schéma : Poinçonnement - Périmètre de Contrôle
Poteau \(c_1 \times c_2\) \(u_1\) 2d 2d 2d 2d \(V_{Ed}\) Poinçonnement Dalle-Poteau

Vue en plan du poteau et du premier périmètre de contrôle \(u_1\).

Questions à traiter

  1. Calculer la hauteur utile moyenne de la dalle (\(d\)).
  2. Calculer le périmètre de contrôle de base (\(u_1\)) situé à \(2d\) des faces du poteau.
  3. Calculer la contrainte de cisaillement agissante (\(v_{Ed}\)) sur le périmètre \(u_1\). Utiliser \(\beta = 1.15\) pour un poteau intérieur. \(v_{Ed} = \beta \frac{V_{Ed}}{u_1 d}\).
  4. Calculer la résistance au cisaillement du béton sans armatures de poinçonnement (\(v_{Rd,c}\)). Utiliser la formule simplifiée : \(v_{Rd,c} = C_{Rd,c} \cdot k \cdot (100 \cdot \rho_l \cdot f_{ck})^{1/3}\) avec \(C_{Rd,c} = 0.18/\gamma_c\), \(k = 1 + \sqrt{200/d} \leq 2.0\) (d en mm).
  5. Comparer \(v_{Ed}\) et \(v_{Rd,c}\). Conclure sur la nécessité d'armatures de poinçonnement.

Correction : Calcul du Poinçonnement

Question 1 : Hauteur Utile Moyenne (\(d\))

Principe :

La hauteur utile moyenne \(d\) est calculée en considérant l'épaisseur de la dalle, l'enrobage et la moitié du diamètre moyen des armatures de flexion (souvent dans deux directions).

Formule(s) utilisée(s) :
\[d = h - c_{nom} - \phi_m / 2\]

Pour une dalle, on prend souvent la moyenne des hauteurs utiles dans les deux directions si elles sont différentes. Ici, on simplifie avec \(\phi_m\).

Données spécifiques :
  • Épaisseur dalle (\(h\)) : \(250 \, \text{mm}\)
  • Enrobage (\(c_{nom}\)) : \(30 \, \text{mm}\)
  • Diamètre moyen armatures (\(\phi_m\)) : \(12 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} d &= 250 - 30 - \frac{12}{2} \, \text{mm} \\ &= 250 - 30 - 6 \\ &= 214 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La hauteur utile moyenne est \(d = 214 \, \text{mm}\).

Question 2 : Périmètre de Contrôle de Base (\(u_1\))

Principe :

Le périmètre de contrôle de base \(u_1\) est situé à une distance \(2d\) des faces du poteau. Pour un poteau rectangulaire, il a des coins arrondis (rayon \(2d\)). Pour un poteau carré, c'est un carré aux coins arrondis.

Formule pour un poteau rectangulaire/carré : \(u_1 = 2(c_1+c_2) + 2\pi (2d)\). Pour un poteau intérieur, c'est le périmètre complet. Une approximation courante pour un poteau carré est \(u_1 = 4c + 2\pi(2d)\) où c est le côté du poteau, ou plus simplement \(u_1 = 2(c_1+2(2d) + c_2+2(2d)) - 4(2d) + 2\pi(2d)\) (en décomposant). L'Eurocode donne \(u_1 = 2(c_1+c_2) + 4 \pi d\) pour un poteau rectangulaire intérieur. Pour un poteau carré \(c_1=c_2=c\), \(u_1 = 4c + 4 \pi d\).

Formule(s) utilisée(s) (Poteau carré intérieur) :
\[u_1 = 2(c_1 + c_2) + 4 \pi d = 4c + 4 \pi d\]

Avec \(c = c_1 = c_2\)

Données spécifiques :
  • Côté du poteau (\(c\)) : \(350 \, \text{mm}\)
  • Hauteur utile (\(d\)) : \(214 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} u_1 &= 4 \times 350 + 4 \times \pi \times 214 \\ &= 1400 + 856 \pi \\ &\approx 1400 + 2689.2 \\ &\approx 4089.2 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le périmètre de contrôle de base est \(u_1 \approx 4089 \, \text{mm}\).

Question 3 : Contrainte de Cisaillement Agissante (\(v_{Ed}\))

Principe :

La contrainte de cisaillement agissante est l'effort tranchant divisé par l'aire du périmètre de contrôle multipliée par la hauteur utile, affecté d'un coefficient \(\beta\) qui tient compte des effets d'excentricité de la charge (pour poteaux de rive, d'angle ou avec moments).

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_{Ed} = \beta \frac{V_{Ed}}{u_1 d}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(V_{Ed} = 600 \, \text{kN} = 600000 \, \text{N}\)
  • \(u_1 \approx 4089 \, \text{mm}\)
  • \(d = 214 \, \text{mm}\)
  • \(\beta = 1.15\) (poteau intérieur, charge centrée)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_{Ed} &= 1.15 \times \frac{600000 \, \text{N}}{4089 \, \text{mm} \times 214 \, \text{mm}} \\ &= 1.15 \times \frac{600000}{875046} \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 1.15 \times 0.6856 \\ &\approx 0.788 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La contrainte de cisaillement agissante est \(v_{Ed} \approx 0.788 \, \text{MPa}\).

Question 4 : Résistance au Cisaillement du Béton (\(v_{Rd,c}\))

Principe :

La résistance au cisaillement du béton sans armatures de poinçonnement dépend de la classe du béton, du pourcentage d'armatures de flexion et de la hauteur utile.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 2) :
\[v_{Rd,c} = C_{Rd,c} \cdot k \cdot (100 \cdot \rho_l \cdot f_{ck})^{1/3} + k_1 \cdot \sigma_{cp}\]

Avec \(C_{Rd,c} = 0.18/\gamma_c\).

\[k = 1 + \sqrt{\frac{200}{d}} \leq 2.0 \quad (d \text{ en mm})\]

\(\rho_l = \sqrt{\rho_{lx} \cdot \rho_{ly}} \leq 0.02\), où \(\rho_{lx}\) et \(\rho_{ly}\) sont les pourcentages d'armatures de flexion dans les directions x et y. On prendra \(\rho_l = 0.01\) (1%) comme donné.

\(k_1 = 0.1\).

\(\sigma_{cp} = ( \sigma_{cx} + \sigma_{cy} ) / 2\). Contrainte de compression normale dans le béton due à la précontrainte ou à l'effort normal. Ici, on suppose \(\sigma_{cp} = 0\) (pas d'effort normal agissant sur la dalle elle-même, ou négligé).

Valeur minimale : \(v_{Rd,c,min} = (0.035/\gamma_c) k^{3/2} f_{ck}^{1/2}\).

Données spécifiques :
  • \(\gamma_c = 1.5\)
  • \(d = 214 \, \text{mm}\)
  • \(\rho_l = 0.01\)
  • \(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_{cp} = 0 \, \text{MPa}\) (supposé)
Calcul :
\[ C_{Rd,c} = \frac{0.18}{1.5} = 0.12 \]
\[ \begin{aligned} k &= 1 + \sqrt{\frac{200}{214}} \\ &= 1 + \sqrt{0.9346} \\ &\approx 1 + 0.9668 \\ &\approx 1.967 \end{aligned} \]

Comme \(1.967 \leq 2.0\), on prend \(k = 1.967\).

\[ \begin{aligned} v_{Rd,c} &= 0.12 \times 1.967 \times (100 \times 0.01 \times 30)^{1/3} + 0 \\ &= 0.12 \times 1.967 \times (30)^{1/3} \\ &\approx 0.236 \times 3.107 \\ &\approx 0.733 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Calcul de \(v_{Rd,c,min}\) :

\[ \begin{aligned} v_{Rd,c,min} &= \frac{0.035}{1.5} \times (1.967)^{3/2} \times (30)^{1/2} \\ &\approx 0.0233 \times 2.753 \times 5.477 \\ &\approx 0.351 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

On prend \(v_{Rd,c} = \max(0.733, 0.351) = 0.733 \, \text{MPa}\).

Résultat Question 4 : La résistance au cisaillement du béton est \(v_{Rd,c} \approx 0.733 \, \text{MPa}\).

Question 5 : Vérification et Conclusion

Principe :

On compare la contrainte de cisaillement agissante (\(v_{Ed}\)) à la résistance au cisaillement du béton (\(v_{Rd,c}\)). Si \(v_{Ed} \leq v_{Rd,c}\), pas d'armatures de poinçonnement requises. Sinon, elles sont nécessaires.

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_{Ed} \leq v_{Rd,c}\]
Données spécifiques :
  • \(v_{Ed} \approx 0.788 \, \text{MPa}\)
  • \(v_{Rd,c} \approx 0.733 \, \text{MPa}\)
Comparaison :
\[0.788 \, \text{MPa} > 0.733 \, \text{MPa}\]

La condition \(v_{Ed} \leq v_{Rd,c}\) n'est PAS vérifiée.

Résultat Question 5 : Comme \(v_{Ed} > v_{Rd,c}\), des armatures de poinçonnement sont nécessaires. Il faudrait également vérifier que \(v_{Ed} \leq v_{Rd,max}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Qu'est-ce que le poinçonnement dans une dalle plate ?

2. Le périmètre de contrôle de base \(u_1\) est généralement situé à :

3. Si \(v_{Ed} > v_{Rd,c}\), cela signifie que :

Glossaire

Poinçonnement
Mode de rupture par cisaillement d'une dalle ou d'une fondation au voisinage d'une charge concentrée ou d'un appui ponctuel (poteau).
Dalle Plate
Dalle supportée directement par des poteaux, sans poutres intermédiaires.
Périmètre de Contrôle (\(u_1, u_i\))
Contour défini autour de la zone chargée (poteau) sur lequel la contrainte de cisaillement est vérifiée. Le périmètre de base \(u_1\) est situé à \(2d\) des faces du poteau.
Hauteur Utile (\(d\))
Distance entre la fibre la plus comprimée et le centre de gravité des armatures de flexion tendues. Pour le poinçonnement, on utilise souvent une hauteur utile moyenne \(d = (d_x+d_y)/2\).
Effort Tranchant de Calcul (\(V_{Ed}\))
Effort tranchant total agissant sur la dalle au droit du poteau, calculé à l'ELU.
Contrainte de Cisaillement Agissante (\(v_{Ed}\))
Contrainte de cisaillement calculée sur le périmètre de contrôle, due à \(V_{Ed}\).
Résistance au Cisaillement du Béton (\(v_{Rd,c}\))
Résistance au cisaillement de la dalle en béton sans armatures de poinçonnement spécifiques.
Coefficient \(\beta\)
Facteur qui tient compte des effets des moments transmis par le poteau à la dalle (ou de l'excentricité de la charge). Pour un poteau intérieur sans moment significatif, \(\beta\) est proche de 1.0 (ex: 1.15 selon EC2).
Armatures de Poinçonnement
Armatures spécifiques (étriers, cadres, goujons) ajoutées dans la dalle autour du poteau pour augmenter sa résistance au poinçonnement si \(v_{Ed} > v_{Rd,c}\).
Pourcentage d'Armatures Longitudinales (\(\rho_l\))
Rapport de la section des armatures de flexion à la section de béton utile, influençant la résistance au cisaillement \(v_{Rd,c}\).
Poinçonnement d’une dalle plate - Exercice d'Application

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