Poinçonnement d’une Dalle Plate en Béton Armé
Contexte : Qu'est-ce que le poinçonnement ?
Les dalles plates sont des planchers en béton armé qui reposent directement sur des poteaux, sans poutres intermédiaires. Cette solution est esthétique et rapide à construire, mais elle crée une zone de concentration d'efforts très élevée autour de chaque poteau. La charge de la dalle "pousse" vers le bas, et le poteau "pousse" vers le haut. Si la dalle n'est pas assez résistante, le poteau peut littéralement la percer, comme un poinçon traverserait une feuille de carton. Ce mode de rupture, appelé poinçonnementMode de rupture par cisaillement d'une dalle au voisinage d'une charge concentrée (appui ou poteau), formant un cône de rupture., est fragile et doit être évité à tout prix.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers la vérification au poinçonnement d'une dalle plate au droit d'un poteau intérieur, conformément à l'Eurocode 2. Nous allons calculer la contrainte de cisaillement agissante et la comparer à la résistance du béton pour déterminer si des armatures de poinçonnement sont nécessaires.
Objectifs Pédagogiques
- Déterminer l'effort tranchant de calcul agissant sur la dalle.
- Calculer la hauteur utile moyenne de la dalle.
- Définir et calculer le périmètre de contrôle critique pour le poinçonnement.
- Calculer la contrainte de cisaillement de calcul (\(v_{Ed}\)).
- Calculer la résistance au cisaillement par poinçonnement du béton (\(v_{Rd,c}\)).
- Conclure sur la sécurité de la dalle et la nécessité d'armatures spécifiques.
Données de l'étude
Schéma de la dalle et du périmètre de contrôle
- Dalle :
- Épaisseur totale : \(h = 250 \, \text{mm}\)
- Enrobage des aciers : \(c = 30 \, \text{mm}\)
- Diamètre moyen des aciers de flexion (2 nappes) : \(\phi = 12 \, \text{mm}\)
- Poteau intérieur : section carrée \(300 \, \text{mm} \times 300 \, \text{mm}\)
- Béton : Classe C30/37 (\(f_{\text{ck}} = 30 \, \text{MPa}\))
- Acier : nuance S500 B (\(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\))
- Charges à l'État Limite Ultime (ELU) sur la dalle :
- Charge totale (permanente + exploitation) : \(p_{Ed} = 15.0 \, \text{kN/m}^2\)
- Distance entre les poteaux (portées) : \(L_x = 7.0 \, \text{m}\), \(L_y = 6.0 \, \text{m}\)
Questions à traiter
- Calculer l'effort tranchant de calcul \(V_{Ed}\) transmis par la dalle au poteau.
- Déterminer le périmètre de contrôle critique \(u_1\).
- Calculer la contrainte de cisaillement de calcul \(v_{Ed}\).
- Calculer la résistance au poinçonnement du béton \(v_{Rd,c}\) et conclure.
Correction : Poinçonnement d’une Dalle Plate en Béton Armé
Question 1 : Calculer l'effort tranchant de calcul \(V_{Ed}\)
Principe avec image animée (le concept physique)
L'effort tranchant \(V_{Ed}\) est la force totale que la dalle transmet au poteau. Pour un poteau intérieur d'une trame régulière, on peut considérer qu'il reprend la charge appliquée sur une surface d'influence. Cette surface correspond à la moitié de la distance à chaque poteau voisin. L'effort est donc simplement cette surface multipliée par la charge surfacique de calcul \(p_{Ed}\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Cette méthode de calcul de l'effort par surface d'influence est une simplification courante pour les structures régulières. Pour des géométries complexes ou des chargements non uniformes, l'effort tranchant à l'appui serait déterminé par une analyse plus poussée, par exemple par la méthode des éléments finis. L'Eurocode 2 introduit un coefficient \(\beta\) pour tenir compte des effets des moments non équilibrés, mais pour un poteau intérieur centré, on peut souvent le considérer comme étant proche de 1.0.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Le poinçonnement est un phénomène local. L'effort \(V_{Ed}\) que nous calculons est l'action qui déclenche ce phénomène. C'est la première étape cruciale de la vérification.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), section 6.4, traite du poinçonnement. Le calcul de l'effort tranchant \(V_{Ed}\) est basé sur les principes de la statique et des descentes de charges.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le poteau est en position centrale et que les charges sont uniformément réparties. On néglige l'effet des moments non équilibrés (\(\beta = 1.0\)).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Surface d'influence du poteau :
Effort tranchant de calcul :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Portée \(L_x = 7.0 \, \text{m}\)
- Portée \(L_y = 6.0 \, \text{m}\)
- Charge de calcul \(p_{Ed} = 15.0 \, \text{kN/m}^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la surface d'influence :
Calcul de l'effort tranchant :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le poteau doit supporter une charge ultime de 630 kN (environ 63 tonnes). C'est cet effort concentré qui risque de percer la dalle. Toutes les vérifications suivantes se baseront sur cette valeur.
Point à retenir : L'effort de poinçonnement est la charge totale à l'ELU reprise par le poteau.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
La quantification de l'action (\(V_{Ed}\)) est la première étape de toute vérification de résistance. Sans elle, on ne peut pas la comparer à la capacité de résistance de la structure.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Utiliser les charges de service (ELS) : Le poinçonnement est une vérification à l'état limite ultime (rupture). Il faut impérativement utiliser les charges pondérées (\(p_{Ed}\)) et non les charges de service.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Quel serait \(V_{Ed}\) (en kN) si les portées étaient de 8.0 m x 7.0 m ?
Question 2 : Déterminer le périmètre de contrôle critique \(u_1\)
Principe avec image animée (le concept physique)
La rupture par poinçonnement ne se produit pas exactement au nu du poteau, mais sur une surface de rupture en forme de cône tronqué. L'Eurocode 2 simplifie cette surface en définissant un "périmètre de contrôle" critique, noté \(u_1\), situé à une distance de \(2d\) des faces du poteau, où \(d\) est la hauteur utile de la dalle. C'est sur ce périmètre que la contrainte de cisaillement sera vérifiée.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La hauteur utile \(d\) est la distance entre la fibre la plus comprimée (le dessus de la dalle) et le centre de gravité des aciers tendus. Comme une dalle a deux nappes d'armatures (une par direction), on utilise une hauteur utile moyenne \(d = (d_x + d_y)/2\). Le périmètre \(u_1\) est arrondi aux angles par des quarts de cercle de rayon \(2d\), ce qui donne un périmètre total équivalent à celui d'un carré aux angles vifs plus la circonférence d'un cercle de rayon \(2d\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Le calcul de la hauteur utile \(d\) est une étape intermédiaire mais fondamentale. Une erreur sur \(d\) affecte directement la taille du périmètre de contrôle et donc la contrainte calculée. Soyez méticuleux sur ce calcul.
Normes (la référence réglementaire)
La définition du périmètre de contrôle de base \(u_1\) est donnée dans l'Eurocode 2, section 6.4.2. La distance de \(2d\) est une valeur empirique validée par de très nombreux essais.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les deux nappes d'armatures ont le même diamètre et sont positionnées l'une sur l'autre. Le calcul de \(d\) se base sur cette disposition.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hauteur utile moyenne :
Périmètre de contrôle pour un poteau rectangulaire :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Épaisseur dalle \(h = 250 \, \text{mm}\)
- Enrobage \(c = 30 \, \text{mm}\)
- Diamètre aciers \(\phi = 12 \, \text{mm}\)
- Dimensions poteau \(c_1 = c_2 = 300 \, \text{mm}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la hauteur utile moyenne :
Calcul du périmètre de contrôle :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le périmètre sur lequel l'effort tranchant va se répartir est de 3.81 mètres. On voit que ce périmètre dépend fortement de la hauteur utile \(d\). Une dalle plus épaisse offrira un périmètre de contrôle plus grand et sera donc plus résistante au poinçonnement.
Point à retenir : Le périmètre de contrôle critique \(u_1\) est situé à une distance de \(2d\) des faces du poteau.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
La contrainte de cisaillement est définie comme un effort divisé par une surface. Cette étape calcule la longueur de cette surface de cisaillement (\(u_1\)), qui sera ensuite multipliée par la hauteur utile \(d\) pour obtenir l'aire cisaillée.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Erreur sur la formule du périmètre : La formule \(u_1 = 2(c_1+c_2) + 4\pi d\) est spécifique à un poteau rectangulaire intérieur. Pour un poteau de rive, de coin, ou circulaire, la formule est différente. Il faut toujours se référer aux schémas de l'Eurocode 2.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Quel serait le périmètre \(u_1\) (en mm) si la dalle avait une épaisseur de 300 mm ?
Question 3 : Calculer la contrainte de cisaillement de calcul \(v_{Ed}\)
Principe avec image animée (le concept physique)
La contrainte de cisaillement agissante, \(v_{Ed}\), est simplement l'effort tranchant total, \(V_{Ed}\), réparti sur l'aire de la surface de contrôle critique. Cette aire est égale à la longueur du périmètre critique \(u_1\) multipliée par la hauteur utile de la dalle \(d\). Cette valeur représente la "pression" de cisaillement que le béton doit être capable de supporter.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La contrainte de cisaillement est exprimée en Mégapascals (MPa), soit des N/mm². Il est donc primordial de s'assurer que toutes les unités sont cohérentes avant d'effectuer le calcul final. L'effort \(V_{Ed}\) doit être en Newtons (N), et les dimensions \(u_1\) et \(d\) en millimètres (mm).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Cette étape est une simple application de la définition d'une contrainte : une force divisée par une surface. La difficulté des étapes précédentes était de définir correctement la force (\(V_{Ed}\)) et la surface (\(u_1 \cdot d\)) à prendre en compte.
Normes (la référence réglementaire)
La formule de calcul de la contrainte de cisaillement \(v_{Ed}\) est donnée dans l'Eurocode 2, section 6.4.3 (2), formule (6.38).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On continue de supposer un effort tranchant non majoré par les moments (\(\beta = 1.0\)). Si ce n'était pas le cas, la formule serait \(v_{Ed} = \beta \frac{V_{Ed}}{u_1 d}\).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Contrainte de cisaillement de calcul :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Effort tranchant \(V_{Ed} = 630 \, \text{kN} = 630000 \, \text{N}\)
- Périmètre critique \(u_1 = 3814 \, \text{mm}\)
- Hauteur utile \(d = 208 \, \text{mm}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la contrainte de cisaillement :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte de cisaillement que le béton doit supporter sur le périmètre critique est de 0.794 MPa. Cette valeur, en elle-même, ne signifie rien. Tout l'enjeu de la prochaine étape sera de la comparer à la résistance intrinsèque du béton au cisaillement.
Point à retenir : La contrainte de cisaillement agissante est l'effort tranchant divisé par l'aire du périmètre critique (\(u_1 \cdot d\)).
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Il est nécessaire de transformer l'effort global \(V_{Ed}\) en une contrainte locale \(v_{Ed}\) pour pouvoir la comparer à la résistance du matériau, qui est elle-même exprimée en contrainte (MPa).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Incohérence des unités : C'est l'erreur la plus fréquente. Si \(V_{Ed}\) est en kN et les dimensions en mm, le résultat sera en GPa, ce qui est absurde. Convertissez toujours \(V_{Ed}\) en N pour obtenir des MPa.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Quelle serait la contrainte \(v_{Ed}\) (en MPa) si l'effort \(V_{Ed}\) était de 800 kN ?
Question 4 : Calculer la résistance au poinçonnement \(v_{Rd,c}\) et conclure
Principe avec image animée (le concept physique)
C'est l'étape de la vérification finale. On compare la contrainte agissante (\(v_{Ed}\)) à la contrainte que le béton seul, sans armatures de poinçonnement, est capable de supporter (\(v_{Rd,c}\)). La formule de \(v_{Rd,c}\) donnée par l'Eurocode est empirique et dépend de la résistance du béton (\(f_{ck}\)), de la hauteur utile (\(d\)) et du pourcentage d'armatures de flexion (\(\rho_l\)). Si \(v_{Ed} \le v_{Rd,c}\), la dalle est sûre. Sinon, il faut obligatoirement ajouter des armatures de poinçonnement.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La résistance au cisaillement du béton est un phénomène complexe. La formule de l'Eurocode inclut un terme \(k = 1 + \sqrt{200/d}\) qui montre que les dalles plus minces sont proportionnellement plus résistantes au poinçonnement (effet d'échelle). Elle inclut aussi le terme \(\rho_l\), le taux d'armatures de flexion, car ces aciers, en traversant les fissures potentielles, contribuent à la résistance au cisaillement (effet de "couture").
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Le pourcentage d'armatures \(\rho_l\) est plafonné à 2% dans cette formule. Même si vous avez plus d'aciers de flexion, cela n'augmentera plus la résistance au poinçonnement au-delà de cette limite. C'est pour éviter de compter sur un effet de couture excessif qui pourrait ne pas se mobiliser dans une rupture fragile.
Normes (la référence réglementaire)
La formule de calcul de la résistance au poinçonnement \(v_{Rd,c}\) est donnée dans l'Eurocode 2, section 6.4.4 (1), formule (6.47).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose un taux d'armatures de flexion moyen de \(\rho_l = 1.0\%\) dans les deux directions, ce qui est une valeur typique pour une dalle plate. Dans un cas réel, on utiliserait la valeur précise issue du calcul de flexion.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Résistance au poinçonnement :
Facteur d'échelle :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(d = 208 \, \text{mm}\)
- \(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\)
- \(\rho_l = 0.01\) (hypothèse de 1.0%)
- \(C_{Rd,c} = 0.18 / \gamma_c = 0.18 / 1.5 = 0.12\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul du facteur d'échelle k :
Calcul de la résistance :
Comparaison et conclusion :
La contrainte agissante est supérieure à la résistance du béton seul. La condition n'est pas vérifiée.
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le béton seul ne peut pas résister à l'effort de poinçonnement. La différence est faible (environ 8%), mais la sécurité n'est pas assurée. Il est donc impératif de prévoir des armatures de poinçonnement (étriers, goujons, etc.) pour reprendre l'excédent d'effort et garantir la stabilité de la dalle.
Point à retenir : La sécurité est assurée si la contrainte agissante est inférieure ou égale à la résistance (\(v_{Ed} \le v_{Rd,c}\)).
Justifications (le pourquoi de cette étape)
C'est l'étape de vérification ultime qui permet de juger de la sécurité de la conception. Le résultat de cette comparaison a des conséquences directes sur le plan de ferraillage et la complexité de la construction.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Oublier le facteur k ou le plafonnement à 2.0 : Le facteur d'échelle \(k\) est un élément important de la formule. L'omettre ou oublier de le plafonner à 2.0 pour les dalles très minces peut conduire à une estimation incorrecte de la résistance.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : La condition serait-elle vérifiée si on utilisait un béton C40/50 (\(f_{ck} = 40 \, \text{MPa}\)) ?
Mini Fiche Mémo : Vérification au Poinçonnement
| Étape | Formule Clé & Objectif |
|---|---|
| 1. Effort Tranchant | \( V_{Ed} = p_{Ed} \times L_x \times L_y \) Calculer la charge totale ultime reprise par le poteau. |
| 2. Périmètre Critique | \( u_1 = 2(c_1+c_2) + 4\pi d \) Définir la surface de rupture potentielle à 2d du poteau. |
| 3. Contrainte Agissante | \( v_{Ed} = V_{Ed} / (u_1 d) \) Calculer la contrainte de cisaillement sur le périmètre critique. |
| 4. Contrainte Résistante | \( v_{Rd,c} = C_{Rd,c} k (100 \rho_l f_{ck})^{1/3} \) Calculer la résistance du béton et comparer : \(v_{Ed} \le v_{Rd,c}\). |
Outil Interactif : Optimisation contre le Poinçonnement
Modifiez l'épaisseur de la dalle et la taille du poteau pour voir comment ces paramètres influencent la sécurité au poinçonnement.
Paramètres
Résultats
Le Saviez-Vous ?
L'effondrement du supermarché Sampoong en Corée du Sud en 1995, qui a fait plus de 500 morts, est en partie dû à une modification de la structure où des poteaux ont été sous-dimensionnés, menant à une rupture progressive par poinçonnement des dalles.
Doit-on combiner la charge de neige avec la charge de vent ?
Oui, les Eurocodes prévoient des combinaisons d'actions. On doit vérifier la structure pour la neige seule, le vent seul, mais aussi pour des combinaisons où une action est dominante (multipliée par son coefficient de sécurité \(\gamma_Q\)) et l'autre est d'accompagnement (multipliée par un facteur de combinaison \(\psi_0 < 1\)).
Comment l'altitude influence-t-elle la charge de neige au sol \(s_k\)?
Les cartes de neige des Eurocodes sont données pour une altitude de référence (souvent 200 m). Des formules sont fournies dans les annexes nationales pour augmenter la valeur de \(s_k\) en fonction de l'altitude du site, car l'enneigement augmente avec l'altitude.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on augmente l'épaisseur de la dalle, la contrainte agissante \(v_{Ed}\) va :
2. Le poinçonnement est une rupture de type :
- Poinçonnement
- Mode de rupture par cisaillement d'une dalle au voisinage d'une charge concentrée (appui ou poteau), formant un cône de rupture.
- Dalle Plate
- Plancher en béton armé sans poutres, qui porte directement sur les poteaux.
- Hauteur Utile (d)
- Distance entre la fibre la plus comprimée d'une section en béton et le centre de gravité des armatures tendues.
- Périmètre de Contrôle (\(u_1\))
- Périmètre théorique situé à une distance de 2d des faces d'un appui, sur lequel la vérification au poinçonnement est effectuée.
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