Poinçonnement d’une dalle plate en béton armé
📝 Situation du Projet
Le projet "Tour Quartz" concerne la construction d'un immeuble de bureaux de haut standing en R+5 (Rez-de-chaussée + 5 étages), situé dans le quartier d'affaires de Lyon Part-Dieu. La structure porteuse horizontale a été conçue en dalles plates pleines en béton armé (système plancher-champignon sans chapiteau), reposant directement sur un réseau de poteaux carrés, sans aucune retombée de poutre intermédiaire. Ce choix architectural et technique répond à une double exigence : maximiser la hauteur libre sous plafond pour le passage des réseaux (CVC, électricité) et offrir une flexibilité totale d'aménagement des plateaux de bureaux (open-space modulaire).
Cependant, cette conception rend la jonction poteau-dalle particulièrement critique vis-à-vis du phénomène de poinçonnement, un mode de rupture fragile et brutal où le poteau traverse littéralement la dalle sous l'effet des charges concentrées.
Dans le cadre des études d'exécution (Phase EXE), vous êtes mandaté pour valider le dimensionnement du plancher haut du Rez-de-Chaussée (PH RDC), qui reprend les charges les plus importantes. Votre objectif spécifique est de vérifier la sécurité au poinçonnement de la dalle au droit du poteau central P5, identifié comme le plus sollicité de la structure. Vous devez appliquer rigoureusement les critères de l'Eurocode 2 pour déterminer si l'épaisseur de béton prévue (25 cm) est suffisante ou si des armatures spécifiques d'effort tranchant (épingles, rails à goujons) doivent être commandées et mises en œuvre sur le chantier.
- Localisation
12 Boulevard Vivier Merle, 69003 Lyon (Zone Sismique 2, Vent Zone 2) - Maître d'Ouvrage
SCI Quartz Immobilier - Lot Concerné
Lot 02 : Gros Œuvre - Structure Béton - Bureau de Contrôle
SOCOTEC (Mission L + S) - Date de Livraison
Prévisionnel T4 2025
"Attention, l'épaisseur de dalle de 25cm est un compromis architectural serré pour une trame de 6x6m. L'élancement (L/h = 24) est correct pour la flexion, mais le poinçonnement est souvent le facteur dimensionnant sur ce type de projet. Soyez extrêmement vigilant sur le calcul du périmètre critique u1 et n'oubliez pas de vérifier la contrainte maximale d'écrasement des bielles au nu du poteau. Une rupture par poinçonnement ne prévient pas !"
L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif, matériel et géométrique du projet. Ces données sont extraites des pièces écrites du marché (CCTP) et des plans de coffrage validés par l'architecte. Elles doivent être utilisées telles quelles pour la note de calculs.
📚 Référentiel Normatif Applicable
Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1) : Calcul des structures en bétonAnnexe Nationale France (NF EN 1992-1-1/NA)[Art. 2.3] SPÉCIFICATIONS BÉTONS
Les bétons pour planchers seront de classe de résistance C30/37 conformément à la NF EN 206/CN.
- Ciment : CEM II/A-LL 42.5 N.
- Rapport E/C max : 0.60.
- Granulats : Dmax = 20mm (Calcaire concassé).
[Art. 2.4] ARMATURES PASSIVES
Aciers à Haute Adhérence (HA) de classe de ductilité B.
- Nuance : B500B (Limite élastique fyk = 500 MPa).
- Enrobage nominal des aciers : c_nom = 30 mm (Classe d'exposition XC1 - Intérieur sec).
[Art. 3.1] PLANCHERS DALLES
Dalle pleine en béton armé coulé en place, épaisseur finie h = 25 cm.
Poteaux carrés en béton armé, section 40 x 40 cm, finition brut de décoffrage soigné.
| BÉTON (C30/37) | |
| Résistance caract. cylindrique (fck) | 30 MPa |
| Coefficient de sécurité partiel (\(\gamma_c\)) | 1.50 (Situation durable) |
| Résistance de calcul en compression (fcd) | 20 MPa (\(f_{ck} / \gamma_c\)) |
| Résistance moyenne en traction (fctm) | 2.9 MPa |
| ACIER (B500B) | |
| Limite d'élasticité caractéristique (fyk) | 500 MPa |
| Coefficient de sécurité partiel (\(\gamma_s\)) | 1.15 |
| Module de Young (Es) | 200 000 MPa |
📐 Géométrie Détaillée & Ratio d'Armatures
- Épaisseur de la dalle (h) : 250 mm. C'est l'épaisseur brute du béton coulé.
- Hauteur utile moyenne (d) : 210 mm. Calculée comme \(h - c_{nom} - \phi_{moyenne}/2\). C'est le bras de levier effectif pour la résistance mécanique.
- Section du poteau : 400 x 400 mm. Poteau carré en béton armé.
- Taux d'armatures (\(\rho_l\)) : 0.008. Soit 0.80%. Ce taux correspond à la moyenne géométrique des ratios d'acier dans les directions X et Y (\(\sqrt{\rho_{lx} \cdot \rho_{ly}}\)) sur une largeur de dalle égale à la largeur du poteau plus \(3d\) de chaque côté. C'est ce ferraillage qui assure l'effet de "couture" des fissures.
⚖️ Descente de Charges Surfaciques (G+Q)
Les charges sont données par mètre carré de plancher. La combinaison d'actions pour l'État Limite Ultime (ELU) sera : \(1.35 G + 1.5 Q\).
- Poids propre dalle (0.25m x 25 kN/m³) : 6.25 kN/m²
- Revêtement sol + Faux-plafond + Cloisons lourdes : 1.25 kN/m² 7.5 kN/m²
- Bureaux paysagers (Cat. B) : 2.5 kN/m²
- Majoration cloisons mobiles : 0.5 kN/m² 3.0 kN/m²
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur utile | d | 0.21 | m |
| Surface Chargée (Tributaire) | A_load | 36.0 | m² |
| Coeff. Excentricité (Poteau central) | \(\beta\) | 1.15 | - |
E. Protocole de Résolution
Voici la méthodologie séquentielle recommandée pour mener à bien cette vérification selon l'EC2.
Géométrie de Contrôle
Calculer le périmètre de contrôle de référence \(u_1\) situé à une distance \(2d\) du nu du poteau.
Sollicitation (ELU)
Déterminer l'effort tranchant de calcul \(V_{\text{Ed}}\) et la contrainte de cisaillement agissante \(v_{\text{Ed}}\) sur le périmètre critique.
Résistance Béton
Calculer la capacité résistante du béton sans armatures d'effort tranchant \(v_{\text{Rd},c}\) et comparer avec \(v_{\text{Ed}}\).
Vérification Max
Vérifier la résistance des bielles de compression au nu du poteau (\(v_{\text{Rd},\text{max}}\)).
Poinçonnement d’une dalle plate en béton armé
🎯 Objectif
L'objectif de cette étape est de définir géométriquement la surface de béton qui va résister au cisaillement. Dans une dalle plate, la rupture ne se produit pas verticalement le long des parois du poteau, mais selon un cône (ou une pyramide) incliné. L'Eurocode 2 simplifie ce phénomène en demandant de vérifier la contrainte de cisaillement sur un périmètre de référence, noté \(u_1\), situé à une distance précise du nu du poteau. Calculer correctement ce périmètre est crucial car il est directement proportionnel à la résistance de la connexion dalle-poteau.
📚 Référentiel
EC2 Art. 6.4.2 "Périmètre de contrôle de référence"Pourquoi s'éloigner du poteau ? Lorsque le poteau poinçonne la dalle, des fissures diagonales se forment, partant du bas de la dalle (près du poteau) et remontant vers le haut de la dalle en s'éloignant. L'Eurocode considère que la fissure critique se développe avec un angle tel que sa projection horizontale correspond à \(2d\) (soit environ 26.5° par rapport à l'horizontale si on considère la hauteur utile). Plus la hauteur utile \(d\) (distance de la fibre comprimée aux aciers tendus) est grande, plus le cône de rupture est large, et plus le périmètre résistant \(u_1\) est grand. C'est pour cela que l'épaisseur de la dalle est le paramètre le plus influent sur la résistance au poinçonnement.
Le périmètre de contrôle de référence \(u_1\) est défini comme un périmètre situé à une distance \(2d\) de la périphérie de l'aire chargée (le poteau). Il doit être construit de manière à minimiser sa longueur (principe du chemin de moindre résistance). Pour un poteau rectangulaire, ce périmètre est composé de segments droits parallèles aux faces du poteau et de quarts de cercle dans les angles, assurant une transition douce et continue des contraintes.
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur | Justification |
|---|---|---|
| Côté Poteau (c1=c2) | 0.40 m | Donnée architecturale et structurelle (40x40 cm). |
| Hauteur utile (d) | 0.21 m | Épaisseur totale (25cm) - Enrobage (3cm) - Demi-diamètre armature (~1cm). |
Pour vérifier rapidement votre résultat : le périmètre \(u_1\) est égal au périmètre du poteau (\(2 \times (c_1 + c_2)\)) PLUS environ \(12.5\) fois la hauteur utile \(d\) (car \(4\pi \approx 12.57\)). Si \(d = 20\text{ cm}\), on ajoute environ 2.5m au périmètre du poteau.
Étape 2 : Application Numérique Détaillée
Nous procédons au calcul en remplaçant les valeurs littérales par les données du projet. On décompose le périmètre rectiligne (faces du poteau) et le périmètre circulaire (angles).
1. Partie Rectiligne (Poteau)On commence par la longueur des faces droites du poteau. Comme le périmètre critique est parallèle aux faces, cette longueur est identique au périmètre du poteau lui-même.
Ensuite, on détermine le rayon des angles arrondis du périmètre de contrôle. Selon l'Eurocode 2, ce rayon est toujours égal à deux fois la hauteur utile.
Les 4 quarts de cercle aux angles forment un cercle complet. On calcule donc la circonférence d'un cercle de rayon \(R\).
Le périmètre de contrôle total est la somme de la partie rectiligne et de la partie circulaire.
Interprétation : Le périmètre de contrôle de 4.24 m est nettement plus grand que le périmètre du poteau seul (1.60 m). Cela montre comment la charge se diffuse dans la dalle : plus on s'éloigne du poteau, plus la surface de béton disponible pour résister est grande.
Le résultat obtenu (4.24 m) est cohérent. Il est mathématiquement impossible que \(u_1\) soit inférieur au périmètre du poteau (1.60 m). De plus, avec \(d=0.21\) m, l'augmentation due aux angles est significative (+165% par rapport au périmètre du poteau), ce qui est typique pour les dalles assez épaisses par rapport aux dimensions du poteau.
Attention à la position du poteau ! Si le poteau était en bord de dalle (rive) ou dans un angle, le périmètre ne serait pas complet (on ne peut pas compter la partie "dans le vide"). De même, si une trémie (ouverture pour gaine technique) se trouve à moins de \(6d\) du poteau, la partie du périmètre de contrôle comprise dans "l'ombre" de cette ouverture doit être déduite du calcul (zone inefficace).
❓ Question Fréquente
Pourquoi utilise-t-on la hauteur utile \(d\) et non l'épaisseur totale \(h\) ? En béton armé, la résistance est assurée par la partie comprimée du béton et les aciers tendus. La zone de béton tendu sous la fibre neutre est considérée fissurée et ne participe pas (ou peu) à la résistance. La hauteur utile \(d\) représente le bras de levier interne réel de la section, c'est donc la dimension mécanique pertinente.
🎯 Objectif
Cette étape vise à quantifier l'effort "agressant" la connexion dalle-poteau. Nous devons d'abord calculer la charge totale verticale (\(V_{\text{Ed}}\)) à l'État Limite Ultime (ELU) qui transite par le poteau. Ensuite, il faut transformer cette force (en Newton ou MégaNewton) en une contrainte de cisaillement (en MPa ou N/mm²) répartie sur le périmètre de contrôle calculé précédemment. C'est cette contrainte, notée \(v_{\text{Ed}}\), qui sera comparée à la résistance du matériau.
📚 Référentiel
EC2 Art. 6.4.3 "Sollicitation de poinçonnement"Dans un calcul idéal, la charge est parfaitement centrée. Dans la réalité, le chargement est asymétrique (charges d'exploitation variables, portées inégales), ce qui crée un moment de flexion en tête de poteau. Ce moment déséquilibre la répartition des contraintes de cisaillement autour du poteau : un côté sera beaucoup plus sollicité que l'autre. Pour simplifier, l'Eurocode permet d'utiliser un coefficient majorateur \(\beta\) qui "transforme" cet effet de moment en une augmentation fictive de l'effort tranchant vertical. Pour un poteau intérieur standard, on majore généralement la charge de 15% (\(\beta=1.15\)).
La contrainte de cisaillement \(\tau\) (ou \(v\)) est définie physiquement comme une Force divisée par une Surface (\(F/S\)).
Ici, la Force est la réaction d'appui du poteau (\(V_{\text{Ed}}\)).
La Surface est la surface latérale du cylindre de contrôle : Périmètre (\(u_1\)) \(\times\) Hauteur utile (\(d\)).
Donc \(v = V_{\text{Ed}} / (u_1 \cdot d)\).
1. Calcul de l'effort tranchant total (Charge ELU \(\times\) Surface) :
2. Calcul de la contrainte de poinçonnement avec majoration :
Avec \(\beta = 1.15\) (valeur forfaitaire recommandée pour poteaux intérieurs avec stabilité latérale assurée).
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur | Description |
|---|---|---|
| G (Charge Perm.) | 7.5 kN/m² | Poids propre dalle + revêtement + cloisons. |
| Q (Charge Expl.) | 3.0 kN/m² | Bureaux (Catégorie B). |
| Surface Chargée | 36.0 m² | Aire tributaire du poteau (6m \(\times\) 6m). |
Le piège classique est l'erreur de puissance de 10.
- Les charges sont en kN.
- Les dimensions en m.
- La contrainte finale est en MPa (soit MN/m²).
Conseil : Convertissez la force totale \(V_{\text{Ed}}\) en MégaNewtons (MN) avant de diviser par des mètres carrés (m²). 1 MN = 1000 kN. Ainsi : MN / m² = MPa directement.
Étape 2 : Calculs Détaillés
La démarche se fait en cascade : Charge au m² -> Charge Totale -> Contrainte.
1. Calcul de la charge surfacique ELUOn calcule d'abord la charge surfacique totale pondérée à l'État Limite Ultime (ELU). On applique les coefficients de sécurité partiels : 1.35 pour les charges permanentes et 1.5 pour les charges d'exploitation.
On détermine l'effort tranchant total en multipliant la charge surfacique par l'aire d'influence du poteau (\(36.0 \text{ m}^2\)).
L'effort total est de \(526.5 \text{ kN}\). Pour le calcul de contrainte en MPa (N/mm²), il est plus pratique de convertir cette force en MégaNewtons (MN) : \(V_{\text{Ed}} = 0.5265 \, \text{MN}\).
3. Calcul de la Contrainte \(v_{\text{Ed}}\)Enfin, on calcule la contrainte de cisaillement de calcul. On divise l'effort majoré par le coefficient \(\beta\) par la surface latérale de cisaillement (\(u_1 \times d\)).
C'est la valeur de la "demande" structurelle. Le béton doit être capable de résister à une contrainte de cisaillement de 0.681 MPa.
Pour une dalle de bâtiment courant, les contraintes de cisaillement tournent souvent autour de 0.5 à 1.0 MPa.
- Si vous trouviez 0.05 MPa : c'est trop faible (erreur probable sur la force).
- Si vous trouviez 15 MPa : c'est énorme (erreur probable d'unité, peut-être kN au lieu de MN).
Ici, 0.681 MPa est une valeur tout à fait standard et réaliste.
Le choix du coefficient \(\beta\) est capital. Ici nous avons pris 1.15 car c'est un poteau central.
Attention : Pour un poteau de rive (bord), le déséquilibre est plus fort, on prend souvent \(\beta = 1.4\). Pour un poteau d'angle, c'est pire, \(\beta = 1.5\). Sous-estimer \(\beta\) revient à sous-estimer dangereusement la contrainte réelle.
❓ Question Fréquente
Pourquoi retrancher le poids de la dalle dans certaines méthodes ? L'Eurocode permet parfois de réduire \(V_{\text{Ed}}\) de la charge présente à l'intérieur du périmètre critique (car elle "tombe" directement dans le poteau sans cisailler la dalle). Ici, par sécurité et simplicité (méthode standard), nous avons considéré la charge totale sur toute la surface de 36m².
🎯 Objectif
Cette étape est le cœur du problème : déterminer la capacité maximale du béton armé à résister au cisaillement sans ajouter d'armatures spécifiques (comme des étriers ou des rails). Si la résistance calculée ici (\(v_{\text{Rd},c}\)) est supérieure à la contrainte agissante (\(v_{\text{Ed}}\)), alors la dalle est validée telle quelle. Sinon, le béton "craque" et il faudra le renforcer.
📚 Référentiel
EC2 Art. 6.4.4(1) "Résistance au poinçonnement sans armatures"La résistance dépend de la qualité du béton (\(f_{\text{ck}}\)), de l'effet d'échelle (\(k\)) et du ratio d'armatures longitudinales (\(\rho_l\)) qui agissent comme des "coutures" et augmentent la résistance au cisaillement par effet goujon.
La résistance au cisaillement sans armature d'effort tranchant est empirique. Elle augmente avec la racine cubique du taux de ferraillage et de la résistance du béton.
Capacité résistante de calcul :
Avec les paramètres suivants :
- \(C_{\text{Rd},c} = 0.18 / \gamma_c = 0.12\) (coefficient calibré).
- \(k = 1 + \sqrt{200/d} \le 2.0\) (effet d'échelle, d en mm).
- \(\rho_l = \sqrt{\rho_{lx} \cdot \rho_{ly}} \le 0.02\) (taux moyen d'armatures).
Étape 1 : Hypothèses & Données
| Paramètre | Valeur | Description |
|---|---|---|
| d (Hauteur utile) | 210 mm | Attention, utiliser des millimètres pour le calcul de k. |
| fck (Béton) | 30 MPa | Classe C30/37. |
| rho_l (Acier) | 0.008 | Soit 0.8% d'acier (ex: HA12 tous les 15cm environ). |
Le ratio \(\rho_l\) doit être calculé sur une largeur de dalle égale à la dimension du poteau plus \(3d\) de chaque côté. Ne prenez pas le ferraillage global de la nappe si celui-ci est renforcé localement sur le poteau : c'est le ferraillage local qui compte !
Étape 2 : Calculs Détaillés
Le calcul se fait en trois sous-étapes pour éviter les erreurs.
1. Calcul du coefficient d'échelle kCe facteur booste la résistance des dalles minces. d doit être en mm.
Vérification : \(1.976 \le 2.0\). OK, on garde cette valeur.
2. Calcul du terme de résistanceC'est le terme sous la racine cubique. On multiplie d'abord les trois facteurs.
Puis on prend la racine cubique.
On assemble tous les termes pour obtenir la résistance finale. On multiplie le coefficient \(C_{Rd,c}\) (0.12), le facteur d'échelle \(k\), et la racine cubique calculée précédemment.
Par sécurité, on doit toujours vérifier que cette résistance calculée n'est pas inférieure à une valeur seuil minimale \(v_{\text{min}}\), qui dépend uniquement de la résistance du béton et de l'épaisseur.
Notre valeur (0.684) est supérieure au minimum (0.53), donc c'est bon.
Le résultat est extrêmement serré : 0.684 MPa de capacité pour 0.681 MPa de demande. La marge de sécurité est quasi nulle (< 1%).
Dans un contexte réel de bureau d'études, une telle proximité conduirait quasi-systématiquement à une mesure de précaution : soit augmenter légèrement le ratio d'acier \(\rho_l\) pour gagner en résistance, soit prescrire quelques rails de poinçonnement pour dormir tranquille, car la moindre erreur de mise en œuvre (ex: épaisseur de dalle réelle de 24cm au lieu de 25cm) rendrait la structure non conforme.
- Ne jamais dépasser \(\rho_l = 0.02\) (2%) dans la formule, même si vous mettez plus d'acier. L'Eurocode sature l'effet bénéfique de l'acier à 2% pour rester sécuritaire.
- Assurez-vous que les aciers pris en compte dans \(\rho_l\) sont bien ancrés au-delà du cône de rupture.
❓ Question Fréquente
Et si vEd > vRdc ? C'est le cas le plus fréquent. Alors, le béton seul ne suffit pas. Il faut disposer des armatures transversales (étriers verticaux ou goujons) dans la zone critique pour "coudre" la fissure. On calcule alors \(v_{\text{Rd},cs}\).
🎯 Objectif
Même si la dalle résiste au cisaillement à distance (\(2d\)), il existe un autre mode de ruine plus brutal : l'écrasement local du béton par compression oblique pure, juste à la jonction entre le poteau et la dalle. C'est comme essayer d'enfoncer un stylo dans une gomme : avant de déchirer la gomme (cisaillement), on l'écrase localement sous la pointe. Cette vérification est une "limite indépassable" : si elle n'est pas satisfaite, aucune armature ne pourra sauver la situation, car c'est le béton comprimé lui-même qui explose.
📚 Référentiel
EC2 Art. 6.4.5(3) "Résistance maximale au poinçonnement"On raisonne ici sur le périmètre \(u_0\), qui est le périmètre collé au poteau (nu du poteau). L'effort tranchant génère des bielles de compression inclinées qui viennent buter contre le poteau. Si la contrainte dans ces bielles dépasse la résistance en compression du béton (atténuée par la fissuration transversale), la bielle s'écrase. C'est souvent le critère dimensionnant pour les poteaux de petites dimensions fortement chargés.
La contrainte maximale de poinçonnement est limitée pour éviter l'écrasement des bielles de béton comprimé le long du périmètre \(u_0\).
Résistance maximale des bielles comprimées :
Avec :
- \(f_{\text{cd}} = f_{\text{ck}} / 1.5\) (Résistance de calcul du béton).
- \(\nu = 0.6(1 - f_{\text{ck}}/250)\) (Facteur d'efficacité réduisant la résistance en présence de fissures transversales).
Étape 1 : Données Techniques
| Type | Valeur | Note |
|---|---|---|
| fcd | 20 MPa | 30 / 1.5 |
| Périmètre u0 | 1.60 m | Périmètre direct du poteau (4x0.40m). |
Le périmètre \(u_0\) est simplement le périmètre géométrique du poteau. Ne rajoutez pas de \(2d\) ou de partie circulaire ici !
Étape 2 : Calcul de Vérification
On compare la contrainte agissante recalculée sur \(u_0\) avec la capacité maximale des bielles.
1. Calcul de la contrainte au nu du poteau \(v_{\text{Ed},0}\)On recalcule la contrainte de cisaillement agissante, mais cette fois-ci sur le périmètre \(u_0\) (au contact du poteau). La force \(V_{\text{Ed}}\) reste la même, mais la surface de cisaillement est beaucoup plus petite (\(u_0 \times d\)), donc la contrainte augmente.
On détermine le coefficient de réduction de résistance \(\nu\) (nu) pour le béton fissuré par l'effort tranchant.
On calcule la résistance maximale de la bielle de compression. C'est la limite physique d'écrasement du béton.
On compare la contrainte au nu du poteau avec la résistance maximale calculée.
Le ratio de saturation est de \(1.80 / 5.28 \approx 34\%\). La condition est très largement vérifiée.
Le risque d'écrasement du béton est très faible ici car le poteau a une section confortable (40x40 cm) pour la charge appliquée. Si nous avions un poteau de 20x20 cm avec la même charge, la contrainte \(v_{\text{Ed},0}\) doublerait et se rapprocherait dangereusement de la limite.
Si cette vérification échoue (\(v_{\text{Ed},0} > v_{\text{Rd},\text{max}}\)), il est interdit de mettre des armatures de poinçonnement pour compenser. Les armatures ne peuvent pas empêcher l'écrasement du béton comprimé. La seule solution est de changer la géométrie : augmenter la taille du poteau, augmenter l'épaisseur de la dalle, ou augmenter la classe de résistance du béton (passer en C40/50 par exemple).
❓ Question Fréquente
Pourquoi le coefficient 0.5 dans la formule ? C'est un coefficient empirique de sécurité supplémentaire propre au cisaillement par poinçonnement, reflétant la complexité de l'état de contrainte triaxial au voisinage du poteau.
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