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Matrices et Déterminants

Mathématiques : Matrices et Déterminants (Résolution de Systèmes)

Matrices et Déterminants : Résolution de Systèmes d'Équations

Contexte : L'Algèbre Linéaire, un Outil Puissant

Les matricesTableau de nombres rectangulaire, utilisé pour représenter des transformations linéaires ou des systèmes d'équations. et les déterminantsNombre scalaire associé à une matrice carrée, qui fournit des informations importantes sur la matrice, notamment son inversibilité. sont des outils fondamentaux en algèbre linéaire. Ils permettent de représenter et de résoudre de manière élégante et efficace des systèmes d'équations linéairesEnsemble de plusieurs équations linéaires impliquant les mêmes variables. La résolution consiste à trouver les valeurs des variables qui satisfont toutes les équations simultanément., qui modélisent d'innombrables problèmes en sciences, en ingénierie et en économie. Le calcul du déterminant d'une matrice nous informe sur l'existence d'une solution unique au système, et le calcul de la matrice inversePour une matrice carrée A, sa matrice inverse A⁻¹ est telle que A × A⁻¹ = I (matrice identité). Elle n'existe que si le déterminant de A est non nul. nous fournit une méthode directe pour trouver cette solution.

Remarque Pédagogique : Maîtriser le calcul matriciel est essentiel. C'est le passage d'une vision "équation par équation" à une vision globale et structurée d'un problème. Cet exercice vous guidera à travers la méthode de l'inversion de matrice, une technique systématique et puissante.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le déterminant d'une matrice 3x3 en utilisant la règle de Sarrus.
  • Déterminer si une matrice est inversible.
  • Calculer la comatrice et la matrice adjointe (transposée de la comatrice).
  • Calculer la matrice inverse d'une matrice 3x3.
  • Résoudre un système d'équations linéaires en utilisant la méthode de la matrice inverse.

Données de l'étude

Soit le système d'équations linéaires (S) suivant :

\[ (S) : \begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x + 3y + 2z = 12 \\ -x + 2y + z = 3 \end{cases} \]

Ce système peut s'écrire sous la forme matricielle \(AX = B\), où :

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 12 \\ 3 \end{pmatrix} \]

Questions à traiter

  1. Calculer le déterminant de la matrice A, noté \(\det(A)\).
  2. La matrice A est-elle inversible ? Justifier votre réponse.
  3. Calculer la matrice inverse de A, notée \(A^{-1}\).
  4. En utilisant \(A^{-1}\), résoudre le système (S) en trouvant les valeurs de x, y et z.

Correction : Matrices et Déterminants

Question 1 : Calcul du Déterminant de A

Principe :
Animation de la Règle de Sarrus
2 1 -1 1 3 2 -1 2 1 2 1 1 3 -1 2

Pour une matrice 3x3, le déterminant peut être calculé efficacement avec la règle de SarrusMéthode de calcul du déterminant d'une matrice 3x3. On somme les produits des diagonales descendantes et on soustrait la somme des produits des diagonales montantes.. On recopie les deux premières colonnes à droite de la matrice, on somme les produits des 3 diagonales "vertes" et on soustrait la somme des produits des 3 diagonales "rouges".

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le déterminant d'une matrice 3x3 représente le volume (orienté) du parallélépipède formé par les trois vecteurs colonnes de la matrice. Un déterminant nul signifie que ces trois vecteurs sont coplanaires (le volume est plat), et donc qu'ils ne peuvent pas définir un point unique dans l'espace.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \det(A) = (a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}) - (a_{31}a_{22}a_{13} + a_{32}a_{23}a_{11} + a_{33}a_{21}a_{12}) \]
Donnée(s) :
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \det(A) &= (2 \times 3 \times 1) + (1 \times 2 \times -1) + (-1 \times 1 \times 2) \\ & \quad - ((-1) \times 3 \times -1) - (2 \times 2 \times 2) - (1 \times 1 \times 1) \\ &= (6) + (-2) + (-2) - (3) - (8) - (1) \\ &= 6 - 2 - 2 - 3 - 8 - 1 \\ &= -10 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Attention aux signes : L'erreur la plus fréquente dans la règle de Sarrus est une erreur de signe, soit dans les produits eux-mêmes, soit en oubliant de soustraire la somme des produits des diagonales montantes.

Le saviez-vous ?

La règle de Sarrus est un "truc" qui ne fonctionne que pour les matrices 3x3. Pour des matrices de plus grande taille, il faut utiliser des méthodes plus générales comme le développement par rapport à une ligne ou une colonne.

FAQ en rapport avec la question :
Peut-on utiliser la règle de Sarrus pour une matrice 4x4 ?

Non, absolument pas. La règle de Sarrus est une simplification qui ne s'applique qu'au cas 3x3. Tenter de l'appliquer à d'autres dimensions conduira à un résultat incorrect.

Résultat : Le déterminant de la matrice A est \(\det(A) = -10\).

Question 2 : Inversibilité de la Matrice A

Principe :
Test d'Inversibilité
det(A) ≠ 0 Inversible det(A) = 0 Non Inversible

Une matrice carrée est dite inversible si, et seulement si, son déterminant est différent de zéro. C'est une condition nécessaire et suffisante. Si le déterminant est nul, la matrice est dite "singulière" et n'admet pas d'inverse.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Un déterminant non nul garantit que le système d'équations associé a une solution unique. C'est le premier test à effectuer avant de tenter de résoudre un système par inversion : si det(A)=0, la méthode ne s'applique pas.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A \text{ est inversible} \Leftrightarrow \det(A) \neq 0 \]
Donnée(s) :

D'après la question 1, \(\det(A) = -10\).

Calcul(s) :

Le calcul consiste simplement à comparer le résultat à zéro.

Comme \(-10 \neq 0\), la condition est remplie. La matrice A est bien inversible.

Points de vigilance :

Ne pas conclure trop vite : Ne jamais supposer qu'une matrice est inversible sans avoir explicitement calculé son déterminant et vérifié qu'il est non nul.

Le saviez-vous ?

En ingénierie des structures, la matrice de rigidité d'un bâtiment est utilisée pour modéliser sa réponse aux forces. Si le déterminant de cette matrice est nul (ou très proche de zéro), cela indique une instabilité structurelle : le bâtiment pourrait s'effondrer !

FAQ en rapport avec la question :
Que signifie "solution unique" géométriquement ?

Pour un système 3x3, chaque équation représente un plan dans l'espace. Une solution unique signifie que les trois plans se coupent en un seul et unique point, qui correspond aux coordonnées (x, y, z) de la solution.

Résultat : Oui, la matrice A est inversible car son déterminant est non nul (\(-10 \neq 0\)).

Question 3 : Calcul de la Matrice Inverse \(A^{-1}\)

Principe :
Étapes du Calcul de l'Inverse
A → com(A) → adj(A) → A⁻¹

L'inverse d'une matrice A est donnée par la formule \(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \times \text{adj}(A)\), où \(\text{adj}(A)\) est la matrice adjointe de A, c'est-à-dire la transposée de la comatriceMatrice dont chaque élément est le cofacteur de l'élément correspondant de la matrice originale. Un cofacteur est un déterminant de sous-matrice, affecté d'un signe (+ ou -). de A. Le calcul est systématique.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le calcul de l'inverse est une procédure algorithmique. Chaque étape doit être effectuée avec soin. C'est un excellent exercice pour développer rigueur et attention aux détails, car une seule erreur de calcul au début se propage et fausse tout le résultat final.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) \quad \text{avec} \quad \text{adj}(A) = (\text{com}(A))^T \]
Donnée(s) :

\(\det(A) = -10\) et \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\).

Calcul(s) :

Étape 1 : Calcul de la comatrice de A, notée \(\text{com}(A)\)

\[ \text{com}(A) = \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -3 & 5 \\ -3 & 1 & -5 \\ 5 & -5 & 5 \end{pmatrix} \]

Étape 2 : Calcul de la matrice adjointe, \(\text{adj}(A) = (\text{com}(A))^T\)

\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -3 & 5 \\ -3 & 1 & -5 \\ 5 & -5 & 5 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -1 & -3 & 5 \\ -3 & 1 & -5 \\ 5 & -5 & 5 \end{pmatrix} \]

Étape 3 : Calcul de \(A^{-1}\)

\[ A^{-1} = \frac{1}{-10} \begin{pmatrix} -1 & -3 & 5 \\ -3 & 1 & -5 \\ 5 & -5 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/10 & 3/10 & -5/10 \\ 3/10 & -1/10 & 5/10 \\ -5/10 & 5/10 & -5/10 \end{pmatrix} \]
Points de vigilance :

Le damier des signes : L'erreur la plus commune est d'oublier le "damier" des signes (+, -, +, -, etc.) lors du calcul des cofacteurs. Une autre erreur fréquente est de confondre la comatrice et l'adjointe (oublier la transposition).

Le saviez-vous ?

Les matrices inverses sont utilisées dans certains algorithmes de cryptographie, comme le chiffrement de Hill. Un message est converti en vecteur, multiplié par une matrice de chiffrement (la clé). Pour déchiffrer, le destinataire multiplie le message chiffré par la matrice inverse de la clé.

FAQ en rapport avec la question :
Que faire si la comatrice est difficile à calculer ?

Pour les matrices de grande taille, le calcul de la comatrice devient extrêmement laborieux. Les ordinateurs utilisent des méthodes alternatives plus robustes et rapides, comme la méthode d'élimination de Gauss-Jordan, qui consiste à appliquer des opérations sur les lignes de la matrice A et de la matrice identité simultanément jusqu'à transformer A en identité. L'autre matrice devient alors A⁻¹.

Résultat : La matrice inverse est \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 0.1 & 0.3 & -0.5 \\ 0.3 & -0.1 & 0.5 \\ -0.5 & 0.5 & -0.5 \end{pmatrix}\).

Question 4 : Résolution du Système (S)

Principe :
Multiplication pour la Solution
A⁻¹ B = X

Si un système s'écrit \(AX = B\), alors sa solution (si elle existe) est donnée par \(X = A^{-1}B\). Il suffit de multiplier la matrice inverse (calculée précédemment) par le vecteur colonne B pour trouver le vecteur des inconnues X.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est l'aboutissement de tout le processus. On voit ici la puissance de l'abstraction : un système complexe de plusieurs équations est résolu par une unique opération, la multiplication matricielle. Une fois l'inverse calculé, on peut résoudre le système pour n'importe quel vecteur B très rapidement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Si } AX=B, \text{ alors } X = A^{-1}B \]
Donnée(s) :
\[ A^{-1} = \frac{1}{-10} \begin{pmatrix} -1 & -3 & 5 \\ -3 & 1 & -5 \\ 5 & -5 & 5 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 12 \\ 3 \end{pmatrix} \]
Calcul(s) :
\[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \frac{1}{-10} \begin{pmatrix} (-1)(1) + (-3)(12) + (5)(3) \\ (-3)(1) + (1)(12) + (-5)(3) \\ (5)(1) + (-5)(12) + (5)(3) \end{pmatrix} = \frac{1}{-10} \begin{pmatrix} -22 \\ -6 \\ -40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.2 \\ 0.6 \\ 4 \end{pmatrix} \]
Points de vigilance :

L'ordre compte ! La multiplication de matrices n'est pas commutative. La solution est \(A^{-1}B\), et non \(BA^{-1}\) (qui n'est d'ailleurs généralement pas défini car les dimensions sont incompatibles).

Le saviez-vous ?

Les modèles de prévisions météorologiques résolvent des systèmes de millions d'équations linéaires pour simuler l'évolution de l'atmosphère. Le calcul de la matrice inverse serait bien trop lent ; des méthodes itératives sont utilisées pour approcher la solution.

FAQ en rapport avec la question :
Comment vérifier que la solution est correcte ?

La meilleure façon de vérifier est de réinjecter les valeurs de x, y et z trouvées dans les équations de départ du système (S). Si les trois équations sont satisfaites, la solution est correcte.

Résultat : La solution du système est \(x = 2.2\), \(y = 0.6\) et \(z = 4\).

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Entrez votre matrice

Déterminant = -10

Le Saviez-Vous ?

Les matrices sont au cœur des graphismes 3D par ordinateur. Chaque fois que vous jouez à un jeu vidéo, les rotations, les mises à l'échelle et les déplacements des objets 3D à l'écran sont calculés en temps réel par des multiplications de matrices !

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si le déterminant est nul ?

Si \(\det(A) = 0\), la matrice A n'est pas inversible. Cela signifie que le système d'équations \(AX=B\) n'a pas de solution unique. Il peut soit avoir une infinité de solutions (si les équations sont dépendantes, par exemple des plans confondus ou se coupant sur une droite), soit n'avoir aucune solution (si les équations sont incompatibles, par exemple des plans parallèles distincts).

La méthode de l'inverse est-elle toujours la meilleure ?

Pour les calculs à la main sur de petites matrices (2x2, 3x3), elle est très systématique. Cependant, pour les très grandes matrices utilisées dans les applications informatiques, le calcul de l'inverse est très coûteux en ressources. D'autres méthodes, comme l'élimination de Gauss-Jordan (méthode du pivot), sont souvent plus efficaces.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Une matrice carrée A est inversible si et seulement si :

2. Si \(AX = B\), comment exprime-t-on la solution X (en supposant A inversible) ?

Glossaire

Matrice
Tableau rectangulaire de nombres, symboles ou expressions, disposés en lignes et colonnes. C'est un outil central de l'algèbre linéaire.
Déterminant
Valeur numérique scalaire qui peut être calculée à partir des éléments d'une matrice carrée. Il est fondamental pour déterminer l'inversibilité de la matrice.
Matrice Inverse (A⁻¹)
Pour une matrice carrée A, son inverse \(A^{-1}\) est la matrice qui, multipliée par A, donne la matrice identité. Elle n'existe que si \(\det(A) \neq 0\).
Comatrice
Matrice de même dimension que la matrice originale, où chaque élément est remplacé par son cofacteur correspondant. Le cofacteur est le déterminant signé d'une sous-matrice.
Règle de Sarrus
Uniquement pour les matrices 3x3, c'est un moyen mnémonique pour calculer le déterminant en utilisant des produits de diagonales.
Mathématiques : Matrices et Déterminants

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