Études de cas pratique

EGC

Flexion et Torsion d’une Poutre en Acier

Flexion et Torsion Combinées d’une Poutre en Acier

Flexion et Torsion Combinées d’une Poutre en Acier

Comprendre les Contraintes Combinées de Flexion et Torsion

De nombreux éléments structuraux, tels que les arbres de transmission ou les poutres supportant des charges excentrées, sont soumis simultanément à des moments de flexion et à des couples de torsion. La flexion engendre des contraintes normales (\(\sigma\)) tandis que la torsion engendre des contraintes de cisaillement (\(\tau\)). Pour évaluer la sécurité de tels éléments, il est nécessaire de combiner ces contraintes en utilisant des critères de résistance appropriés, comme celui de Tresca (cisaillement maximal) ou de Von Mises (énergie de distorsion).

Données de l'étude

Un arbre plein en acier S275, de section circulaire, est encastré à une extrémité. À son extrémité libre, il est soumis à une force transversale \(F = 2 \, \text{kN}\) et à un couple de torsion \(T = 1.5 \, \text{kNm}\).

Caractéristiques de l'arbre et du matériau :

  • Longueur de l'arbre (\(L\)) : \(0.8 \, \text{m}\)
  • Diamètre de la section circulaire (\(D\)) : \(50 \, \text{mm}\)
  • Acier S275 : Limite d'élasticité (\(f_y\)) : \(275 \, \text{MPa}\)

Objectif : Déterminer la contrainte normale maximale due à la flexion, la contrainte de cisaillement maximale due à la torsion, et vérifier la sécurité de l'arbre en utilisant le critère de Von Mises.

Schéma : Arbre en Flexion et Torsion
F = 2kN M_max T T = 1.5kNm x L = 0.8 m D=50mm

Arbre circulaire encastré soumis à une force F et un couple T.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment de flexion maximal (\(M_{max}\)) dans l'arbre.
  2. Calculer le moment quadratique (\(I\)) de la section circulaire par rapport à un axe diamétral.
  3. Calculer la contrainte normale maximale due à la flexion (\(\sigma_{flex, max}\)).
  4. Calculer le moment d'inertie polaire (\(J\)) de la section circulaire.
  5. Calculer la contrainte de cisaillement maximale due à la torsion (\(\tau_{tors, max}\)).
  6. Calculer la contrainte équivalente de Von Mises (\(\sigma_{VM}\)) au point le plus sollicité.
  7. Vérifier la sécurité de l'arbre par rapport à la limite d'élasticité.

Correction : Flexion et Torsion Combinées

Question 1 : Moment de Flexion Maximal (\(M_{max}\))

Principe :

L'arbre est encastré à une extrémité et la force \(F\) est appliquée à l'extrémité libre (longueur \(L\)). Le moment de flexion est maximal à l'encastrement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{max} = F \cdot L\]
Données spécifiques (unités N, mm) :
  • Force (\(F\)) : \(2 \, \text{kN} = 2000 \, \text{N}\)
  • Longueur (\(L\)) : \(0.8 \, \text{m} = 800 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{max} &= 2000 \, \text{N} \cdot 800 \, \text{mm} \\ &= 1600000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 1.6 \cdot 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm} \quad (1.6 \, \text{kNm}) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le moment de flexion maximal est \(M_{max} = 1.6 \cdot 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\).

Question 2 : Moment Quadratique (\(I\))

Principe :

Le moment quadratique (ou moment d'inertie de surface) d'une section circulaire pleine de diamètre \(D\) par rapport à un axe diamétral est \(I = \frac{\pi D^4}{64}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I = \frac{\pi D^4}{64}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre (\(D\)) : \(50 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I &= \frac{\pi \cdot (50 \, \text{mm})^4}{64} \\ &= \frac{\pi \cdot 6250000 \, \text{mm}^4}{64} \\ &\approx \pi \cdot 97656.25 \, \text{mm}^4 \\ &\approx 306796.16 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le moment quadratique est \(I \approx 306796 \, \text{mm}^4\).

Question 3 : Contrainte Normale Maximale due à la Flexion (\(\sigma_{flex, max}\))

Principe :

La contrainte normale maximale due à la flexion est donnée par \(\sigma_{flex, max} = \frac{M_{max} \cdot y_{max}}{I}\), où \(y_{max}\) est la distance de la fibre neutre à la fibre la plus éloignée (\(y_{max} = D/2\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{flex, max} = \frac{M_{max} \cdot (D/2)}{I}\]
Données spécifiques :
  • \(M_{max} = 1.6 \cdot 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(D/2 = 50 \, \text{mm} / 2 = 25 \, \text{mm}\)
  • \(I \approx 306796.16 \, \text{mm}^4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{flex, max} &= \frac{(1.6 \cdot 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}) \cdot (25 \, \text{mm})}{306796.16 \, \text{mm}^4} \\ &= \frac{40 \cdot 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}^2}{306796.16 \, \text{mm}^4} \\ &\approx 130.379 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 130.38 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La contrainte normale maximale due à la flexion est \(\sigma_{flex, max} \approx 130.38 \, \text{MPa}\).

Question 4 : Moment d'Inertie Polaire (\(J\))

Principe :

Pour une section circulaire pleine, le moment d'inertie polaire \(J\) est le double du moment quadratique \(I\) par rapport à un axe diamétral, ou \(J = \frac{\pi D^4}{32}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[J = 2I = \frac{\pi D^4}{32}\]
Données spécifiques :
  • \(I \approx 306796.16 \, \text{mm}^4\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(50 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} J &= 2 \cdot (306796.16 \, \text{mm}^4) \\ &\approx 613592.32 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

Ou directement :

\[ \begin{aligned} J &= \frac{\pi \cdot (50 \, \text{mm})^4}{32} \\ &= \frac{\pi \cdot 6250000 \, \text{mm}^4}{32} \\ &\approx \pi \cdot 195312.5 \, \text{mm}^4 \\ &\approx 613592.315 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le moment d'inertie polaire est \(J \approx 613592 \, \text{mm}^4\).

Question 5 : Contrainte de Cisaillement Maximale due à la Torsion (\(\tau_{tors, max}\))

Principe :

La contrainte de cisaillement maximale due à la torsion dans un arbre de section circulaire est \(\tau_{tors, max} = \frac{T \cdot R}{J}\), où \(R = D/2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tau_{tors, max} = \frac{T \cdot (D/2)}{J}\]
Données spécifiques (unités N, mm) :
  • Couple de torsion (\(T\)) : \(1.5 \, \text{kNm} = 1.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • Rayon (\(R\)) : \(25 \, \text{mm}\)
  • \(J \approx 613592.32 \, \text{mm}^4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau_{tors, max} &= \frac{(1.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}) \cdot (25 \, \text{mm})}{613592.32 \, \text{mm}^4} \\ &= \frac{37.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}^2}{613592.32 \, \text{mm}^4} \\ &\approx 61.115 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 61.12 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La contrainte de cisaillement maximale due à la torsion est \(\tau_{tors, max} \approx 61.12 \, \text{MPa}\).

Question 6 : Contrainte Équivalente de Von Mises (\(\sigma_{VM}\))

Principe :

Pour un état de contrainte plane avec une contrainte normale \(\sigma_x = \sigma_{flex, max}\) et une contrainte de cisaillement \(\tau_{xy} = \tau_{tors, max}\) (et \(\sigma_y = 0\)), la contrainte équivalente de Von Mises est donnée par \(\sigma_{VM} = \sqrt{\sigma_x^2 + 3\tau_{xy}^2}\). Le point le plus sollicité est à la surface de l'arbre, à l'encastrement, où la flexion et la torsion sont maximales.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{VM} = \sqrt{\sigma_{flex, max}^2 + 3 \cdot \tau_{tors, max}^2}\]
Données spécifiques :
  • \(\sigma_{flex, max} \approx 130.38 \, \text{MPa}\)
  • \(\tau_{tors, max} \approx 61.12 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{VM} &= \sqrt{(130.38)^2 + 3 \cdot (61.12)^2} \\ &= \sqrt{17000.94 + 3 \cdot 3735.65} \\ &= \sqrt{17000.94 + 11206.95} \\ &= \sqrt{28207.89} \\ &\approx 167.95 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La contrainte équivalente de Von Mises est \(\sigma_{VM} \approx 167.95 \, \text{MPa}\).

Question 7 : Vérification de la Sécurité

Principe :

On compare la contrainte équivalente de Von Mises (\(\sigma_{VM}\)) à la limite d'élasticité du matériau (\(f_y\)). Pour que l'arbre soit considéré comme sûr selon ce critère, il faut que \(\sigma_{VM} \leq f_y\).

Données spécifiques :
  • \(\sigma_{VM} \approx 167.95 \, \text{MPa}\)
  • Limite d'élasticité (\(f_y\)) de l'acier S275 : \(275 \, \text{MPa}\)
Vérification :
\[167.95 \, \text{MPa} \leq 275 \, \text{MPa}\]

La condition est vérifiée.

Résultat Question 7 : L'arbre est considéré comme sûr selon le critère de Von Mises (\(\sigma_{VM} \leq f_y\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le couple de torsion T augmentait, la contrainte de Von Mises :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. La flexion simple dans une poutre engendre principalement des contraintes :

9. La torsion pure dans un arbre circulaire engendre principalement des contraintes :

10. Le critère de Von Mises est utilisé pour :

Glossaire

Contrainte Normale (\(\sigma\))
Force interne agissant perpendiculairement par unité de surface. En flexion, elle varie linéairement à travers la section.
Contrainte de Cisaillement (\(\tau\))
Contrainte interne agissant tangentiellement à la section. En torsion d'un arbre circulaire, elle est maximale à la surface.
Moment de Flexion (\(M\))
Moment interne qui tend à courber une poutre.
Couple de Torsion (\(T\))
Moment appliqué autour de l'axe longitudinal d'un arbre, tendant à le tordre.
Moment Quadratique (\(I\))
Propriété géométrique d'une section qui mesure sa résistance à la flexion.
Moment d'Inertie Polaire (\(J\))
Propriété géométrique d'une section qui mesure sa résistance à la torsion.
Critère de Von Mises
Critère de plastification utilisé pour les matériaux ductiles, basé sur l'énergie de distorsion. Il permet de définir une contrainte équivalente pour des états de contraintes multiaxiales.
Limite d'Élasticité (\(f_y\) ou \(\sigma_e\))
Contrainte au-delà de laquelle un matériau commence à se déformer plastiquement (déformation permanente).
Flexion et Torsion Combinées - Exercice d'Application

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