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Flexion et Torsion d’une Poutre en Acier

Flexion et Torsion d’une Poutre en Acier en RdM

Flexion et Torsion d’une Poutre en Acier

Contexte : L'analyse des contraintes combinées en Génie Mécanique.

Dans de nombreuses applications industrielles, les poutres ne sont pas soumises à un seul type de chargement. Un arbre de transmission, par exemple, subit à la fois une torsion due au couple moteur et une flexion due au poids des engrenages. Ces sollicitations combinées créent un état de contrainte complexe. L'ingénieur doit alors utiliser des critères de résistance, comme celui de Von MisesUn critère de résistance utilisé pour les matériaux ductiles (comme l'acier). Il combine les différentes composantes de contrainte en une seule valeur "équivalente", que l'on compare à la limite élastique du matériau., pour évaluer si la pièce résistera sans subir de déformation permanente. Cet exercice vous guidera dans l'analyse d'un cas de flexion et torsion simples sur une poutre circulaire.

Remarque Pédagogique : Cet exercice combine deux chapitres fondamentaux de la RdM : la flexion simple et la torsion. L'objectif est de calculer séparément les contraintes issues de chaque sollicitation, puis de les combiner au point le plus critique de la structure pour vérifier la résistance globale de la pièce. C'est une compétence essentielle pour le dimensionnement de pièces mécaniques réalistes.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les moments quadratique et polaire d'une section circulaire.
  • Déterminer la contrainte normale maximale due à la flexion.
  • Calculer la contrainte de cisaillement maximale due à la torsion.
  • Identifier le point le plus sollicité de la structure.
  • Appliquer le critère de Von Mises pour vérifier la résistance sous contraintes combinées.

Données de l'étude

Un arbre de transmission en acier, de section circulaire pleine, est encastré à une extrémité. À son extrémité libre, il est soumis à une force verticale \(F\) et à un couple de torsion \(M_\text{t}\). On souhaite vérifier la résistance de cet arbre.

Schéma de la poutre en console
F Mt L = 1200 mm
Paramètre Symbole Valeur Unité
Longueur de la poutre \(L\) 1200 \(\text{mm}\)
Diamètre de la section \(D\) 60 \(\text{mm}\)
Force appliquée \(F\) 2000 \(\text{N}\)
Couple de torsion \(M_\text{t}\) 500 \(\text{N} \cdot \text{m}\)
Limite élastique de l'acier \(\sigma_\text{e}\) 355 \(\text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le moment quadratique \(I_{\text{Gz}}\) et le moment quadratique polaire \(I_0\) de la section.
  2. Déterminer les sollicitations maximales (moment fléchissant \(M_{\text{f,max}}\) et moment de torsion \(M_\text{t}\)).
  3. Calculer la contrainte normale maximale due à la flexion (\(\sigma_{\text{max}}\)).
  4. Calculer la contrainte de cisaillement maximale due à la torsion (\(\tau_{\text{max}}\)).
  5. Calculer la contrainte équivalente de Von Mises (\(\sigma_{\text{v}}\)) au point le plus critique et conclure sur la résistance de l'arbre.

Les bases de la RdM pour les contraintes combinées

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés.

1. Contrainte de Flexion :
Due au moment fléchissant \(M_\text{f}\), elle est maximale sur les fibres extrêmes de la section (en haut et en bas) et est nulle sur l'axe neutre. Elle est donnée par : \[ \sigma = \frac{M_\text{f} \cdot v}{I_{\text{Gz}}} \] où \(v\) est la distance à l'axe neutre et \(I_{\text{Gz}}\) est le moment quadratique.

2. Contrainte de Torsion :
Due au moment de torsion \(M_\text{t}\), elle crée du cisaillement. Pour une section circulaire, elle est nulle au centre et maximale à la périphérie de la section. Elle est donnée par : \[ \tau = \frac{M_\text{t} \cdot r}{I_0} \] où \(r\) est la distance au centre et \(I_0\) est le moment quadratique polaire.

3. Critère de Von Mises :
Pour un point soumis à la fois à une contrainte normale \(\sigma\) et à une contrainte de cisaillement \(\tau\), on calcule une contrainte équivalente pour la comparer à la limite élastique simple \(\sigma_\text{e}\). La formule est : \[ \sigma_\text{v} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2} \] La pièce est considérée comme résistante si \(\sigma_\text{v} \le \sigma_\text{e}\).

Correction : Flexion et Torsion d’une Poutre en Acier

Question 1 : Calculer les moments quadratiques (I_Gz et I_0)

Principe (le concept physique)

Le moment quadratique \(I_{\text{Gz}}\) représente la capacité de la section à résister à la flexion autour de l'axe horizontal, tandis que le moment quadratique polaire \(I_0\) représente sa capacité à résister à la torsion autour de son axe longitudinal. Pour une section circulaire, ces propriétés sont uniformes dans toutes les directions. \(I_0\) est simplement la somme des moments quadratiques autour de deux axes perpendiculaires.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Mathématiquement, le moment quadratique est l'intégrale du carré de la distance à l'axe sur toute la surface de la section (\(I_{\text{Gz}} = \int_A y^2 dA\)). Le moment polaire est l'intégrale du carré de la distance au centre (\(I_0 = \int_A r^2 dA\)). Pour une section circulaire, la symétrie simplifie grandement ces intégrales pour donner des formules directes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Une astuce simple pour se souvenir des formules : le moment polaire (pour la torsion) est exactement le double du moment de flexion pour une section circulaire (\(I_0 = 2 \cdot I_{\text{Gz}}\)). C'est une propriété unique des sections à symétrie de révolution.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des caractéristiques géométriques des sections est une étape fondamentale définie dans toutes les normes de construction et de mécanique, notamment l'Eurocode 3 pour les structures en acier. Les propriétés des sections standards (circulaires, rectangulaires, profilés) sont des résultats de base de la RdM.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une section circulaire pleine de diamètre D :

\[ I_{\text{Gz}} = \frac{\pi \cdot D^4}{64} \quad \text{et} \quad I_0 = \frac{\pi \cdot D^4}{32} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section est parfaitement circulaire et que le matériau est homogène et isotrope.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Diamètre de la section, \(D = 60 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les calculs, il peut être plus rapide de calculer \(D^4\) une seule fois, puis de diviser par 64 pour \(I_{\text{Gz}}\) et par 32 pour \(I_0\). Mémoriser \(\pi/64\) et \(\pi/32\) peut aussi être utile.

Schéma (Avant les calculs)
Section Circulaire et Axes
R=D/2z
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique les formules avec le diamètre en mm.

\[ \begin{aligned} I_{\text{Gz}} &= \frac{\pi \cdot (60 \, \text{mm})^4}{64} \\ &= \frac{\pi \cdot 12960000}{64} \, \text{mm}^4 \\ &\approx 636173 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_0 &= \frac{\pi \cdot (60 \, \text{mm})^4}{32} \\ &= \frac{\pi \cdot 12960000}{32} \, \text{mm}^4 \\ &\approx 1272345 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Section avec Inerties Calculées
IGz ≈ 6.36e5 mm⁴I0 ≈ 1.27e6 mm⁴
Réflexions (l'interprétation du résultat)

On vérifie bien que \(I_0 \approx 2 \cdot I_{\text{Gz}}\). Ces deux valeurs géométriques sont les fondations pour tous les calculs de contraintes qui vont suivre. Elles quantifient la "rigidité de forme" de l'arbre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est de confondre le diamètre D et le rayon R dans les formules. La formule avec le rayon est \(I_{\text{Gz}} = \pi R^4 / 4\). Une erreur d'un facteur 2 sur le rayon conduit à une erreur d'un facteur \(2^4 = 16\) sur l'inertie !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment quadratique \(I_{\text{Gz}}\) est pour la flexion.
  • Le moment polaire \(I_0\) est pour la torsion.
  • Pour une section circulaire, \(I_0 = 2 \cdot I_{\text{Gz}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour la même quantité de matière, un arbre creux est beaucoup plus résistant en torsion qu'un arbre plein. La matière au centre de l'arbre plein subit très peu de contrainte et travaille donc peu. En la déplaçant vers l'extérieur (tube), on optimise grandement le rapport résistance/poids.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la formule est-elle différente de celle d'un rectangle (\(bh^3/12\)) ?

Chaque forme géométrique a sa propre distribution de matière par rapport à l'axe de flexion. L'intégrale \(\int y^2 dA\) donne donc un résultat différent. La formule en \(\pi D^4/64\) est le résultat de cette intégration pour la géométrie spécifique d'un cercle.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les moments quadratiques sont \(I_{\text{Gz}} \approx 636 173 \, \text{mm}^4\) et \(I_0 \approx 1 272 345 \, \text{mm}^4\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le moment quadratique polaire \(I_0\) si le diamètre était de 50 mm ?

Question 2 : Déterminer les sollicitations maximales

Principe (le concept physique)

Pour une poutre encastrée (en "console"), les efforts internes sont maximaux au niveau de l'encastrement. Le moment fléchissant est dû à la force F appliquée à l'extrémité (bras de levier L), et le moment de torsion est constant sur toute la longueur de l'arbre puisqu'il est appliqué à l'extrémité et repris par l'encastrement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Une poutre en console est un système statique simple. L'effort tranchant V est constant et vaut F sur toute la longueur. Le moment fléchissant Mf(x) est la primitive de V(x), donc il varie linéairement de 0 à l'extrémité libre à une valeur maximale de \(F \cdot L\) à l'encastrement. Le moment de torsion, lui, est un effort externe appliqué qui est transmis intégralement jusqu'à l'encastrement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous tenez une perceuse à bout de bras. Votre bras est la poutre, votre épaule est l'encastrement. Le poids de la perceuse crée un moment fléchissant maximal à votre épaule. Si vous activez la perceuse, le couple moteur crée un moment de torsion qui est aussi maximal à votre épaule. C'est l'encastrement qui reprend tous les efforts.

Normes (la référence réglementaire)

Les diagrammes d'efforts et de moments pour les cas de charge standards comme la poutre en console sont des résultats fondamentaux de la statique, répertoriés dans tous les formulaires de RdM et les annexes des normes de calcul.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ M_{\text{f,max}} = F \cdot L \] \[ M_\text{t} = \text{constante} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'encastrement est parfait (indéformable). On néglige le poids propre de l'arbre, qui créerait un moment fléchissant additionnel. La force est supposée être appliquée exactement à la distance L.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force appliquée, \(F = 2000 \, \text{N}\)
  • Longueur, \(L = 1200 \, \text{mm}\)
  • Couple de torsion, \(M_\text{t} = 500 \, \text{N} \cdot \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

L'erreur la plus courante ici est l'unité du couple de torsion. Prenez l'habitude de tout convertir dans un système cohérent (N, mm) dès le début. Pour passer des N·m aux N·mm, on multiplie par 1000. Faites cette conversion avant tout calcul pour éviter les oublis.

Schéma (Avant les calculs)
Diagrammes des Sollicitations (Forme)
Moment Fléchissant MfMf_max?Moment de Torsion MtMt = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion du moment de torsion :

\[ \begin{aligned} M_\text{t} &= 500 \, \text{N} \cdot \text{m} \\ &= 500 \times 1000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 500000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

2. Calcul du moment fléchissant maximal :

\[ \begin{aligned} M_{\text{f,max}} &= 2000 \, \text{N} \cdot 1200 \, \text{mm} \\ &= 2400000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagrammes des Sollicitations (Valeurs)
Moment Fléchissant Mf2.4e6 N·mmMoment de Torsion Mt0.5e6 N·mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ces valeurs, \(M_{\text{f,max}}\) et \(M_\text{t}\), sont les efforts internes que le matériau doit supporter à l'endroit le plus critique, c'est-à-dire la section au niveau de l'encastrement. Ce sont ces valeurs qui seront utilisées pour calculer les contraintes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur critique est de mal identifier l'endroit des sollicitations maximales. Pour une poutre en console, c'est TOUJOURS à l'encastrement. Pour une poutre sur deux appuis, c'est souvent entre les appuis. Attention également aux unités : le couple de torsion est donné en N·m et doit être converti en N·mm pour être cohérent avec les autres dimensions.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le point critique d'une poutre en console est à l'encastrement.
  • Le moment fléchissant est \(M_{\text{f,max}} = F \cdot L\).
  • N'oubliez pas de convertir toutes les unités dans un système cohérent (N, mm).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour optimiser la masse, les ailes d'avion sont des structures en console complexes (caissons) qui sont effilées : plus épaisses et plus hautes à l'emplanture (l'encastrement sur le fuselage) où le moment fléchissant est maximal, et plus fines au bout de l'aile.

FAQ (pour lever les doutes)
Qu'arrive-t-il si la force n'est pas appliquée à l'extrémité ?

Si la force F était appliquée à une distance \(x < L\) de l'encastrement, le moment fléchissant maximal serait \(F \cdot x\). Entre le point d'application de la force et l'extrémité libre, le moment fléchissant serait nul.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les sollicitations maximales sont \(M_{\text{f,max}} = 2 400 000 \, \text{N} \cdot \text{mm}\) et \(M_\text{t} = 500 000 \, \text{N} \cdot \text{mm}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le moment fléchissant maximal (en N·mm) si la longueur était réduite à 800 mm ?

Question 3 : Calculer la contrainte normale maximale (\(\sigma_{\text{max}}\))

Principe (le concept physique)

La contrainte normale de flexion est maximale là où le moment fléchissant est maximal (à l'encastrement) et sur les fibres les plus éloignées de l'axe neutre (le haut et le bas de la section circulaire). La fibre supérieure est en traction, la fibre inférieure est en compression (ou inversement selon le sens de F).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule \(\sigma = My/I\) découle de l'hypothèse de Navier-Bernoulli (les sections planes restent planes) et de la loi de Hooke (\(\sigma = E\epsilon\)). Ces deux relations impliquent que la déformation \(\epsilon\), et donc la contrainte \(\sigma\), sont distribuées linéairement à travers la hauteur de la section, passant par zéro à l'axe neutre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez la poutre comme un paquet de spaghettis. Quand vous la pliez, les spaghettis du dessus s'étirent (traction), ceux du dessous se compressent, et celui du milieu ne change pas de longueur (axe neutre). La contrainte \(\sigma\) mesure cet étirement ou cette compression interne.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de la contrainte de flexion est l'une des équations les plus fondamentales de la mécanique et du génie civil, utilisée dans toutes les vérifications de résistance à la flexion selon des normes comme l'Eurocode 3.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{f,max}} \cdot v}{I_{\text{Gz}}} \quad \text{avec} \quad v = \frac{D}{2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On se place dans le cadre de l'élasticité linéaire. On suppose que la poutre est suffisamment élancée pour que la théorie des poutres s'applique et que l'effet de l'effort tranchant sur la contrainte normale est négligeable.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M_{\text{f,max}} = 2400000 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(I_{\text{Gz}} = 636173 \, \text{mm}^4\)
  • \(D = 60 \, \text{mm} \Rightarrow v = 30 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut pré-calculer le "module de flexion" \(W_{\text{el}} = I_{\text{Gz}} / v\). Pour une section circulaire, \(W_{\text{el}} = (\pi D^4/64) / (D/2) = \pi D^3 / 32\). La formule devient alors \(\sigma_{\text{max}} = M_{\text{f,max}} / W_{\text{el}}\), ce qui simplifie le calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Distribution de la Contrainte Normale
+σ_max?-σ_max?Axe Neutre
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{max}} &= \frac{M_{\text{f,max}} \cdot v}{I_{\text{Gz}}} \\ &= \frac{2400000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \cdot 30 \, \text{mm}}{636173 \, \text{mm}^4} \\ &= \frac{72000000}{636173} \, \frac{\text{N}}{\text{mm}^2} \\ &\approx 113.2 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeurs de Contrainte Normale
+113.2 MPa-113.2 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette contrainte de 113.2 MPa représente l'effort de traction (ou de compression) maximal dans la matière. C'est l'une des deux composantes de l'état de contrainte que nous devons considérer pour la vérification finale.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser le bon moment quadratique (\(I_{\text{Gz}}\) pour la flexion, pas le moment polaire \(I_0\)). Utilisez également la bonne distance \(v\), qui est la distance de l'axe neutre à la fibre la plus éloignée (le rayon pour une section circulaire).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte de flexion est maximale sur les fibres extrêmes.
  • La formule est \(\sigma_{\text{max}} = M_{\text{f,max}} \cdot v / I_{\text{Gz}}\).
  • Elle est nulle sur l'axe neutre.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La précontrainte dans le béton consiste à appliquer une compression initiale au béton avec des câbles en acier tendus. Cette compression initiale compense la traction qui apparaîtra sous l'effet des charges de service (flexion), empêchant ainsi le béton de se fissurer.

FAQ (pour lever les doutes)
La contrainte est-elle la même si la force F pousse vers le haut ?

La valeur absolue de la contrainte maximale sera identique. Cependant, les positions de la traction et de la compression seront inversées : la fibre supérieure sera en compression et la fibre inférieure sera en traction.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte normale maximale due à la flexion est d'environ 113.2 MPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la contrainte de flexion (en MPa) si la force F était de 3000 N ?

Question 4 : Calculer la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{\text{max}}\))

Principe (le concept physique)

La contrainte de cisaillement due à la torsion est maximale sur la surface extérieure de l'arbre, sur tout le périmètre, et ce sur toute la longueur de la poutre où le couple est appliqué. Elle représente la tendance des sections transversales à "glisser" les unes par rapport aux autres autour de l'axe.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La théorie de la torsion des arbres circulaires (théorie de Coulomb) montre que la contrainte de cisaillement \(\tau\) est proportionnelle à la distance \(r\) du centre de la section (\(\tau = M_\text{t} r / I_0\)). Cette distribution linéaire est une conséquence directe du fait que les sections circulaires restent planes et circulaires lors de la torsion.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour visualiser le cisaillement, imaginez que vous tordez une pile de pièces de monnaie. Chaque pièce représente une section de l'arbre. Le cisaillement est la friction entre les pièces qui s'oppose à leur rotation relative. Cette friction est la plus forte sur la pièce la plus extérieure.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des contraintes de torsion est un élément standard du dimensionnement des arbres de transmission et autres composants mécaniques, et est régi par des normes de conception de machines.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \tau_{\text{max}} = \frac{M_\text{t} \cdot r}{I_0} \quad \text{avec} \quad r = \frac{D}{2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On applique la théorie de Saint-Venant pour la torsion, qui suppose un matériau élastique, homogène, isotrope et une section circulaire qui n'est pas contrainte de se déformer axialement.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M_\text{t} = 500000 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(I_0 = 1272345 \, \text{mm}^4\)
  • \(D = 60 \, \text{mm} \Rightarrow r = 30 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

De même que pour la flexion, on peut utiliser le "module de torsion polaire" \(W_\text{p} = I_0 / r\). Pour une section circulaire, \(W_\text{p} = (\pi D^4/32) / (D/2) = \pi D^3 / 16\). La formule devient alors \(\tau_{\text{max}} = M_\text{t} / W_\text{p}\). Notez que \(W_\text{p} = 2 \cdot W_{\text{el}}\).

Schéma (Avant les calculs)
Distribution du Cisaillement de Torsion
τ=0 au centreτ_max à la surface
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \tau_{\text{max}} &= \frac{M_\text{t} \cdot r}{I_0} \\ &= \frac{500000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \cdot 30 \, \text{mm}}{1272345 \, \text{mm}^4} \\ &= \frac{15000000}{1272345} \, \frac{\text{N}}{\text{mm}^2} \\ &\approx 11.8 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur du Cisaillement Maximal
τ=0τ_max = 11.8 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte de cisaillement due à la torsion est nettement plus faible que la contrainte normale due à la flexion dans ce cas précis. Cependant, elle n'est pas nulle et sa contribution à l'état de contrainte global doit être prise en compte via un critère de résistance approprié.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la contrainte normale \(\sigma\) et la contrainte de cisaillement \(\tau\). Elles agissent dans des plans différents. Utilisez le bon moment (\(M_\text{t}\)) et le bon moment quadratique (\(I_0\)) pour ce calcul. Une erreur fréquente est d'utiliser \(I_{\text{Gz}}\) pour la torsion.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte de torsion (cisaillement) est maximale à la surface de l'arbre.
  • La formule est \(\tau_{\text{max}} = M_\text{t} \cdot r / I_0\).
  • Elle est nulle au centre de l'arbre.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La torsion des sections non circulaires (carrées, rectangulaires) est beaucoup plus complexe. Les sections ne restent pas planes (elles "gondolent" ou "gauchissent") et la contrainte de cisaillement maximale n'est pas dans les coins, mais au milieu des faces les plus longues.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la contrainte de cisaillement est-elle nulle au centre ?

Au centre de l'arbre (\(r=0\)), les points ne se déplacent pas lors de la torsion. Puisqu'il n'y a pas de déformation de cisaillement au centre, la contrainte de cisaillement y est nulle, conformément à la loi de Hooke pour le cisaillement (\(\tau = G\gamma\)).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de cisaillement maximale due à la torsion est d'environ 11.8 MPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la contrainte de cisaillement (en MPa) si le couple \(M_\text{t}\) était de 1000 N·m ?

Question 5 : Calculer la contrainte de Von Mises et conclure

Principe (le concept physique)

Le point le plus critique est celui où les deux contraintes sont maximales. La contrainte de flexion est maximale en haut et en bas de la section au niveau de l'encastrement. La contrainte de torsion est maximale sur tout le périmètre de la section. Le point critique est donc n'importe quel point sur le périmètre supérieur ou inférieur de la section, au niveau de l'encastrement. On combine ces deux contraintes en ce point pour obtenir la contrainte équivalente de Von Mises.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Un état de contrainte en un point est défini par un tenseur. Pour un état de contrainte plan, comme sur la surface de l'arbre, ce tenseur a des composantes \(\sigma_x\), \(\sigma_y\) et \(\tau_{xy}\). Le critère de Von Mises est un "invariant" de ce tenseur, ce qui signifie qu'il donne la même valeur quel que soit le repère choisi. Il représente une mesure de l'énergie de distorsion (changement de forme) de l'élément de matière.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez que vous avez un budget de résistance (\(\sigma_\text{e}\)). Vous pouvez "dépenser" ce budget soit entièrement en traction, soit en une combinaison de traction et de cisaillement. La formule de Von Mises est la "règle de conversion" qui vous dit si votre dépense combinée dépasse le budget. Notez que le cisaillement est plus "coûteux" en raison du facteur 3 dans la formule.

Normes (la référence réglementaire)

Le critère de Von Mises (ou plus généralement, le critère de l'énergie de distorsion) est le critère de référence pour la vérification de la résistance des matériaux ductiles dans la quasi-totalité des codes de conception modernes, y compris l'Eurocode 3 pour l'acier et les normes ASME pour les équipements sous pression.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \sigma_\text{v} = \sqrt{\sigma_{\text{max}}^2 + 3 \cdot \tau_{\text{max}}^2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le matériau est ductile (ce qui est le cas de l'acier), homogène et isotrope (ses propriétés sont les mêmes dans toutes les directions). Le critère ne s'applique pas aux matériaux fragiles.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\sigma_{\text{max}} = 113.2 \, \text{MPa}\)
  • \(\tau_{\text{max}} = 11.8 \, \text{MPa}\)
  • Limite élastique, \(\sigma_\text{e} = 355 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant le calcul, on peut voir que la contrainte de flexion \(\sigma\) est beaucoup plus grande que la contrainte de cisaillement \(\tau\). On s'attend donc à ce que la contrainte de Von Mises soit seulement légèrement supérieure à \(\sigma_{\text{max}}\). Si vous obtenez une valeur très différente, vérifiez votre calcul, notamment le facteur 3.

Schéma (Avant les calculs)
État de Contrainte sur un Élément de Surface
στ
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \sigma_\text{v} &= \sqrt{\sigma_{\text{max}}^2 + 3 \cdot \tau_{\text{max}}^2} \\ &= \sqrt{(113.2)^2 + 3 \cdot (11.8)^2} \\ &= \sqrt{12814.24 + 3 \cdot 139.24} \\ &= \sqrt{12814.24 + 417.72} \\ &= \sqrt{13231.96} \\ &\approx 115.0 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

On compare ensuite à la limite élastique :

\[ 115.0 \, \text{MPa} \le 355 \, \text{MPa} \quad (\text{Vérifié !}) \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance
Comparaison à la Limite Élastiqueσ_v = 115 MPaσ_e = 355 MPaOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte équivalente de Von Mises (115.0 MPa) est nettement inférieure à la limite élastique de l'acier (355 MPa). Le coefficient de sécurité est de 355 / 115 ≈ 3.08. Cela signifie que la charge maximale que l'arbre pourrait supporter est plus de 3 fois supérieure à la charge de service. L'arbre est donc correctement dimensionné, avec une marge de sécurité confortable.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais additionner algébriquement une contrainte normale et une contrainte de cisaillement (\(\sigma + \tau\)). Elles sont de nature différente et doivent être combinées via un critère énergétique comme Von Mises. Oublier le facteur 3 sous la racine est aussi une erreur commune.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le critère de Von Mises combine les contraintes normale et de cisaillement.
  • La formule est \(\sigma_\text{v} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2}\).
  • La résistance est vérifiée si \(\sigma_\text{v} \le \sigma_\text{e}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Richard von Mises, en plus de ses travaux en mécanique des solides, était un pionnier de l'aérodynamique et de la théorie des probabilités. Il a notamment formulé ce qui est aujourd'hui connu comme le "paradoxe de l'anniversaire".

FAQ (pour lever les doutes)
Et si le matériau était fragile ?

Si l'arbre était en fonte (matériau fragile), on n'utiliserait pas Von Mises. On calculerait les contraintes principales (en utilisant le cercle de Mohr, par exemple) et on les comparerait aux limites de résistance en traction et en compression du matériau, via un critère comme celui de Rankine ou de Coulomb.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte équivalente de Von Mises est de 115.0 MPa. L'arbre résiste en toute sécurité.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la limite élastique était de 250 MPa, quel serait le coefficient de sécurité ? (Arrondir à 2 décimales)

Outil Interactif : Analyse de la Contrainte Combinée

Modifiez la force et le couple pour observer leur influence sur la contrainte de Von Mises.

Paramètres d'Entrée
2000 N
500 N·m
Résultats Clés
Contrainte de Flexion (MPa) -
Contrainte de Torsion (MPa) -
Von Mises (MPa) -

Le Saviez-Vous ?

Le critère de Von Mises est basé sur la théorie de l'énergie de distorsion. Il postule qu'un matériau ductile commence à se déformer de manière plastique lorsque l'énergie de déformation due au changement de forme (distorsion) atteint une valeur critique, indépendamment de l'énergie due au changement de volume (dilatation).

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utiliser le critère de Von Mises et pas un autre ?

Pour les matériaux ductiles comme l'acier, le critère de Von Mises correspond très bien aux résultats expérimentaux. Pour les matériaux fragiles (comme la fonte ou le béton), qui rompent sans se déformer plastiquement, on utilise d'autres critères comme celui de Rankine (contrainte principale maximale) ou de Mohr-Coulomb.

Est-ce que le cisaillement dû à l'effort tranchant F est important ?

Dans cet exercice, nous l'avons négligé. Pour une section circulaire pleine, la contrainte de cisaillement due à l'effort tranchant F est maximale au centre (où la flexion est nulle) et vaut \(\tau_{\text{flexion}} = 4V/3A\). Dans notre cas, elle serait d'environ 1 MPa, donc très faible par rapport à la flexion et à la torsion. Pour les poutres courtes et trapues, il peut cependant être nécessaire de la prendre en compte.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Au point le plus critique de l'arbre (périmètre à l'encastrement), l'état de contrainte est...

2. Si on double le diamètre de l'arbre, la contrainte de flexion maximale sera...

Contrainte de Von Mises (\(\sigma_\text{v}\))
Contrainte équivalente utilisée pour prédire la plastification des matériaux ductiles sous un chargement complexe. Elle combine les contraintes normales et de cisaillement.
Moment Quadratique Polaire (\(I_0\))
Propriété géométrique d'une section qui quantifie sa résistance à la torsion. Unité : m⁴ ou mm⁴.
Matériau Ductile
Matériau capable de subir d'importantes déformations plastiques avant de rompre (ex: acier, aluminium). Opposé à un matériau fragile (ex: verre, fonte).
Flexion et Torsion d’une Poutre en Acier

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