Évaluation de la masse sismique effective

Contexte : L'ingénierie parasismique et l'Eurocode 8La norme européenne de conception des structures pour leur résistance aux séismes..

L'un des principes fondamentaux du génie parasismique est d'évaluer la force qu'un tremblement de terre exercera sur une structure. Cette force, appelée effort tranchant à la base, dépend directement de la masse du bâtiment qui entre en mouvement avec le sol. Cependant, toute la masse n'est pas pertinente. On utilise une masse sismique effectiveMasse considérée comme participant au mouvement de la structure lors d'un séisme. Elle inclut les charges permanentes et une fraction des charges d'exploitation., qui est une combinaison des charges permanentes et d'une portion jugée probable des charges d'exploitation. Cet exercice vous guidera dans le calcul de cette masse pour un bâtiment simple, en application des règles de l'Eurocode 8.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à identifier et quantifier les charges pertinentes pour une analyse sismique, une étape initiale et critique de tout projet de dimensionnement en zone sismique.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la composition de la masse sismique effective.
Identifier les charges permanentes et les charges d'exploitation d'une structure.
Appliquer le bon coefficient de combinaisonCoefficient ψE,i utilisé pour réduire la valeur des charges d'exploitation dans le calcul de la masse sismique. Sa valeur dépend de l'usage du bâtiment. (\(\psi_{E,i}\)) selon l'usage du bâtiment.
Calculer la masse sismique totale d'un bâtiment à plusieurs étages.

Données de l'étude

L'étude porte sur un bâtiment de bureaux de type R+2 (Rez-de-chaussée + 2 étages) avec une toiture-terrasse inaccessible. La structure est en béton armé et l'analyse est menée conformément à l'Eurocode 8.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Usage du bâtiment	Bureaux (Catégorie B)
Nombre de niveaux	3 (RDC, E1, E2) + Toiture
Surface par niveau	250 m²

Élévation schématique du bâtiment

Niveau	Charge Permanente Gk	Charge d'Exploitation Qk
Plancher courant (RDC, E1, E2)	6.5 kN/m²	2.5 kN/m²
Toiture-terrasse (inaccessible)	5.0 kN/m²	1.0 kN/m²

Questions à traiter

Calculer le poids total des charges permanentes (Gk) pour un étage courant.
Calculer le poids total des charges permanentes (Gk) pour la toiture.
Déterminer les coefficients de combinaison sismique ψE,i pour les planchers de bureaux et pour la toiture.
Calculer la valeur de la masse sismique effective totale W du bâtiment.

Les bases sur la Masse Sismique

La masse sismique effective (ou poids sismique W) est la base du calcul de l'action sismique. Elle représente la gravité agissant sur les masses qui seront accélérées par le mouvement du sol. Selon l'Eurocode 8, elle est définie par une combinaison de charges spécifique.

Formule générale de la masse sismique
La masse sismique est calculée en combinant la totalité des charges permanentes avec une fraction des charges d'exploitation. La formule est : \[ W = \sum_{j} G_{k,j} + \sum_{i} \psi_{E,i} \cdot Q_{k,i} \] Où :

\(G_{k,j}\) est la valeur caractéristique de la charge permanente \(j\).
\(Q_{k,i}\) est la valeur caractéristique de la charge d'exploitation variable \(i\).
\(\psi_{E,i}\) est le coefficient de combinaison pour la charge d'exploitation \(i\).

2. Coefficient de Combinaison \(\psi_{E,i}\)
Ce coefficient dépend de la nature de la charge d'exploitation. Il représente la probabilité qu'une partie de cette charge soit présente lors d'un séisme. L'Eurocode 8 fournit des valeurs en fonction de la catégorie d'usage du bâtiment.

Catégorie d'usage	Exemples	\(\psi_{E,i}\)
A, B, C	Habitation, Bureaux, Lieux de réunion	0.3
D	Commerces	0.6
E	Stockage	0.8
F, G	Garages, Zones de circulation	0.6
H	Toitures inaccessibles	0.0

Correction : Évaluation de la Masse Sismique Effective

Question 1 : Calculer le poids total des charges permanentes (Gk) pour un étage courant.

Principe

Le poids (\(P\)) est le produit de la masse (\(m\)) par l'accélération de la pesanteur (\(g\)). En ingénierie des structures, on travaille souvent directement avec les charges (forces ou poids) plutôt que les masses. Le poids total d'un étage correspond à la somme de tous les poids des éléments qui le constituent. Pour une charge répartie uniformément, on la multiplie par la surface sur laquelle elle s'applique.

Mini-Cours

Les charges permanentes, notées G, incluent le poids propre de la structure (poutres, poteaux, dalles), les revêtements de sol, les faux-plafonds, les cloisons non-portantes, et tous les équipements fixes. Elles sont "permanentes" car on considère qu'elles sont présentes durant toute la vie de l'ouvrage.

Remarque Pédagogique

La première étape de toute "descente de charges" est de quantifier rigoureusement les charges permanentes. Elles constituent la part non-réductible du poids et sont donc fondamentales pour la sécurité. Une erreur à ce stade se propage dans tous les calculs ultérieurs.

Normes

L'évaluation des poids volumiques des matériaux et des charges permanentes est régie par la norme Eurocode 1 - NF EN 1991-1-1.

Formule(s)

Formule du poids total par niveau

P_{\text{niveau}} = G_{\text{surfacique}} \times A_{\text{niveau}}

Hypothèses

On suppose que la charge permanente de 6.5 kN/m² est uniformément répartie sur toute la surface du plancher.

Donnée(s)

Nous utilisons les chiffres de l'énoncé pour un étage courant.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge permanente (étage courant)	\(G_{k, \text{etage}}\)	6.5	kN/m²
Surface par niveau	A	250	m²

Astuces

Pour un ordre de grandeur, un plancher de bureau en béton armé a typiquement une charge permanente comprise entre 6 et 8 kN/m². Notre valeur de 6.5 kN/m² est donc tout à fait cohérente.

Schéma (Avant les calculs)

Vue en plan d'un étage courant

Calcul(s)

Calcul du poids permanent de l'étage

\begin{aligned} G_{\text{etage}} &= 6.5 \text{ kN/m}^2 \times 250 \text{ m}^2 \\ &= 1625 \text{ kN} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultante des charges permanentes

Réflexions

Ce poids de 1625 kN (environ 162.5 tonnes) représente la charge statique que le plancher doit supporter en permanence. En dynamique sismique, c'est cette masse qui sera accélérée et générera des forces d'inertie.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une mauvaise unité. Assurez-vous de multiplier des kN/m² par des m² pour obtenir des kN. Une autre erreur serait d'oublier de comptabiliser certains éléments dans l'évaluation de la charge surfacique initiale.

Points à retenir

La maîtrise de cette question repose sur un seul point : Poids total = Charge surfacique × Surface. C'est la base de la descente de charges en bâtiment.

Le saviez-vous ?

Les Romains, pour alléger le poids de la coupole du Panthéon à Rome, ont utilisé un béton de plus en plus léger en montant vers le sommet, en variant les granulats (du travertin lourd à la base à de la pierre ponce légère au sommet). C'était une forme antique d'optimisation des charges permanentes !

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Résultat Final

Le poids des charges permanentes pour un étage courant est de 1625 kN.

A vous de jouer

Si la surface de l'étage était de 320 m², quel serait le nouveau poids Gk ?

Question 2 : Calculer le poids total des charges permanentes (Gk) pour la toiture.

Principe

Le principe est rigoureusement identique à la question 1 : transformer une charge surfacique en une force totale en la multipliant par la surface d'application.

Mini-Cours

La charge permanente d'une toiture-terrasse inclut le poids de la structure, l'étanchéité, l'isolation thermique, la forme de pente, et éventuellement une protection (gravillons, dalles sur plots). Cette charge est généralement plus faible que celle d'un plancher courant car elle ne supporte pas de cloisons lourdes ni de revêtements de sol épais.

Remarque Pédagogique

Même si la méthode est la même, il est crucial de toujours utiliser les données spécifiques à l'élément étudié. Ne propagez jamais la charge d'un plancher courant à une toiture, ou vice-versa, sans vérification.

Normes

La norme de référence reste l'Eurocode 1 - NF EN 1991-1-1 pour la définition des charges.

Formule(s)

Formule du poids total de la toiture

P_{\text{toiture}} = G_{\text{surfacique, toiture}} \times A_{\text{toiture}}

Hypothèses

On suppose que la charge permanente de 5.0 kN/m² est uniformément répartie sur toute la surface de la toiture.

Donnée(s)

Nous utilisons les chiffres de l'énoncé pour la toiture.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge permanente (toiture)	\(G_{k, \text{toiture}}\)	5.0	kN/m²
Surface par niveau	A	250	m²

Astuces

Le rapport entre la charge de toiture (5.0 kN/m²) et celle d'un étage courant (6.5 kN/m²) est d'environ 77%. C'est un ratio réaliste qui confirme la cohérence de nos données initiales.

Schéma (Avant les calculs)

Vue en plan de la toiture

Calcul(s)

Calcul du poids permanent de la toiture

\begin{aligned} G_{\text{toiture}} &= 5.0 \text{ kN/m}^2 \times 250 \text{ m}^2 \\ &= 1250 \text{ kN} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultante des charges permanentes de toiture

Réflexions

Le poids de la toiture est inférieur à celui d'un étage courant. Cette différence est importante car le dernier niveau d'un bâtiment a un impact significatif sur sa réponse dynamique globale.

Points de vigilance

Attention à ne pas appliquer par erreur les charges d'un étage courant à la toiture. Vérifiez toujours la Fiche Technique de l'énoncé pour chaque niveau.

Points à retenir

La méthode de calcul est la même pour tous les niveaux, mais les données d'entrée (charges surfaciques) peuvent varier. La rigueur consiste à bien identifier quelle charge s'applique à quelle surface.

Le saviez-vous ?

Dans les régions à fortes chutes de neige, la charge de neige est une charge d'exploitation majeure pour la toiture. En calcul sismique, l'Eurocode 8 impose de prendre en compte une partie de cette charge dans la masse sismique, car une couche de neige peut être présente lors d'un séisme hivernal.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Résultat Final

Le poids des charges permanentes pour la toiture est de 1250 kN.

A vous de jouer

Avec une charge Gk de 4.5 kN/m² pour la toiture, quel serait le nouveau poids Gk de ce niveau ?

Question 3 : Déterminer les coefficients \(\psi_{E,i}\) pour les planchers de bureaux et pour la toiture.

Principe

Le concept physique derrière ce coefficient est la simultanéité des actions variables. Il est statistiquement improbable que 100% de la charge d'exploitation maximale soit présente sur 100% de la surface du bâtiment au moment exact où le séisme survient. Le coefficient \(\psi_{E,i}\) réduit donc la charge d'exploitation à une valeur moyenne jugée plus réaliste dans le contexte d'un événement accidentel comme un séisme.

Mini-Cours

L'Eurocode définit plusieurs coefficients de combinaison (\(\psi_0\), \(\psi_1\), \(\psi_2\)) pour différents scénarios (états limites ultimes, de service). Pour le calcul de la masse sismique, on utilise un coefficient spécifique, noté \(\psi_{E,i}\), qui est égal à \(\phi \cdot \psi_{2,i}\). Le facteur \(\phi\) dépend du type de bâtiment (ici 1.0 pour les bureaux), et \(\psi_{2,i}\) est le facteur de la part quasi-permanente de la charge. L'Eurocode 8 simplifie la démarche en donnant directement les valeurs de \(\psi_{E,i}\) dans un tableau.

Remarque Pédagogique

Le choix de ce coefficient est une étape qui ne demande pas de calcul mais une lecture attentive des normes et une bonne compréhension de l'usage du bâtiment. C'est un point où l'ingénieur doit faire preuve de jugement. Une mauvaise catégorie peut sous-estimer ou sur-estimer considérablement l'effort sismique.

Normes

La référence principale est l'Eurocode 8 - NF EN 1998-1, et plus spécifiquement le Tableau 4.2 qui donne les valeurs de \(\psi_{E,i}\) pour les différentes catégories d'usage définies dans l'Eurocode 1.

Formule(s)

Formule d'application du coefficient

Q_{\text{sismique}} = \psi_{E,i} \times Q_k

Hypothèses

Nous faisons l'hypothèse que l'usage déclaré du bâtiment (bureaux, toiture inaccessible) est correct et correspond bien aux catégories B et H de l'Eurocode.

Donnée(s)

Les données d'entrée sont les catégories d'usage.

Planchers courants : Usage de bureaux -> Catégorie B
Toiture : Inaccessible -> Catégorie H

Astuces

Retenez les valeurs communes : 0.3 pour l'habitation/bureaux, 0.8 pour le stockage lourd, et 0.0 pour les toitures inaccessibles. Ces trois valeurs couvrent une grande majorité des cas courants.

Schéma (Avant les calculs)

Principe de la réduction de charge

Calcul(s)

Ce n'est pas un calcul, mais une lecture dans le tableau normatif (présenté dans la section "Bases Théoriques").
1. Pour la Catégorie B (Bureaux), la norme donne \(\psi_{E,i} = 0.3\).
2. Pour la Catégorie H (Toitures inaccessibles), la norme donne \(\psi_{E,i} = 0.0\).

Schéma (Après les calculs)

Application des coefficients

Réflexions

Le fait que \(\psi_{E,i}\) soit nul pour la toiture signifie que l'on considère qu'il n'y aura aucune charge d'exploitation sur celle-ci lors d'un séisme. Pour les bureaux, on ne garde que 30% de la charge d'exploitation maximale, ce qui est une réduction très significative.

Points de vigilance

Ne pas confondre les coefficients de combinaison sismique \(\psi_{E,i}\) avec les coefficients \(\psi_0, \psi_1, \psi_2\) utilisés pour les combinaisons de charges aux états limites ultimes (ELU) ou de service (ELS) dans des situations non-sismiques. Ce sont des coefficients différents avec des objectifs différents.

Points à retenir

La valeur de \(\psi_{E,i}\) dépend uniquement de la catégorie d'usage de la surface considérée. Il est impératif de bien identifier cette catégorie au début du projet.

Le saviez-vous ?

Les valeurs des coefficients \(\psi\) ne sont pas arbitraires. Elles sont issues d'études statistiques approfondies sur l'occupation et le chargement réel des bâtiments au cours du temps. Elles sont périodiquement révisées en fonction des retours d'expérience et de l'évolution des usages.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Résultat Final

Les coefficients de combinaison à adopter sont : \(\psi_{E,i} = 0.3\) pour les étages de bureaux et \(\psi_{E,i} = 0.0\) pour la toiture.

A vous de jouer

Quel serait le coefficient \(\psi_{E,i}\) pour un parking souterrain (Catégorie F) ?

Question 4 : Calculer la valeur de la masse sismique effective totale W du bâtiment.

Principe

Le principe physique est celui de la superposition. La masse totale qui sera mise en mouvement est la somme des masses de chaque composant : la totalité des masses permanentes (qui sont toujours là) et la fraction probable des masses d'exploitation (qui pourraient être là).

Mini-Cours

La masse sismique totale W est une valeur fondamentale qui conditionne l'intensité de la force sismique. Cette force, appelée effort tranchant à la base \(V_b\), est souvent estimée en première approche par \(V_b = W \times a_{\text{eff}}\), où \(a_{\text{eff}}\) est une accélération sismique effective. On voit donc que W est directement proportionnel à la force sismique.

Remarque Pédagogique

Pour éviter les erreurs, la meilleure approche est d'être méthodique. Créez un tableau qui liste chaque niveau du bâtiment, avec des colonnes pour les charges permanentes Gk, les charges d'exploitation Qk, le coefficient \(\psi_{E,i}\) et le poids d'exploitation pondéré. La somme finale est alors simple et vérifiable.

Normes

La définition de la masse sismique effective est donnée dans l'Eurocode 8 - NF EN 1998-1, clause 4.3.1.1.

Formule(s)

Formule de la masse sismique totale

W = \sum G_{k,j} + \sum \psi_{E,i} \cdot Q_{k,i}

Hypothèses

On suppose que le bâtiment est "régulier" et que cette méthode de sommation globale des poids est suffisante pour une analyse préliminaire. Pour des bâtiments complexes, la répartition des masses à chaque niveau devient plus critique.

Donnée(s)

On rassemble ici tous les résultats précédents.

Description	Symbole	Valeur	Unité
Poids permanent par étage	\(G_{\text{etage}}\)	1625	kN
Poids permanent toiture	\(G_{\text{toiture}}\)	1250	kN
Poids d'exploitation par étage	\(Q_{\text{etage}}\)	625	kN
Coefficient ψ pour bureaux	\(\psi_{\text{bureaux}}\)	0.3	-
Coefficient ψ pour toiture	\(\psi_{\text{toiture}}\)	0.0	-
Nombre d'étages courants	n	3	-

Astuces

Un bon contrôle d'ordre de grandeur : la part des charges d'exploitation pondérées (\(\sum \psi Q_k\)) doit être significativement plus faible que la part des charges permanentes (\(\sum G_k\)). Ici, 562.5 kN est moins de 10% de 6125 kN, ce qui est un ratio plausible.

Schéma (Avant les calculs)

Charges à sommer par niveau

Calcul(s)

Étape 1 : Somme des charges permanentes \(\sum G_k\)

On additionne les charges permanentes des 3 étages courants et de la toiture.

\begin{aligned} \sum G_k &= (3 \times G_{\text{etage}}) + G_{\text{toiture}} \\ &= (3 \times 1625) + 1250 \\ &= 4875 + 1250 \\ &= 6125 \text{ kN} \end{aligned}

Étape 2 : Somme des charges d'exploitation pondérées \(\sum \psi_{E,i} \cdot Q_{k,i}\)

On calcule d'abord le poids d'exploitation total pour chaque type de niveau.

Calcul du poids d'exploitation d'un étage courant

\begin{aligned} Q_{k, \text{etage}} &= 2.5 \text{ kN/m}^2 \times 250 \text{ m}^2 \\ &= 625 \text{ kN} \end{aligned}

Calcul du poids d'exploitation de la toiture

\begin{aligned} Q_{k, \text{toiture}} &= 1.0 \text{ kN/m}^2 \times 250 \text{ m}^2 \\ &= 250 \text{ kN} \end{aligned}

On somme ensuite les parts pondérées par les coefficients \(\psi_{E,i}\).

Calcul de la somme des charges d'exploitation pondérées

\begin{aligned} \sum \psi_{E,i} Q_{k,i} &= (3 \times \psi_{\text{bureaux}} \cdot Q_{k, \text{etage}}) + (\psi_{\text{toiture}} \cdot Q_{k, \text{toiture}}) \\ &= (3 \times 0.3 \times 625) + (0.0 \times 250) \\ &= 562.5 + 0 \\ &= 562.5 \text{ kN} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de la masse sismique totale W

On additionne les charges permanentes totales et les charges d'exploitation pondérées totales.

\begin{aligned} W &= \sum G_k + \sum \psi_{E,i} Q_{k,i} \\ &= 6125 + 562.5 \\ &= 6687.5 \text{ kN} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Contribution à la masse sismique totale

Réflexions

La valeur de 6687.5 kN est le poids total que l'on utilisera dans les modèles de calcul sismique. Si l'on convertit en masse (en divisant par g ≈ 9.81 m/s²), on obtient environ 682 tonnes. C'est cette masse qui va générer des forces d'inertie pendant le séisme.

Points de vigilance

L'erreur classique ici est d'oublier de multiplier par le nombre d'étages. Calculez bien le poids pour un étage, puis multipliez par le nombre d'étages identiques. Ne vous trompez pas non plus dans le nombre de planchers versus le nombre d'étages (un bâtiment R+2 a 3 planchers + la toiture).

Points à retenir

La masse sismique effective W est la somme de toutes les charges permanentes et de la fraction réglementaire (\(\psi_{E,i}\)) de toutes les charges d'exploitation.

Le saviez-vous ?

Dans les structures très élancées (comme les gratte-ciel), la masse des étages supérieurs a plus d'impact sur la réponse dynamique que celle des étages inférieurs. Des méthodes d'analyse plus complexes (analyse modale spectrale) prennent en compte cette répartition et la déformation de la structure pour calculer les forces sismiques à chaque niveau.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Résultat Final

La masse sismique effective totale du bâtiment est W = 6687.5 kN.

A vous de jouer

Si le bâtiment était utilisé pour du stockage (Catégorie E, \(\psi_{E,i} = 0.8\)), quelle serait la nouvelle masse sismique totale W ?

Outil Interactif : Simulateur de Masse Sismique

Utilisez les curseurs pour faire varier les charges permanentes et d'exploitation des étages courants et observez l'impact sur la masse sismique totale du bâtiment (en considérant toujours 3 étages courants et 1 toiture avec Gk=1250kN et Qk=250kN).

Paramètres d'Entrée (par étage courant)

Charge Permanente Gk (kN/m²) 6.5 kN/m²

Charge d'Exploitation Qk (kN/m²) 2.5 kN/m²

Résultats Clés

Poids Permanent Total (kN) -

Masse Sismique Totale W (kN) -

Masse Sismique Effective (W): Masse d'un bâtiment considérée comme participant au mouvement dynamique lors d'un séisme. Elle est utilisée pour calculer les forces sismiques. (Unité : kN ou Tonnes).
Charge Permanente (Gk): Charges qui agissent en permanence sur la structure, comme le poids propre des éléments (poutres, dalles, murs) et les équipements fixes. (Unité : kN ou kN/m²).
Charge d'Exploitation (Qk): Charges variables qui dépendent de l'usage du bâtiment, comme les personnes, le mobilier, les cloisons mobiles ou les véhicules. (Unité : kN ou kN/m²).
Coefficient de Combinaison (\(\psi_{E,i}\)): Facteur sans dimension (≤ 1) qui réduit la part de la charge d'exploitation prise en compte dans le calcul de la masse sismique, selon l'Eurocode 8.