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Équation Différentielle Ordinaire

Mathématiques : Équation Différentielle Ordinaire (Loi de Refroidissement)

Équation Différentielle Ordinaire : Loi de Refroidissement

Contexte : Modéliser le Changement Continu

Les équations différentiellesÉquation qui relie une fonction à ses dérivées. Elle décrit comment une quantité change dans le temps ou l'espace. sont au cœur de la modélisation de presque tous les phénomènes dynamiques en science et en ingénierie. Elles décrivent non pas la valeur d'une quantité, mais le taux auquel cette quantité change. La loi de refroidissement de Newton est un exemple classique : elle stipule que la vitesse à laquelle un objet se refroidit est proportionnelle à la différence de température entre l'objet et son environnement. Résoudre cette équation nous permet de prédire la température de l'objet à n'importe quel moment dans le futur.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers le processus complet de résolution d'une équation différentielle du premier ordre à variables séparables. Vous apprendrez à passer d'une loi physique à une équation, à trouver la solution générale, puis à utiliser des conditions initiales pour trouver la solution particulière qui correspond à notre situation spécifique.

Objectifs Pédagogiques

  • Traduire une loi physique en une équation différentielle.
  • Résoudre une équation différentielle du premier ordre par séparation des variables.
  • Comprendre la différence entre solution générale et solution particulière.
  • Utiliser une condition initiale pour déterminer une constante d'intégration.
  • Utiliser un point de données pour déterminer une constante physique (le taux de refroidissement).
  • Appliquer la solution finale pour faire une prédiction.

Données de l'étude

Un café est servi à une température de 90°C dans une pièce où la température ambiante est de 20°C. La loi de refroidissement de Newton stipule que la vitesse de variation de la température \(T(t)\) du café est proportionnelle à la différence entre sa température et celle de la pièce. Cela se traduit par l'équation différentielle :

\[ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_a) \]

où \(T_a\) est la température ambiante (20°C) et \(k\) est une constante de refroidissement positive.

Refroidissement d'une Tasse de Café
T(t) Tₐ = 20°C

Donnée supplémentaire : Après 5 minutes, la température du café est de 60°C.

Questions à traiter

  1. Résoudre l'équation différentielle pour trouver la solution générale de \(T(t)\).
  2. Utiliser la condition initiale (\(T(0) = 90\)) pour trouver la valeur de la constante d'intégration.
  3. Utiliser la donnée supplémentaire (\(T(5) = 60\)) pour calculer la constante de refroidissement \(k\).
  4. Quelle sera la température du café après 10 minutes ?

Correction : Équation Différentielle

Question 1 : Solution Générale de l'Équation Différentielle

Principe :
Animation de la Séparation des Variables
dT / dt = -k(T - Tₐ) dT / (T - Tₐ) -k dt ∫ = ∫

L'équation est à "variables séparables". Cela signifie que nous pouvons regrouper tous les termes en \(T\) d'un côté de l'équation et tous les termes en \(t\) de l'autre côté. Ensuite, nous intégrons chaque côté pour trouver la relation entre \(T\) et \(t\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La "constante d'intégration" (souvent notée C) qui apparaît lors de l'intégration est cruciale. Elle représente une famille infinie de solutions possibles. C'est seulement en utilisant des conditions spécifiques au problème (conditions initiales) que nous pourrons fixer la valeur de C et trouver la solution unique qui nous intéresse.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \int \frac{1}{u} \,du = \ln|u| + C \] \[ \ln(a) = b \Leftrightarrow a = e^b \]
Donnée(s) :
\[ \frac{dT}{dt} = -k(T - T_a) \]
Calcul(s) :

Étape 1 : Séparer les variables

\[ \frac{dT}{T - T_a} = -k \,dt \]

Étape 2 : Intégrer les deux côtés

\[ \int \frac{1}{T - T_a} \,dT = \int -k \,dt \] \[ \ln|T - T_a| = -kt + C \]

Étape 3 : Isoler T

\[ |T - T_a| = e^{-kt + C} = e^C \cdot e^{-kt} \]

Comme \(T > T_a\) et que \(e^C\) est une constante positive, on peut poser \(A = e^C\) et enlever la valeur absolue :

\[ T - T_a = A e^{-kt} \Rightarrow T(t) = T_a + A e^{-kt} \]
Points de vigilance :

Gestion des constantes : Après l'intégration, on obtient \(\ln|T-T_a| = -kt + C\). En passant à l'exponentielle, on a \(|T-T_a| = e^{-kt+C} = e^C e^{-kt}\). L'erreur commune est de mal gérer ce \(e^C\). Il faut le voir comme une nouvelle constante multiplicative, que l'on renomme \(A\) pour simplifier.

Le saviez-vous ?

La même forme d'équation différentielle (\(y' = ay\)) modélise la désintégration radioactive, où la vitesse de désintégration est proportionnelle au nombre d'atomes restants. C'est la base de la datation au carbone 14.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi met-on la constante C d'un seul côté ?

Techniquement, l'intégration donne \(\ln|T-T_a| + C_1 = -kt + C_2\). On peut regrouper les deux constantes en une seule, \(C = C_2 - C_1\), que l'on place par convention du côté de la variable indépendante (ici, t).

Résultat : La solution générale est \(T(t) = 20 + A e^{-kt}\), où A est une constante.

Question 2 : Utilisation de la Condition Initiale

Principe :
Détermination de la Constante A
T(0) = 90 T(t) = 20 + A e⁻ᵏᵗ 90 = 20 + A e⁰ ⇒ A = 70

La condition initiale nous donne une "photographie" du système à l'instant \(t=0\). En injectant cette information (\(t=0, T=90\)) dans notre solution générale, nous pouvons déterminer la valeur exacte de la constante \(A\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La constante \(A\) représente l'écart initial de température entre l'objet et le milieu ambiant. Ici, \(A = T(0) - T_a = 90 - 20 = 70\). C'est une interprétation physique utile de la constante mathématique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ e^0 = 1 \]
Donnée(s) :
  • Solution générale : \(T(t) = 20 + A e^{-kt}\)
  • Condition initiale : \(T(0) = 90\)°C
Calcul(s) :
\[ T(0) = 20 + A e^{-k \cdot 0} \] \[ 90 = 20 + A e^0 \] \[ 90 = 20 + A \cdot 1 \] \[ A = 90 - 20 = 70 \]
Points de vigilance :

Ne pas oublier \(e^0=1\) : Une erreur d'inattention serait de penser que \(e^0\) vaut 0, ce qui mènerait à un résultat complètement faux. C'est une propriété fondamentale de l'exponentielle à ne jamais oublier.

Le saviez-vous ?

En physique, les conditions initiales sont fondamentales. Le déterminisme de Laplace postule que si l'on connaissait la position et la vitesse de toutes les particules de l'univers à un instant t (les conditions initiales), on pourrait, en utilisant les lois de la physique (les équations différentielles), prédire l'avenir et connaître le passé de l'univers entier.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la constante A doit-elle être positive ?

Mathématiquement, \(A\) vient de \(e^C\), qui est toujours positif. Physiquement, dans un problème de refroidissement, la température de l'objet \(T(t)\) sera toujours supérieure ou égale à la température ambiante \(T_a\). Donc, \(T(t) - T_a\) sera toujours positif, ce qui implique que \(A\) doit être positif.

Résultat : La solution particulière (mais avec k encore inconnu) est \(T(t) = 20 + 70 e^{-kt}\).

Question 3 : Calcul de la Constante de Refroidissement k

Principe :
Détermination de la Constante k
T(5) = 60 T(t) = 20 + 70 e⁻ᵏᵗ ⇒ k ≈ 0.112

Nous avons une autre "photographie" du système à \(t=5\) minutes. En utilisant cette donnée (\(t=5, T=60\)) dans notre nouvelle équation, nous pouvons isoler et calculer la dernière inconnue : la constante physique \(k\), qui caractérise la vitesse à laquelle ce café spécifique se refroidit dans cette pièce.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Alors que \(A\) dépendait uniquement des conditions de départ, \(k\) est une propriété intrinsèque du système (type de tasse, surface de contact avec l'air, etc.). Il faut une mesure expérimentale à un temps \(t>0\) pour la déterminer. C'est ce qui rend le modèle prédictif.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \ln(e^x) = x \] \[ \ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b) \]
Donnée(s) :
  • Équation actuelle : \(T(t) = 20 + 70 e^{-kt}\)
  • Donnée : \(T(5) = 60\)°C
Calcul(s) :
\[ 60 = 20 + 70 e^{-k \cdot 5} \] \[ 40 = 70 e^{-5k} \] \[ \frac{40}{70} = e^{-5k} \Rightarrow \frac{4}{7} = e^{-5k} \]

Pour isoler k, on applique le logarithme népérien :

\[ \ln\left(\frac{4}{7}\right) = \ln(e^{-5k}) \] \[ \ln\left(\frac{4}{7}\right) = -5k \] \[ k = -\frac{1}{5} \ln\left(\frac{4}{7}\right) \] \[ k \approx -\frac{1}{5}(-0.5596) \approx 0.112 \]
Points de vigilance :

Précision des calculs : Il est préférable de garder la valeur exacte de \(k = -\frac{1}{5} \ln(4/7)\) pour les calculs futurs afin d'éviter les erreurs d'arrondi. N'utilisez la valeur approchée que pour la réponse finale.

Le saviez-vous ?

La "demi-vie" d'un processus exponentiel est le temps nécessaire pour que la quantité (ici, l'écart de température \(T-T_a\)) soit réduite de moitié. Elle est calculée par \(t_{1/2} = \ln(2)/k\). Pour notre café, la demi-vie de son écart de température est d'environ 6.2 minutes.

FAQ en rapport avec la question :
L'unité de k est-elle importante ?

Oui. Comme le temps \(t\) est en minutes, la constante \(k\) est en "par minute" (min⁻¹). Si le temps avait été mesuré en secondes, la valeur numérique de k aurait été différente.

Résultat : La constante de refroidissement est \(k \approx 0.112\). L'équation finale est \(T(t) \approx 20 + 70 e^{-0.112t}\).

Question 4 : Prédiction de la Température

Principe :
Courbe de Refroidissement
T(°C) t(min) Tₐ = 20°C T(0)=90°C

Maintenant que notre modèle est complet, nous pouvons l'utiliser pour faire des prédictions. Il suffit de remplacer \(t\) par la valeur souhaitée (10 minutes) dans l'équation finale pour trouver la température correspondante.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est la finalité de la modélisation : être capable de prédire l'état futur d'un système. Cette étape valide l'utilité de tout le travail mathématique effectué en amont.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T(t) \approx 20 + 70 e^{-0.112t} \]
Donnée(s) :

On cherche la température pour \(t = 10\) minutes.

Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} T(10) &\approx 20 + 70 e^{-0.112 \times 10} \\ &\approx 20 + 70 e^{-1.12} \\ &\approx 20 + 70(0.3263) \\ &\approx 20 + 22.84 \\ &\approx 42.84 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ordre des opérations : Il faut bien respecter l'ordre des opérations (PEMDAS/BODMAS) : d'abord la multiplication dans l'exposant, puis l'exponentiation, puis la multiplication par 70, et enfin l'addition de 20.

Le saviez-vous ?

Les experts en médecine légale utilisent une version de la loi de refroidissement de Newton pour estimer l'heure du décès d'une personne en mesurant la température du corps et celle de l'environnement.

FAQ en rapport avec la question :
La température sera-t-elle la moitié de celle de départ après deux fois 5 minutes ?

Non. Le refroidissement n'est pas linéaire. Après 5 min, la température a baissé de 30°C (de 90 à 60). Après les 5 min suivantes, elle ne baisse que d'environ 17°C (de 60 à 43). La perte de chaleur est plus rapide quand l'écart de température avec l'extérieur est grand.

Conclusion : Après 10 minutes, la température du café sera d'environ 42,8°C.

Simulateur de Refroidissement

Modifiez les paramètres pour voir comment ils influencent la vitesse de refroidissement du café.

Paramètres
Courbe de Température

Le Saviez-Vous ?

Les équations différentielles sont utilisées pour modéliser la propagation des épidémies (modèles SIR), la croissance des populations (modèle de Verhulst), les orbites des planètes, les vibrations d'un pont, les marchés financiers et d'innombrables autres systèmes complexes qui évoluent dans le temps.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que représente physiquement la constante k ?

La constante \(k\) représente la "rapidité" du transfert de chaleur. Une valeur de \(k\) élevée signifie que la chaleur se dissipe rapidement (par exemple, un objet métallique). Une valeur de \(k\) faible signifie que l'objet est bien isolé et se refroidit lentement (par exemple, un café dans un thermos).

Le café atteindra-t-il un jour la température de la pièce ?

Mathématiquement, la fonction exponentielle \(e^{-kt}\) ne s'annule jamais, elle ne fait que tendre vers zéro lorsque \(t\) tend vers l'infini. Donc, en théorie, la température du café n'atteindra jamais *exactement* 20°C, mais s'en approchera de plus en plus près. En pratique, la différence deviendra rapidement indétectable.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Une équation différentielle relie une fonction à...

2. Dans la loi de refroidissement de Newton, si la température ambiante augmente, un objet chaud se refroidira...

Glossaire

Équation Différentielle Ordinaire (EDO)
Équation impliquant une fonction d'une seule variable indépendante et ses dérivées. Elle décrit l'évolution d'un système au cours du temps.
Séparation des Variables
Technique de résolution pour certaines EDO, où l'on peut regrouper tous les termes d'une variable d'un côté de l'équation et tous les termes de l'autre variable de l'autre côté avant d'intégrer.
Condition Initiale
Information sur l'état du système à un instant de départ (souvent t=0), nécessaire pour déterminer la constante d'intégration et trouver la solution particulière d'une EDO.
Solution Générale
Solution d'une EDO qui contient une ou plusieurs constantes d'intégration non déterminées. Elle représente une famille de toutes les solutions possibles.
Solution Particulière
Solution unique d'une EDO obtenue en utilisant des conditions initiales ou aux limites pour fixer la valeur des constantes d'intégration.
Mathématiques : Équation Différentielle Ordinaire

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