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Effets de l’humidité sur le bois

Effets de l’humidité sur le bois en structure

Effets de l’humidité sur le bois en structure

Contexte : Le bois, un matériau vivant sensible à son environnement.

Le bois est un matériau hygroscopiqueSe dit d'un matériau qui a tendance à absorber l'humidité de l'air. Le bois est un matériau naturellement hygroscopique., c'est-à-dire qu'il échange de l'humidité avec l'air ambiant. Cette caractéristique influence directement ses propriétés mécaniques. Une augmentation de l'humidité rend le bois moins rigide et moins résistant. De plus, sous une charge constante, le bois "flueDéformation différée d'un matériau sous l'effet d'une charge constante. Pour le bois, le fluage est important et s'accentue avec l'humidité." : sa déformation augmente avec le temps. Ce phénomène de fluage est fortement accéléré par l'humidité. L'ingénieur doit donc impérativement prendre en compte l'environnement d'une structure en bois (intérieur chauffé, extérieur abrité, exposé aux intempéries) pour garantir sa performance à long terme. Cet exercice explore l'impact d'un changement de classe de serviceConcept de l'Eurocode 5 qui définit les conditions d'humidité ambiante d'une structure en bois (Classe 1: sec, Classe 2: humide, Classe 3: extérieur). Elle influence la résistance et le fluage. sur la résistance et la flèche d'une solive de plancher.

Remarque Pédagogique : Cet exercice met en lumière un aspect fondamental et unique du calcul bois : l'interaction entre le matériau, le temps et l'environnement. Nous allons quantifier comment la même poutre, soumise à la même charge, peut voir sa capacité portante et sa déformation finale changer radicalement simplement en modifiant ses conditions d'humidité.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier les classes de service selon l'Eurocode 5.
  • Calculer la résistance de calcul d'une poutre en bois pour différentes classes de service.
  • Quantifier la perte de capacité portante due à une augmentation de l'humidité.
  • Introduire et calculer la déformation finale due au fluage en utilisant le coefficient \(k_{\text{def}}\).
  • Comparer la flèche finale à une limite réglementaire pour évaluer l'aptitude au service.

Données de l'étude

Une solive de plancher en bois massif C24 de section 80x240 mm et de 4.5 m de portée est initialement utilisée dans un local chauffé (Classe de service 1). Elle est dimensionnée pour reprendre une charge permanente \(G_k\) et une charge d'exploitation de longue durée \(Q_k\). Suite à un changement d'affectation, le local devient une buanderie non chauffée (Classe de service 2). On souhaite évaluer les conséquences de ce changement.

Schéma de la solive et de son environnement
Initial Classe 1 Final Classe 2 L = 4.5 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée entre appuis \(L\) 4.5 \(\text{m}\)
Section (b x h) - 80 x 240 \(\text{mm}\)
Classe de bois C24
Charge permanente \(G_k\) 1.5 \(\text{kN/m}\)
Charge d'exploitation \(Q_k\) 2.0 \(\text{kN/m}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le moment résistant de la section \(M_{R,d}\) dans les conditions initiales (Classe 1, charge permanente).
  2. Vérifier si la solive était correctement dimensionnée à l'ELU dans son état initial.
  3. Calculer le nouveau moment résistant \(M_{R,d}\) en Classe 2 et quantifier la perte de résistance en pourcentage.
  4. Calculer la flèche finale \(f_{\text{fin}}\) en Classe 2 en tenant compte du fluage, et la comparer à la limite admissible de L/250.

Les bases de l'humidité et du fluage (Eurocode 5)

Cet exercice se base sur deux concepts fondamentaux de l'Eurocode 5.

1. Les Classes de Service :
Elles définissent l'environnement d'humidité de la structure.

  • Classe 1 : Intérieur chauffé, humidité du bois ~12%. (\(k_{\text{mod, perm}} = 0.6\))
  • Classe 2 : Extérieur abrité ou intérieur non chauffé, humidité du bois < 20%. (\(k_{\text{mod, perm}} = 0.6\))
  • Classe 3 : Extérieur exposé aux intempéries. (\(k_{\text{mod, perm}} = 0.5\))
Note : Pour une charge permanente, \(k_{\text{mod}}\) est identique en classe 1 et 2, mais l'humidité va jouer un rôle crucial sur le fluage.

2. Le Fluage et le coefficient \(k_{\text{def}}\) :
Le fluage est la déformation différée du bois sous charge constante. L'Eurocode 5 le prend en compte via le coefficient \(k_{\text{def}}\)Coefficient de déformation différée (fluage) défini par l'Eurocode 5. Il permet de calculer la flèche finale en majorant la flèche instantanée. Sa valeur dépend de la classe de service.. La flèche finale est calculée par : \[ f_{\text{fin}} = f_{\text{inst}, G} \cdot (1 + k_{\text{def}}) + f_{\text{inst}, Q} \cdot (1 + \psi_2 \cdot k_{\text{def}}) \] Où \(f_{\text{inst}}\) est la flèche instantanée, et \(\psi_2\) est un coefficient de combinaison. Pour un plancher d'habitation, \(\psi_2 = 0.3\). Le coefficient \(k_{\text{def}}\) dépend de la classe de service :

  • Classe 1 : \(k_{\text{def}} = 0.6\)
  • Classe 2 : \(k_{\text{def}} = 0.8\)

Correction : Effets de l’humidité sur le bois en structure

Question 1 : Calculer le moment résistant initial (Classe 1)

Principe (le concept physique)

Le moment résistant est la capacité maximale d'une poutre à résister à la flexion. Il est le produit de la capacité de sa forme (module d'inertie \(W_y\)) et de la capacité de son matériau dans des conditions données (résistance de calcul \(f_{m,d}\)). Pour l'état initial, nous considérons les conditions les plus favorables : un environnement sec (Classe 1).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul se fait à l'État Limite Ultime (ELU)Vérification réglementaire relative à la sécurité des personnes et de la structure. On s'assure que la structure ne rompt pas sous des charges majorées.. La résistance de calcul \(f_{m,d}\) est déterminée en appliquant les coefficients de sécurité \(\gamma_M\) et de modification \(k_{\text{mod}}\) à la résistance caractéristique du matériau \(f_{m,k}\). Le \(k_{\text{mod}}\) dépend de la classe de service et de la durée de la charge. Pour une charge permanente, la plus pénalisante, \(k_{\text{mod}}\) vaut 0.6 en Classe 1.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'étape de "conception" initiale. On calcule la force maximale que la poutre peut supporter dans l'environnement pour lequel elle a été prévue. C'est notre point de référence avant d'analyser les effets d'un changement d'environnement.

Normes (la référence réglementaire)

Selon l'Eurocode 5, pour du bois C24, \(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\). Pour une charge permanente en Classe 1, le tableau 3.1 donne \(k_{\text{mod}} = 0.6\). Le coefficient partiel pour le bois massif est \(\gamma_M = 1.3\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le module d'inertie est donné par :

\[ W_y = \frac{b h^2}{6} \]

La résistance de calcul est donnée par :

\[ f_{m,d} = \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{m,k}}{\gamma_M} \]

Le moment résistant est le produit des deux :

\[ M_{R,d} = W_y \cdot f_{m,d} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la solive est protégée contre le déversement. Les calculs sont menés pour la combinaison de charges la plus défavorable en termes de durée, c'est-à-dire la charge permanente.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Section : \(b = 80 \, \text{mm}\), \(h = 240 \, \text{mm}\)
  • Matériau : C24 (\(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\))
  • Conditions : Classe 1, charge permanente (\(k_{\text{mod}} = 0.6\), \(\gamma_M = 1.3\))
Astuces(Pour aller plus vite)

Effectuez d'abord le calcul des propriétés géométriques (\(W_y\)) et matérielles (\(f_{m,d}\)) séparément avant de les combiner. Cela évite les erreurs et clarifie le raisonnement.

Schéma (Avant les calculs)
Solive en Environnement Sec (Classe 1)
Classe 1M_Rd = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du module d'inertie \(W_y\):

\[ \begin{aligned} W_y &= \frac{80 \, \text{mm} \cdot (240 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= 768000 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

2. Calcul de la résistance de calcul \(f_{m,d}\):

\[ \begin{aligned} f_{m,d} &= \frac{0.6 \cdot 24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 11.08 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

3. Calcul du moment résistant \(M_{R,d}\):

\[ \begin{aligned} M_{R,d} &= 768000 \, \text{mm}^3 \cdot 11.08 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 8509440 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &\approx 8.51 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Capacité de la Solive en Classe 1
Classe 1M_Rd ≈ 8.51 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Dans son environnement initial sec, la solive a une capacité de résistance en flexion de 8.51 kN·m. C'est cette valeur qui doit être comparée au moment fléchissant généré par les charges de calcul pour vérifier la sécurité de la structure.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Il est crucial de choisir le bon \(k_{\text{mod}}\). Ici, on a une charge permanente (\(G_k\)) et une charge d'exploitation de longue durée (\(Q_k\)). La charge de longue durée est la plus pénalisante et impose son \(k_{\text{mod}}\). Si les charges avaient été de moyenne durée (neige), le \(k_{\text{mod}}\) aurait été plus élevé (0.8), donnant une résistance supérieure.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment résistant est le produit de la géométrie (\(W_y\)) et de la résistance de calcul (\(f_{m,d}\)).
  • La résistance de calcul dépend de la classe de service et de la durée de la charge via \(k_{\text{mod}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le classement visuel ou mécanique du bois (C18, C24, C30...) est une étape essentielle en scierie. Il permet de garantir une résistance minimale et de fiabiliser les calculs. Un bois C24 a moins de nœuds et un fil plus droit qu'un bois C18, ce qui justifie sa résistance caractéristique plus élevée.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne prend-on pas en compte la charge d'exploitation \(Q_k\) pour le \(k_{\text{mod}}\) ?

Dans une combinaison de charges, c'est la charge dont la durée est la plus courte qui donne son \(k_{\text{mod}}\) à l'ensemble. Cependant, l'énoncé précise "longue durée", ce qui est assimilable à une charge permanente pour le choix du \(k_{\text{mod}}\). Nous avons donc pris le cas le plus défavorable.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment résistant initial en Classe 1 est \(M_{R,d} \approx 8.51 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le moment résistant si la solive était en bois C30 (\(f_{m,k}=30\) MPa) ?

Question 2 : Vérifier le dimensionnement initial à l'ELU

Principe (le concept physique)

La vérification à l'État Limite Ultime (ELU) consiste à s'assurer que la sollicitation la plus défavorable (le moment de calcul, \(M_d\)) reste inférieure ou égale à la capacité de la structure (le moment résistant, \(M_{R,d}\)). On applique des coefficients de sécurité aux charges pour obtenir la charge de calcul.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La combinaison de charge \(1.35 G_k + 1.5 Q_k\) est la formule de base pour les bâtiments. Le coefficient 1.35 majore les charges permanentes (dont on est relativement sûr) et 1.5 majore les charges d'exploitation (plus incertaines). Le but est de couvrir les surcharges imprévues et les incertitudes de modélisation pour garantir la sécurité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un ascenseur. Sa capacité nominale (charge caractéristique) est par exemple de 8 personnes. Le calcul à l'ELU se fera en considérant une charge bien supérieure, par exemple 12 personnes (1.5 x 8), pour s'assurer que même en cas de surcharge, les câbles ne cèdent pas. C'est le même principe ici.

Normes (la référence réglementaire)

La combinaison de charges fondamentale à l'ELU selon l'Eurocode 0 (EN 1990) et la formule du moment sont utilisées.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La charge de calcul est donnée par la combinaison ELU :

\[ q_d = 1.35 \cdot G_k + 1.5 \cdot Q_k \]

Le moment de calcul pour une charge répartie est :

\[ M_d = \frac{q_d \cdot L^2}{8} \]

La condition à vérifier est :

\[ M_d \le M_{R,d} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les facteurs de charge 1.35 et 1.5 sont applicables, ce qui est le cas standard pour les bâtiments. On considère que les deux charges agissent simultanément.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges caractéristiques : \(G_k = 1.5 \, \text{kN/m}\), \(Q_k = 2.0 \, \text{kN/m}\)
  • Portée, \(L = 4.5 \, \text{m}\)
  • Moment résistant, \(M_{R,d} = 8.51 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) (de Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez d'abord la charge de calcul totale \(q_d\). Ensuite, calculez le moment de calcul \(M_d\). Ne mélangez pas les charges caractéristiques et les charges de calcul dans la formule du moment.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Moment Agissant vs Moment Résistant
Moment Agissant (Md = ?)Moment Résistant (MRd)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la charge de calcul \(q_d\):

\[ \begin{aligned} q_d &= 1.35 \cdot 1.5 \, \text{kN/m} + 1.5 \cdot 2.0 \, \text{kN/m} \\ &= 2.025 \, \text{kN/m} + 3.0 \, \text{kN/m} \\ &= 5.025 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Calcul du moment de calcul \(M_d\):

\[ \begin{aligned} M_d &= \frac{q_d \cdot L^2}{8} \\ &= \frac{5.025 \, \text{kN/m} \cdot (4.5 \, \text{m})^2}{8} \\ &\approx 12.72 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

3. Vérification de la condition :

\[ 12.72 \, \text{kN} \cdot \text{m} > 8.51 \, \text{kN} \cdot \text{m} \quad (\text{NON OK}) \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Vérification ELU
Md = 12.72 kN·mMRd = 8.51 kN·mRUPTURE !
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moment agissant (12.72 kN·m) est largement supérieur au moment résistant (8.51 kN·m). La condition de sécurité n'est pas respectée. Cela signifie que même dans son environnement initial favorable, la solive était en fait sous-dimensionnée pour les charges spécifiées. C'est une situation dangereuse.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de pondérer les charges ou d'utiliser les mauvais coefficients. Une autre erreur est d'oublier de mettre la portée au carré dans la formule du moment. Vérifiez toujours vos formules et vos unités.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification à l'ELU compare la sollicitation de calcul (\(M_d\)) à la résistance de calcul (\(M_{R,d}\)).
  • Les charges de calcul sont obtenues en majorant les charges caractéristiques.
  • La condition est simple : \(M_d \le M_{R,d}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans certains cas, la charge permanente peut avoir un effet favorable (par exemple, empêcher le soulèvement par le vent). Dans ce cas, l'Eurocode 0 prescrit d'utiliser un coefficient minorateur (par exemple 1.0) sur \(G_k\) pour s'assurer que l'on vérifie bien le cas le plus défavorable.

FAQ (pour lever les doutes)
D'où viennent les coefficients 1.35 et 1.5 ?

Ils sont issus d'analyses statistiques et probabilistes complexes. Ils sont calibrés pour garantir un niveau de fiabilité cible pour la structure sur sa durée de vie (généralement 50 ans pour un bâtiment courant), en tenant compte des incertitudes sur les charges et les résistances.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La solive n'était pas correctement dimensionnée à l'origine. Le taux de travail est de \(12.72 / 8.51 \approx 149\%\), ce qui est inacceptable.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle aurait été la charge d'exploitation maximale \(Q_k\) admissible pour que la solive soit juste conforme ?

Question 3 : Calculer le nouveau moment résistant en Classe 2

Principe (le concept physique)

Le passage en Classe de service 2 (milieu plus humide) n'affecte pas la résistance caractéristique du bois (\(f_{m,k}\)) ni les coefficients de sécurité. Cependant, l'Eurocode 5 considère que l'humidité affaiblit le matériau sur le long terme. Cet effet est pris en compte par le coefficient \(k_{\text{mod}}\). Même si pour une charge permanente la valeur de \(k_{\text{mod}}\) est la même en Classe 1 et 2 (0.6), il est important de refaire le calcul pour illustrer la méthode, car pour d'autres durées de charge, il y aurait une différence.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le coefficient \(k_{\text{mod}}\) est une réduction de la résistance pour tenir compte de la durée de la charge ET de la classe de service. Pour une charge de longue durée (ou permanente), le bois a le temps de fluer et sa résistance diminue. La norme considère que cette diminution est la même que le bois soit en milieu sec (Classe 1) ou humide (Classe 2). La différence de comportement entre les classes de service est surtout marquée pour les charges de courte durée.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette question peut sembler être un piège, mais elle illustre un point important de la norme. L'ingénieur doit savoir lire et interpréter les tableaux de l'Eurocode. Ici, on constate que pour la résistance à long terme, la norme ne différencie pas une atmosphère intérieure sèche d'une atmosphère sous abri extérieur. La vraie pénalité de la Classe 2 se manifestera sur la déformation (fluage).

Normes (la référence réglementaire)

Pour une charge permanente en Classe 2, le tableau 3.1 de l'Eurocode 5 donne \(k_{\text{mod}} = 0.6\). Les autres paramètres (\(f_{m,k}\), \(\gamma_M\)) restent inchangés.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule reste la même :

\[ M_{R,d, \text{cl.2}} = W_y \cdot \frac{k_{\text{mod, cl.2}} \cdot f_{m,k}}{\gamma_M} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On applique les mêmes hypothèses que pour la question 1, en changeant uniquement la classe de service pour la détermination de \(k_{\text{mod}}\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Module d'inertie, \(W_y = 768000 \, \text{mm}^3\)
  • Matériau : C24 (\(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\))
  • Conditions : Classe 2, charge permanente (\(k_{\text{mod}} = 0.6\), \(\gamma_M = 1.3\))
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant de recalculer, vérifiez toujours si les paramètres d'entrée ont réellement changé. Ici, en consultant le tableau de \(k_{\text{mod}}\), on voit que pour une charge permanente, la valeur est la même pour les classes 1 et 2. Le calcul sera donc identique.

Schéma (Avant les calculs)
Solive en Environnement Humide (Classe 2)
Classe 2M_Rd = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Puisque \(k_{\text{mod}}\) pour une charge permanente est le même en Classe 1 et 2, le résultat est identique :

\[ \begin{aligned} f_{m,d, \text{cl.2}} &= \frac{0.6 \cdot 24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 11.08 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} M_{R,d, \text{cl.2}} &= 768000 \, \text{mm}^3 \cdot 11.08 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 8.51 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

La perte de résistance à l'ELU pour une charge permanente est donc de 0%.

Schéma (Après les calculs)
Capacité de la Solive en Classe 2
Classe 2M_Rd ≈ 8.51 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

C'est un point subtil de la norme : pour les charges les plus longues (permanentes), l'effet de l'humidité sur la résistance est déjà maximal et un passage de Classe 1 à 2 ne change pas la valeur de \(k_{\text{mod}}\). La différence majeure entre les classes de service se verra sur les charges de plus courte durée et, comme nous le verrons ensuite, sur le fluage.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas conclure trop vite que la classe de service n'a pas d'impact. Si la charge d'exploitation avait été de moyenne durée (ex: neige, \(k_{\text{mod}}\) = 0.8 en Cl.1 et 0.7 en Cl.2), il y aurait eu une perte de résistance notable. Il faut toujours considérer la durée de la charge principale.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'impact de la classe de service sur \(k_{\text{mod}}\) dépend de la durée de la charge.
  • Pour les charges permanentes, \(k_{\text{mod}}\) est le même en Classe 1 et 2.
  • La vérification de la résistance à l'ELU peut ne pas être affectée, mais celle de la déformation à l'ELS le sera.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les bois traités (autoclave) pour être utilisés en extérieur (Classe 3 ou 4) sont protégés contre les attaques biologiques (insectes, champignons), mais le traitement chimique n'augmente pas leurs propriétés mécaniques. Le calcul doit toujours prendre en compte le \(k_{\text{mod}}\) très pénalisant de la Classe 3.

FAQ (pour lever les doutes)
Si le moment résistant ne change pas, pourquoi s'inquiéter du passage en Classe 2 ?

Parce que la sécurité d'une structure ne se limite pas à sa résistance à la rupture (ELU). Le confort et la durabilité (ELS) sont tout aussi importants. Comme nous allons le voir, le passage en Classe 2 a un effet désastreux sur la déformation à long terme (fluage), même si la résistance ultime reste la même.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Pour une charge permanente, le moment résistant en Classe 2 est identique à celui en Classe 1, soit \(M_{R,d} \approx 8.51 \, \text{kN} \cdot \text{m}\). La perte de résistance à l'ELU est de 0%.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge principale avait été de moyenne durée (\(k_{\text{mod}}\) = 0.8 en Cl.1, 0.7 en Cl.2), quelle aurait été la perte de résistance en % ?

Question 4 : Calculer la flèche finale en Classe 2

Principe (le concept physique)

Le fluage est la déformation qui s'ajoute au fil du temps à la déformation instantanée. L'humidité ambiante agit comme un "lubrifiant" entre les fibres de bois, accélérant ce phénomène. Le passage en Classe 2 va donc augmenter la déformation finale de la solive, même si la charge reste la même. On calcule cette flèche finale et on la compare à un critère de confort (ELSÉtat Limite de Service. Vérification réglementaire relative au confort des usagers et à la durabilité de l'ouvrage (flèche, vibrations, fissures). On utilise des charges non majorées.).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de la flèche finale sépare l'effet des charges permanentes (\(G_k\)) et des charges variables (\(Q_k\)). La part de fluage de la charge permanente est totale (\(1+k_{\text{def}}\)), tandis que pour la charge variable, on considère qu'une partie seulement est de longue durée (via le coefficient \(\psi_2\)). Cela donne une estimation plus réaliste de la déformation à long terme.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est ici que l'impact de l'humidité devient spectaculaire. Un simple changement d'environnement, sans toucher ni à la poutre ni aux charges, peut rendre un plancher parfaitement acceptable complètement inutilisable à cause d'une flèche excessive. C'est pourquoi la détermination de la classe de service est l'une des étapes les plus critiques d'un projet bois.

Normes (la référence réglementaire)

La flèche finale est la somme de la flèche instantanée et de la flèche de fluage. L'Eurocode 5 la calcule avec le coefficient \(k_{\text{def}}\). Pour le bois C24, \(E_{0,\text{mean}} = 11000 \, \text{MPa}\). En Classe 2, \(k_{\text{def}} = 0.8\). La limite de flèche finale est souvent fixée à L/250.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La flèche instantanée pour une charge répartie est :

\[ f_{\text{inst}} = \frac{5 \cdot q_k \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y} \]

La flèche finale tenant compte du fluage est :

\[ f_{\text{fin}} = f_{\text{inst}, G} \cdot (1 + k_{\text{def}}) + f_{\text{inst}, Q} \cdot (1 + \psi_2 \cdot k_{\text{def}}) \]

Avec le coefficient de combinaison pour les planchers d'habitation :

\[ \psi_2 = 0.3 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On effectue le calcul à l'ELS, donc avec les charges caractéristiques (non pondérées). On suppose que la charge d'exploitation est de longue durée, ce qui justifie l'application du fluage sur une partie de celle-ci.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges de service : \(G_k = 1.5 \, \text{N/mm}\), \(Q_k = 2.0 \, \text{N/mm}\)
  • Portée, \(L = 4500 \, \text{mm}\)
  • Matériau : C24 (\(E_{0,\text{mean}} = 11000 \, \text{MPa}\))
  • Conditions : Classe 2 (\(k_{\text{def}} = 0.8\))
Astuces(Pour aller plus vite)

Le terme \(\frac{5 L^4}{384 E I_y}\) est commun aux deux calculs de flèche instantanée. Calculez-le une fois, puis multipliez-le simplement par \(G_k\) et \(Q_k\) pour obtenir \(f_{\text{inst}, G}\) et \(f_{\text{inst}, Q}\).

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la Flèche Finale
f_instf_creepf_fin = f_inst + f_creep = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment quadratique \(I_y\):

\[ \begin{aligned} I_y &= \frac{80 \cdot 240^3}{12} \\ &= 92160000 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

2. Calcul des flèches instantanées :

\[ \begin{aligned} f_{\text{inst}, G} &= \frac{5 \cdot 1.5 \cdot 4500^4}{384 \cdot 11000 \cdot 92160000} \\ &\approx 7.91 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{\text{inst}, Q} &= \frac{5 \cdot 2.0 \cdot 4500^4}{384 \cdot 11000 \cdot 92160000} \\ &\approx 10.55 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Calcul de la flèche finale \(f_{\text{fin}}\):

\[ \begin{aligned} f_{\text{fin}} &= 7.91 \cdot (1 + 0.8) + 10.55 \cdot (1 + 0.3 \cdot 0.8) \\ &= 7.91 \cdot 1.8 + 10.55 \cdot 1.24 \\ &= 14.24 + 13.08 \\ &= 27.32 \, \text{mm} \end{aligned} \]

4. Comparaison à la limite :

\[ \begin{aligned} f_{\text{lim}} &= \frac{L}{250} = \frac{4500 \, \text{mm}}{250} = 18 \, \text{mm} \\ &27.32 \, \text{mm} > 18 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Vérification ELS
Limite f_lim = 18.0 mmFlèche finale f_fin = 27.3 mmNON OK ❌
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La flèche finale (27.3 mm) est très largement supérieure à la limite admissible (18 mm). Le passage en Classe 2 a considérablement augmenté la déformation à long terme de la solive. Même si elle ne rompt pas (en théorie, bien qu'elle soit sous-dimensionnée), elle deviendra excessivement déformée, ce qui est inacceptable pour un plancher.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Trois erreurs classiques : 1. Utiliser la charge ultime \(q_{d}\) au lieu de la charge de service \(q_{k}\). 2. Utiliser le module d'inertie \(W_y\) au lieu du moment quadratique \(I_y\). 3. Se tromper dans les unités, notamment avec la portée à la puissance 4.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de flèche est un critère de confort (ELS), pas de sécurité (ELU).
  • La flèche finale inclut le fluage, qui est plus important en milieu humide (Classe 2).
  • C'est souvent le critère de flèche qui est dimensionnant pour les poutres en bois.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour contrer l'effet de la flèche due aux charges permanentes, les charpentiers peuvent mettre en œuvre une "contre-flèche". Il s'agit de poser la poutre avec une légère courbure vers le haut. Sous l'effet des charges permanentes (toiture, isolation...), la poutre s'aplatit pour devenir horizontale.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on \(E_{\text{mean}}\) et pas une valeur minorée pour la flèche ?

Parce que la flèche est un phénomène collectif qui concerne toute la poutre. Les variations locales de rigidité du bois (autour des nœuds par exemple) se compensent sur la longueur totale. On s'intéresse donc au comportement moyen, le plus probable, et non à un cas extrême localisé qui serait pertinent pour la résistance.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche finale en Classe 2 est de 27.3 mm, dépassant la limite de 18 mm. La solive n'est pas conforme à l'ELS dans son nouvel environnement.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle hauteur minimale (en mm, par pas de 25mm) faudrait-il pour que la panne respecte le critère de flèche ?

Outil Interactif : Dimensionnement d'une Panne

Modifiez les paramètres de la panne pour voir leur influence sur sa capacité et sa déformation.

Paramètres d'Entrée
4.0 m
225 mm
Résultats Clés
Charge Admissible ELU (kN/m) -
Flèche (pour q_adm) (mm) -
Ratio Flèche / Limite -

Le Saviez-Vous ?

Le bois est un matériau anisotrope : ses propriétés mécaniques ne sont pas les mêmes dans toutes les directions. Il est extrêmement résistant et rigide dans le sens des fibres, mais beaucoup plus faible perpendiculairement aux fibres. C'est pourquoi les poutres et les pannes sont toujours taillées avec le grand axe de la pièce aligné avec le sens du fil du bois.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi y a-t-il deux vérifications (ELU et ELS) ?

L'État Limite Ultime (ELU) concerne la sécurité et la résistance : on s'assure que la structure ne s'effondre pas sous des charges exceptionnelles (majorées par des coefficients). L'État Limite de Service (ELS) concerne le confort et la durabilité : on vérifie que sous des charges normales, les déformations, vibrations ou fissures restent dans des limites acceptables.

Que se passe-t-il si la panne est inclinée, comme c'est souvent le cas ?

Si la panne est inclinée, la charge verticale se décompose en deux composantes : une perpendiculaire aux fibres de la panne, et une parallèle. Cela engendre une "flexion déviée". Les calculs sont plus complexes car il faut vérifier la résistance selon les deux axes de la section et combiner les contraintes.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on passe d'une charge de "moyenne durée" (neige, k_mod=0.8) à une charge "permanente" (poids propre, k_mod=0.6), la charge admissible de la panne va...

2. Pour une panne de 4m de portée, la charge admissible est de 4.68 kN/m. Si on double la portée à 8m (avec la même section), la nouvelle charge admissible sera...

Eurocode 5
Norme européenne de calcul pour les structures en bois, définissant les exigences de sécurité, d'aptitude au service et de durabilité.
k_mod
Coefficient de modification qui ajuste la résistance du bois en fonction de la classe de service (humidité) et de la durée d'application de la charge.
ELU / ELS
État Limite Ultime (vérification de la résistance, sécurité) et État Limite de Service (vérification de la déformation, confort).
Effets de l’humidité sur le bois en structure

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